02 - Intervalos de Confianza

Intervalos de confianza

Confidence Intervals Slide #2

• Los métodos de inferencia sirven para determinar la probabilidad de que cualquier conclusión sobre una población que se haya derivado de la información aportada por un grupo de datos sea correcta.

SampleStatistic

PopulationParameter


Two Inferential Methods

• Confidence Regions (Intervalos de Confianza)– proporcionar una intervalo (región) que

creemos que contiene el parámetro con una cierto grado de verosimilitud (confianza)

• Hypothesis/Significance Testing– evaluar la cantidad de evidencia de los datos da

en contra de una hipótesis acerca de un parámetro


m m+2 sem-2 se

Determinar si m esta contenida en IC95% construido

x

Mark + 2 SE from the sample mean -- this is a 95% CI

Supongamos que un resultados de la muestra en la media muestra abajo

Intervalo de confianza


m m+2 sem-2 se

Repeat for more samples

Sample #1

Sample #2

Sample #3

Sample #4


m m+2 sem-2 se

So, how often will m be contained in the sample mean + 2SE?

What must happen for m to be contained in the interval of the sample mean + 2SE?


m

No sabemos que muestra tomamos , solo que la técnica proporcionará un rango que contiene a m un 95% de las veces.

Inference Concepts

Concepto Intervalo de confianza

Un estimador por intervalos de un parámetro poblacional es una regla (basada en la información muestral) para determinar un rango, o un intervalo, en el cual posiblemente se encuentre dicho parámetro. La estimación correspondiente se denomina estimación por intervalos.

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Inference Concepts

• Sea θ un parámetro desconocido. Supongamos que con ayuda de la información muestral, podemos encontrar dos variables aleatorias L y U, , tales que P(L θ U) =1 – α Donde 0 < α < 1

La fracción 1 – α recibe el nombre de grado de confianza, α se llama nivel de significancia y el intervalo de l hasta u es un estimador por intervalos de θ del (1 – α )100%

Es decir, se puede garantizar con una probabilidad de 1-α que la muestra elegida contendrá el valor verdadero de θ

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1 - /2 /2

-k k

Inference Concepts

• En la práctica se obtiene solamente una muestra y se calcula con ella un intervalo de confianza dicho intervalo contiene o no contiene al parámetro, no es razonable asignar una probabilidad a este evento.

La proposición adecuada es que el intervalo contiene a el parámetro “con una confianza” del (1-α)100%

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Inference Concepts

• La deducción de un intervalo de confianza depende de varios aspectos que combinados de cierta manera conforman una situación particular que determina la forma del intervalo.

Los aspectos a considerar en la construcción de un intervalo de confianza son:

• i) el tipo de distribución de la variable estudiada, • ii) el conocimiento de la varianza poblacional, y • iii) el tamaño de la muestra. A continuación estudiaremos las distintas

situaciones o casos que se pueden presentar en el desarrollo de un intervalo de confianza

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Inference Concepts

• A continuación se presentan unas tablas que ilustran la forma de los intervalos de confianza para algunos parámetros.

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Inference Concepts

Tabla 1.1 Resumen acerca los intervalos de confianza para la media poblacional

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Inference Concepts

Tabla 1.2 Resumen acerca los intervalos de confianza para la diferencia de medias

poblacionales

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Inference Concepts

Tabla 1.3 Resumen acerca los intervalos de confianza para la proporcion y diferencia de

proporciones poblacionales

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Inference Concepts

EjemplosLos contenidos de 7 recipientes similares de ácido sulfúrico son 9,8; 10,2;

10,4; 9,8; 10,0; 10,2 y 9,6 litros.

a)Encuentre un intervalo de confianza del 95% para la media

de todos los recipientes (asumiendo que la distribución de la poblacion es normal)

b) Encuentre un intervalo de confianza del 90%

Al examinar 9 porciones de agua se encontró una concentración promedio de ión nitrato igual a 0.5 μg/ml. Se desea estimar mediante un intervalo de confianza del 95% la concentración promedio del nitrato en el agua, si se sabe que la desviación del método para éste análisis es de 0.15 μg/ml

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Inference Concepts

EjemplosSe llevan a cabo pruebas de resistencia a la tensión sobre una clase

de tubo de aluminio utilizados en la construcción, se encontró que 36 mediciones produjeron un valor promedio de y una desviación típica de . Estime mediante un intervalo el verdadero valor la resistencia con una confianza del 90%

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Inference Concepts

EjemplosEl tiempo para reparar un instrumento electrónico es una variable

aleatoria medida en horas que sigue una distribución normal. El tiempo de reparación de 16 de estos instrumentos elegidos al azar es el siguiente:

Construir un intervalo de confianza de 95% para el tiempo de reparación promedio.

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Horas159 280 101 212224 379 179 264222 362 168 250149 260 465 170

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Ejemplo• En una investigación sobre la calidad química del agua en

un río, se determinó el fósforo total en solución en dos épocas distintas. En la primera fecha, 25 mediciones del elemento proporcionaron un valor promedio de 0.78 mg/l y una varianza de 0.063 mg2/l2. En la segunda fecha se efectuaron 16 mediciones y los valores encontrados para la media y la varianza fueron de 0.06 mg/l y 0.048 mg2/l2 respectivamente. Suponiendo que la variable concentración de fósforo se distribuye normalmente construya un intervalo de confianza del 95% para la diferencia de medias poblacionales

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Inference Concepts

Ejemplo

• Las empresas de búsqueda de ejecutivos se especializan en ayudar a las empresas a ubicar y asegurar talento para la alta gerencia. Tales firmas son responsables de la ubicación de muchos de los mejores directores ejecutivos de la nación. Una reconocida revista reportó que “uno de cada cuatro directores ejecutivos es una persona con más de 35 años de edad”. Si en una muestra aleatoria de 350 compañías de cierto pa´ıs, 77 tienen directores ejecutivos con más de 35 años de edad, ¿un intervalo de confianza del 99% apoyaría la afirmación?

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Ejemplo

• Se extrajeron dos muestras aleatorias independientes de estudiantes universitarios de estadística de sexo masculino y femenino. De 120 hombres, 107 esperaban disfrutar de un trabajo de tiempo completo en un máximo de 6 años. De 141 mujeres encuestadas, 73 tenían esta esperanza. Hallar un intervalo de confianza del 95% para la diferencia entre las proporciones poblacionales

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Ejemplo

• Un fabricante de detergente líquido está interesado en la uniformidad de la máquina utilizando para llenar las botellas. De manera específica, es deseable que la desviación estándar del proceso de llenado sea menor que 0,5 onzas de líquido. De otro modo, existe un porcentaje mayor del deseable de botellas con un contenido menor de detergente. Supóngase que la distribución del volumen de llenado es aproximadamente normal. Al tomar una muestra aleatoria de 20 botellas, se obtiene una varianza muestral

• s2 = 0, 00153 (onzas de fluido)2. Calcule un intervalo de confianza del 90% para σ.

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Inference Concepts Slide #24

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