INTERVALOS DE CONFIANZA

INTERVALOS DE CONFIANZA

Dado que los estimadores puntuales pocas veces serán

iguales a los parámetros que se desean estimar, es posible

darse mayor libertad utilizando estimadores por intervalos

que reciben el nombre de intervalos de confianza.

Definición:

Un intervalo de confianza es un intervalo estimado en el cual

se espera que se encuentre el valor del parámetro θ con una

determinada confianza.

Limite Inferior Limite Superior

CANTIDAD PIVOTAL

Un método muy útil para encontrar intervalos de confianza

se llama método del pivote. Éste consiste en determinar una

cantidad que posea las dos características siguientes:

1. Que sea una función de las medidas muestrales y el

parámetro desconocido θ, donde θ sea la única cantidad

desconocida.

2. Que su distribución de probabilidad no dependa del

parámetro θ.

Si se conoce la distribución de probabilidad de una cantidad

pivotal, se puede usar operaciones algebraicas para formar la

estimación por intervalos que se desea.

EJEMPLO

Suponga que tenemos una sola observación Y de una

distribución exponencial con media θ. Use Y para construir

un intervalo de confianza para θ con un coeficiente de

confianza del 90%.

La función de densidad de probabilidad para Y está dada por

La anterior función se puede transformar en:

donde es una función de Y y θ, y la distribución de

U no depende de θ. Por tanto, podemos emplear a U como

cantidad pivote.

1

, 0y

f y e y

, u 0u

Uf u e

U Y

EJEMPLO

La función de densidad de U aparece graficada

anteriormente. Se busca un estimador de intervalo con

coeficiente de confianza igual al 90%, encontrando dos

números a y b tales que:

0.9P a U b

EJEMPLO

Una forma elegir a y b es:

Estas dos ecuaciones dan como resultado:

Por consiguiente:

Las cantidades encontradas forman los limites de confianza

inferior y superior que se estaban buscando.

0

0.05 y 0.05

a

u u

b

P U a e du P U b e du

1 0.05 y 0.05 0.051 , 2.996a be e a b

0.051 2.996 0.051 2.996 0.9

0.92.996 0.051

YP U P

Y YP

INTERVALOS DE CONFIANZA PARA µ Y µ1-µ2

Los intervalos de confianza para la media están basados en

la suposición de que la muestra se ha seleccionado

aleatoriamente de una distribución Normal.

Casi nunca conoceremos la forma de la distribución

poblacional antes de muestrear, pero un estimador de

intervalo deberá funcionar razonablemente bien aun cuando

la población no sea Normal y el tamaño de muestra no sea lo

suficientemente grande, mientras la desviación no sea

excesiva.

INTERVALOS DE CONFIANZA PARA µ

Sea X una variable aleatoria con distribución N(µ,σ), donde

se esta interesado en la estimación del parámetro µ por

medio de un intervalo de confianza. Se pueden tener dos

casos, dependiendo si se conoce o no la varianza σ2.

Si σ2 es conocida, el desarrollo general para el intervalo es la

siguiente:

Se toma una muestra aleatoria {X1, X2,..Xn}, como X~N(µ,σ)

entonces Xi~N(µ,σ), por lo tanto:

Además conocemos la cantidad pivotal:

~ ,X Nn

~ 0,1X

Z Nn

INTERVALOS DE CONFIANZA PARA µ

Se define el nivel (1-α)% de confianza que se desea.

Ahora se debe encontrar valores de Z tales que:

Si X es Normal entonces Z se distribuye N(0,1), pero en esta

transformación la única v.a. es la media muestral, ya que µ y

σ son constantes, pero en el caso de que no se conozca σ2 se

puede estimar su valor a través del estimador insesgado S2 y

definir como cantidad pivotal a

2 2 2 2

1 %2 2 2

1 1

1

XP z Z z P z z

n

P X z X z IC X zn n n

?X

S n

INTERVALOS DE CONFIANZA PARA µ

Debe tenerse en cuenta que el estimador S2 es una variable

aleatoria y por lo tanto ya no tiene distribución Normal

La distribución probabilística de esta transformación es

conocida y no depende del parámetro µ que se desea estimar;

esto hace que sea una cantidad pivotal que se

puede utilizar cuando no se conoce la varianza de la población.

X

S n

XT

S n

INTERVALOS DE CONFIANZA PARA µ

Sea {X1, X2,..Xn} una muestra aleatoria extraída de una

población normal con media poblacional µ y varianza σ2

desconocidas, entonces la variable aleatoria:

La cantidad T sirve como cantidad pivotal para formar un

intervalo de confianza para µ, donde:

~ con -1 gl/

XT t n

S n

2 2

1 %2

1P t T t

SIC X t

n

Recuerde: Cuando “n es grande” es posible utilizar la distribución

normal

INTERVALOS DE CONFIANZA PARA µ1-µ2

Si se esta interesado en comparar las medias de dos

poblaciones normales cuando se conocen las varianzas de

cada población, su intervalo de confianza viene definido por:

“Aplica también para variables no normales siempre y

cuando los tamaños muestrales n1 y n2 sean relativamente

grandes (TLC)”

2 2

1 21 2 1 21 %

21 2

IC X X zn n

INTERVALOS DE CONFIANZA PARA µ1-µ2

Si se esta interesado en comparar las medias de dos

poblaciones normales cuando el tamaño de muestra es

pequeño y las varianzas de cada población son desconocidas,

su intervalo de confianza viene definido por:

donde:

Para construir este intervalo se requiere la suposición de que

las muestras sean independientes y que

1 21 2 1 21 % ; 2

21 2

1 1* pn n

IC X X t Sn n

2

*)1(*)1(

21

2

22

2

11

nn

SnSnS p

2 2

1 2

INTERVALOS DE CONFIANZA PARA µ1-µ2

En el caso donde las varianzas sean diferentes , el

intervalo de confianza para la diferencia de medias estará

dado por:

donde:

1 2 1 21 % ;2

1 2

1 1* pv

IC X X t Sn n

2 2

1 2

1

22 2

1 2

1 2

2 2 2 21 2 2

1 2

( ) ( )

1 1

S S

n nv

S n S n

n n

EJEMPLO

Los Directivos de una universidad afirman que las calificaciones

del SAT para estudiantes de preparatoria difieren dependiendo del

campo de estudio futuro de los estudiantes. Quince estudiantes que

deseaban especializarse en ingeniería se compararon con 15

estudiantes que deseaban especializarse en idiomas. En la

siguiente tabla se dan las medias y desviaciones de las

calificaciones de la parte verbal y de matemáticas de los exámenes

SAT para los dos grupos de estudiantes:

a) Usted que opina acerca de la afirmación que tienen las

directivas de esta Universidad?

b) Que suposiciones son necesarias para que sean validos los

métodos empleados previamente?

Verbal Matemáticas

Ingeniería

Idiomas

446 42y s

534 45y s

548 57y s

517 52y s

EJEMPLO

Suponga que se requiere evaluar la efectividad de una dieta,

para lo cual se han sometido 8 pacientes durante 5 semanas,

observando su peso al inicio y al final del tratamiento. Con

los resultados que se observan en la siguiente tabla,

considera usted que la dieta es efectiva?

Individuo Inicio Final Diferencia

1 78 74 4

2 79 76 3

3 75 74 1

4 66 69 -3

5 63 58 5

6 70 71 -1

7 66 66 0

8 67 65 2

INTERVALO DE CONFIANZA PARA OBSERVACIONES

PAREADAS

Si y Sd son la media y la desviación estándar muestral de

las diferencias observadas entre n pares de mediciones

aleatorias, y si estas diferencias siguen una distribución

normal, entonces un intervalo de confianza del (1-α)% para

puede obtenerse mediante:

d

1 2D

1; 1;2 2

1;1 %2

1

d dn D n

dD n

s sP d t d t

n n

sIC d t

n

INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA VARIANZA

La varianza poblacional σ2 cuantifica la cantidad de

variabilidad existente en la población. Muchas veces el valor

real de σ2 es desconocido y debe calcularse. Una de las

maneras de estimar este parámetro es mediante un

intervalo al (1-α)% de confianza a partir de una muestra

aleatoria.

La variable aleatoria se distribuye Chi-cuadrado con

(n-1) grados de libertad. Como se puede observar, aunque la

función depende de σ2, su distribución no depende de este

parámetro, lo cual indica que es una cantidad pivotal,

con la cual se pueden construir intervalos de confianza.

2

2

1n S

2

1n

2

2

1n S

INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA VARIANZA

Para construir el intervalo de confianza se deben encontrar

valores tales que:

Como la distribución Chi-cuadrado no es simétrica y la

variable solo asume valores no negativos, se debe encontrar

un par de valores (entre muchos posibles) que satisfaga la

anterior expresión, por ejemplo pueden encontrarse valores

tales que:

De alli que un intervalo al (1-α)% de confianza para σ2 es:

2 2 2

1 211

nP

2 2 2 2

1 21 1 y 1

2 2n n

P P

2 2

2

2 21 %2 1

1 1,

n S n SIC

EJEMPLO

Un experimentador desea comprobar la variabilidad de

mediciones obtenidas al usar equipo diseñado para medir el

volumen de una fuente de audio. Tres mediciones

independientes registradas por este equipo para la misma

fueente de sonido fueron 4.1, 5.2 y 10.2.

a. Que suposiciones deben de realizarse si se quiere estimar

un intervalo de confianza para σ2 ?

b. Estime σ2 con un intervalo al 90% de confianza.

c. Que puede concluir con el intervalo hallado?

OTROS PARÁMETROS Y SUS ESTIMADORES

Parámetro P:

Intervalo de Confianza para la Proporción Poblacional

PPrevalencia de una enfermedad

Porcentaje de pacientes que presentan

complicaciones en una cirugia

2

2

ˆ ˆ(1 )ˆ:

ˆ ˆ(1 )ˆ:

p pLS p Z

n

p pLI p Z

n

#ˆ :

Exitosp

n

Estimación Puntual Estimación Por Intervalo

“Requiere que el tamaño de muestra sea grande (n>30)”

EJEMPLO

El gerente de una empresa de producción asegura que

su proceso genera una proporción de unidades

defectuosas cercana al 8%, al tomar una muestra de su

producto se obtiene que de 200 unidades revisadas, un

total de 15 unidades fueron defectuosas. Con estos

resultados puede corroborarse la afirmación del

productor?. Utilice un nivel de confianza del 92%.

INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA DIFERENCIA DE

PROPORCIONES

Ejemplo: Se cree que la osteoporosis está relacionada con el

genero. Para ello se elige una muestra de 100 hombres de más

de 50 años y una muestra de 200 mujeres en las mismas

condiciones. Se observan 10 hombres y 40 mujeres con algún

grado de osteoporosis.

Que se puede concluir con una confianza del 90%?

1 1 2 2

1 2 1 2 /21 %1 2

ˆ ˆ ˆ ˆ(1 ) (1 )ˆ ˆ( )

p p p pIC P P p p Z

n n

INTERVALOS BASADOS EN DISTRIBUCIONES DE

POBLACIONES NO NORMALES

El intervalo de confianza de t con una muestra para

estimar μ es consistente para desviaciones pequeñas o

incluso moderadas con respecto a la normalidad,

siempre que n sea “grande”.

Si n es pequeña y la distribución poblacional es

bastante anormal, entonces el nivel de confianza real

podría ser muy distinto del se cree se esta usando.

La técnica de remuestreo (bootstrap) ha resultado

bastante exitosa en la estimación de parámetros de una

amplia variedad de situaciones no normales.

EJERCICIOS

La agencia para la protección del medio ambiente en

conjunto con una Universidad de Florida recientemente

realizó un amplio estudio respecto al posible efecto de los

oligoelementos presentes en el agua potable en la formación

de cálculos renales. En la siguiente tabla se presentan los

datos, los cuales se obtuvieron de individuos con problemas

recurrentes de cálculos renales que viven en los estados de

las dos Carolinas y las montañas Rocallosas, respecto a la

edad, la concentración de calcio en el agua potable(medida

en partes por millón) y el habito de fumar:

EJERCICIOS

a. Construya intervalos de confianza al 95%, para el verdadero valor

promedio de la edad para ambos estados.

b. Construya intervalos de confianza al 95%, para el verdadero valor

promedio del calcio para ambos estados.

c. Construya intervalos de confianza al 95% para el verdadero valor de

la diferencia de medias para ambas variables (Calcio y Edad) y la

proporción de fumadores.

d. Construya intervalos de confianza al 95% para los verdaderos valores

de la varianza poblacional, tanto para la edad como para las

concentraciones de calcio.

n

Carolinas 467 45.1 10.2 11.3 16.6 0.78

Montañas Rocallosa 191 46.4 9.8 40.1 28.4 0.61

edadX edadScalcioY calcioS fumadoresp̂

EJERCICIO

Un fabricante farmacéutico compra materias primas de dos

proveedores diferentes. El nivel medio de impurezas es

aproximadamente el mismo para ambos proveedores, pero el

fabricante esta preocupado por la variabilidad en la cantidad

de impurezas entre un embarque y otro. Si el nivel de

impurezas tiende a variar en forma excesiva de una fuente

de abastecimiento, esto podría afectar la calidad del producto

final. Para comparar la variación en el porcentaje de

impurezas para los dos proveedores, el fabricante selecciona

diez envíos de cada uno de ellos y mide el porcentaje de

impurezas de cada envió. Las varianzas muestrales fueron

Con los datos anteriores a que conclusión se puede llegar?

2 2

1 20.273 y 0.094S S