INTERPOLACIÓN Y APROXIMACIÓN

PÓLINOMIAL

SERIES DE TAYLORMÉTODO DE INTERPOLACIÓN Y APROXIMACIÓN POLINOMIO

Es la representación de una función como la suma infinita de términos calculados con los valores de las derivadas de la función en un punto especifico, es decir, tomando el limite de sus sumas parciales

Si esta serie está centrada sobre el punto cero, a=0, se le denomina serie de McLaurin.

CONCEPTO

La serie de Taylor de una función f real o compleja ƒ(x) infinitamente diferenciable en el entorno de un número real o complejo “a” es la siguiente serie de potencias:

APROXIMACIÓN POR POLINOMIOS DE TAYLOR

Ejemplo:

Desarrollo de la serie de Taylor Para el Logaritmo Natural

Para -1<x≤1

APROXIMACIÓN POR POLINOMIOS DE TAYLOR

Esta aproximación tiene tres ventajas importantes:

La derivación e integración de una de estas series se puede realizar término a término, que resultan operaciones triviales

Se puede utilizar para calcular valores aproximados de funciones

Es posible calcular la óptimidad de la aproximación.

VENTAJAS DE LA APROXIMACIÓN

Dado que la igualdad solo se expresa

Podemos escribir el termino del error como

Para algún valor c=c(x) que este entre x y a

CALCULO DEL ERROREjemplo para f(x)=exp(x) para x=1, a=0 y n=15

El valor de c esta entre 0 y 1, por lo que y dado que las sumas parciales están acotadas superiormente por 3, obtenemos:

Por lo tanto las cifras de aproximación e 2.718281828459 son exactas

Se puede obtener aproximaciones a la derivada mediante el uso de las series de Taylor de una función f infinitamente diferenciable en el entorno de a, para k suficiente mediante la formula:

COROLARIOS

EJEMPLO

Para la comprobación usaremos la función ya que su derivada es la misma función exponencial y podemos comprobar la respuesta

Mediante el empleo de la formula anterior y con valor inicial igual a cero para obtener la serie de McLaurin obtenemos

La cual es idéntica a la serie de McLaurin para la función original por lo que se comprueba el corolario

Determine el grado del polinomio de Taylor Pn(x), desarrollado alrededor de a=0, que habria que usar para aproximar cos(33π/32) con un error menor que

EJERCICIO DE APLICACIÓN

INTERPOLAIÓN DE LAGRANGE

INTERPOLACIÓN LINEALCondiciones: 2 puntos Pendiente: Ecuación de la Recta: En forma general:

El matemático francés Joseph Louis Lagrange descubrió que se puede encontrar este polinomio usando un método ligeramente distinto:

Los cocientes de la ecuación en función de x son respectivamente

Usando la notación podemos escribir:

Cuando en un intervalo se conoce con el nombre de Interpolación linealSi se denomina extrapolación.

EJEMPLO 1

Calcular: Vamos a usar los nodos y para construir el polinomio de interpolación lineal Vamos a usar los nodos y para construir el polinomio de interpolación lineal

PARTE 1

Primero calculamos

CALCULAMOS LOS COEFICIENTES POLINOMIOS DE LAGRANGE

REMPLAZANDO EN

PARTE 2

Primero calculamos

CALCULAMOS LOS COEFICIENTES POLINOMIOS DE LAGRANGE

REMPLAZANDO EN

GRÁFICOS

GRÁFICOS

En forma general se puede escribir como:

Que pase por los puntos N+1, donde es el polinomio coeficiente de Lagrange para los nodos definido por:

EJEMPLO 2

Calcular: Vamos a usar los nodos para construir el polinomio de interpolación cuadrático Vamos a usar los nodos para construir el polinomio de interpolación cúbico

PARTE 1

Primero calculamos

Calculamos

PARTE 1

Primero calculamos

COEFICIENTES POLINOMIOS DE LAGRANGE

REMPLAZANDO EN

GRÁFICOS

GRÁFICOS

TÉRMINOS Y COTAS DE ERROR

Donde c es el punto medio de un intervalo

Hay ocasiones en las que resulta útil construir varios polinomios aproximantes P1(x), P2(x)1,.... PN(x) y, después, elegir el más adecuado a nuestras necesi dades. Si usamos los polinomios interpoladores de Lagrange, uno de los inconve nientes es que no hay relación entre la construcción de PN-1(x) y la de PN (x): cada polinomio debe construirse individualmente y el trabajo necesario para calcular polinomios de grado elevado requiere hacer muchas operaciones.

El polinomio se obtiene a partir de usando la recurrencia 

 En este marco se dice que el polinomio dado en la fórmula (4) es un polinomio de Newton con N centros Puesto que involucra sumas de productos de factores lineales, siendo

 el de mayor grado, está claro que es un polinomio de grado menor o igual que N.

Ejemplo. Dados los centros y los coeficientes vamos a calcular y evaluar para k=1, 2, 3 y 4

Ahora evaluamos estos polinomios en x=2.5 y obtenemos =2

Multiplicación encajada• Si N está fijo y tenemos que evaluar el polinomio varias veces, entonces

deberíamos usar multiplicaciones encajadas. El proceso es similar a la regla de Ruffini para polinomios escritos en su forma habitual; la diferencia reside en que a la variable independiente x hay que restarle los centros . El esquema de multiplicaciones encajadas para es

  de manera que, si deseamos evaluar para un valor dado de x, entonces operamos desde dentro hacia afuera formando sucesivamente las cantidades:

•Esta última cantidad es .

Ejemplo: Vamos a calcular el valor de , que apareció en el ejemplo anterior usando el esquema de multiplicación encajada.Usando la formula escribimos

Luego los valores de son

Y por tanto

APROXIMACIÓN POR POLINOMIOS: NODOS Y CENTROSSupongamos que queremos encontrar los coeficientes de todos los polinomios ...,que nos sirven para aproximar una función dada En tonces cada es el polinomio de Newton que tiene como centros los puntos y es también el polinomio de interpolación para los nodos Para el polinomio , los coeficientes y tienen un significado familiar; en este caso, se tiene que

De modo que

Por tanto ahora

De donde se puede despejar :

Por tanto es la pendiente de la línea recta que pasa por los puntos ( y (Los coeficientes son los mismos para así que, para continuar ahora evaluaremos en el nodo y obtenemos

Usando los valores de y :

Por motivos computaciones, escribimos mejor como:

El cálculo de los coeficientes se puede realizar de forma más rápida y sencillaUtilizando la notación de las diferencias divididas

Definición (Diferenciales divididas). Las diferenciales divididas de una función f(x) se define como:

       

     

   

 

Las diferenciales divididas de orden superior se forman de acuerdo con la siguiente formula recursiva:

Regla que se usa para construir la tabla de diferenciales divididas.Los coeficientes de de los polinomios de dependen de los valores de interpolación (con j=0,1,…, k); el siguiente teorema establece que puede calcularse usando las diferencias divididas de f(x);

Teorema (polinomio interpolador de Newton). Supongamos que son N+1 numero distintos de . Entonces existe un único polinomio de grado menor o igual que N tal que

La forma de Newton de este polinomio interpolador es

Siendo

Corolario (Aproximaciones de Newton) Supongamos que es el polinomio interpolador de Newton dado en el teorema y que los usamos para aproximar la función f(x), esto es,

Si , entonces para cada existe un numero en (a, b), tal que el termino del error puede escribirse como

  

Ejemplo: Sea . Vamos a construir la tabla de diferenciales diferencias divididas para los nodos y a calcular el polinomio interpolador de Newton de para los nodos aparecen en la diagonal de a tabla de diferencias divididas y valen, respectivamente

=0        

=1 -0.4596977

     

=2 -0.9564491

-0.2483757    

=3 -0.5738457

0.1913017 0,1465592  

=4 -0.653653 0.3363499 0.450973 0,0879318 -0.0146568

Tabla de diferencias divididas usada para construir los polinomios interpoladores de Newton

Usaremos para calcular los coeficientes de y los cuatro polinomios interpoladores de newton

=2

GRAFICA DE Y=COS(X) Y DEL POLINOMIO INTERPOLADOR LINEAL Y=P1(X) PARA LOS NODOS X0=0 Y X1=1

FIGURA (B) Y=COS(X) Y DEL POLINOMIO INTERPOLADOR DE NEWTON CUADRÁTICO Y=P2(X) PARA LOS NODOS X0=0 Y X1=1 X2=2

POLINOMIOS DE CHEBYSHEV

Polinomio que interpola la función f(x) , definida en [-1,1]Con los nodos El polinomio interpolador tanto en su forma de Lagrange como en la forma de Newton cumple:

Error

 

Relación de Recurrencia

 

PROPIEDADES

Coeficiente Líder

SIMETRÍA  

 

REPRESENTACIÓN TRIGONOMÉTRICA

Ceros simples en [-1,1] o Nodos de CHEBYSHEV

Valores extremos

TeoremaSupongamos que N esta fijo. Entre todas las posibles elecciones del factor Q(x) en la ecuación (2), el polinomio

Es más,

EJEMPLOSe aproxima la función por un Polinomio de N=3 con nodos equiespaciados por LagrangeCalculamos los coeficientes de Lagrange

Evaluamos la funcion en los respectivos nodos

Multiplicamos los coeficientes por la función evaluada en el respectivo nodo

Se aproxima la función 𝒇ሺ𝒙ሻ= 𝒆𝒙 por un Polinomio de N=3 con nodos de CHEBYSHEV

𝑥0 = 𝐜𝐨𝐬൬𝟕𝝅𝟖൰ 𝑥1 = 𝐜𝐨𝐬൬𝟓𝝅𝟖൰ 𝑥2 = 𝐜𝐨𝐬൬𝟑𝝅𝟖൰𝑥3 = 𝐜𝐨𝐬ቀ𝝅𝟖ቁ

 Calculamos los coeficientes de Lagrange con los nodos de Chebyshev

Evaluamos la función en los nodos de Chebyshev

 

|

 Sacamos la primera derivada e igualamos a cero

 

𝑬𝒓𝒓𝒐𝒓 𝒎𝒂𝒙𝒊𝒎𝒐=|𝒆𝒙−𝑷 (𝒙 )|≤𝟎 .𝟎𝟎𝟗𝟗𝟖𝟒𝟖𝟏𝒑𝒂𝒓𝒂−𝟏≤ 𝒙 ≤𝟏

|

 

Nodos de CHEBYSHEV en otros intervalos. 

 

 

|𝒇 (𝒙 )−𝑷𝑵 (𝒙 )|≤( 𝝅𝟏𝟔 )𝟔

( 𝟐𝟔 ! )𝟐−𝟏𝟐≤𝟓 .𝟔𝟐𝟕𝟕𝟏𝟏𝟕𝟔𝟒𝟎∗𝟏𝟎−𝟖

El error se calcula de la siguiente expresión.

𝑼𝒔𝒂𝒏𝒅𝒐𝒍𝒂𝒄𝒐𝒕𝒂∨ 𝒇 𝟓+𝟏 (𝒙 )∨≤∨−|𝒔𝒆𝒏( 𝝅𝟒 )|=𝟐−𝟏𝟐

APROXIMACION DE CHEBYSHEV

 

 

j=1,2….N

+++=1.26606568

==1.13031500

==0.24175036

==0.04379392

𝑷ሺ𝒙ሻ= 𝟏.𝟐𝟔𝟔𝟎𝟔𝟓𝟔𝟖𝑻𝟎ሺ𝒙ሻ+ 𝟏.𝟏𝟑𝟎𝟑𝟏𝟓𝟎𝟎𝑻𝟏ሺ𝒙ሻ+ 𝟎.𝟐𝟒𝟏𝟕𝟓𝟎𝟑𝟔𝑻𝟐ሺ𝒙ሻ+ 𝟎.𝟎𝟒𝟑𝟕𝟗𝟑𝟗𝟐𝑻𝟑ሺ𝒙ሻ

𝑷 (𝒙 )=𝟎 .𝟗𝟗𝟒𝟔𝟏𝟓𝟑𝟐+𝟎 .𝟗𝟗𝟖𝟗𝟑𝟑𝟐𝟑 𝒙+𝟎 .𝟓𝟒𝟐𝟗𝟎𝟎𝟕𝟐 𝒙𝟐+𝟎 .𝟏𝟕𝟓𝟏𝟕𝟓𝟔𝟗 𝒙𝟑

CODIFICACIONES EN MATLAB

SERIE DE TAYLOR

Ejercicio de AplicaciónDetermine el grado del polinomio de Taylor Pn(x), desarrollado alrededor de a=0, que habria que usar para aproximar con un error menor que

CALCULO DEL ERROR

POLINOMIO DE LAGRANGE

POLINOMIO DE NEWTON

POLINOMIO DE CHEBYSHEV