Manual de Interpolacion 2015

8/17/2019 Manual de Interpolacion 2015

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CUADERNO DE TRABAJO

Dr. Luz Maria Zuñiga Medina

5. Calcula la matriz inversa de las siguientes matrices usando el método de Gauss-Jordan:

i) ii)

6. Usa el método de Gauss-Seidel hasta que %1a para aproximar lasolución del siguiente sistema de ecuaciones:

7. Usa el método de Gauss-Seidel hasta que %1a para aproximar la solucióndel siguiente sistema de ecuaciones:

8. Considerar el sistema

x 1 + 2x 2 + 4x 3 = 15

4x 1 + x 2 + x 3 = 9

2x 1 + 4x 2 + x 3 = 16

a) Reorganizarlo de tal manera que la matriz del sistema sea E.D.D. o lo másparecido a una matriz de esta forma.b) Obtener paso a paso, en aritmética exacta, las matrices de iteración de losmétodos de Jacobi y Gauss-Seidel. Además, dar las fórmulas matriciales deiteración para ambos métodos.

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/b/b2/Interpolaci%C3%B3n_lineal.svghttp://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/b/b2/Interpolaci%C3%B3n_lineal.svghttp://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/b/b2/Interpolaci%C3%B3n_lineal.svg


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CUADERNO DE TRABAJO


9. Considerar el siguiente sistema lineal:

4x 1 - x 2 + x 3 = -14

- x 1 - 2 x 2 + x 3 = 5

2x 1 + x 2 - 4x 3 = 19

a) Para el sistema dado, obtener la matriz de iteración del método de Jacobi (B J )y el vector de términos independientes (b J ). Concluir si el proceso iterativo deJacobi converge o no. Justificar. Utilice aritmética exacta.b) Para el sistema dado, obtener la matriz de iteración de Gauss-Seidel (B G-S ) y elvector de términos independientes (b G-S -). Concluir si el proceso iterativo deGauss-Seidel converge o no. Utilice aritmética exacta.

10. Usar un procedimiento iterativo para aproximar soluciones a sistemas linealesy en el caso del sistema

x 1 + 2x 2 + 4x 3 = 15

4x 1 + x 2 + x 3 = 9

2x 1 + 4x 2 + x 3 = 16

Calcular dos iteraciones, tomando X(0) = (0,0,0)T . Examinar la convergencia odivergencia del procedimiento iterativo que usted escogió. Conclusión y

justificación. Si cree que es conveniente reorganizar el sistema antes de efectuar

cálculos, hágalo. Justificar su decisión.

11. Para el sistema lineal siguiente:

3x 1 - 2x 2 + 5x 3 = 2

3x 1 - x 2 - x 3 = - 4

x 1 + 4x 2 + 2 x 3 = - 3

Si alguno de los métodos iterativos de Jacobi y Gauss-Seidel resulta convergentepara el sistema dado, calcule dos iteraciones. Dar la matriz de iteración para los

métodos iterativos de Jacobi y Gauss-Seidel. Justificar la convergencia. Dejarindicadas las sustituciones numéricas antes de realizar cálculos.



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12. De las siguientes Matrices

a)

b)

c) A =

d) A =

Obtenga la descomposición de LU, Doolittle y Cholesky

13. Obtener la solución de los siguiente sistemas

a) ....

b)



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c)

d) =

e) A =

97922555

2255515

55156

y C=

100

150

100

a)

Obtenga la descomposición de LU, Doolittle y Cholesky ,imponiendo restricciones apropiadas sobre a de modo que exista ladescomposición anterior.

b) Resuelva el sistema dado.

Unidad 5 “Interpolacion Y Minimos Cuadrados”

Nota: Para todos los cálculos utiliza minimo 5 cifras redondeo (R 5 )

1. Para el conjunto de valores tabulados (regularmente espaciados), se pide: A) Obtener el polinomio de Newton.

B) En este caso determinar el polinomio de Hermite considerando que los puntos

pertenecen a la función Y(x)= seno(x). (x en radianes)

X Y

2.0 0.909



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2.2 0.808

2.4 0.675

2.6 0.5162.8 0.335

3.0 0.141

2. Calcular el polinomio de Lagrange y de Newton usando los siguientes datos y Graficarlo:

3.- Calcular el polinomio Interpolante de Newton (diferencias divididas) y de Lagrange usando los

siguientes datos y Graficar junto con el polinomio del ejercicio 7:

4. Comprobar que el volumen de un metal determinado y su volumen se relacionan calculando unpolinomio de Lagrange de la siguiente Información:

Volumen (cm3) X 1 3 5 8

masa (g) Y

7.723.1 38.5 61.6

5. Hallar el valor de la función para x = 0.75 usando un polinomio interpolador deLagrange de grado 2, realizar ahora la interpolación mediante el método de las DiferenciasDivididas de Newton.

Usamos los siguientes datos: , ,

6. Calcular el polinomio Interpolante de Taylor de grado 4 para f(x) = 3xe x – 2e x, con x0=1, x1=1.05 y x2= 1.07. Graficarlos (función y polinomio juntos).

7. Calcular P 3 (x) - el Polinomio de Taylor de orden 3 - alrededor de a=0, para f(x) = (1+x) 1/2 .

Graficarlos (función y polinomio juntos).

7a. Hallar el polinomio de Taylor, de grado n , en x = a, de la función f(x) en los siguientes casos:

Valor

de xDerivadas Polinomio de Taylor



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f(x) a n

xex 1 4

cosx π /4 3

Ln x 1 4

xsenx π /2 3

tgx π /4 3

8. Calcula la recta de mejor ajuste para los siguientes datos:

i)8.74.235.0

4122

y

x

ii)129603

5.12.19.06.03.0

y

x

9. Calcula el polinomio de Lagrange para los siguientes datos:

i)9.857.254.356.1

5321

y

x

ii)033529

4215.05.1

y

x

10. Calcula el polinomio de Newton para los siguientes datos:

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/b/b2/Interpolaci%C3%B3n_lineal.svghttp://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/b/b2/Interpolaci%C3%B3n_lineal.svghttp://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/b/b2/Interpolaci%C3%B3n_lineal.svghttp://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/b/b2/Interpolaci%C3%B3n_lineal.svg


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i)20540

312

y

x

ii)406420

7325

y

x

11. Considere la siguiente tabla, donde x0 ≠ x1

x x0 x1y y0 y1

Deducir la fórmula para el polinomio de Lagrange de grado a lo más uno que Interpola la tabla.

12. Considere la siguiente tabla

x 0 1 2 4y 1 1 2 5

¿Cuántos polinomios de grado a lo más tres interpolan la tabla? Justificar su respuesta.Calcular el polinomio de Newton de grado a lo más tres que interpola la tabla. Hágalo de dosmaneras: Paso a paso (constructivamente) y mediante la tabla de diferencias divididas.

14. Considere la tabla:

x 0 1 2 4y=f(x) 1 1 2 5

Obtener el polinomio de Newton de grado a lo más tres que interpole la tabla dada.

15. Considere la función f (x) = 2 x / 2 para x € (-∞, ∞).a) Calcular el polinomio p(x) que interpola a f(x) en los nodos x0 = 0, x1 = 1, x2 = 2 y x3 = 3b) Calcular el error relativo que se comete al aproximar f(3/2) mediante p(3/2).

16.



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17.

18.

EJERCICIOS PROPUESTOS DE APLICACIONES

1. El número de turistas que visitaron España en el periodo 1975-1990 está reflejado en la

siguiente tabla:

Años 1975 1980 1985 1990

Millones de turistas 24,1 30,1 38,1 43,2

Calcular, utilizando un polinomio de interpolación adecuado (cuadrático, al menos), el número

de turistas que visitarán España en 1995.

2. En la tabla siguiente se indica el tiempo (en días) y el peso (en gramos) de tres embriones

de cierta especie animal:

Tiempo3 5 8

Peso 8 22 73

a) Obtener el polinomio de interpolación de 2º grado correspondiente.



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b) Determinar, a partir de dicho polinomio, el peso que correspondería a un embrión de 6,5

días.

3. Dada la siguiente tabla, obtener el polinomio de interpolación de 2º grado, el valor de

.

x 0 1 2

1 1,4142 1,7321

4. De una función f(x) se conocen los valores f(1)=0, f(2)=4, f(5)=52. Hallar el correspondiente

polinomio cuadrático de interpolación. Estimar el valor de la función en x=3 y en x=6. (Sol.

P(x) = 3x2 –5x +2, P(3)=14 y P(6)=80)

5. Dada la tabla de la función y = f(x)

x 1 2 3 4

f(x) 2 -1 6 0

Calcular el error cometido cuando se calcula f(4) mediante la interpolación cuadrática, obtenida

usando los otros valores de la tabla.



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