8/9/2019 INSA Toulouse 1A Mecanique Du Point Examen Mai 2008 Correction

1/2

ere

nd

L = OM m.v

OM = 0. e v = 0.. e L = m.20.. ez

M =

i

OM Fi OM = 0. e F1 = P = m.g.ey F2 = T = T. e

M = 0. e (m.g.ey) + 0. e (T. e) =0

= m.g.0. ( e ey) = m.g.0. sin( ). ez = m.g.0. sin(). ez

M = ddtL

m.g.0. sin(). ez = ddt

m.20.. ez

= m.20.. ez +

g0

sin = 0

= g0 [] = [L].[T]2

[L]1/2 = [T]1

ex = cos . ex + sin . ey ey = sin . ex + cos . ey

OM = R2 cos . ex + R2 sin . ey v(M/) = R2.. sin . ex + R2.. cos . ey

a(M/) = R2.2. cos . ex R2.2. sin . ey

e = e. ez = . ez

v(M/) = R1.

. sin . ex + R1.. cos . ey

ddt ( OO)

+ R2.. cos .

ey R2.

. sin .

ex

e OM

+R2.. sin .

ex + R2.

. cos .

ey

v(M/)

v(M/) = R1.. sin . ex + R1.. cos . ey 2R2.. sin . ex + 2R2.. cos . eyv(M/) =

R1.. sin 2R2.. sin2

. ex +

R1.. cos + 2R2.. cos2

. ey

a(M/) = R1 .2. cos . ex R1.

2 . sin . ey

d2

dt2

OO

+ 0

d edt

OM

+

R2 .2. cos . ex R2.

2 . sin . ey

e( eOM )

+

2.R2.2. sin . ey 2.R2 .

2. cos . ex

2 ev(M/)

+

R2 .2. sin . ey R2 .

2 . cos . ex

a(M/)

a(M/) = R1.2. cos . ex R1.2. sin . ey 4R2.2. cos . ex 4R2.2. sin . ey

a(M/) = R1.2. cos . ex R1.2. sin . ey 4R2.2. cos2. ex 4R2.2. sin2. ey

a(M/) =R1.2. cos 4R2.2. cos2

. ex +

R1.2. sin 4R2.2. sin2

. ey

OM = OO + OM = R1 cos . ex + R1 sin . ey OO

+ R2 cos . ex + R2 sin . ey

OM

OM = R1 cos . ex + R1 sin . ey + R2 cos2. ex + R2 sin2. ey

OM = (R1 cos + R2 cos2) . ex + (R1 sin + R2 sin2) . ey

ddt

OM

=

R1.. sin 2R2.. sin2

. ex +

R1.. cos + 2R2.. cos2

. ey

d2

dt2

OM

=

R1.2. cos 4R2.2. cos2

. ex +

R1.2. sin 4R2.2. sin2

. ey

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P2 = m.g.ey UP = m.g.y + Cte R2 = +m.g.ey

N = N. ex

F = k.x.ex U1 = 12 .k.x2

f = f. v||v|| = f. ex f Uf = f.x + Cte

|| vf1 || = 0 || vf2 || = vi1

Eif Eic =

WF =xM0

F . d +xM0

f . d =xM0

dU1 +xM0

f ex.dx. exEfc Eic = 12k.x2M f.xM Efc = 0 x = xM

1

2

m. vi

12

=

1

2

k.x2

M f.xM

12k.x

2M + f.xM 12m.(vi1)2 = 0

g

V = .R2. (H z)

M = ..V

A = ..V.g = ..g..R2. (H z) A = . (H z) . ez = ..g..R2

P = m.g.ez A = . (H z) . ez

a = z. ez

F = m.a

P + A = m.a m.g.ez + . (H z) . ez = m.z. ez z

z + m .z =.H

m g

z(t) =

C1.ei

m .t + C2.e

i

m .t

zp = Cte

zp = H

m.g

z(t) = C1.ei

m .t + C2.e

i

m .t + H m.g

z(t = 0) = z0 z(t = 0) = 0 C1 + C2 + H m.g = z0 C1 C2 = 0 C1 = C2 =

z0H+mg

2

z(t) =

z0 H + mg

cos

m .t

+ H m.g

=

m =

..g..R2

m =

10001.6103.140.052

31.4=

10001.6103.140.0025

3.1410=

1.6 2.5 = 4 = 2 s1 T = 2. = s