MecaniquedusolideetMecaniqueanalytique1Decembre Ch.Duval2Figure1Joseph-LouisLagrange1. Enseignement de la Licence de Physique de Luminy2. DepartementdePhysique, UniversitedelaMediterranee&CPT-CNRS, Luminy,Case 907, F13288 Marseille, Cedex 9, FRANCE; mailto : duval@cpt.univ-mrs.friiTabledesmati`eresIntroduction vii1 LesequationsdeLagrange 11.1 Uneintroductionheuristique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Illustration:EquationsdeFermat. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.3 EquationsdeLagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.3.1 Formalismeintrins`eque. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.3.2 Exercicesillustratifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.3.3 Liaisonsholonomes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.3.4 Lecouplageminimalauchamp electromagnetique . . . . . . . 142 LesequationsdeHamilton 172.1 Equationscanoniques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.1.1 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.1.2 Lecouplageminimalauchamp electromagnetique . . . . . . . 212.2 CrochetsdePoissonettransformationscanoniques . . . . . . . . . . 222.2.1 CrochetsdePoisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.2.2 Structuresymplectique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.2.3 Transformationscanoniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273 Mecaniquedessyst`emesenrep`eresmobiles 313.1 Legroupeeuclidien. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313.1.1 Espaceeuclidien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31iiiiv TABLEDESMATI`ERES3.1.2 Isometrieseuclidiennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333.2 Changementsdereferentielsnoninertiels . . . . . . . . . . . . . . . . 363.2.1 Prolegom`enes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363.2.2 Considerationsmecanistes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393.2.3 Loidetransformationdelavitesse . . . . . . . . . . . . . . . 403.2.4 Loidetransformationdelacceleration . . . . . . . . . . . . . 413.2.5 Forcesinertielles:introductiongenerale . . . . . . . . . . . . 423.2.6 Exemple:chutelibreetdeviationverslest . . . . . . . . . . 443.2.7 Exemple:lependuledeFoucault(1819-1868) . . . . . . . . . 464 Mecaniquedusolide 494.1 Dynamiquedessyst`emes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 494.1.1 Theor`emegeneralI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 494.1.2 Theor`emegeneralII . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 504.2 Congurationssolides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 524.2.1 Espacedeconguration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 524.2.2 Champdevitessedanslessolides . . . . . . . . . . . . . . . . 534.3 Cinetiquedessolides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 544.3.1 Centredinertie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 544.3.2 Operateurdinertie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 564.3.3 Energiecinetiquedusolide. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 614.3.4 Dynamiquedusolide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 624.3.5 Loisdelastatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 644.4 EquationsdEuler&mouvementsdePoinsot. . . . . . . . . . . . . . 664.4.1 EquationsdEuler. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 664.4.2 Exemple:latoupiesymetrique . . . . . . . . . . . . . . . . . 684.4.3 MouvementsdePoinsot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 684.5 ToupiedeLagrange. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 724.5.1 AnglesdEuler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 724.5.2 LagrangiendelatoupiedeLagrange . . . . . . . . . . . . . . 744.5.3 MouvementsdelatoupiedeLagrange . . . . . . . . . . . . . 76Bibliographie 81vi TABLEDESMATI`ERESIntroductionNous allons, cette annee, aborder dans le cours de Mecanique du solide etMecaniqueanalytiquelaformulationmodernedes principes delamecaniquedessyst`emesdynamiques`aunnombreni dedegresdeliberte. LeLecteurconsulteraavecprotlesouvragesclassiques[1,10]quiontinspirececours.Le formalisme mathematique de la mecanique rationnelle developpe par Joseph-LouisLagrange(17361813)dansuncorpusscientiqueconsiderable, notammentsaMecanique analytique (1788), aconduit `aunegeneralisationdes principes delamecaniquenewtonienne` adessyst`emesdynamiquespluselaboresquecelui dusimplepointmateriel.Leformalismelagrangienquenousallonsintroduiretiresonorigine duprincipe des travauxvirtuels (dAlembert, Maupertuis) qui arecours` alanotiondemouvementsvirtuelsdunsyst`emepourdeterminerle mouvement. . . reel decesyst`eme. Danslecasdesyst`emessoumis` adesforcesconservatives,lesequationsdeLagrange(equationsdumouvement)sontderiveesduneseuleetuniquefonction, lelagrangienL, sansavoir ` aprendreenconsiderationlesforcesde liaisons (holonomes) souvent tr`es complexes. Do` uune simplicationconcep-tuelleetpratiquedelamiseen equationdesprobl`emesmecaniques.Ceformalismeestegalementgeometriquecarindependantduchoixdunsyst`emedecoordonnees(generalisees) ; do` uuneextensionnaturelleaucasdespacesdecongurationtr`esgeneraux(varietesdierentiables).Nousemailleronscettepartieducoursdenom-breuxexemplesillustratifs,notammentleprobl`emedesNcorps,lespendules,cer-tainssyst`emes` aliaisonsholonomes,lecouplageminimalduneparticulechargee`aunchamp electromagnetiqueexterieur,etc.viiviii INTRODUCTIONLautre approche de la mecanique des syst`emes que nous aborderons concerne leformalismehamiltonien(SirWilliamRowanHamilton, 18051865)introduitdansuneseriedetravaux,notammentdanssonarticleOnaGeneralMethodinDyna-mics(1834).AlorsqueleformalismelagrangienmettaitenjeuunefonctionLdelespace tangent ` a lespace de conguration du syst`eme (espace des couples position-vitesse), leformalismehamiltonienaegalementrecours` auneuniquefonction, H,maisdeniecettefois-ci surlespacecotangent ` alespacedeconguration(espacedescouplesposition-impulsion) ;cettefonctionestlhamiltoniendusyst`emeetcor-respond`alenergieougenerateurdelevolutiontemporelledusyst`eme.L`aencore,latheoriehamiltonienneadmetdesgeneralisationsgeometriques(varietessymplec-tiques,varietesdePoisson).Lesmethodesmodernesdequantication(decrivantlepassagedunedescriptionclassique`aunedescriptionquantiquedeluniversphysi-que)utilisentleformalismehamiltoniendemani`erefondamentale.Ces dierents aspects de lamecanique analytique trouvent naturellement unchampdapplicationdans lechapitreimportant delamecaniquerationnellequeconstituelamecaniquedusolide(Euler, Poinsot, Lagrange, Kovalewski, etc.). Lesmouvementsducorpsrigide(parexempleunetoupie)sonttr`esrichesetleur etudesubtile. Lefaitquelecorpssolidenepresentepas, engeneral, desymetriesparti-culi`eresconduit` alanotionimportantedoperateurdinertie servant` adecriresesdierentsmouvementsenpresenceounondeforcesexterieures. Lacongurationdun solide sera, nous le verrons, determinee par les elements dun groupe, le groupeeuclidien SE(3), de lespace euclidien tridimensionnel : la position dun point originedu solide et lorientation generale du solide par rapport `a ce point. Letude des chan-gements de referentiels (passage Laboratoire-Solide) parametres par le temps est uneetudeobligeeetrichedenseignements(mecaniquedanslessyst`emesnoninertiels ;parexempleletudedupenduledeFoucault,desouragansettyphons,etc.).Lady-namique dun solide libre avec point xe sera etudiee gr ace aux theor`emes generauxde la mecanique et aussi dans le cadre hamiltonien (equations dEuler). Le probl`emeixdelatoupieavecunpointxe,plongeedanslechampdepesanteur,estassocieaunom de . . . Lagrange : letude de certains des mouvements de la toupie de Lagrangesera egalementabordee.Lechampdapplicationdeletudeducorpssolideestvasteet important nonseulementsurleplandelamecaniqueabstraite1(aliasanalytique)maisaussi etsurtoutenmecaniqueappliqueeo` usont` aluvrelesphenom`enesgyroscopiques.2Citons,` atitredexemples,lesgyrocompasouboussolesgyroscopiquesdeterminantlenord(deuxdegresdeliberte), lesgyroscopesservant` astabiliserlessatellites, `adeterminer lhorizon articiel dans les avions, etc. La stabilisation des (moto)cyclistesresulte aussi de leet gyroscopique. Rappelons enn que lexplication du phenom`enede precession des equinoxes (precession de laxe de rotation de la terre toupie apla-tiesousleetdesforcesdemareesduesausoleil et`alaluneavecuneperiodede25800ansautourdelaperpendiculaireauplandelecliptique)rel`eveencoredelamecaniquedusolide.Mes plus sinc`eres remerciements vont ` aJean-PhilippeMichel pour salectureattentiveetcritiquedumanuscritdececours.1. Certaines toupies constituent des exemples de syst`emes dynamiques integrables, i.e. resolublespar quadratures, et un champ de recherche privilegie en mathematiques et physique mathematique ;laspect quantique de ces syst`emes integrables est un objet detude actuellement tr`es actif.2. Enlabsence de moment de forces exterieures, unsolide poss`ede unmoment angulaireconstant ; do` ulimportancedesdispositifsmettantenjeudesgyroscopespourlastabilisationdes vehicules terrestres, maritimes et aeriens.x INTRODUCTIONChapitre1LesequationsdeLagrange1.1 UneintroductionheuristiqueConsiderons pour (bien) debuter les trajectoires r(t) possibles dune particule demasse m se depla cant sous linuence dun champ de forces exterieur F derivant, parexemple, dun potentiel V (r) independant du temps t. Les equations du mouvementdeNewtonsecrivent,onlesait,mr(t) = F(r(t)) avec F = grad(V ) (1.1.1)o` ugrad(V ) = V/rdesignelegradient1delafonctiondierentiableV .DesignonsparT =12m| r|2lenergiecinetiquedelaparticule ; ellevarie, biens ur, aucours dutemps lelongdechaquetrajectoirer(t). Lepotentiel etant icistationnaire,i.e.V/t,lenergietotaleestuneconstantedumouvement:H= T+V= const. (1.1.2)Exercice1.1.1. Verierlaloideconservationdelenergie(1.1.2).1. Abus usuel de notation : on devrait ecriregrad(V ) =Vro` u la barre designe la transposition ; on note v w = v, w) le produit scalaire ordinaire (euclidien)de v, w R3et |v| =_v, v) la norme de v R3.12 CHAPITRE1. LESEQUATIONSDELAGRANGEConsiderons,maintenant,lanouvelleexpressionL = T V (1.1.3)denie par letrange dierence de lenergie cinetique, T, et de lenergie potentielle, V .Cette expression est clairement une fonction L(r, r) de la position r et de la vitesse rdelaparticule.OntrouvefacilementL r= m r etLr= Vrdesortequelesequations deNewton(3.2.22) peuvent sereecriredelamani`eresuivantemr +Vr=ddt_L r_Lr= 0.Nousavonsdoncprouveleresultatsuivant:Denition-Theor`eme 1.1.1. Soit T lenergie cinetique dune particule plongeedansunpotentiel V; onappellelagrangiendusyst`emelafonctionL=T V .Lesyst`emedesequationsdumouvement deNewtonestequivalent ausyst`emedesequationsdeLagrangeddt_L r_Lr= 0 &drdt= r (1.1.4)Remarque1.1.2. Letheor`emeprecedent reste, bienentendu, valabledanslecasgeneral dunpotentiel V (r, t)dependantexplicitementdutemps.Exercice 1.1.3.Soit L(r, r) =12 m(| r|22|r|2) un lagrangien deni sur R3R3;ecrire les equations de Lagrange. Endonner lasolutiongenerale. Interpretationphysique ?Exercice1.1.4. SoitL(r, , r,) =12( r2+ r2 2) ;ecrirelesequationsdeLagrange.Donner la solution generale (r(t), (t)) de ce syst`eme dequations dierentielles. Querepresententcescourbesduplaneuclidien ?Exercice1.1.5. TrouverlexpressiondulagrangienL(,)dunpendulesimpledemassem,longueurdanslechampdepesanteurg= const.1.2. ILLUSTRATION:EQUATIONSDEFERMAT 31.2 Illustration:EquationsdeFermatUnexempleimportant utilisant lesequations deLagrangeconcerneloptiquegeometrique dans la formulation quen a donnee Pierre de Fermat (1601-1665). SelonlePrincipedeFermat,lesrayonslumineuxsepropagentdansunmilieudindicede refraction n(r) variable selon des courbes minimisant le chemin optique entre deuxpointsquelconques. Ceprinciperevient, onleverra, `adecrirelesrayonslumineuxparlessolutionsdes equationsdeLagrangepourlelagrangienL(r, r) = n(r) | r|. (1.2.1)Celagrangiensinterpr`etecommelecheminoptiqueelementaire, n s, parcouruparlalumi`eredansunmilieudindicen` alavitesse(scalaire) s=ds/dt ; ici testunparam`etre decrivant les rayons lumineux(courbes de lespace euclidienE3) et sdesignelabscissecurvilignedenieparlaprimitivesuivantes =_| r| dt.Nousnoteronsu =drds= r| r|lavitesseunitaire.2Les equationsdeLagrange(1.1.4)prennentalorslaformeddt_L r_Lr=ddt_n(r) r| r|_nr | r| = 0ouencoredds[nu] dsdt= gradn dsdtpuisqueds/dt = | r| > 0(onneconsid`erepaslespointsderebroussement).2. Attention: lavitessedepropagationdelalumi`ereest bieninnie( !) dans lecadredeloptiquegeometriquesi t designeletempsgalileen. Danscet exemple t est, soulignons-le, unparam`etre arbitraire servant `a decrire les rayons lumineux. Rien `a voir avec le temps . . .4 CHAPITRE1. LESEQUATIONSDELAGRANGEProposition 1.2.1.Les equations de Fermat gouvernant loptique geometrique sontdonnees par les equations de Lagrange pour le lagrangien (1.2.1) et prennent la formedds[nu] = gradn &drds= u (1.2.2)Corollaire1.2.2. Danslevide,n = 1,lesrayonslumineuxempruntentlesdroites(geodesiques)euclidiennesdequationparametriquer(s) = r(0) s +r(0)pourtouts R.Exercice1.2.3. Supposonsquelindicederefractionsoit,dansleplan,donneparlafonctiondiscontinuen(x, y) =_n1(y> 0)n2(y 0)o` un1etn2sontdeuxconstantes(positives).Deduiredes equations(1.2.2)lesLoisdeDescartes3n1sin i1= n2sin i2(refraction)i1= i2(reexion)o` ui1eti2sontlesanglesorientesformesparlesrayonslumineuxetlanormaleeyaudioptrey =0. ^.B. Nepas chercher `adeterminer legradient delindicederefraction(carcetindicenestpasunefonctioncontinue !).Exercice1.2.4. Determinerlestrajectoiresdesrayonslumineuxdansledemi-plansuperieur,H+= (x, y) R2[ y> 0,silindicederefractionestn(x, y) = 1/y.1.3 EquationsdeLagrange1.3.1 Formalismeintrins`equeNousavonsintroduitlesequationsdeLagrange(1.1.4)dansuncasreellementtr`es particulier (cas dune particule non relativiste dans un potentiel exterieur) et, deplus,dansunsyst`emedecoordonneesspecial(lescoordonneescartesiennesde Rn,pour n = 1, 2, 3, . . .). Les questions suivantes viennent alors naturellement ` a lesprit :3. Ces lois sont souvent attribuees `a Snell & Descartes.1.3. EQUATIONSDELAGRANGE 51. Peut-on generaliser les equations de Lagrange au cas des syst`emes quelconques` aunnombreni dedegresdeliberte(e.g. leprobl`emedesNcorpseninter-actionsmutuelles) ?2. LesequationsdeLagrangeposs`edent-ellesuncaract`ereintrins`eque(indepen-dantdusyst`emedecoordonneeschoisisurlespacedeconguration) ?Lareponse`alapremi`erequestionseraapporteeparlesnombreuxexemplesquiemailleront la suite de lexpose. Quant ` a la deuxi`eme question, la reponse est fournieparlaProposition1.3.1. Soit(q1, . . . , qn)unsyst`emedecoordonneesarbitrairesurles-pacedecongurationdunsyst`ememecanique.Lesmouvementsdecesyst`emesontdonnesparlessolutionsdesequationsdeLagrangeddt_L qi_Lqi= 0 &dqidt= qii = 1, . . . , n (1.3.1)avec L=T V , o` uT designe lenergie cinetique et V lenergie potentielle dusyst`eme.Demonstration. Nous nous limiterons `a un syst`eme ` a un degre de liberte, n = 1. Lageneralisationaucasn > 1estlaisseeenexercice.Consideronsdoncunchangementdecoordonneesarbitraireq q=Q(q)o` uQ: R Restuneapplicationmonotone(undieomorphismelocal),i.e.veriantpartout q/q Q

(q) ,= 0. Le lagrangien sexprime ainsi dans chacun des syst`emesdecoordonneesselonL=f(q, q)=f(q, q). Notonsquepourtoutecourbeq(t)onadq/dt =d(Q(q))/dt =Q

(q) dq/dt deriveedunefonctioncomposee. Latransformationdescoordonneesdecongurationetdevitesseest,endenitive,_q q__q= Q(q) q= Q

(q) q_(1.3.2)6 CHAPITRE1. LESEQUATIONSDELAGRANGEOntrouveaisement,cf.(1.3.2),L q=Lqq q+L q q q=L q Q

(q)puisqueq/ q= 0.DautrepartLq=Lqqq+L q qq=Lq Q

(q) +L q Q

(q) qOnobtientdoncddt_L q_Lq=ddt_L q Q

(q)_Lq Q

(q) L q Q

(q) q=ddt_L q_Q

(q) +L q Q

(q) q Lq Q

(q) L q Q

(q) q=_ddt_L q_Lq_Q

(q)Si lesequationsdeLagrange(1.3.1)sontverieesdanslescoordonnees(q, q), ellesleserontautomatiquementdanstoutautresyst`eme(q, q)obtenuparundieo-morphisme(1.3.2)decoulantdelaconditionQ

(q) ,= 0.1.3.2 ExercicesillustratifsLebut decesous-chapitreest defournir, sous formedexercices relativementdetailles, des exemples de probl`emes physiques mis en equation gr ace au formalismelagrangien.Lesyst`emenewtoniendestroiscorpsConsiderons le syst`eme de trois corps M1, M2et M3, de masses m1, m2et m3, eninteractiongravitationnellemutuelle. Lepotentiel dinteractionnewtonienneentrelespointsMietMj(aveci ,= j)estdonneparVij(r1, r3, r3) = Gmimj|rirj|1.3. EQUATIONSDELAGRANGE 7o` uri=OMirepresentelapositiondelastreMi(i =1, 2, 3)parrapport` auneoriginearbitraireO, etGlaconstantedeNewton. Ondesignepar rilavitessedupointMi` auninstantdonne.Justierlelagrangiendusyst`emeL(r1, r2, r3, r1, r2, r3) =12m1| r1|2+12m2| r2|2+12m3| r3|2+Gm2m3|r2r3|+Gm3m1|r3r1|+Gm1m2|r1r2|enveriantquelesequationsdeLagrangesontbienequivalentesauxequationsdumouvementdeNewtonpourcesyst`eme.Lesyst`emegeneraldesNcorpsNous envisageons maintenant lecas general dunsyst`emedepoints materielsM1, . . . , MNdemassesm1, . . . , mNeninteractionmutuelleetsoumis` adesforcesexterieures. Nous supposerons que toutes les forces en jeu sont conservatives. DesignonsparVijlepotentieldinteractionentreMietMj(aveci ,= j)etsupposonsquilnedependequederij= |rirj|,ladistancerelativedeMietMj.OnnoteraVextilepotentieldontderivelaforceexterieureFextiappliqueeaupointMi.JustierqueVijrk= Fij [jkik]pourtoutk = 1, 2, 3,o` uFij= Vijrirepresentelaforce`alaquelleestsoumiseMiinteragissantavecMj. Verierquelatroisi`emeloideNewtonestverieesiVij= Vji.ConsideronslelagrangiensuivantL(r, r) =12N

i=1mi| ri|212N

i,j=1i=jVijN

i=1Vexti(1.3.3)o` ur=(r1, r2, r3)et r=( r1, r2, r3).MontrerquelesequationsdeLagrange(1.3.1)8 CHAPITRE1. LESEQUATIONSDELAGRANGErestituentles equationsdumouvementdusyst`emedesNcorpseninteraction,ri=

j=iFij +Fexti.pourtouti = 1, . . . , N.LependuledoubleCe syst`eme est constitue de deuxpendules M1&M2, de longueurs 1&2constantesetdemassesm1&m2plongesdanslechampdegravitationg=gexavecg=const.>0 ; lepointdesuspensiondudeuxi`emependuleestlepointM1etcelui dupremier, lorigineOxedusyst`emedecoordonneescartesiennes(x, y)dans le plan euclidien. On designe par 1(resp. 2) langle que forme le pendule M1(resp.M2)aveclaverticale.Determinonslelagrangiendusyst`eme.PosonsMn= O + (xn, yn)pourn = 1, 2dans le rep`ere orthonorme direct (exey) du plan pendulaire ; on a alors x1= 1 cos 1,y1= 1 sin 1&x2= 1 cos 1 +2 cos 2,y2= 1 sin 1 +2 sin 2.LenergiecinetiquedeM1estT1=12m1( x21+ y21)=12m1

2121 ; celledeM2estalorsT2=12m2( x22 + y22) =12m2(2121 +2222 + 21

2 cos(12)1 2).Les energies potentielles sont, de meme, V1= m1gx1= m1g1 cos 1ainsi queV2= m2gx2= m2g(1 cos 1 + 2 cos 2)` adesconstantesadditivespr`es.LelagrangientotalestalorsL = T1 +T2V1V2,cest-`a-direL(1, 2,1,2) =12(m1 +m2)2121 +12m2

2222 +m2

1

2 cos(12)1 2+(m1 +m2)g1 cos 1 +m2g2 cos 2.LesequationsdeLagrange(1.3.1)fournissantlesequationsdumouvementdusyst`emesecriventicid(L/ n)/dt L/n=0pourn=1, 2.Onobtientainsi,1.3. EQUATIONSDELAGRANGE 9apr`esquelquessimplications,lesyst`emesuivant0 = (m1 +m2)11 +m2

2 cos(12)2 + m2

2 sin(12)22(1.3.4)+(m1 +m2)g sin 10 = 22 +1 cos(12)11 sin(12)21(1.3.5)+g sin 2.Cesyst`emedequationsdierentiellesnonlineairescoupleesnestpasintegrableanalytiquement. Onsait par contre, depuis Henri Poincare, queses solutions ex-hibent un comportement chaotique, cest-` a-dire, une sensibilite structurelle aux condi-tions initiales (impossibilite de retrouver les memes trajectoires du syst`eme enrepetant lexperience avec des conditions initiales identiques sur le plan experimental).Nouspouvons,parcontre,etudierlespetitsmouvementsdusyst`emeautourdelapositiondequilibre(stable !) evidente41= 2= 0.Ontrouvealorsaisementlesyst`emelineairedequationsdierentiellesdusecondordrecoupleessuivant0 =1 +

2

12 +g

11(1.3.6)0 =1 +

2

12 +g

12(1.3.7)o` u =m2m1 +m2esttelque0 < < 1.Exhibonslesfrequencespropresnaturellesdusyst`emedanslecassimpleo` u

1= 2= 4. On verie que1(t) = 2(t) = 0 est une solution exacte des equations (1.3.4) et (1.3.5).10 CHAPITRE1. LESEQUATIONSDELAGRANGEen recherchant des solutions particuli`eres du syst`eme (1.3.6) et (1.3.7) sous la forme_1(t) = Acos t2(t) = Bcos to` uA, Bet> 0sontdesconstantes` adeterminer.Ontrouveaisement___2_1 + BA_=g

2_1 +BA_=g

BA(1.3.8)et, endivisantmembre` amembrelesdeuxequationsprecedentes, (B/A)2=1/.Enreportantmaintenantceresultat:_BA_= 1dansunedesdeux equations(1.3.8),ilvientalors2=g/1 .Lesdeuxpendulesoscillentenphaseauxbassesfrequences:___+1 (t) = Acos(+t)+2 (t) =A cos(+t)& +=g/1 +(1.3.9)ouenoppositiondephaseauxhautesfrequences:___1 (t) = Acos(t)2 (t) =A cos(t + )& =g/1 (1.3.10)o` u1 (0) = Arestearbitrairemais. . . petit.1.3.3 LiaisonsholonomesSi unpoint materiel est astreint `asemouvoir sur unecourbeouunesurfacedanslespaceeuclidien(parexemplesurunesph`erederayondonnedanslecasdupendulespherique),onditquelesyst`emepresenteuneliaisonholonome.1.3. EQUATIONSDELAGRANGE 11Donnons maintenant ladenitiongenerale de lanotionde liaisonholonome.Considerons un syst`eme mecanique ` a n degres de liberte, i.e. dont la conguration estdeterminee par n param`etres independants. Par exemple un syst`eme de Nparticulesevoluant dans lespace euclidien E3est un syst`eme `a n = 3Ndegres de liberte ; dansce cas (E3)N= E3. . . E3est lespace de conguration.5Supposons maintenantquelespointssoientcontraints`asedeplacersurunehypersurfacedenieparuneequationF(M1, . . . , MN) = 0 (1.3.11)o` uF: (E3)NRmestuneapplicationdierentiable(avec0 < m < n)denissantlacontrainte ;nousdenironslenouvelespacedecongurationparQ = F1(0).Cettehypersurface(ouvariete)estdecriteparn mcoordonnesgeneralisees ;dans ce cas dim(Q) = nm est le nombre de degres de liberte du syst`eme contraint.6Nousdironsquelacondition(1.3.11)estuneliaisonholonomepourlesyst`eme.Remarque1.3.2. Lesliaisonsholonomesnemettentpasenjeudesconditionssurles vitesses des points du syst`eme. Par exemple la liaison decrivant une roue roulantsansglissersurunerouteestuneliaisonnonholonomeelleexprimelefaitquelavitessedupointdecontactdelaroueaveclesol estnulle.Exemple 1.3.3.Un halt`ere forme de deux masses reliees par un manche de longueur > 0apourespacedecongurationQ = (r1, r2) R3R3[ F(r1, r2) = |r1r2|22= 0etcetespacededimension5alatopologieQ = R3 S2o` uS2designela2-sph`ere(derayon > 0)plongeedans R3.5. Il faudrait, en fait, considerer que lespace de conguration est plutot (E3)Ncollisions.6. Ceci decouledufaitqueFestsupposederangmaximum(unpointtechniqueimportantmais delicat que nous ne developperons pas).12 CHAPITRE1. LESEQUATIONSDELAGRANGEExercice1.3.4.Donner la fonction F: R2R2R2denissant lespace de con-guration Qdu doublependule plan. Verierque Q= S1S1(tore 2-dimensionnel).Commentleformalismelagrangiensepresente-t-ildanslecasdesyst`emesavecliaisons holonomes ? Nous allons montrer que les equations de Lagrange se formulentdefaitenoubliantcompl`etementlesforcesdeliaison(contrairementauformalismenewtonien,plusdicile` amettreenuvredansunsens).Illustronsceci endonnantunexempleelementaireo` uunpointmateriel estas-treint `a se deplacer sur une courbe du plan euclidien (par exemple un cercle de rayondonnepourlependulesimple). Noussupposons, enfait, notrepointsoumis`aunpotentiel de connement (potentiel harmonique intense dans la direction orthogonale` alacourbecreantuneforcederappelintenseverslespointsdelacourbe).Soit r = (x, y) R2la position dun point materiel de masse m dans le plan (onachoisiunsyst`emedecoordonneeseuclidiennes)etsoitV(x, y) = V0(x, y) +12m2y2(1.3.12)lepotentiel tout` afaitgeneral danslequel estplongecepointdemassem. Nousallons ensuite considerer la limite qui permettra de conner le point materielsurlaxedesx.Le lagrangien du syst`eme est alors L(x, y, x, y) =12m( x2+ y2)V(x, y). Lequationde Lagrange pour ysecrit d/dt(L/ y) L/y= m( y +2y) +V0/y= 0. Danslalimitedesgrandespulsationslederniertermeseratout`afaitnegligeableet y +2y2 0.Cetteequationdierentielle poss`ede, onle sait, une integrale premi`ere (reliee `alenergie) e = y2+2y2= 2y2max= const. Donc ymax y ymax o` u ymax=e/.Finalementymax 0si etlepointestdoncconnesurlacourbey= 0parcetarticemathematique.Lequation de Lagrange pour x secrit d/dt(L/ x)L/x = m x+V0/x = 0.1.3. EQUATIONSDELAGRANGE 13Danslalimite nousauronsnalementm x +V

(x) = 0 o` u V (x) = V0(x, 0) (1.3.13)puisquelimy= 0.NousvenonsdeprouverleresultatsuivantProposition1.3.5 ([1]). Unpoint materiel est soumis aupotentiel (1.3.12) deconnementV(x, y)dansleplaneuclidien. Soit(x(t), y(t))lasolutiongeneraledesequationsdeLagrangeavecconditionsinitiales(y(0) = 0, y(0) = 0).Lorsque il existeunelimitex(t) = limx(t)quiverielequationdeLagrangeddt_L0 x_L0x= 0 o` u L0= L[y= y=0.Ceresultatsegeneraliseimmediatementaucasdetoutecourbedansleplanet,plusgeneralement,aucasdetoutehypersurfacedunespacedeconguration.En fait, les equations de Lagrange pour un lagrangien L dun syst`eme deni pardesliaisonsholonomes(1.3.11)seram`enentaux equationsdeLagrangeddt_L0 qi_L0qi= 0 o` u L0= L[F=F=0(1.3.14)pouri = 1, . . . , n mexprimeesdansunsyst`emedecoordonnees(q1, . . . , qnm)delasurfaceQ = F1(0).Exercice1.3.6. Ecrireles equationsdumouvementdunpendulespheriquedelon-gueurdans lechampdepesanteur g =const. ^.B. Onutilisera, biens ur, unsyst`emedecoordonneesspheriques(, )deS2.Demonstration. Lapositiondunpointsurlasph`ereS2 R3derayonestpara-metree par r = (x, y, z) = (sin cos , sin sin , cos ), en coordonnees spheriques ;ici (0, 2)designelalongitudeet (0, )lacolatitude. Lavitessedupointmobile sur la sph`ere etant v = r, il vient aisement |v|2= 2(2+sin2 2). Commelenergie potentielle est V= mgz= mg cos , `a une constante additive pr`es, on ob-tient le lagrangien L =12m|v|2Vdu pendule spherique en terme des coordonneesspheriquesetdesvitessesassocieesL(, ,, ) =12m2(2+ sin2 2) mg cos .14 CHAPITRE1. LESEQUATIONSDELAGRANGELes equationsdeLagrangeselisentmaintenant sin cos 2g

sin = 0 (1.3.15)ddt_sin2 = 0 (1.3.16)cequiimpliqueuneconstantedumouvement(relieeaumomentangulaire)C= sin2 = const.associee`alavariablecyclique.7Lessolutions(t) = 0sontdessolutionsparti-culi`eres : mouvements dun pendule simple dans un plan meridien. Les solutions dusyst`emeprecedentnesexprimentpasentermedefonctions elementaires.Dans le cas g= 0, les solutions des equations de Lagrange pour un point materiellibresurlasph`eresontlesgeodesiques delasph`ere. Il estclairquelesmeridiens((t) =0t+0, (t) =0) sont des geodesiques. Comme laxe sud-nordaetechoisi demani`erearbitraire, cesontenfaittouslesgrandscercles qui constituentlesgeodesiquesdelasph`ere.1.3.4 LecouplageminimalauchampelectromagnetiqueComment maintenant deduire les equations de Lorentz gouvernant le mouvementduneparticuledemassemetdechargeelectriqueqsoumise`alactionduchampelectromagnetiqueexterieur ?Nous savons que ces equations du mouvement ne se deduisent pas de la theorie duchamp electromagnetiquedeMaxwell,quellesrel`eventenquelquesortedunautreprincipe: leprincipeducouplageminimal. Leformalismelagrangienpermetuneformulationsimpleet elegantedeceprincipedebasedelelectrodynamique.7. Ondit quunevariable, disons , est cycliquesi L/=0. Graceauxequations deLagrange limpulsionassocieep =L (1.3.17)est automatiquement une integralepremi`ere,p = const., des equations du mouvement.1.3. EQUATIONSDELAGRANGE 15Soit L0=12m| r|2le lagrangienlibre de laparticule nonrelativiste. Si lonsoumet ce syst`eme ` a laction du champ electromagnetique (E, B), la prescription ducouplageminimalconsiste` aremplacerlelagrangienL0parlelagrangiensuivantL(r, r, t) =12m| r|2+q_A(r, t), r) (r, t)_(1.3.18)qui dependexplicitement dupotentiel vecteur Aet dupotentiel scalaire dontderivelechamp electromagnetiqueselonE = grad Atet B = rotA. (1.3.19)Remarque1.3.7. Nous verrons quelesequations deLagrangepour (1.3.18) nemettentenjeuquelechamp electromagnetiqueetpaslespotentiels(nonphysiques)denis`aunetransformationdejaugepr`es.Ecrivons (1.3.18) comme L(r, r, t) =12m

3j=1 ( xj)2+q_

3j=1Aj xj_o` u les xjdesignent les composantes (cartesiennes) delapositionr R3et xjcelles delavitesse r R3ainsi que Aj Ajcelles du potentiel (co)vecteur A C(R3R, R3)choisi.Lai-`emecomposantedelimpulsionp = L/ restainsipi=L xi= m xi + qAipourtouti = 1, 2, 3.Ennotanti:= /xiloperateurdederiveepartielleselonxiett:= /tceluidederiveepartielleparrapportautempst,onobtientaisementLxi= q_3

j=1iAj xji_pourtouti = 1, 2, 3.16 CHAPITRE1. LESEQUATIONSDELAGRANGELes equationsdeLagrangesecriventalors0 =dpidt Lxi= m xi + qAiq_3

j=1iAj xji_= m xi + q_3

j=1jAi xj+tAi_q_3

j=1iAj xji_= m xi + q_3

j=1Fij xj+tAi +i_o` ulonadeniletenseurmagnetiqueantisymetriqueFij= iAjjAipourtousi, j= 1, 2, 3onveriequeF12= (rotA)3= B3,etc.,grace`a(1.3.19).Endautrestermeslamatrice3 3antisymetrique(Fij) (Fij)estdonneeparF= j(B)o` uj(B) L(R3)estloperateurlineairedeniparj(B)v := Bv v R3o` u designeleproduitvectorielde R3.OnobtientennlesequationsdeLagrangemr + q [B r +tA+grad]=0,cest-` a-dire,comptetenude(1.3.19),mr = q_E + r B_(1.3.20)Lequationdierentielle(1.3.20)dusecondordreestlequationdeLorentzdontlessolutionsr(t)constituentlesmouvements(outrajectoires)duneparticulechargeedansunchamp electromagnetiqueexterieur.Chapitre2LesequationsdeHamilton2.1 EquationscanoniquesLe formalisme lagrangien met en jeu, nous lavons vu, lespace tangent `a lespa-ce de conguration dun syst`eme mecanique, cest-`a-dire lespace des congurationsetdesvitesses vecteurstangentspossiblespourleditsyst`eme. Nousavons,dautrepart, misenevidencelanotiondimpulsiongeneraliseequi intervientdanslaformulationdesequationsdeLagrange.Danscertainscontextes,ilpeutsavererjudicieuxdetravaillerplut otdanslespaceditcotangent` anotreespacedecon-guration, i.e. lespace des congurations et des impulsions (co)vecteurs tangents.Cest precisement cequeseproposedefaireleformalismehamiltoniend u, entreautres,`aW.R.Hamilton.Soit L(q, q) le lagrangien dun syst`eme (eventuellement soumis `a des contraintesholonomes) dont lespace de conguration est cartographie par un syst`eme de coor-donneesq=(q1, . . . , qn) M Rnetlespacetangentaupointqdecritparlesvitesses q = ( q1, . . . , qn) Rn.Denition2.1.1. OnappelleimpulsiongeneraliseepourlelagrangienL(q, q),danslesyst`emedecoordonneesconsidere,lecovecteurp =L q(2.1.1)aupointq M,ouencorepi= L/ qipourtouti = 1, . . . , n.1718 CHAPITRE2. LESEQUATIONSDEHAMILTONNousvoyonsquepestalorsunefonctiondeqet qdeniepar(2.1.1)desortequelapplicationFL: (q, q) (q, p)constitue une application (locale) du tangent au cotangent de lespace de congura-tion.Noussupposeronscetteapplicationinversibleetdinversedierentiable,pourque qpuisseaussi etrevuecommefonctiondierentiabledepetdeq.Nousprouvonsmaintenantletheor`emefondamentalsuivant:Theor`eme2.1.2. Lesyst`emedesequationsdeLagrange(1.3.1)estequivalentausyst`eme de 2n equations dierentielles du premier ordre, les equations de Hamilton,1___dpidt= Hqidqidt= +Hpi(2.1.2)pouri = 1, . . . , no` uH=n

i=1pi qiL (2.1.3)estlehamiltoniendusyst`eme, fonctiondierentiableH(p1, . . . , pn, q1, . . . , qn)delespacedesphases.2Demonstration. CalculonsladierentielledeL(q, q): onobtientalorsfacilementdL =

ni=1 (L/qi)dqi+ (L/ qi)d qiouencoredL =Lq dq +L q d q= pdq +pd qenutilisant les equations de Lagrange L/q = p(cf. (1.3.1)) et (2.1.1). Uneintegrationpar parties donne alors dL= p dq+d(p q) dp qouencore1. On appelle aussi ces equation canoniques.2. Lhamiltonien H(p, q) est la transformee de Legendre (2.1.3) du lagrangien L(q, q). Lhamil-tonien est deni sur lespace des phasesTM= (Rn) M, cest-`a-dire lespace cotangent delespace de congurationM Rn, alors que le lagrangien est, lui, deni sur le lespace tangentTM= RnMde lespace de congurationM.2.1. EQUATIONSCANONIQUES 19d(L p q) = pdq dp qquelonreecritendenissant,cf.(2.1.3),H= p q LcommedH= dp q pdq (2.1.4)en mettant en evidence que lhamiltonien est une fonction H(q, p). On trouve alorsaisement q = H/pet p = H/q.Exercice2.1.3.Calculer le hamiltonien de loscillateur harmonique dont le lagran-gienestdonnedanslExercice1.1.3.EndeduirelesequationsdeHamilton.Exercice 2.1.4.Supposons que lenergie cinetique dun syst`eme mecanique soit unefonction T(q, q) et lenergie potentielle donnee par une fonction V (q). Le lagrangiendusyst`emeest,onlesait,L = T V.Trouverlacondition`aimposer`alenergiecinetiqueTpourquelehamiltoniensoitdelaformesuivanteH= T+ V (2.1.5)Demonstration. Indication: prouver, enutilisantlaformuledEulerpourlesfonc-tions homog`enes de degre k,3que Tdoit etre une fonction homog`ene en la variable qdedegrekdetermine.Remarque2.1.5. LeTheor`eme2.1.2resteinchangedanslecasnonstationnaireo` u le lagrangien L(q, q, t) depend explicitement du temps. On trouve dans ce cas quelesequationsdeNewton(2.1.2)secompl`etentparHt= Lt . (2.1.6)3. Rappelons quune fonction f(r) est homog`ene de degre k si f(r) = kf(r) pour tout > 0.20 CHAPITRE2. LESEQUATIONSDEHAMILTON2.1.1 ExercicesVoicimaintenantquelquesexercicessimplespourillustrerlusagedes equationsdeHamilton.Exercice2.1.6. DonnerlehamiltonienH(p, )dupendulesimpledelongueurdanslechampdepesanteurdaccelerationg=const.>0. EcrirelesequationsdeHamilton.Conclusion ?Exercice2.1.7. Onconsid`erelehamiltonienH(p, r) = |p|n(r)(2.1.7)fonction de (p, r) (R30)R3, o` u n(r) > 0 une fonction dierentiable. MontrerquelesequationsdeHamiltoncorrespondentauxequationsdeFermat(1.2.2)pourunindicederefractionvariablen(r).Demonstration. Indication:introduirelavitesseunitaireu = p/|p| = dr/ds.Exercice 2.1.8.Etudions la dynamique hamiltonienne dans un referentiel tournant(parexemplelie`aunman`ege)`aunevitesseangulaireconstante= ezautourdeladirectionez.Onsupposequecesdeuxreferentielsconcidentautempst = 0.1. Montrer que si q = (x, y, z) designent les coordonnees dans le referentiel xeet= Q = (X, Y, Z)cellesassocieesaureferentieltournant,`alinstantt,onax = X cos t Ysin t (2.1.8)y = X sin t + Ycos t (2.1.9)z = Z (2.1.10)2. ExprimerlenergiecinetiqueT(Q,Q)dunpointmateriel libredemassem.3. Si V (Q)designelepotentiel danslequel est plongelepoint materiel, donnerlexpressiondulagrangienL(Q,Q)dusyst`eme.4. EndeduirelehamiltonienH(P, Q).2.1. EQUATIONSCANONIQUES 215. Ecrireles equationsdeHamiltondusyst`emedanslereferentieltournant.(OnpourraposerW= X + iY C.)Demonstration. Reponses:(i)LelagrangienestdonneparL(Q,Q) =12m_X2+Y2+Z2+2(X2+Y2)_+ m(XY YX) V (X, Y, Z)etlimpulsioncanoniquedonneeparP = L/Q = m(X Y,Y+X,Z).(ii)LehamiltonienprendalorslaformeH(P, Q) =12m_P2x+P2y+P2z(XPyY Px) + V (X, Y, Z).Enn (iii) les equations de Hamilton conduisent au syst`eme dequations dierentiellescoupleesX = 2 Y+2X 1mVX(2.1.11)Y = 2X +2Y 1mVY(2.1.12)Z = 1mVZ(2.1.13)Remarquonsquelesdeuxpremi`eres equationsdierentiellessecrivent,enintrodui-santlechangementdecoordonneesW= X + iY suggereplushaut,m W= 2imW+m2W 2 VW. (2.1.14)Lepremiertermedanslemembrededroitede(2.1.14)estlaforcedeCoriolis, lesecond la force centrifuge et le dernier la force exterieure derivant du potentiel V .2.1.2 LecouplageminimalauchampelectromagnetiqueDonnons ici laversionhamiltonienne duprincipe de couplage minimal ` aunchamp electromagnetique,formuledanslecadrelagrangiendansleChapitre1.3.4.NousnousproposonsdecalculermaintenantlhamiltonienH(p, r, t)deduitdulagrangien(1.3.18)vialatransformationdeLegendre(2.1.3)duneparticule22 CHAPITRE2. LESEQUATIONSDEHAMILTONdemassemetdechargeelectriqueqplongeedansunechampelectromagnetiqueexterieur (E, B) derivant, cf. (1.3.19), dunpotentiel vecteur Aet dunpotentielscalaire.Calculonsdonclemomentconjuguep = L/ r.Ilvientaisementp = m r +qAdesorteque r = (p qA)/m.OnaalorsH = p. r L= p(p qA) 1m L= p(p qA) 1m _12m____1m(p qA)____2+q_A,1m(p qA)) __= (p qA)(p qA) 1m 12m____1m(p qA)____2+q=12m|p qA|2+q.Si H0(p, r) = |p|2/(2m) designe lhamiltonien libre dune particule (non relativiste)de masse m, lhamiltoniendecrivant les mouvements de cette particule dans unchamp electrique derivant dun potentiel sera donne, cf. (2.1.5), par lhamiltonienstandardH(p, r, t)=H0(p, r) + V (r, t)o` uV =q. Nousvenonsdeprouverquelecouplageminimal` aunchamp electromagnetiqueexterieursop`eremaintenantparlaprescriptionplussubtilequiconsiste`aremplacerH0(p, r)parH(p, r, t) =12m|p qA(r, t)|2+q(r, t) (2.1.15)Exercice2.1.9. EcrirelesequationsdeHamiltonpourlehamiltonien(2.1.15)etretrouverlesequationsdeLorentz(1.3.20).2.2 CrochetsdePoissonettransformationscano-niquesIntroduisons dans ce chapitre des notions nouvelles et importantes en mecaniqueanalytique, ` asavoircellesdecrochetdePoissonetdestructuresymplectique. Ces2.2. CROCHETSDEPOISSONETTRANSFORMATIONSCANONIQUES 23notions ont conduit `ades generalisations multiples dans lecadregeometriqueetalgebriquerelevantdesmathematiquesetdelaphysiquemathematique.2.2.1 CrochetsdePoissonConsideronsunefonctiondierentiableF: TM Rdelespacedesphases` avaleursreelles, cequelonappelleobservableclassiqueF(p, q) enphysique.4Comment evolue cette fonctionaucours dutemps ? compte tenude levolutiontemporellepropredusyst`emehamiltonien.NousavonsdFdt=Fp dpdt+Fq dqdt= Fp Hq+Fq Hpgr aceaux equationsdeHamilton(2.1.2).Do` uleresultatsuivantDenition-Theor`eme2.2.1. NousappelleronscrochetdePoissondedeuxob-servablesFetGdelespacedesphaseslanouvelleobservable5F, G =n

i=1FpiGqi FqiGpi(2.2.1)desortequelevolutiontemporelledetouteobservableclassiqueFsoit gouverneeparlequationdierentielledFdt= H, F (2.2.2)Bienentendu, lesequationsdeHamilton(2.1.2)sontretrouveesvia(2.2.2)car pi= H, pi = H/qiet qi= H, qi = H/pipourtouti = 1, . . . , n.Corollaire2.2.1. LhamiltonienHestuneconstantedumouvement,dHdt= 0. (2.2.3)4. Nousavonsdej`arencontredetellesfonctions, parexemplelhamiltonienH(energie), unecomposante pi de limpulsion dune particule, une composante qjde sa position `a un instant donneavec (i, j = 1, 2, 3), etc.5. Tout syst`eme de coordonnees (p1, . . . , pn, q1, . . . , qn) dans lequel le crochet de Poisson est dela forme (2.2.1) est dit syst`eme de coordonneescanoniques.24 CHAPITRE2. LESEQUATIONSDEHAMILTONDemonstration. LecrochetdePoisson(2.2.1)estantisymetriqueensesarguments,F, G G, F,etdoncdH/dt = H, H = 0.RemarquonsquelecrochetdePoisson(2.2.1)peutalorssecrirecommeF, G = FG (2.2.4)silonintroduitladerivationsuivanteF=n

i=1Fpiqi Fqipi(2.2.5)aussiappeleechamphamiltonienassocie`alafonctionFdelespacedesphases.LefaitqueF: G F, Gsoitunederivationimpliquelaproprieteimportantesuivante F, GH = F(FG) = (FG)H+GFH= F, GH+GF, H. Nous avonsennleTheor`eme2.2.2. LecrochetdePoisson(2.2.1)estuneapplicationbilineaire(F, G) F, Gjouissantdesproprietessuivantes1. F, G G, F(antisymetrie),2. F, GH F, GH +GF, H(r`egledeLeibniz),3. F, G, H +G, H, F +H, F, G 0(identitedeJacobi).Exercice2.2.3. ProuverlidentitedeJacobi(onserestreindraaucasn = 1).Exercice 2.2.4. Soient (p, q) les coordonnees canoniques deTRn. Calculer lescrochetsdePoissonmutuelsdescomposantespietqj,pouri, j= 1, . . . , n.Montrerquelespacevectorielreelhndedimension2n+1engendreparp1, . . . , pn, q1, . . . , qnetlafonctionconstante1eststablesouslecrochetdePoisson.66. Onappelleuntelespacealg`ebredeLie ;ici hnestunealg`ebredeLieassocieeaunomdeWerner Heisenberg, physicien allemand (19011976).2.2. CROCHETSDEPOISSONETTRANSFORMATIONSCANONIQUES 25Exercice 2.2.5.Considerons lespace des phases TR3et designons par L = pq lemoment angulaire. (i) Calculer pour i, j= 1, 2, 3 les crochets de Poisson Li, Lj descomposantesdumomentangulaire. (ii)UnhamiltonienH(p, q)estinvariantsousrotationseuclidiennesssi Li, H=0quel quesoit i=1, 2, 3. AquelleconditionlhamiltonienH= |p|2/(2m) + V (q)duneparticuledemassemplongeedansunpotentiel V (q)est-il invariantsousrotations ?2.2.2 StructuresymplectiqueNous introduisons dans cette Section une notion nouvelle, celle de forme symplec-tique canonique de lespace des phases TRn; cette notion, qui rel`eve de la geometriedierentielle` aunniveauplusavance,seraneanmoinstraiteebri`evementandin-troduire`acelledetransformations canoniques : changements decoordonnees delespacedesphasesqui laissentlesequationsdeHamiltoninvariantes, etqui doncinvarientlesloisdelamecanique.Reecrivonslexpression(2.1.4)demani`eretout` afait equivalentecommedpdtq p dqdt= H (2.2.6)pourtousvecteurs(p, q)delespacedesphases ;eneet,H=(H/p)p +(H/q)qrepresenteladeriveedelhamiltonienHdansladirection(p, q).Lexpressionprecedenterestituebienles equationsdeHamilton(2.1.2),`asavoir___dpdt= Hqdqdt= +Hp(2.2.7)Denition-Theor`eme2.2.2. Denissons,entoutpointx = (p, q)delespacedesphasesTRn= (Rn)Rnlexpressionsuivante(x,

x) = p

q

pq. (2.2.8)(i)Cetteexpressiondependbilineairementdesvecteursx,

x TRnetestanti-26 CHAPITRE2. LESEQUATIONSDEHAMILTONsymetrique:(x,

x) (

x, x).(ii)Onadeplus(x,

x) = (

x)

(x) o` u (x) = pq (2.2.9)et(iii)ker = 0.Unetelleapplication: TRnTRnRestappeleeformesymplectiquecanoniquedelespacedesphases.7Demonstration. Onaclairement lidentite(x,

x) + (

x, x) 0et deplus(x, a

x+b

x) a (x,

x)+b (x,

x) pour tous a, b R; do` ule (i).Lexpression(2.2.9)reproduitsimplementladenition(2.2.8), cequi justie(ii).Enn, x ker ssi (x,

x)=0pourtout

x; mais, cettederni`ereconditionimplique`alafoisp = 0etq = 0,cest-` a-direx = 0,do` u(iii).Soit H(x) unhamiltonien, lechampdevecteurs x Hxdeni par (2.2.6),cest-` a-dire(Hx,

x)

H (2.2.10)est le champhamiltonien associe ` aH dej` a introduit en(2.2.5) ;cette derni`eredenition est maintenant intrins`eque(car elle ne met en jeu que la fonction Het laformesymplectiquemaispasunsyst`emedecoordonneesparticulier).Proposition2.2.6. LesequationsdeHamiltonassociees`aunhamiltonienH(x)prennent la forme dune equation dierentielle ordinaire du premier ordre, `a savoir :dxdt= Hx (2.2.11)avecladenition(2.2.10)duchamphamiltonienH ;lecrochetdePoissondedeuxobservablesFetGquelconquesretientalorslaformesuivante: F, G = FG.7. Il est possible, mais non obligatoire, de reformuler les resultats precedents en termes de formesdierentielles : = ni=1dpi dqiest une 2-forme inversible et fermee deTRn; elle est, en faitexacte puisque = d avec =

ni=1pidqi.2.2. CROCHETSDEPOISSONETTRANSFORMATIONSCANONIQUES 272.2.3 TransformationscanoniquesDenitionintrins`equeLesequationsdeHamilton(2.2.7)oneteecritesdansunsyst`emedecoordon-nees (p, q) particulier delespacedes phases TRn. Est-il possiblededeterminerunchangementdecoordonneesf: TRnTRntel que(P, Q)=f(p, q)ettelqueles equationsdeHamiltonretiennentlamemeformedanslesdeuxsyst`emesdecoordonnees ?` asavoir___ p = hq q = +hpet___P = HQQ = +HP(2.2.12)aveclexpressionsuivantedelhamiltoniendanslesdeuxsyst`emesdecoordonneesh(p, q) = H(P, Q). (2.2.13)Un tel changement de coordonnees x X= f(x) doit etre dierentiable et (locale-ment) inversible, x = f1(X), et preserver la forme symplectique (2.2.8), cest-` a-dire(x,

x) (X,

X) (2.2.14)pour preserver la forme des equations de Hamilton associees au hamiltonien (2.2.13).Denition2.2.7.On appelle transformationcanonique8toute application dif-ferentiablef: x XdeTRnquiinvarielaformesymplectiqueselon(2.2.14).Exercice2.2.8. AquelleconditionunetransformationlineaireA:x X=Axde R2est-elleunetransformationcanonique ?Exercice2.2.9. Soitq Q(q)unefonctionmonotone,Q

(q) ,=0,dunevariablereelle.Verierquelapplicationf: R2R2: (p, q) (P= p/Q

(q), Q(q))estunetransformationcanonique.98. On dit aussi symplectomorphisme.9. Les transformations canoniques introduites dans cet exercicesegeneralisent aucas dun28 CHAPITRE2. LESEQUATIONSDEHAMILTONDemonstration. Ona PQ=(p/Q

(q))Q(q) =(p/Q

(q))Q

(q)q =pq. DoncP

Q

PQ p

q

pq,do` u(2.2.14).Introduisonsmaintenantlanotionutiledefonctiongeneratricedunetransfor-mationcanonique.Lemme2.2.10. Soitx XunetransformationdeTRntelleque(X) = (x) + F (2.2.15)pourunecertainefonctiondierentiableF: TRn Rdelespacedesphases.10Cette transformationest automatiquement une transformationcanonique ; onap-pelleFfonctiongeneratricedecettetransformationcanonique.Demonstration. Ona(X,

X) = (

X)

(X) = ((

X))

((X)) (

X

X).Alors(X,

X) = (x,

x) + (

F

F) (

F

F) =(x,

x).Nouspouvonsdonc ecrire,enparticulier,P Qpq = F (2.2.16)cequiimpliquequelafonctiongeneratriceest,ici,unefonctionF(Q, q)tellequeP =FQ& p = Fq. (2.2.17)Exercice 2.2.11.Trouver la transformation canonique denie par la fonction generatricesuivante:F(Q, q) = Q, q).Demonstration. Ontrouve, gr ace `a(2.2.17), P=qet p= Q. Il vient donc(P, Q) = (q, p)quiestbienunetransformationcanonique.11nombrearbitraire ndedegresdeliberte. Eneet, soit Q: q Q=Q(q) : RnRnunetransformation dierentiable et dinverse dierentiable, on montre (exercice !) que la transformationdeTRnsuivantef: (p, q) (P, Q) o` uP = p_Qq_1est une transformation canonique.10. On supposeraFau moins deux fois dierentiable.11. En eet, on aP

Q

P Q = q

(p)

q(p) = p

q

pq.2.2. CROCHETSDEPOISSONETTRANSFORMATIONSCANONIQUES 29ExempledeloscillateurharmoniqueTraitonsici uncasexemplaire, celui deloscillateurharmonique` aundegredelibertecaracteriseparunemassem > 0etunepulsationpropre> 0.Lhamiltoniendusyst`emeest,onlesait,h(p, q) =p22m+m22q2(2.2.18)etlafonctiongeneratriceenvisageedelaformesuivanteF(Q, q) = m2q2cotgQ. (2.2.19)Ontrouveaisement,enutilisant(2.2.17),P=m2 sin2Q q2 0 & p = mq cotgQ,cest-` a-direp =2mP cos Q & q=_2Pm sin Q, (2.2.20)formulequidenitlatransformationcanoniqueinverse:(P, Q) (p, q).Lhamiltonienprendalorslaformesuivanteh(p, q) =12m_2mP cos Q_2+m22__2Pm sin Q_2= P cos2Q+P sin2Q= P.Do` u,endenitive,cf.(2.2.18),h(p, q) = H(P, Q) = P. (2.2.21)La forme symplectique etant invariante par construction, les equations de Hamiltondanslesnouvellescoordonneesdonnentalorsuneformetr`essimpleauxequationsdumouvement___P = HQ= 0Q = +HP= (2.2.22)30 CHAPITRE2. LESEQUATIONSDEHAMILTONquipermetuneintegrationimmediateP(t) = P(0) & Q(t) = t +Q(0). (2.2.23)Remarquons, pour terminer, que P =H/est une constante homog`ene ` a uneenergie/frequence et represente lactiondusyst`eme tandis que Qrepresente laphase,ouangleQ(t) = (t),dusyst`emepuisque,gr ace`a(2.2.20)et(2.2.23),q(t) =_2hm2 sin(t +(0))representebienlatrajectoiredeloscillateurharmoniquedetermineeparlesvaleursinitialesdesvariablesaction-angle.Chapitre3Mecaniquedessyst`emesenrep`eresmobiles3.1 Legroupeeuclidien3.1.1 EspaceeuclidienOnappelleespaceaneassocie` aunespacevectoriel (reel)VndedimensionnunensembleAnmuni duneaction(i)libreet(ii)transitivedugroupeadditif(Vn, +).CecisigniequelonsestdonneuneloiAnVnAn: (M, v) M +vveriant(M+v) +w M+ (v +w)ettelleque (i)M+v = M v = 0, (ii)siM, N Anilexisteununiquevecteurv VntelqueN= M+v.OnnoteMN N M= v (3.1.1)levecteurdorigineMetdextremiteNassocieaubipoint (M, N).NousvoyonsdoncquelonpeutidentierAnetVnd`esquunpointO Anaetechoisi:lisomorphisme(ane !)AnVnestalorsdonneparM OM.Ladenitionsuivantenousapprend`arepererlespointsdunespaceane.3132 CHAPITRE3. MECANIQUEDESSYST`EMESENREP`ERESMOBILESDenition 3.1.1.On appelle rep`ere (ane) dun espace ane (An, Vn) un couple1=(O, S)formeduneorigineO Anet dunebaseS=(e1. . . en)deVn.1Lescoordonneesr=(x1, . . . , xn) RndunpointM,danscerep`ere,sontdeniesparM = 1r= O + Sr= O +n

i=1eixi.Exercice 3.1.2.Montrer que les changements de rep`eres anes forment un groupe,legroupeanecomposedesmatrices(n + 1) (n + 1)delaformea =_A b0 1_(3.1.2)o` uA GL(n, R), le groupe multiplicatif des matrices reelles n ninversibles,etb Rn.Denition 3.1.3.On appelle produit scalaire euclidien dun espace vectoriel Vntouteapplicationbilineairesymetriquenondegenereepositive:g: VnVnRcest-`a-direveriant1. g(1v1 +2v2, w) = 1g(v1, w) + 2g(v2, w)2. g(v, w) = g(w, v)3. g(v, w) = 0pourtoutw Vnssiv = 04. |v|2:= g(v, v) 0[et |v| = 0ssiv = 0].pourtous1, 2 Retv1, v2, v, w Vn.Denition3.1.4. NousdironsquunebaseS= (e1. . . en)estorthonormeesig(ei, ej) = ij(3.1.3)pourtousi, j= 1, . . . , n.21. Une base est un isomorphisme lineaireS : RnVn.2. On designe parijle symbole de Kronecker, egal `a 1 sii = jet `a 0 sinon.3.1. LEGROUPEEUCLIDIEN 33Onnoteg(v, w) v, w)leproduitscalaireeuclidiencanoniquede Rndonneparv, w) = v w =n

i=1viwi(3.1.4)endesignantparunebarrelatransposition.3Nouspouvonsmaintenantdonnerladenitiongeneraledunespaceeuclidien.Denition 3.1.5.On appelle espaceeuclidien tout espace ane Endont lespacevectoriel associeestunespaceeuclidien(Vn, g).SiunebaseSorthonormeedeVnestdonneeonnoterag(M,

M) = r,

r) (3.1.5)leproduitscalairededeuxvecteursM,

M VndorigineM Enetdecompo-santesr,

r Rndanscettebase.3.1.2 IsometrieseuclidiennesLegroupeorthogonalConsideronslensembledesmatricesnnreelles,A,inversibles,dontlinverseest egal` alatransposee,cest-` adiretellesqueA1= A. (3.1.6)Ces matrices forme un groupe. En eet, A = 1 (la matrice identite) verie bien (3.1.6)etseraclairementlelementneutre.Deplus,siAetBsontdeuxtellesmatrices,il3. LatransposeeAdunematriceA`amlignesetncolonnesestlamatrice`anlignesetmcolonnes obtenue en echangeant lignes et colonnes deA, i.e. (A)ij=Ajipour tousi = 1, . . . , n etj = 1, . . . , m.En particulier le transpose dun vecteurv =___v1...vn___ Rnest le covecteurv = (v1. . . vn) (Rn).34 CHAPITRE3. MECANIQUEDESSYST`EMESENREP`ERESMOBILESenvadememedeleurproduit(matriciel):(AB)1= B1A1= BA = AB.EnnlinverseB=A1deAveriebienB1=A=A1=B. Remarquonsquelesmatrices(3.1.6)sonttellesquedet(A)2= 1.Denition3.1.6. OnappellegroupeorthogonallegroupeO(n) = A L(Rn) [ AA = 1Lesous-groupeSO(n) = A O(n) [det(A) = 1 (3.1.7)estlegroupedesrotationseuclidiennes Rn(ougroupeSpecial Orthogonal).Lestransformationsde Rndonneesparlesmatricesorthogonalespreserventleproduit scalaire euclidien ; onabien Au, Av) = AAu, v) = u, v) pour tousu, v Rn.Legroupeorthogonalestungroupedisometries.4Rappelons que lespace Rnest oriente par le choix dune forme volume ; un choixtraditionnelestdonne,pournvecteursv1, . . . , vn Rn,parlevolumesuivantvol(v1, . . . , vn) = det(v1. . . vn) (3.1.8)cest-` a-dire par le determinant de la matrice nn dont les colonnes sont constitueesdesnvecteursconsideres.Remarque3.1.7. Rappelonsquedanslecasn = 3onalarelationsuivantevol(v1, v2, v3) = v1, v2v3) (3.1.9)entreformevolume,produitscalaireetproduitvectoriel.Proposition3.1.8. ToutematricederotationA SO(3)estdelaformeA = (uvw) (3.1.10)o` u u, v R3sont des vecteurs unitaires, |u| = |v| = 1, et orthogonaux, u, v) = 0,eto` uw = u v.4. Transformations qui preservent la metrique (alias le produit scalaire).3.1. LEGROUPEEUCLIDIEN 35Lecasn = 3est,parailleurs,duneimportancetouteparticuli`ereenmecaniquedusolide ;illustrons-leparlexercicesuivant.Exercice 3.1.9.Designer, parmi les matrices suivantes, celles qui sont des rotationseuclidiennesetcellesquisontdesmatricesorthogonales:A =__cos sin 0sin cos 00 0 1__, B=__cos sin 0sin cos 00 0 1__,P=__1 0 00 1 00 0 1__, S=__1 0 00 1 00 0 1__.Les rotations, matrices orthogonales Ade determinant positif, preserventlorientationdelespace: vol(Au, Av, Aw) det(A)vol(u, v, w) vol(u, v, w)puisquedet(A) = 1.Les symetries, matrices orthogonales Sdedeterminant negatif, renversentlorientation:vol(Su, Sv, Sw) vol(u, v, w)puisquedet(S) = 1.LegroupedestranslationsSi lonconsid`ere unespace euclidienEnmodele surRnet muni duproduitscalaireg,alorslestranslations(3.1.1),M M= M+bavecb Rn,preserventleproduitscalaire(3.1.5)carM= Mpuisquebestunvecteur constant, cest-`a-dire g(M,

M) g(M,

M) ou encore, si r (resp. r)representeM(resp.M)dansunebaseorthonormee,r,

r) r,

r). (3.1.11)LesisometrieseuclidiennesNouspouvonsconclurequelestransformationsdunespaceeuclidien(En, g)delaformer r= Ar +b o` u A O(n) & b Rn(3.1.12)36 CHAPITRE3. MECANIQUEDESSYST`EMESENREP`ERESMOBILESsont des isometries, i.e. preservent le produit scalaire g. Ce sont des transformationsanes(3.1.2)particuli`eres.Nousadmettronsleresultatsuivant:Theor`eme3.1.10. Les isometries dunespaceeuclidien(En, g) sont constitueesdestransformations(3.1.12)quiformentungroupeappelelegroupeeuclidien:E(n) =__A b0 1_A O(n), b Rn_. (3.1.13)Lesous-groupedestransformationseuclidiennesquipreserventlorientationestap-pelegroupespecial euclidien:SE(n) =__A b0 1_A SO(n), b Rn_. (3.1.14)Exercice 3.1.11.Expliciter la loi de groupe du groupe euclidien : (0) donner lelementneutre,(i)calculerlecompose(A

, b

)de(A, b)et(A

, b

)et(ii)trouver(A, b)1.3.2 Changementsdereferentielsnoninertiels3.2.1 Prolegom`enesLespace-tempsnonrelativisteest, onlesait, unespacegalileen, i.e. unespaceane,A4,muni(i)dunefonctiontempsabsolut : A4A1et(ii)dunestructuredespaceeuclidienE3= (A3, gt)surchaqueespaceinstantanet = const.Dansunreferentiel galileen 1o` uunevenementdespace-tempsestrepresenteparsapositionetsadate,M= 1_rt_avecr R3ett R,onagt(M,

M) = r,

r) si t =

t = 0 (3.2.1)etdtdesigneladierentielledonnantlintervalledetempsentredeux evenements.Les symetries galileennes, cest-`a-dire les transformations dierentiables despace-temps M M preservant la structure metrique galileenne (gt, dt) et lorientation3.2. CHANGEMENTSDEREFERENTIELSNONINERTIELS 37spatialedesespacest = const.sontdoncdonneespar_rt__r= A(t)r +b(t)t= t +e_(3.2.2)o` u, cf. (3.1.13), les matrices A(t) SO(3) et les vecteurs b(t) R3peuvent mainte-nant, gr ace ` a (3.2.1), dependre arbitrairement du temps ; dautre part e R designeunetranslationtemporelle(solutiongeneraledelequationdt= dt).Denition-Theor`eme3.2.1. Lestransformations(3.2.2)forment ungroupe(dedimensioninnie) ;lesous-groupeformedestransformationspreservantlesespacesinstantanest = const.,i.e._rt__r= A(t)r +b(t)t= t_(3.2.3)est donc le groupe des fonctions (A, b) C(R, SE(3)) appele groupedeCoriolisougroupedestransformationsnoninertielles.Enonconsmaintenantunresultatfortutile.Lemme3.2.1.Soit A(t) SO(n) une matrice de rotation dependant dierentiable-ment du temps t. La matrice Z(t) =A(t)A(t)1est alors antisymetrique, cest-`a-direZ(t) + Z(t) = 0.Danslecasn = 3,onaA(t)A(t)1= j((t)) (3.2.4)o` u(t) R3estappelevecteurinstantanederotationetj__123__=__0 3230 1210__(3.2.5)Demonstration. Puisque AA=AA=1, onad(AA)/dt =0et ontrouve, parconsequent, (dA/dt)A+A(dA/dt) = (dA/dt)A1+(dA/dt)A1= Z +Z= 0. Danslecasn=3,onveriedirectementquelesmatrices3 3antisymetriquessontbiendelaformegenerale(3.2.5).38 CHAPITRE3. MECANIQUEDESSYST`EMESENREP`ERESMOBILESExercice3.2.2. Determiner le vecteur instantane de rotation de la matrice A delExercice3.1.9dependantdutempsviaunefonction(t).Exercice3.2.3. Verierqueleproduitvectoriel de,

R3estdonnepar

= j()

(3.2.6)Exercice3.2.4. Montrerqueledoubleproduitvectoriel (

) =

,

)

,

) (3.2.7)detroisvecteurs,

,

R3estdonneparj()j(

) =

. (3.2.8)Exercice3.2.5. Verierlidentitesuivantej()j(

) j(

)j() = j(

) (3.2.9)pourtous,

R3.Nousutiliseronsennleresultatprecieux:Proposition3.2.6. SoientA SO(3)et R3,onaalorsAj()A1= j(A). (3.2.10)Demonstration. Nousavons,pourtoutematriceA O(3)ettousu, v, R3,Au, A Av) = vol(Au, A, Av)= det(A)vol(u, , v)= det(A)u, v)et, grace `a (3.1.6) et (3.1.9), on obtient u, A1j(A)Av)) = det(A)u, j()v) pourtousu, v R3,cest-`a-direA1j(A)A = det(A)j() si A O(3). (3.2.11)Lefaitquedet(A) = 1siA SO(3)ach`evelapreuve.3.2. CHANGEMENTSDEREFERENTIELSNONINERTIELS 393.2.2 ConsiderationsmecanistesIntroduisons maintenant ces transformations sous une forme moins abstraite quiutiliseunsolidedereferencexedanslespacetridimensionnel R3associe`aunreferentiel galileen ; notonsOlepointdusolidecorrespondant` aloriginer=0et(e1, e2, e3)labasecanoniquede R3;lereferentieleuclidien 1 = (0, e1, e2, e3)sert` arepererlespointsMdelespaceetonnoter = OMlerayonvecteurdorigineOetdextremite M. Attachons maintenant un referentiel euclidien 1

= (O

, e

1, e

2, e

3) ` aunautresolide evoluantdanslespaceaucoursdutempst.CommentrepererlememepointMrelativementaureferentielmobile 1

?EcrivonslarelationdeChaslesOM=OO

+ O

M, ouencorer=b + r

ennotantb=OO

lechangementdorigineetr

rrel=O

Mlapositionrelativedu point Mpar rapport ` a O

. On designe traditionnellement par R les coordonneesduvecteurrreldanslabase(e

1e

2e

3)=(e1e2e3)Adeduitedelabaseoriginelle(canonique)parunerotationA.5Onaalorsrrel= AR. (3.2.12)SoulignonsquerotationsettranslationssontenrealitedesfonctionsA(t) SO(3)etb(t) R3dutempst(fonctionsquenoussupposeronsdierentiables)puisqueledeuxi`emesolidedereferenceestmobileaucoursdutemps.Enresume, les coordonnees, r, dupoint Mdans lerep`erexeet ses coor-donnees,R,danslerep`eremobilesontrelieesparlaformulesimpler = A(t)R+b(t) (3.2.13)quinestriendautrequelexpressiondelatransformationdeCoriolis(3.2.3)` aunchangementdenotationpr`es.Appliquons maintenant les resultats precedents au calcul de loi de transformationdelavitesseetdelaccelerationsousunchangementdereferentielcorrespondant`aunetransformationdeCoriolis(3.2.13).5. Nous identierons la matrice de rotation A `a la base mobile (e

1 e

2 e

3) puisque (e1 e2 e3) = 1est la base canonique de R3.40 CHAPITRE3. MECANIQUEDESSYST`EMESENREP`ERESMOBILES3.2.3 LoidetransformationdelavitesseSi un point materiel se deplace dans le rep`ere xe sur une trajectoire M(t), savitesseabsolueest,biens ur,v( vabs) = r.Quiddesavitesserelativevrel= A R, (3.2.14)i.e.desavitesserelativementaurep`eremobile ?Endierentiant(3.2.13)parrapportautemps,ilvient r =AR+A R+b=AA1AR+A R+b= j()AR+A R+b (3.2.15)= rrel +A R+bgr ace` aladenition(3.2.4)duvecteurinstantanederotationdontonnote(t)lescomposantesdanslerep`erexe.Proposition3.2.7.La vitesse absolue, v, dun point materiel est reliee `a sa vitesserelative,vrel(deniepar(3.2.14)),parlexpressionsuivantev = vrel + rrel +b (3.2.16)Exercice3.2.8. Montrerquelaloi (3.2.16)detransformationdelavitesseselitdelamani`eresuivantev = A_R+R+ A1 b_(3.2.17)entermedescomposantesdanslerep`eremobile ;onapose= A (3.2.18)pour denir les composantes duvecteur instantane de rotationdans le rep`eremobile.3.2. CHANGEMENTSDEREFERENTIELSNONINERTIELS 413.2.4 LoidetransformationdelaccelerationNouspouvonsmaintenanttireravantagedesresultatsprecedentsconcernantlaloi detransformationdelavitesselorsdunchangementdereferentiel noninertielpourdeterminercelledelacceleration.Lacceleration absolue du point materiel est, bien entendu, a( aabs) = r. Commeen (3.2.14), denissons naturellement lacceleration relative du point par rapport aurep`eremobileselonarel= AR. (3.2.19)Proposition3.2.9. Laccelerationabsolue,a,dunpointmateriel estreliee`asonaccelerationrelative,arel(deniepar(3.2.19)),parlexpressionsuivantea = arel + 2 vrel + rrel + ( rrel) + b (3.2.20)Demonstration. Endierentiant(3.2.15)parrapportautempst,ilvientr = j( )AR+ j()AR+j()A R+A R+AR+ b= j( )AR+ j()j()AR+j()A R+j()A R+ AR+ b= AR+ ( AR) + 2 A R+AR+ b= rrel + ( rrel) + 2 vrel +arel + bgr aceauxdenitionsci-dessusdelaposition,vitesseetaccelerationrelatives.Exercice3.2.10. Montrer que la loi (3.2.20) de transformation de lacceleration selitdelamani`eresuivantea = A_R+ 2R+R+(R) + A1b_(3.2.21)entermedescomposantesdanslerep`eremobile.Demonstration. Indication:utiliser(3.2.17).42 CHAPITRE3. MECANIQUEDESSYST`EMESENREP`ERESMOBILES3.2.5 Forcesinertielles:introductiongeneraleConsideronsunpointmateriel demassem, soumis, ` alactionduneforcedontlexpressionestf (r, r, t)dansunreferentiel inertiel donne. Commentformulerlesequations dumouvement dusyst`eme dans unreferentiel noninertiel deduit duprecedent par une transformation (3.2.13) ? Il sut simplement dutiliser le resultatfondamentaldonneparlexpression(3.2.20) !Ladeuxi`emeloideNewtonma = f (3.2.22)peutsereecrire,gr ace` a(3.2.20),commef= m_arel + 2 vrel + rrel + ( rrel) + b_,ouencorecommemarel= f 2m vrelm rrelm ( rrel) mb (3.2.23)enmettant enevidence de nouvelles forces intervenant dans la formulationdesequationsdumouvementenreferentielaccelere,lesforcesdinertie.6Denition-Theor`eme 3.2.2.Les equations gouvernant le mouvement dune parti-culedemassemseformulentcommesuitdansunreferentiel noninertielmarel= frel= f+fCor +fcentrif+fent(3.2.24)o` ulesforcesdinertiesontrespectivement7fCor= 2m vrel(forcedeCoriolis)fcentrif= m ( rrel) (forcecentrifuge)fent= m rrelmb (forced

entrainement)(3.2.25)6. On rencontre aussi le terme forces ctives dans la litterature ancienne ; cette terminologieest trompeusecar les forces dinertiesont des forces bienreelles commechacunpeut enfairelexperience dans la vie courante.7. Attention ! Lesformules(3.2.25)donnentbienlescomposantesdesforcesinertielles, maisexprimees dans le rep`ere . . . xe !3.2. CHANGEMENTSDEREFERENTIELSNONINERTIELS 43Deduisonsennde(3.2.23)uneformulationalternativedesequationsdumou-vementdansunreferentielaccelerearbitraire.Theor`eme 3.2.11. Les equations gouvernant le mouvement dune particule demassemseformulentcommesuitdansunreferentiel noninertielmR = F 2mRm Rm(R) mA1b (3.2.26)entermedesgrandeurscinematiquesetdynamiquesrelatives,o` uFdeniparf (r, r, t) = A(t) F(R,R, t) (3.2.27)representelescomposantesdelaforceexterieuredanslereferentiel mobile.Exercice3.2.12. Designonsparglechampdegravitationnewtoniendelaterre.Unpendule est aurepos par rapport `alaterre, auvoisinage dusol ; determinersonaccelerationrelativearelenfonctiondeg,delavitesseangulairedelaterrelorsdesonmouvementdiurneetdelapositionrrel= const.dupendule.Endeduirelexpression g() de lintensite de lacceleration de la pesanteur sur terre en fonctiondelalatitude, delavitesseangulaire= ||, durayonRdelaterreet delavaleurdeg0= g(/2)auxpoles. ^.B.NegligerlestermesO(4).Demonstration. Puisquevrel= 0et= const.(lavitesseangulairedelaterreparrapport` aunreferentiel xecopernicienestconstante)etb=0, (3.2.23)nousdonnearel= g ( rrel).Alorsg2= |arel|2 = |g|22g, ( rrel))ennegligeantdestermesdordre4en=2/(24h) =7,27 105s1.Onobtientdoncg2 =g20 2g, ), rrel) + 22g, rrel)gr ace` a(3.2.7)etaufaitqueg0= |g|auxp oleso` urrel//. Lechampg= krrel/R3etantcentral (ici k=const.>0), onag, rrel)= g0Rauvoisinagedusol. Mais , rrel)=Rcos(/2 )=Rsin et g, ) = g0 cos(/2 + ) = g0 sin .Alorsg2 = g20 + 2g02Rsin2 2g02Rentraneg2 = g202g02Rcos2,cest-`a-direg()= g02Rcos2. (3.2.28)Onveriequeg(/2) = g0auxpolesetgmin= g(0)= g02R` alequateur.44 CHAPITRE3. MECANIQUEDESSYST`EMESENREP`ERESMOBILES3.2.6 Exemple:chutelibreetdeviationverslestAppliquonslesresultatsgenerauxprecedentsaucasdelachutelibredanslesreferentielsacceleres.Nous presenterons ici le calcul de la trajectoire dun point materiel en chute librepar rapport ` a un referentiel terrestre en rotation uniforme, autour de laxe des poles,devitesseangulaireparrapport` aunreferentielinertielcopernicienxe.Nouseectueronslintegration(approchee)desequationsdumouvementdecepointmaterieldanslerep`eremobileattache` alaterredeniparlamatrice8A = (eeer)o` u (r, , ) est un syst`eme de coordonnees polaires adapte au probl`eme : le pole Nordcorrespond`alacolatitude = 0etlep oleSud` a = .Levecteurinstantanederotationterrestreestdonnepar= e3=Aavec= const. > 0,cest-`a-dire = __sin 0cos __. (3.2.29)Notonsquelechampdegravitationestcentralet. . .attractif,i.e.G = g__001__(3.2.30)o` ug=const.>0designelintensitedelaccelerationdelapesanteurauvoisinagedusol.Les equationsdumouvement(3.2.26)secriventalorsR = G2R(R) (3.2.31)puisque = const.etb = 0.8. La matrice de changement de baseA SO(3) est identiee `a la base mobile orthonormeedirecte attachee `a la terre.3.2. CHANGEMENTSDEREFERENTIELSNONINERTIELS 45Nous nous proposons dintegrer (3.2.31) ennegligeant9les termes enO(2).Les conditions initiales choisies seront R(0) =R0etR(0) =0, i.e. onetudielatrajectoire dun point materiel lache sans vitesse initiale dun point R0. Les equationsdumouvementserontdoncapproximeesparR= G2R. (3.2.32)Posons apriori R(t) =12Gt2+ R0+ R1(t) o` uR1(t) designelapetitedeviationdetrajectoirerecherchee. Puisque |R1|=O(), ontrouveque(3.2.32) entraneR1 = 2Gt modulo des termes du second ordre en . Une integration elementairedonneR1 =Gt2puisqueetGsontdesvecteursconstantsetR1(0)=0.Il vient alors R1(t) =Gt3/3puisqueR1(0) =0. Onobtient nalement latrajectoiresuivanteR(t)=13Gt3+12Gt2+R0. (3.2.33)Enintroduisantlalatitude=/2 dupointconsiderereecrivons(3.2.33)commeR(t) R0 =_____0g cos t33g t22_____(3.2.34)pourmettreenevidenceunedeviationverslestdanslhemisph`erenord10parrapport`alaverticalelorsdelachutelibre.Exercice3.2.13. DeterminerladeviationverslestdunpointmateriellachesansvitesseinitialeduhautdelatourEiel,cest-`a-diredunealtitudeH = 275 m.Onprendra= 49oetg = 10 ms2.Demonstration. PosonsR=(X, Y, Z)pourobtenir,gr ace` alaloihoraire(3.2.34),Z Z0= H= g t2/2, i.e. letempsdechutet=_2H/g. Mais, dautrepart,Y 0 = g cos t3/3 = (g/3) cos [2H/g]3/2. /.^.OntrouveY = +6, 5 cm.9. Nous avons vu que2s2 = 5 109.10. Ladeuxi`emecomposantedeR(t) R0estpositivepourtoutt> 0puisque0 /2dans cet hemisph`ere.46 CHAPITRE3. MECANIQUEDESSYST`EMESENREP`ERESMOBILES3.2.7 Exemple:lependuledeFoucault(1819-1868)LexperiencedupenduledeFoucaultmetenevidencedemani`erespectaculaireleseetsdelaforcedeCoriolisdue`alarotationdiurnedelaterresurlemouvement dunpendule spherique, par exemple le pendule de 67 mexpose auPantheon(Paris).Vous etesinvites` avenirvoirtournerlaTerre.LeonFoucault(1851)Pourmettreenuvrelexpression(3.2.26)delaccelerationrelativedupenduledeFoucault,nousnegligeronscommeprecedemmentlestermesdusecondordreenla vitesse angulaire de la terre ; nous supposerons, de plus, que le pendule eectuedesoscillationsdefaibleamplitude(petitsmouvement)dansunplanZ = const.Si nous ne tenions pas compte des forces dinertie, le mouvement du pendule, delongueurdanslechampdepesanteurterrestreg=const.>0,seraitregiparlesequationsdumouvementdunpenduleoscillateurharmoniquebidimensionnel,i.e.__XY0__= g

__XY0__.Ces equations du mouvement doivent maintenant etre modiees en utilisant (3.2.26)pour prendre en compte la vitesse instantanee de la terre (3.2.29) que lon exprimeraplut otentermedelalatitudedupendule ;onaalors__XY0__ = g

__XY0__2__X= cos Y= 0Z= sin __

__XY0__.Ilvientalors,enposant0=_g/pourlapulsationpropredupendule,X 2ZY+ 20X= 0, (3.2.35)Y+ 2ZX + 20Y= 0, (3.2.36)ouencore,enposantW= X + iY ,W+ 2iZW+ 20W = 0. (3.2.37)3.2. CHANGEMENTSDEREFERENTIELSNONINERTIELS 47Lintegrationde(3.2.38)estaisee:onobtientW(t)= eiZ t(Acos 0t +Bsin 0t) (3.2.38)o` uA, B Csontdesconstantesdintegration.11LeplandoscillationdupenduledeFoucaultposs`ededoncunevitesseangulaireconstante= Z= sin parrapport`alaterre. Ceplaneectueainsi unerotationde360opendantletempsT=2[[=T[ sin [(3.2.39)o` uTdesignelejour sideral (laperiodederotationdelaterrepar rapport auxetoilesxes)./.^. Le plan doscillation du pendule de Foucault du Musee des Arts et Metiers(Paris)adoncpourperiodeT= 23 h 56

4

/ sin(48o50

)= 31 h 48

.Remarque3.2.14.Noter que < 0 si 0 < 90oet donc que la rotation du plandoscillation du pendule seectue, dans lhemisph`ere nord, dans le sens des aiguillesdunemontre.Alequateur, = 0,lependuledeFoucaultoscilledansunplanxe.11. Signalons que la solution generale de (3.2.38) est, en fait, W(t)=eiZt(Acos 1t +Bsin 1t) avecA, B C et1 =_20 + 2Z ; mais1 = 0(1 + O(2Z))= 0.48 CHAPITRE3. MECANIQUEDESSYST`EMESENREP`ERESMOBILESChapitre4Mecaniquedusolide4.1 Dynamiquedessyst`emesRappelons, an de preparer `a letude des equations de la mecanique de solide, lesresultats fondamentaux concernant la dynamique des syst`emes de points materiels eninteraction mutuelle et soumis `a laction de forces exterieures. Nous nous proposonsiciderappelerlestheor`emesgenerauxdelamecanique.Considerons un syst`eme de Npoints materiels M1, . . . , MNde masses m1, . . . , mNevoluant dans lespace euclidienE3sous leet de forces dinteractionmutuellesf12, . . . , fN1,Net de forces exterieures fext1, . . . , fextN. Nous supposerons que le referentieldanslequellesforcessontainsiexprimeesestunreferentielinertielxe.4.1.1 Theor`emegeneralILaforce` alaquelleestsoumiselepointMiestalorsfi=N

j=1j=ifij +fexti(4.1.1)pourtouti = 1, . . . , N.Laforcetotaleagissantsurlesyst`emef=N

i=1fi=N

i=1fexti(4.1.2)4950 CHAPITRE4. MECANIQUEDUSOLIDEest, defait,egale` alasommedesforcesexterieuresenvertudelatroisi`emeloi deNewtonouLoidelactionetdelareactionfij +fji= 0 i ,= j= 1, . . . , N (4.1.3)quiimpliqueimmediatement

i=j fij= 0.On rappelle que si pi= mvidesigne limpulsion du point Mi` a un instant donne,alorslimpulsiontotaledusyst`emep =

Ni=1piverielequationdierentielledpdt= f (4.1.4)o` u fest la forcetotale exterieure (4.1.2). Lequation (4.1.4) resulte directement dela seconde loi de Newton : mir = fi, pour tout i = 1, . . . , Net constitue le Theor`emegeneralI.4.1.2 Theor`emegeneralIIAyantchoisiunreferentielinertiel,doncuneorigineO,nouspouvonsdenirlemoment de la force au point Mi par ki= rifi o` u ri= OMi pour tout i = 1, . . . , N.De meme, le moment angulaire du point materiel Mi, dimpulsion pisera deni par

i=ri pipour tout i =1, . . . , N. ^.B. Ces quantites physiques dependentexplicitementdelorigine,O(onditaussipointdebase)choisie.Lemomenttotaldesforcesappliqueesausyst`emek =N

i=1ki=N

i=1rifexti(4.1.5)est alors lemoment total des seules forces exterieures. Ceci resulteencoredelatroisi`emeloideNewton evoqueeplushaut.Si =

Ni=1 idesignemaintenantlemomentangulairetotal dusyst`emeparrapport au point O, ` a un instant donne, levolution temporelle de cette quantite estgouverneeparlequationdierentielleddt= k (4.1.6)4.1. DYNAMIQUEDESSYST`EMES 51o` ukestlemomenttotal (4.1.5)desforcesexterieures. Lequation(4.1.6)resulteaussidelasecondeloideNewtonetconstitueleTheor`emegeneralII.Proposition 4.1.1.Lors dun changement dorigine b = OO

, le moment angulairesetransformecommesuit =

+b p (4.1.7)o` u(resp.

)designelemomentangulaireparrapport`aO(resp.O

)etplimpul-siontotaledusyst`eme.Demonstration. Ontrouveaisement =N

i=1OMipi=N

i=1(OO

+O

Mi) pi= OO

p +

etdoncleresultatattendu.Exercice4.1.2. Prouverlona, dememe, laloi detransformationsuivantepourlemomenttotal desforcesk = k

+b f . (4.1.8)Denition4.1.3. OnappelletorseurtoutefonctionM (L, P)delespaceeu-clidienE3`avaleursdans R3R3setransformantcommesuit(L

, P

) = (L +PMM

, P) (4.1.9)sousunetranslationMM

.Lecouple(, p)estappeletorseurcinetiqueet(k, f )representequant`aluiletorseurdynamiquedusyst`emedepointsmaterielsconsidere.Exercice4.1.4. Onappellecoupletout torseurdynamique(k, f )tel quef =0 ;montrerquelemomentdesforces,k,estindependantdupointdebase.52 CHAPITRE4. MECANIQUEDUSOLIDE4.2 CongurationssolidesUnsolideest, pardenition, unensembledepointsmaterielsindeformable,cest-` a-diredonttouslespointsrestent` adistancexelesunsdesautresaucoursdutemps.Denition4.2.1. Unsyst`emedepointsmaterielsM1, . . . , MNestappelesolidesi|MiMj| = const.`achaqueinstantetpourtousi, j= 1, . . . , N.Nous etendons immediatement cette denition au cas dune distribution continuedemasse(parexempleunetoupie).Denition4.2.2. Unsyst`emedepointsmateriels o E3constitueunsolidesi|MN| = const.`achaqueinstantetpourtousM, N o.4.2.1 EspacedecongurationCommentmaintenantxerlacongurationdunsolide ?Supposons donne un referentiel xe euclidien 1 = (O, (e1e2e3)). Pour deter-minerlacongurationdunsolide oparrapport`acereferentiel, il nousfautxertrois pointsdierentsdusolide, disonsuneorigineO

oetdeuxautrespointsM, N onontoustroisalignes. AlorsO

Met O

Nsont independants. Soit e

1ladirectiondeO

Mete

2celledeO

M O

N; lamatriceA=(e

1e

2e

3)avece

3= e

1e

2est, gr ace `a (3.1.10) une matrice de rotation, A SO(3), compl`etementdetermineeparO

, M, Nquixentlacongurationdusolide.Nousvenonsdeprouverquunecongurationdunsolide oestdetermineeparunematricederotationA=(e

1e

2e

3)denissantunrep`ereorthonormedirectenun point O

lie au solide et par un vecteur b = OO

donnant la position du point O

parrapport` alorigine,O,dureferentielxe.11. Une conguration dun solide est donc, en denitive, rep`ere euclidien 1

= (O

, (e

1e

2e

3)).4.2. CONFIGURATIONSSOLIDES 53Proposition4.2.3. LespacedecongurationdunsolideestSO(3) R3.Nousavonsvuauchapitreprecedentquecetespacenestautrequelegroupe(Special)euclidien,SE(3).4.2.2 ChampdevitessedanslessolidesNouspouvonstireravantagedesresultatsobtenusdanslechapitreconcernantleschangementsdereferentielsnoninertiels.Lesolide oestmaintenantanimeduncertainmouvementetsaconguration` alinstanttestainsidetermineeparuncouple(A(t), b(t)) SE(3).Nous avons vu(cf. (3.2.16)) quelavitesseabsolue, v, dunpoint M odusolide est donnee par v = vrel +b+rrelo` u vrel= 0 est sa vitesse relative (nullepuisquelepointMestxeparrapportausolide),b=OO

etrrel=O

M;icirepresente le vecteur instantane de rotation du (referentiel lie au) solide par rapportaureferentiel xe. OnresumeparlaformuledonnantlavitessedunpointMdusolide, ` asavoirvM=vO + O

M. LespointMetO

etantarbitraires, nousavonsprouvelaProposition 4.2.4.La vitesse vMdun point Mdun solide et reliee `a la vitesse vNdunautrepointNparlarelationsuivantevM= vN+MN (4.2.1)o` uestlevecteurinstantanederotationdusolideparrapportaureferentiel xe.Remarque 4.2.5. Le vecteur instantane de rotationne dependpas duchoixduneorigineO

,il nestdeniqueparlamatricederotationA,cf.(3.2.4) ;laloidetransformation(4.2.1)montrealorsquelecouple(v, )estuntorseurausensdelaDenition4.1.3:nouslappelleronstorseurcinematique.Exercice4.2.6. ProuverlaproprietedequiprojectivitedelavitessevM, MN) = vN, MN)valablepourtousM, N o.54 CHAPITRE4. MECANIQUEDUSOLIDE4.3 CinetiquedessolidesLa notion qui remplace, dans le cas continu, la distribution de masse (mi)i=1,...,Nestcellededensitedemasse,fonctioncontinue : o R+caracteristiquedelacompositionphysiquedusolide.Denition4.3.1. Onappellemassedusolide(o, )laquantiteM=_S(r) dV (r) (4.3.1)o` udV (r) = dx dy dzdesignelelementdevolumecanoniquede R3.Remarque4.3.2. Nousferonslhypoth`esequunsolide oestunepartiecompacteetorienteedelespaceE3,doncdevolumeniV=_SdV (r) < +.4.3.1 CentredinertieIntroduisonslanotionimportantedecentredemassedunsyst`eme(discretoucontinu)depointsmateriels.Denition 4.3.3. On appelle barycentre Rdun ensemble (Mi, mi)i=1,...,Ndepointsmateriels,associe`auneorigineO,levecteurR =1MN

i=1miri(4.3.2)o` u ri= OMidesigne le rayon vecteur du point Mirelativement `a O et M=

Ni=1milamassetotaledusyst`eme.Lebarycentredunsolide(o, )est,dememe,deniparR =1M_S(r) r dV (r) (4.3.3)avecladenition(4.3.1)delamasseMdusolide.4.3. CINETIQUEDESSOLIDES 55Denition4.3.4. Onappellecentre de masse(ouencorecentre dinertie)dunensembledepointsmaterielslepointGdeniparOG = R (4.3.4)o` uRdesignelebarycentredusyst`emerelativementaupointO.Remarquons que le centre de masse Gest, contrairement au barycentre, independantduchoixduneorigineO.Exercice4.3.5. Prouver, parexemple dansle cas discret,que le centrede masseGestuniquementdeniparlarelationN

i=1miGMi= 0 (4.3.5)quienconstitueunedenitionalternative.Un corollaire important du Theor`eme general I (4.1.4) et de la denition (4.3.2),(4.3.3)dubarycentreestdonneparlaProposition4.3.6. LemouvementR(t)dubarycentredunsyst`emedemasseto-taleMestregiparlequationdierentiellesuivanteM R = f (4.3.6)o` uf designelaforcetotaleexterieure.Lemouvementdubarycentrecorrespondaumouvementdunpointmaterieldemasse, la masse totale, soumis ` a une force representee par la force totale exterieure.Exercice4.3.7. (i)DeterminerlapositionducentredemasseGdundemi-disquehomog`enederayonR.(ii)Memequestionpourunhemisph`erepleinderayonR.Demonstration. (i)Consideronsledemi-disque odeniparx2+y2 R2et0 y ;si Mdesigne la masse de oet= M/(12R2) sa densite on a clairement R = (0, Y )o` uY= (1/M)_Sy dxdy= (2/R2)_[O,R][0,]r sin rdrd,i.eY= 4R/(3).(ii)Silhemisph`erepleinderayonRestdeniparx2+ y2+ z2R2et0 z,ontrouveR = (0, 0, Z)o` uZ=38R.56 CHAPITRE4. MECANIQUEDUSOLIDEExercice4.3.8.Determiner la position du centre de masse G dun cone homog`ene,plein,dehauteurhetderayonR.Demonstration. Considerons le cone o, dont la pointe est lorigine O, deni encoordonneescylindriques(r, , z)par0 2, 0 r Rz/het0 z h.LelementdevolumeencoordonneescylindriquesetantdV =rdrddz, levolumede oestV =_S dV =13R2h. LebarycentreduconeestalorsR=(0, 0, Z)o` uZ= (1/V )_S z dV= (1/V )_h0zdz_Rz/h0rdr_20detnalementZ=34h.4.3.2 OperateurdinertieConsiderons maintenant unsolidemobileautour dunpoint xeO. Enayantrecours` a(3.2.16), etaufaitqueb=0etvrel=0, onvoitquelavitesseabsoluedunpointrdecesolideestv = r. (4.3.7)Supposons, pour linstant, le solide forme de Npoints distincts. Le momentangulaire dun point materiel r de masse m par rapport `a Ose calcule aisement ; ontrouve = mr v = mr ( r) = mr (r ),cest-`a-dire = mj(r)2. (4.3.8)Do` ulelemmesuivantdonnantlemomentangulairetotaldusolide.Lemme4.3.9. (i)Lemoment angulairetotal parrapport `aunpoint xeOdunsolideformedeNpointsmateriels(ri, mi)i=1,...,Nestdonnepar = I (4.3.9)o` uI est unoperateurlineaireappeleoperateur dinertiedusyst`eme ; cest unoperateursymetriquequiprendlaformeI = N

i=1mij(ri)2(4.3.10)=N

i=1mi_|ri|21 riri_(4.3.11)danslecasdiscret.4.3. CINETIQUEDESSOLIDES 57(ii)Danslecasdunsolide(o, ),lemomentangulairedusolideparrapportaupointxeOesttoujoursdonnepar(4.3.9),etloperateurdinertieparI = _S(r) j(r)2dV (r) (4.3.12)=_S(r)_|r|21 r r_dV (r) (4.3.13)danslecascontinu.Demonstration. (ii) Il sut dappliquer (4.3.8) pour calculer le moment angulaire idechaquepointripouri = 1, . . . , N.Lemomentangulairetotaldusyst`eme etant=

Ni=1 i, laformule(4.3.10)suit. Lexpression(4.3.11)estdeduitede(3.2.8).Loperateur est trivialement symetrique, I= I, puisque la dyade riri est symetrique.(ii) Le moment angulaire total du solide est=_S ((r) r v) dV (r) et lexpres-sion(4.3.12)estalorsdeduitede(4.3.8).Exercice4.3.10. Prouverqueloperateurdinertie(4.3.11)prend,encoordonneescartesiennes,laformesuivanteI=_____+

Ni=1mi(y2i+z2i )

Ni=1mixiyi

Ni=1mixizi

Ni=1mixiyi+

Ni=1mi(x2i+z2i )

Ni=1miyizi

Ni=1mixizi

Ni=1miyizi+

Ni=1mi(x2i+y2i)_____(4.3.14)Exercice4.3.11. Prouverqueloperateurdinertie(4.3.13)prend,encoordonneescartesiennes,laformesuivanteI=____+_S (y2+ z2)dV _Sxy dV _Sxz dV_Sxy dV +_S (x2+ z2)dV _Syz dV_Sxz dV _Syz dV +_S (x2+ y2)dV____(4.3.15)Corollaire 4.3.12.Le moment angulaire L dun solide (o, ) par rapport `a un pointxeO,exprimedanslereferentiel mobileA(t)estdonnepar = AL (4.3.16)58 CHAPITRE4. MECANIQUEDUSOLIDEcest-`a-direL = 1 (4.3.17)o` uestlevecteurinstantanederotationexprimedanslerep`eremobile,= A,et 1= A1IAloperateurdinertiedanslerep`eremobile.2Demonstration. Il sutdutiliserlesformulesdepassagedurep`erexeaurep`eremobile,formulesrappeleesdanslenonce.Remarque4.3.13. Loperateurdinertieestunoperateursymetrique, il estdoncdiagonalisable. Sesdirectionspropressont appeleesdirectionsprincipalesouaxesprincipauxdinertiedusolide. Enpratique, onram`enelecalcul deloperateurdinertieI`aceluidesesvaleurspropresI1, I2, I3.Exercice4.3.14. (i)CalculerloperateurdinertieI parrapport aucentreduneboulehomog`enedemasseMet derayonR. (ii)Memequestionpourunesph`erehomog`ene de masse Met de rayon R. (iii) Meme question pour un disque homog`enedemasseMetderayonR.Demonstration. Reponse : (i) Pour une boule B3R homog`ene et de masse Mla densiteest = M/(43R3) ;utilisantlefaittrivial_B3Rx2dxdydz=_B3Ry2dxdydz=_B3Rz2dxdydz=134R55(4.3.18)ontrouveaisementI= diag(I1, I1, I1)avecI1=25MR2.(ii)Pourunesph`ereS2Rhomog`enedemememasse, = M/(4R2)etpuisque_S2Rx2dS=_S2Ry2dS=_S2Rz2dS=13 4R4(4.3.19)ilvientnalementI= diag(I1, I1, I1)avecI1=23MR2.2. Nous ne considererons desormais comme objet fondamental que loperateur dinertie 1 propre,cest-`a-dire relatif au solide.4.3. CINETIQUEDESSOLIDES 59(iii) Pour undisquepleinD2Rhomog`ene etde masse Mdans le planz= 0,ona = M/(R2)et_D2Rx2dS=_D2Ry2dS=14 R4(4.3.20)do` u I= diag(I1, I1, I3) avec I1=14MR2et I3=12MR2. Nous remarquons que, pourcesolideplan,onaI3= I1 +I2danslesaxesprincipauxdinertie. Cefaitestgeneral commelemontreclairementlaformule(4.3.15).Exercice 4.3.15. Determiner loperateur dinertie I duncylindre homog`ene demasseM,dehauteurhetderayonRparrapport`asoncentredinertie.Demonstration. OntrouveI=diag(I1, I1, I3)avecI1=14M(R2+13h2)et,dautrepart,I3=12MR2.Exercice4.3.16. CalculerloperateurdinertieIdunellipsodeplein,homog`ene,demasseMetdedemi-axes(a, b, c).Demonstration. Le bord de lellipsode, c, a pour equation x2/a2+y2/b2+z2/c2= 1.Posonsx

=x/a,y

=y/cetz

=z/cdesortequedanscesnouvellescoordonneesonax2+ y2+ z2=1, i.e. lequationdunesph`erederayonR=1. OnadoncI1=_E (y2+z2) dxdydz= _B31abc(b2y2+c2z2) dx

dy

dz

. En utilisant le resultat(4.3.18)avecR = 1pourlesvariablesx

, y

, z

ontrouveI1=abc(4/15)(b2+c2).Onsait, dautrepart, que=M/(43abc) ; ceci entraneI1=15 M(b2+ c2). NousobtenonsennI= diag_15 M(b2+ c2),15 M(c2+a2),15 M(a2+b2)_.Proposition 4.3.17.Les valeurs propres (I1, I2, I3) de loperateur dinertie verientlesinegalitestriangulairesI1 I2 +I3, I2 I3 +I1, I3 I1 +I2,dontcertainesdeviennentdesegalitesdanslecasdesolidesplans.60 CHAPITRE4. MECANIQUEDUSOLIDEDemonstration. On voit (4.3.15) que I1+I2=_S (y2+ 2z2+x2) dV , donc I1+I2=I3 + 2_Sz2dV I3.Ona egalitesiz= 0,i.e.danslecasdunsolideplan.Denition-Theor`eme4.3.1. On appelle rotateur tout solide dont les points sontdistribuessurunedroite, parexempleladroitex=y=0. LoperateurdinertiedunrotateurestI= diag(I1, I1, 0). (4.3.21)Demonstration. Trivial.Exercice4.3.18. Donner loperateurdinertie IGpar rapportau centre dinertie GenfonctiondeloperateurdinertieIOparrapportaupointxeOenprouvantqueIG= IO +Mj(R)2(4.3.22)o` uR = OGdesignelebarycentreetMlamassetotale.Demonstration. Eectuonslecalculdanslecasdiscret.OnaOMi=OG + GMipour tout i =1, . . . , Nde sorte que j(OMi)2=j(OG)2+j(GMi)j(OG)+j(OG)j(GMi) + j(GMi)2.Ladenition(4.3.10)deIOdonnealorsIO= N

i=1mij(OMi)2= N

i=1mi_j(OG)2+ j(GMi)j(OG) + j(OG)j(GMi) + j(GMi)2= M j(OG)2+IGgr ace `a la denition (4.3.5) du centre de masse, et en appelant Mla masse totale.4.3. CINETIQUEDESSOLIDES 614.3.3 EnergiecinetiquedusolideOnpeut maintenant determiner lenergiecinetiquedusolide(par rapport aurep`ere xe) entrant dans la denition du lagrangien. Nous exprimerons cette quantite` alafoisdanslerep`erexeetdanslerep`eremobilelieaupointxe,O.Theor`eme4.3.19. Lenergiecinetiquedusolidemobileautourdunpointxe,O,estdonneeparlaformequadratiquesuivanteenlavitesseangulaireT =12, I ) =12, ), (4.3.23)=12, 1 ) =12, L). (4.3.24)Demonstration. OnsaitqueT=12

Ni=1mi|vi|2danslecasdiscret, parexemple.Gr ace` a(4.3.7),ontrouveT =12N

i=1mi| ri|2=12N

i=1mi, ri( ri))=12N

i=1mi, j(ri)2)=12,_N

i=1mij(ri)2_)=12, I)avec la denition (4.3.10) de loperateur dinertie. Le reste de la preuve decoule de larelation (4.3.9) entre moment angulaire et vitesse angulaire. Lexpression (4.3.24) delenergiecinetiqueentermedesquantitesprecedentesexprimeesdanslereferentielmobilelieausolidesuitdufaitque= AetI= A1A1,avecA SO(3).Lenergiecinetiquedunsolide evoluantdanslespacesanspointxe,secalculemaintenantaisement ;elleestdonneeparle62 CHAPITRE4. MECANIQUEDUSOLIDECorollaire 4.3.20.Lenergie cinetique dun solide est somme de lenergie cinetiquedetranslationducentredinertie,G,etdelenergiecinetiquederotationautourdupointG,i.e.T=12M|vG|2+12, IG ) (4.3.25)o` uMestlamassetotale,vGlavitesseducentredinertieGdusolide,IGestsonoperateurdinertierelativement`aGetsavitesseangulaire.Demonstration. Travaillons, commeprecedemment, danslecasdunsolideformedeNpoints. LenergiecinetiqueestT=12

Ni=1mi|vi|2o` u, cf. (4.2.1), lavitessedupoint Miest vi=vG+ GMipour tout i =1, . . . , N. OntrouvealorsaisementT =12

Ni=1mi (|vG|2+ 2vG, GMi) +| GMi|2)ouencore, endeveloppant, T=12 M|vG|2+ vG ,

Ni=1miGMi) +12

Ni=1mi| GMi|2,en designant par Mla masse totale. Le deuxi`eme terme sannule en vertu de (4.3.5)etletroisi`emedonnepar(4.3.23)avecO = G.4.3.4 DynamiquedusolideDonnons,danscechapitre,les equationsdumouvementdunsolideenpresencede forces exterieures. Nous supposerons, pour simplier, ce solide mobile autour dunpointxe, O. Cetterestriction, peufondamentale, permetladescriptioncompl`eteduncertainnombredesyst`emes mecaniques depremi`ereimportancecommelestoupies,lesgyrocompas,lesgyroscopesdedies` alastabilisationdesvehicules,etc.OndeduitduTheor`emegeneralII,` asavoirdelequation(4.1.6),leTheor`eme4.3.21. Soitklemomentdesforcesexterieuresappliquees`aunsoliderelativement `a un point O; levolution temporelle du moment angulairede ce solideestgouverneeparlequationdierentielleddt= k. (4.3.26)4.3. CINETIQUEDESSOLIDES 63Compte tenude la relation(4.3.9) entre moment angulaireet vitesse an-gulairedusolideonobtient dans lecas tr`es particulier dunsolide`asymetriespheriqueo` uI= diag(I1, I1, I1)leCorollaire4.3.22. Enlabsencedeforcesexterieures,lemomentetlavitessean-gulairesdunsolide`asymetriespheriquesontdesconstantesdumouvement,3 = const. & = const. (4.3.27)Demonstration. Ondeduitde(4.3.26)etdek=0que=const. Mais=I1,donc= /I1= const.Remarque4.3.23. Attentionetnesontdesvecteursparall`elesquedanslecasdesboulesetdessph`eres(solidesSO(3)-invariants).Illustrons le Theor`eme 4.3.21 par un exemple mettant en evidence le mouvementde precessiondune toupie avec point xe dans le champ de pesanteur terrestre. (Latoupie tombe comme tout corps dans le champ de gravitation mais sa chutelibre est de nature plus subtile et complexe que celle dun simple point materiel.)Exemple4.3.24. Consideronsunetoupiesymetrique, I1=I2, demasseM, avecpoint xe O. Cette toupie est plongee dans le champ de pesanteur terrestre g = const.OndesigneparR=OGsonbarycentre, parR= |R|ladistancedupoint OaucentredemasseGetparu = R/Rladirectiondubarycentre.Danslapproximationgyroscopique o` u le spin est dominant on appelle spin ou vitesse angulaire proprelevecteurspin=spinuderotationinstantaneedelatoupieautourdesonaxedesymetrie.Danscetteapproximationonaspin = const.et

= Ispin(4.3.28)o` uI= I3estlemomentdinertieparrapport`alaxedesymetriedelatoupie.3. Une toupie libre `a symetrie spherique tourne uniformement autour dune direction xe !64 CHAPITRE4. MECANIQUEDUSOLIDEOnobtient,grace`a(4.3.26)etaufaitquek = RMg = MRug,lequationdierentielle

= I spin= Ispin u = MRgu, conduisant `a lequation dierentiellesuivantegouvernantlemouvementdelaxedelatoupiedudt= precu o` u prec= MRIsping. (4.3.29)Ladirectiondelatoupieevoluedoncaucoursdutempsselonlaloiu(t)=A(t)u0o` uA(t)estunematricederotationautourdelaverticale(ladirectiondeg)etdevitesseangulaireconstantedeprecessionprec=MRgIspino` ug= |g|estlintensitedelaccelerationdelapesanteur.44.3.5 LoisdelastatiqueUnsolideestenequilibrestatique si chacundesespointsaunepositionxe,doncunevitessenulle ; limpulsiontotaleet lemoment angulairetotal dusolidesontdoncnuls,i.e.p = 0et = 0.Cecisignie,cf.lesTheor`emesgeneraux(4.1.4)et(4.1.6), quelasommedesforcesexterieuresagissantsurlesolideetlemoment,parrapport` aunpointO,decesforcessontnecessairementtousdeuxnuls.Denition4.3.25. Soient f lasommedesforcesexterieureset klemoment desforcesexterieuresrelativement`aunpointOagissantsurunsolide.Lesconditionsdequilibredecesolidesontf= 0 & k = 0 (4.3.30)Remarque4.3.26. Lesconditionsdequilibre(4.3.30)sont,enfait,independantesduchoixdupointdebaseO.Quandilyacontactentresolides,lesconditionsdequilibredoiventsappliquer` a chaque solide. Le contact entre deux solides en equilibre est garanti par la presence4. On a bienA(t)A(t)1= j(prec).4.3. CINETIQUEDESSOLIDES 65deforcesdecontactappeleesencoreforcesdereactionentresolides. Lessolidespouvant eventuellement etrereliesentreeuxpardeslsrigides,ilconviendraausside tenir compte des tensions des ls dans le bilan des forces de liaison entre solides.Les forces exterieures auxquelles est soumis chaque solide individuellement incluentdoncnecessairementlesforcesdecontact,deliaison,defrottement.Exercice 4.3.27.On consid`ere une echelle double B1AB2dont les montants AB1etAB2, demassenegligeable, sontarticulesautourdunecharni`ereA. Lesmontantssont relies par unl B1B2inextensible. Une personne de poids Pse trouve aumilieu, G, du montant AB1de lechelle dont les pieds B1et B2sont en contact sansfrottement aveclesol horizontal. Lesyst`emeetant enequilibre, determiner(i)lareactionRA1exerceeenAparlatigeAB2surlatigeAB1, (ii)lesreactionsdusolRB1, RB2et(iii)latensionTB1dulenfonctiondePetdelangleentrelesmontantsdelechelleetlhorizontale.Demonstration. TraitonslesdeuxsolidesAB1etAB2separement. Rappelonsquela Loi de laction et de la reaction (4.1.3) implique RA1+RA2= 0 et TB1+TB2= 0.Lesconditionsdequilibre(4.3.30)secriventmaintenantRA1 +RB1 +TB1 +P = 0 (4.3.31)B1ARA1 +B1GP = 0 (4.3.32)RA2 +RB2 +TB2= 0 (4.3.33)B2ARA2= 0 (4.3.34)Onobtientaisement,` apartirde(4.3.34),AB2RA2= 0,i.e.RA2//AB2.PrenonsO=B1commeorigine, excommeladirectiondeB1B2eteycommecellede P.OnaRA1= RA2=_ RA cos RA sin _, RB1=_0RB1_, RB2=_0RB2_,dememequeTB1= TB2=_T0_, P =_0P_,66 CHAPITRE4. MECANIQUEDUSOLIDEo` u RA, RB1, RB2, Tsont des constantes et P= |P| le poids de la personne. Il vient,gr ace` a(4.3.31),_ RA cos + T = 0+RA sin +RB1P = 0(4.3.35)et,grace` a(4.3.32),2LRA sin cos 12LP cos = 0 (4.3.36)en designant provisoirement par L la longueur des montants de lechelle. Enn (4.3.33)entrane_+RA cos T = 0RA sin + RB2= 0(4.3.37)Ondeduitde(4.3.35)queT=RA cos &RB1=P RA sin etde(4.3.37)queRB2= RA sin .Enn,(4.3.36)entraneRA=P4 sin , RB1=3P4, RB2=P4 , T=P4 tan ,cequiconstitueleresultatattendu.4.4 EquationsdEuler&mouvementsdePoinsotNous etudions dans ce chapitre le mouvement dunsolide libre autour dunpoint O, cest-`a-dire mobile autour dun point xe en labsence de forces exterieures.4.4.1 EquationsdEulerLetheor`eme(4.3.26)nousapprendalorsquelemomentangulairedusolideparrapport`aOetdanslerep`erexeest = const.Theor`eme 4.4.1.Levolution temporelle du moment angulaire L dun solide libre,parrapport `aunpoint xeO, est gouvernee, dansunrep`eremobilelieausolide,par5dLdt= L (4.4.1)o` ulevecteurrepresentelavitesseangulairedusolide.5. Ce theor`eme est d u `a L. Euler, Theoria motus corporum solidorum (1765).4.4. EQUATIONSDEULER&MOUVEMENTSDEPOINSOT 67Demonstration. Puisque = AL = const.o` u,cf.(4.3.16),A(t) SO(3)representelacongurationdusolide` alinstant t, ona =AL + AL=0. Il sensuit queAA1AL+AL=j()AL+AL=0, gr ace `a(3.2.4). Mais (3.2.10) conduit, si= A, ` a Aj()A1AL+AL = 0, i.e. `a A(j()L+ L) = 0 qui ach`eve la preuve.Exprimons maintenant les equations