informe experimento bernoulli

5/14/2018 informe experimento bernoulli - slidepdf.com

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1

DETERMINACIÓN DE UN MODELO MATEMÁTICO PARA DESCRIBIR Y MODELAR UNFENÓMENO FÍSICO Y NATURAL.

DETERMINATION OF A MATHEMATICAL MODEL FOR DESCRIBING AND MODELING APHYSICAL AND NATURAL PHENOMENON.

Fabio E. Garzón1, Rurich A. Garzón2, Johan I. Castillo3

Universidad Nacional de Colombia

Maestría en Enseñanza de las Ciencias Exactas y Naturales

ResumenEstudiantes de la maestría en Enseñanza de las ciencias exactas y naturales de la Universidad Nacional de

Colombia realizaron un experimento para medir el tiempo que el agua contenida en una botella tarda en salir a

través de un orificio perforado en la tapa de la misma y construir a partir de esta información un modelo

matemático que relacione las variables involucradas; volumen, tiempo, el diámetro del orificio. Las propiedades

de los logaritmos y el programa Excel fueron utilizados como apoyo para llevar a cabo esta experiencia.

Palabras Claves Medición, modelación, determinación, logaritmos, gráfica, relación, proporcionalidad.

AbstractStudents from the Masters in the Teaching of Natural Sciences, National University of Colombia conducted an

experiment to measure the time that delays the water in a bottle in getting out through a hole drilled in the lid of

the same and to build on this information a mathematical model that relates the variables involved; volume, time,

size of the hole. The properties of logarithms and the Excel program were used as support to carry out this

experiment.

Key Words Measurement, modeling, identification, logs, graphics, relationship, proportionality.

IntroducciónLa experimentación es una parte importante en el

proceso de enseñanza aprendizaje de las Ciencias

Exactas y Naturales. Experiencias como la llevada acabo en este experimento permiten que matemáticas,

física, estadística e informática converjan, para buscar

y hallar una solución a la pregunta de cómo hacer un

modelo matemático que explique adecuadamente el

tiempo de vaciado de un recipiente con agua con eldiámetro del orificio por donde sale en la parte inferior

cuando el volumen de llenado es constante y como se

obtiene esta relación.

En este caso se partió de los datos obtenidos por medio

de la experimentación para hallar una expresión

matemática que describa de forma coherente la

experiencia; se utilizó el programa Excel para1Licenciado En Biología Universidad Distrital

([email protected])2Licenciado En Matemáticas Universidad

Distrital([email protected])3Licenciado En Matemáticas Universidad Distrital

([email protected])

sistematizar los valores obtenidos durante el

experimento y realizar las graficas del logaritmo de t(tiempo) y el logaritmo de d (diámetro del orificio) y la

grafica de t en función de 1/d2

para cada volumen dellenado.

Presentación De ObjetivosObjetivo General:Determinar un modelo matemático para describir y

modelar un fenómeno físico.

Objetivos Específicos:1. Predecir el fenómeno natural con base en las

relaciones matemáticas halladas.

2. Ajustar la precisión del modelo estadístico.

3. Utilizar el programa Excel como herramienta de

modelación.

Marco TeóricoEn el marco del análisis estadístico multidimensional

interesa, en gran medida, descubrir la interdependencia



2

o la relación existente entre dos o más de las

características analizadas.

La dependencia entre dos o más variables puede ser tal

que se base en una relación funcional (matemática)

exacta, como la existente entre la velocidad y la

distancia recorrida por un móvil; o puede ser

estadística. La dependencia estadística es un tipo derelación entre variables, tal que conocidos los valores

de la variable independiente no puede determinarse con

exactitud el valor de la variable dependiente, aunque si

se puede llegar a determinar un cierto comportamiento

global de la misma. (Ej: La relación existente entre el

peso y la estatura de los individuos de una poblaciones

una relación estadística). Pues bien, el análisis de la

dependencia estadística admite dos planteamientos

(aunque íntimamente relacionados): I. El estudio de

grado de dependencia existente entre las variables que

queda recogido en la teoría de la correlación. II.La

determinación de la estructura de dependencia quemejor exprese la relación, lo que es analizado a través

de la regresión.

Una vez determinada la estructura de esta dependencia

la finalidad última de la regresión es llegar a poderasignar el valor que toma la variable Y en un individuo

del que conocemos que toma un determinado valor

para la variable X (para las variable X₁,X₂,….Xn).

En el caso bidimensional, dadas dos variables X e Y

con una distribución conjunta de frecuencias ( Xi, Yj,nij), llamaremos regresión de Y sobre X ( Y/X) a una

función que explique la variable Y para cada valor de

X, y llamaremos regresión de X sobre Y (X/Y) a unafunción que nos explique la variable X para cada valor

de Y.

Podemos clasificar los tipos de regresión según

diversos criterios, En primer lugar, en función del

número de variables independientes:

I. Regresión simple: Cuando la variable Y depende

únicamente de una única variable X.

II: Regresión múltiple: Cuando la variable Y depende

de varias variables (X1, X2, ..., Xr)

En segundo lugar, en función del tipo de función f(X):

I. Regresión lineal: Cuando f(X) es una función lineal.

II. Regresión no lineal: Cuando f(X) no es una funciónlineal.En tercer lugar, en función de la naturaleza de la

relación que exista entre las dos variables:

La variable X puede ser la causa del valor de la

variable Y.

Por ejemplo, en toxicología, si X = Dosis de la drogae Y = Mortalidad, la mortalidad se atribuye a la dosis

administrada y no a otras causas.

Es posible hacer inferencia acerca de qué tipo de

regresión lineal pueda dar a lugar, en primera instancia

realizamos un diagrama de dispersión para observar

que comportamiento aparente tienen los datos a

analizar, en el diagrama 1se aprecia un diagrama con

tendencia lineal

Diagrama 1. Diagrama de dispersión con tendencia

lineal, a la izquierda correlación lineal positiva, a la

derecha correlación lineal negativa

Otros diagramas de dispersión no presentan parecido a

una recta, por tanto pueden ser o bien tratados como

posibles correlaciones o bien potenciales, o

logarítmicas o exponenciales.

Diagrama 2 – diagramas de dispercion con

correlacion logaritmica, potencial o exponencial

Es de importancia en este documento las regresiones

de tipo potencial, ya que ellas son las que modelan el

fenómeno que vamos a abordar, por tanto se centrara

en ellas.

Una relación potencial es de la forma , donde

y es la variable dependiente, x es la variable

independiente y las constantes a y b se desconocen.

Para descartar posibles errores, se procede a hacer un

cambio de variables y a linealizar la curva. Gracias al

uso de software, como Excel, es posible realizar la

regresión potencial solo teniendo en cuenta unas pocas

cosas. En primer lugar hacer el arreglo de forma

adecuada para que Excel grafique, eso sí atendiendo las

indicaciones del diagrama 3

Es mucho más sencillo hallar la ecuación de una recta

que de una curva, es decir, una vez hallada la ecuación

linealizada, se procede a hacer nuevamente el cambio

de variables y así obtener la relación potencial.



3

Diagrama 3 – cambio de variables y constantes en la

linealizacion de una relación potencial1

De forma automática Excel nos arroja el estimado para

el R2. El coeficiente de correlación de Pearson, r, nos

permite saber si el ajuste de la nube de puntos a la recta

de regresión obtenida es satisfactorio. Se define como

el cociente entre la covarianza y el producto de las

desviaciones típicas (raíz cuadrada de las varianzas). Si

R2 =1 no hay residuos: habrá una dependencia

funcional. Cuanto más se acerque dicho valor a la

unidad, mayor poder explicativo tendrá el modelo de

regresión. Cuanto más cercano a 0 esté dicho valor,

menor poder explicativo; Si R2 = 0 entonces X no

explica en absoluto ninguna de las variaciones de la

variable Y , de modo que o bien el modelo es

inadecuado, o bien las variables son independientes.

Descripción Del ExperimentoEl arreglo básico para la experiencia, mostrado en la

figura 1 consta de los siguientes elemento (materiales)

1 botella de gaseosa de aproximadamente 1350

ml de capacidad a la que se la haya quitado el

fondo. La botella debe llevar una cinta para

marcar las mediciones.

1 Tomado de Regresiones - Rosario Ruiz Baños.

Departamento de Biblioteconomía y Documentación.

Universidad de Granada (España)

4 tapas de botella con orificios de diámetros

así: Tapa azul: 2,5 mm, Tapa roja: 3,5 mm,

Tapa amarilla: 4,8mm y Tapa verde: 6mm.

Un cronómetro.

Un recipiente de menor capacidad de la botella

(unos 160 ml); se usa de unidad de medida devolúmenes de agua.

Un recipiente para recibir el agua que sale de

la botella.

Computador con programa Excel instalado.

Figura 1 - configuración del experimento2

ProcedimientoSe procede con el montaje según mostrado en la figura

1, se debe medir el tiempo que demora en desocuparse

la botella en la que previamente se ha puesto un

volumen conocido de agua. El procedimiento se realiza

registrando en una tabla el tiempo empleado para su

vaciado hasta seis volúmenes dejando fijo el diámetrode salida (tapa), luego se itera el procedimiento

cambiando el diámetro de salida (tapa).

Se realizo tres mediciones para cada montaje, con un

volumen fijo para todo el experimento, solamente

variando la tapa, la cual tiene 4 diámetros de salida

diferentes.

Resultados

2 Tomado de “A Bernoulli´s Law Lab in a Bottle”.

David Guerra, Aaron Plaisted y Michael Smith. Phys.Teach. 43 (2005), 456- 459



4

En la tabla 1 se relaciona los resultados de la medición

del tiempo de vaciado por cada uno de los orificio de

salida.

Tabla 1 – resumen de mediciones tiempos tomados

para cada volumen y diámetro de orificio dados

Gráfica 1: relación de diámetro y tiempo para

volumen 1.

Grafica 2: relación de diámetro y tiempo para

volumen 2.


volumen 3.


volumen 4.


volumen 5.


volumen 6.

Por la trayectoria descrita en las seis gráficas, se

deduce una relación inversa entre las variables que

concuerda con las predicciones grupales.

Otras graficas importantes de analizar son las del el

tiempo en función del volumen.

El tiempo empleado para el montaje con orificio de

salida en la tapa de diámetro 6mm se relaciona en la

0

10

20

30

40

50

60

0 2 4 6 8

0

20

40

60

80

100

0 2 4 6 8

0

50

100

150

0 2 4 6 8

0

50

100

150

200

0 5 10

0

50

100

150

200

0 2 4 6 8

0

50

100

150

200

250

0 2 4 6 8

Volumen Diametro

V1 V2 V3 V4 V5 V6

6mm 7,86 13,95 19,99 24,97 29,53 34,5

4,8mm 12 21,5 30 38,18 45,99 52,5

3,5mm 26,1 47,2 67,7 87,5 97,2 114,03

2,5mm 50 89 120 149,77 182,75 210,36



5

grafica 7 eje X para los volúmenes, eje Y para el

tiempo empleado medido en segundos.

Grafica 7


salida en la tapa de diámetro 4,8mm se relaciona en la

grafica 8, eje X para los volúmenes, eje Y para el


Grafica 8

El tiempo empleado para el montaje con orificio desalida en la tapa de diámetro 3,5mm se relaciona en la



Grafica 9


salida en la tapa de diámetro 2,5mm se relaciona en la


tiempo empleado medido en segundos

Gráfica 10

Análisis de datos.En la experiencia intervienen diferentes variables, peor

para lo que concierne a lo sistematizado en este

documento, se tuvo en cuenta el tiempo, el cual puede

ser medido con un cronometro, el diámetro del

orificio ubicado en las tapas y la cantidad de agua

contenida en la botella, la cual es posible medir

timando una unidad arbitraria, pero fija.

Antes de iniciar el procedimiento, se esperaba que el

tiempo t de vaciado de la botella en función deldiámetro d mostrara una relación inversa, en donde a

mayor diámetro menor tiempo se demoraría en drenar

toda el agua contenida en la botella. Valga la

aclaración que la mencionada relación es inversa, mas

no inversamente proporcional.

La grafica de dependencia esperada debería tener el

aspecto de la grafica 11

Grafica 11 – relación entre el tiempo y el diámetro

0

10

20

30

40

0 5 10

6mm

6

0

20

40

60

0 5 10

4,8mm

4,8

0

50

100

150

0 5 10

3,5mm

3,5

0

50

100

150

200

250

0 2 4 6 8

2,5mm

2,5



6

En el mismo sentido, la dependencia del tiempo de

vaciado t con el volumen contenido en la botella V,debería ser de forma directa (no directamente

proporcional), ya que a mayor volumen el tiempo de

vaciado se aumentara. La grafica 12 muestra como se

espera dicha relación

Grafica 12 – relación entre el tiempo y el volumen.

Al realizar la grafica de t Vs d dejando V constante se

obtuvo una función potencial, acorde a las

predicciones realizadas con anterioridad. En al grafica

7 se observa ajusto empleando el software Excel cada

una de los datos obtenidos para los datos. En la línea

de tendencia potencial observamos los exponentes para

cada volumen se aproxima a -2,1 y de igual forma el R2

se aproxima a 0,99 lo cual nos indica que la línea de

tendencia es fiable.

Empelando las ecuaciones obtenidas por Excel para

cada una de las líneas de tendencia potencial es posible

hallar, por ejemplo, el tiempo que tardaría en

desocuparse la botella si se llena con dos volúmenes de

agua y un diámetro de orificio no realizados en la

práctica, a manera de ejemplo calculemos el tiempo de

vaciado para un diámetro igual a 3mm. Para esto

tomamos la ecuación y remplazamos, así

t(d)=660,67d-2,157

ecuación obtenida en Excel – líneade tendencia potencial para dos Volúmenes

t(3)= 660,67*3-2,157 calculo para diámetro 3mm

t(3)= 61,77 tiempo estimado en segundos para el

vaciado de dos volúmenes con un diámetro de salida de

3mm

Grafica 13 – tiempo en función de diámetro – línea de

tendencia por cada volumen

y = 366.99x-2.152

R² = 0.9973

y = 660.67x-2.157

R² = 0.9968

y = 860.51x-2.103

R² = 0.993

y = 1090.8x-2.105

R² = 0.9904

y = 1298.4x-2.112

R² = 0.9978

y = 1494.2x-2.107

R² = 0.9963

0

50

100

150

200

250

0 2 4 6

t i e m p o ( s e g u n d o s )

diametro del orificio ubicado en la tapa

V1

V2

V3

V4

V5

V6

Power (V1)

Power (V2)

Power (V3)

Power (V4)

Power (V5)

Power (V6)



7

Dada la información referenciada en al grafica 7,

podemos afirmar que la relación matemática entre el

tiempo de vaciado t y el diámetro d debe ser de la

forma con n negativo. Para hallar una

aproximación a la constante A procederemos a

promediar los valores obtenidos. En la tabla 2

A nV6 1494,2 -2,107 V5 1298,4 -2,112 V4 1090,8 -2,105 V3 860,51 -2,103 V2 660,67 -2,157 V1 366,99 -2,152

promedio 961,928333 -2,12266667

Tabla 2 – promedio de los valores A y de los valores n

de la grafica 13

Tomando como referente los cálculos realizados la

relación matemática propuesta, que aproximadamente

relacionaría el tiempo de vaciado con un volumen

cualquiera es

[1]

Para corroborar los resultados presentadosanteriormente se plantea el uso de logaritmos en base

10 y analizar su comportamiento. En primera instancia

para cada volumen e llenado se establece la grafica de

log(t) en función de log(d)

V1

log d log t 0,8 0,9

0,7 1,08

0,5 1,420,4 1,7

Tabla 3 log t en función de log d para un volumen

Grafica 14 log t en función de log d para un volumen .

V2

log d log t

0,8 1,1

0,7 1,3

0,5 1,7

0,4 1,9

Tabla 4 log t en función de log d para dos volúmenes

Grafica 15 log t en función de log d para dos

volúmenes.

V3

log d log t

0,8 20,0

0,7 30,0

0,5 67,7

0,4 120,0

Tabla 5 log t en función de log d para tres volúmenes

y = -2.1522x + 2.5647

R² = 0.9973

0

0.51

1.5

2

0 0.2 0.4 0.6 0.8

l o

g t

log d

V1

y = -2.1569x + 2.82

R² = 0.9968

0

0.51

1.5

2

2.5

0 0.2 0.4 0.6 0.8

l o g t

log d

V2



8

Grafica 16 log t en función de log d para tresvolúmenes.

V4

log d log t

0,8 1,4

0,7 1,6

0,5 1,9

0,4 2,2

Tabla 5 log t en función de log d para cuatro

volúmenes

Grafica 17 log t en función de log d para cuatro

volúmenes.

V5

log d log t

0,8 1,5

0,7 1,7

0,5 2,0

0,4 2,3

Tabla 6 log t en función de log d para cinco

volúmenes

Grafica 18 log t en función de log d para cincovolúmenes.

V6

log d log t

0,8 1,5

0,7 1,7

0,5 2,1

0,4 2,3

Tabla 7 log t en función de log d para seis volúmenes

y = -2.1035x + 2.9348

R² = 0.993

0

0.5

1

1.5

2

2.5

0 0.5 1

l o g t

log d

V3

y = -2.1048x + 3.0378

R² = 0.9904

0

0.5

1

1.5

2

2.5

0 0.5 1

l o g t

log d

V4

y = -2.1117x + 3.1134

R² = 0.9978

0

0.5

1

1.5

2

2.5

0 0.2 0.4 0.6 0.8

l o g t

log d

V5



9

Grafica 19 log t en función de log d para seisvolúmenes. Para obtener una relación matemática, la cual se

aproxime a la modelación del fenómeno, se procede a

promediar los valores obtenidos. En la tabla 8 se

relacionan los datos y el promedio para la pendiente my el punto b.

VolumenPendiente

mPunto b

V1 -2,1522 2,5647

V2 -2,1569 2,82V3 -2,1035 2,9348

V4 -2,1048 3,0378

V5 -2,1117 3,1134

V6 -2,107 3,1744

PROMEDIO -2,1227 2,9409

Tabla 8 log t en función de log d

La línea de tendencia lineal para estas graficas muestra

un R2

aproximado a uno, lo cual nos indica que la línea

de tendencia lineal es fiable. El promedio de las

pendientes m es igual a el exponente de la tabla 2. Laexpresión matemática que relaciona los logaritmos del

tiempo con los logaritmos de diámetro es la ecuación

de una línea recta. , donde m y b se

encontraron realizando promedio de los mismos en

cada una de las ecuaciones. Por tanto la relación

propuesta es

[2]

Escribiendo por tanto la relación potencial usando la

información de los la regresión donde Y = AX b lo

hayamos con la información proporcionada de log(Y ) =

log( A) + b.log( X ), tenemos que la relación potencial es:

[3]

En Excel también se realizo la grafica del tiempo en

función de 1/d2 para cada uno de los volúmenes de

llenado.

1/d2

Tiempo(s)

0.0277778 7.86

0.0434028 12

0.0816327 26.1

0.16 50

Tabla 9: relación de tiempo en función de 1/d 2 para volumen 1

Grafica 20 : t en función de 1/d 2 para volumen 1

1/d2

Tiempo(s)

0.0277778 13,95

0.0434028 21,50.0816327 47,2

0.16 89


y = -2.107x + 3.1744

R² = 0.9963

0

0.5

1

1.5

2

2.5

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

l o g t

log d

V6



10

Grafica 21: t en función de 1/d 2 para volumen 2

1/d2

Tiempo(s)

0.0277778 19,99

0.0434028 30

0.0816327 67,7

0.16 120



1/d2

Tiempo(s)

0.0277778 24,97

0.0434028 38,18

0.0816327 87,5

0.16 149,77


Grafica 23: t en función de 1/d2 para volumen 4

1/d2

Tiempo(s)

0.0277778 29,53

0.0434028 45,99

0.0816327 97,2

0.16 182,75



1/d2 Tiempo

(s)

0.0277778 34,5s0.0434028 52,5s

0.0816327 114,03s

0.16 210,36s


Grafica 25: t en función de 1/d 2 para volumen 6



11

Grafica 26 - tiempo en función de 1/d2 para cada uno

de los volúmenes de llenado

volumen

Constante

A

Exponente

m6 1494,2 1,0535

5 1298,4 1,0559

4 1090,8 1,0524

3 860,51 1,0517

2 660,67 1,0785

1 366,99 1,0761

promedio 961,928333 1,06135

Tabla 15 - tiempo en función de 1/d2 para cada uno de

los volúmenes de llenado

La línea de tendencia debe ser potencial porque para

los valores analizados, el R2 es próximo a 1, por tanto

decimos que la línea de tendencia potencial es fiable y

debe ser de la forma . Para hallar una

relación matemática aproximada procedemos a obtener

los promedios de la constante A y del exponente m, por

tanto la relación matemática para que modela esta

relación es la siguiente:

[4]

Una forma de comprobar la ecuación propuesta es

haciendo inferencias del comportamiento de lasvariables y corroborando los resultados con la

experimentación.

En el análisis de la experiencia ahora procedemos a

graficar el tiempo en función del volumen. En este

análisis no consideramos el valor cero para el volumen,

ya que el tiempo asociado para el es cero y no aporta

datos significativos para el análisis. Adicional a esto,

luego se procede a realizar el calculo de logaritmos y

no es conveniente tener el valor cero.

V1 V2 V3 V4 V5 V6

6 7,86 13,95 19,99 24,97 29,53 34,5

4,8 12 21,5 30 38,18 45,99 52,5

3,5 26,1 47,2 67,7 87,5 97,2 114,03

2,5 50 89 120 149,77 182,75 210,36

Tabla 16 - datos diámetro constante – tiempo por

cada volumen

y = 366.99x1.0761

R² = 0.9973

y = 660.67x1.0785

R² = 0.9968

y = 860.51x1.0517

R² = 0.993

y = 1090.8x1.0524

R² = 0.9904

y = 1298.4x1.0559

R² = 0.9978

y = 1494.2x1.0535

R² = 0.9963

0

50

100

150

200

250

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18

t(V1)

t(V2)

t(V3)

t(V4)

t(V5)

t(V6)

Power (t(V1))

Power (t(V2))

Power (t(V3))

Power (t(V4))

Power (t(V5))

Power (t(V6))



12

Grafica 27 - diámetro constante – tiempo por cada

volumen

Las líneas de tendencia potencial presentan un R2 muy

próximo a 1, por tanto decimos que la línea de

tendencia potencial es fiable, por tanto la relación

matemática es de la forma . Para proponer

una relación matemática acudimos a realizar los

promedios tal como están en la tabla 17

diámetro A m

6 50,297 0,7974

4,8 26,59 0,8258

3,5 12,012 0,8227

2,5 7,904 0,8256

promedio 24,20075 0,817875

Tabal 17 - promedio A y m línea de tendencia

potencial diámetro constante

Por tanto la relación matemática propuesta es

[5]

Para corroborar los resultados de la tabal 10, se

procede a graficar log(t) en función de log(v) para cada

diámetro de orificio de salida. En la tabla 11 serelacionan los datos mostrados en la grafica 27

0,000 0,301 0,477 0,602 0,699 0,778

0,778 0,895 1,145 1,301 1,397 1,470 1,538

0,681 1,079 1,332 1,477 1,582 1,663 1,720

0,544 1,417 1,674 1,831 1,942 1,988 2,057

0,398 1,699 1,949 2,079 2,175 2,262 2,323

Tabla 18 – datos logaritmos tabla 16

Grafica 28 log(t) en función de log(V)

y = 7.9044x0.8256 R² = 0.9996

y = 12.062x0.8277

R² = 0.9998

y = 26.59x0.8258

R² = 0.9968

y = 50.297x0.7974

R² = 0.9995

0

50

100

150

200

250

0 2 4 6 8

6

4,8

3,5

2,5

Power (6)

Power

(4,8)

Power

(3,5)

Power

(2,5) y = 0.8256x + 0.8979

R² = 0.9996

y = 0.8277x + 1.0814

R² = 0.9998

y = 0.8258x + 1.4247

R² = 0.9968

y = 0.7974x + 1.7015

R² = 0.9995

0

0.5

1

1.5

2

2.5

0 0.5 1

l o g t

log V

6

4,8



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La línea de tendencia lineal en la grafica 28 presenta

un R2 próximo a 1, lo que nos indica que la tendencia

lineal es fiable, por tanto la ecuación debe ser de la

forma , procedemos a realizar los

promedios presentados en la tabla 19

Diámetro m b

6 0,8256 0,8979

4,8 0,8277 1,0814

3,5 0,8258 1,4247

2,5 0,7974 1,7015

promedio 0,819125 1,276375

Tabla 19 – promedios m y b ecuaciones de tendencia

lineal log(t) en función de log(V)

Por tanto consideramos que una aproximación de la

relación matemática para en estas líneas es [6]

Como esta relación lineal es de los logaritmos de t yde V, la relación potencial seria

[7]

Partiendo de todos los datos presentados en las

diferentes tablas, consideramos que una expresión

donde se relacione el tiempo de vaciado t con el

diámetro de vaciado d y el volumen de llenado V debe

tener la forma

Para esto en la tabla 20 se está el resumen de las

distintas relaciones establecidas entre el tiempo y el

volumen de llenado y el tiempo y el diámetro de salida.

.D , V A m N

6 7,9044 0,8256

4,8 12,062 0,8277

3,5 26,59 0,8258

2,5 50,297 0,7974

V1 366,99 -2,1522

V2 660,67 -2,1569V3 860,51 -2,1035

V4 1090,8 -2,1048

V5 1298,4 -2,1117

V6 1494,2 -2,107

promedio 586,84234 0,819125 -2,1226833

Tabla 20 – resumen de los datos donde se relación A,

m, n

Tendríamos una primera aproximación de la relación

asi:

[8]

Si consideramos únicamente las relaciones potenciales

obtenidas de las regresiones lineales de los logaritmos

tenemos

Para realizar una primera aproximación a la certeza de

la relación propuesta, procederemos a medir el tiempo

de vaciado t de 10 volúmenes con el diámetro de

vaciado 6mm. Se realizaran 10 veces. En la tabla 21

relacionamos os resultados estas mediciones.

t1 58,96

t2 58,20

t3 57,11

t4 58,10

t5 56,97

t6 56,01

t7 57,61

t8 58,01

t9 64,00

t10 58,80

promedio 58,38

desviacion 2,16424506

Tabla 21 –

medición de tiempo de vaciado de 10volúmenes con diámetro de salida 6mm

Para analizar estos resultados procedemos a estimar el

margen de error en la medición con un 95% de margen

de error.

[9]

Ahora bien remplazando para V=7u, d=6mm en [8]

tenemos:



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