UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÌA

FACULTAD DE INGENIERÍA INDUSTRIAL Y DE SISTEMAS

LABORATORIO DE FISICA I

Experimento N°14

PRESENTADO POR:

NESTOR LEONARDO SEGURA ROJAS 20131136H

CHRISTIAN RAMIREZ DAVILA 201325383H

LIMA – PERU

2014

PENDULO FÍSICO Y TEOREMA DE STEINER

OBJETIVO

Determinar experimentalmente los periodos de oscilación de un péndulo físico y a partir de estos calcular los momentos de inercia.

EQUIPO

Una barra metálica de longitud L con agujeros circulares.

Un soporte de madera con cuchilla Dos mordazas simples

Un cronometro digital

Una regla milimetrada

Fundamento Teórico

Un péndulo físico es cualquier cuerpo rígido que puede oscilar alrededor de un eje horizontal bajo la acción de la fuerza de gravedad.

DEMOSTRACION

Si es   el momento de inercia del péndulo respecto al eje de

suspensión ZZ′ y llamamos   a la aceleración angular del mismo, el teorema del momento angular nos permite escribir la ecuación diferencial del movimiento de rotación del péndulo.

…M e=−MgLsenθ

Que podemos escribir en la forma

θ̈+MgLI 0

senθ=0

…. (1)

Que es una ecuación diferencial de segundo orden, del mismo tipo que la que se encuentra para el péndulo simple.

En el caso de que la amplitud angular de las oscilaciones sea pequeña, podemos considerar sin θ ≈ θ y la ecuación [1] adopta la forma

θ̈+MgLI 0

θ=0

…. (2)

Que corresponde a un movimiento armónico simple.

El periodo de las oscilaciones es

T=2π √ I 0

MgL

Teorema De Steiner

El teorema de Steiner establece que el momento de inercia con respecto a cualquier eje paralelo a un eje que pasa por el centro de masa, es igual al momento de inercia con respecto al eje que pasa por el centro de masa más el producto de la masa por el cuadrado de la distancia entre los dos ejes:

dónde: I ejees el momento de inercia respecto al eje que no pasa por el centro de masa; I(CM) eje es el momento de inercia para un eje paralelo al anterior que pasa por el centro de masa; M - Masa Total y h - Distancia entre los dos ejes paralelos considerados.

Demostración del teorema de Steiner

En función a esto:

Se asumirá, sin pérdida de generalidad, que en un sistema de coordenadas cartesiano la distancia perpendicular entre los ejes se encuentra a lo largo del eje x y que el centro de masas se encuentra en el origen. El momento de inercia relativo al eje z, que pasa a través del centro de masas, es:

Centro de masas, es:

Si desarrollamos el cuadrado, se obtiene:

El primer término es Icm, el segundo término queda como mr2, y el último término se anula, puesto que el origen está en el centro de masas. Así, esta expresión queda como:

Ejemplos de la aplicación del teorema de Steiner

En el experimento, el cuerpo solido es una barra homogénea con huecos y los momentos de inercia de esta con respecto a ejes perpendiculares a las barras que pasan por cada uno de los huecos. Sin embargo el momento de inercia alrededor de un eje pasa por CG es imposible determinarlo experimentalmente por el método de oscilaciones, para dicho cálculo nos valemos de un método indirecto, el Teorema de Steiner que se expresa por la siguiente igualdad:I 0= IG+ mb2

Donde IG es el momento de inercia respecto al centro de masa, m la masa de la barra.

PROCEDIMIENTO

1. Sobre la masa y apoyado sobre su base mayor, sujete al soporte de madera con las mordazas simples.

2. Ubique el centro de gravedad de la barra, suspendiendo ésta horizontalmente en la cuchilla. El punto de apoyo de la barra en equilibrio será el centro de gravedad CG de la barra.

CG

3. Suspendida la barra verticalmente por cada uno de sus huecos en la cuchilla y hágala oscilar separándola ligeramente de su posición de equilibrio (cuando más 15°), oscilaciones y mida también la distancia L. (Distancia de CG a 0).

15°

4. Repita esta operación dos veces másNota: Para los tres agujeros más cercanos a G sólo considere 10 oscilaciones.

5. Mida las dimensiones de la barra y su masa.

LARGO 110.43 cmANCHO 3.65 cmALTURA 0.66 cm

MASA 1.843 kg

Numero de huecos :21

Densidad aproximadamente : ρm =MV = 2.66×10−4

Momento de inercia del Péndulo Físico : I= Mgl

4 π2T 2

CALCULOS Y RESULTADOS

# de hueco l(cm) t1(s) t2(s) t3(s) # de oscilaciones periodo promedio(T)

1 50.95 33.42 33.45 33.53 20 33.466666672 45.95 32.61 32.26 32.7 20 32.523333333 40.96 32.06 31.72 31.77 20 31.854 36 31.34 31.38 31.32 20 31.346666675 30.95 31.38 31.22 31.37 20 31.323333336 25.92 31.13 31.24 31.04 20 31.136666677 20.9 33.15 33.04 33.24 20 33.143333338 15.94 17.76 17.69 17.55 10 17.666666679 11 20.25 20.34 20.2 10 20.26333333

10 5.18 27.05 26.8 27.01 10 26.95333333

11 5.8 26.03 26.59 26.82 10 26.4812 10.79 27.03 26.96 27.08 10 27.0233333313 15.8 20.4 20.36 20.3 10 20.3533333314 20.74 18.01 17.96 18.05 20 18.0066666715 25.75 32.9 32.98 33.05 20 32.9766666716 30.7 31.33 31.2 31.21 20 31.2466666717 35.7 31.4 31.27 31.33 20 31.3333333318 40.7 31.7 31.82 31.64 20 31.7219 45.75 32.45 32.53 32.43 20 32.4720 50.7 33.15 33.34 33.27 20 33.25333333

0 10 20 30 40 50 600

0.5

1

1.5

2

2.5

3

grafica 1

El periodo mínimo de la gráfica 1 vendría a ser de 1.556s (que vendría a ser del punto 1 al punto 10) se localiza en el punto 6(25.92cm al C.M.)

0 10 20 30 40 50 600

0.5

1

1.5

2

2.5

3

grafica 2

El periodo mínimo de oscilación del punto 11 a 20 vendría a ser de 0.9s en el punto 14 (20.74cm al C.M.)

# de hueco I^2(cm^2) T^2(s^2) I2(kg.m^2)

1 2595.9025 1119.5716 0.652420719

2 2111.4025 1057.5504 0.555799654

3 1677.7216 1014.4225 0.474938908

4 1296 982.1956 0.404419574

5 957.9025 980.9424 0.347244874

6 671.8464 969.0769 0.287108372

7 436.81 1098.2596 0.262532441

8 254.0836 311.8756 0.227437142

9 121 410.4676 0.206568094

10 26.8324 726.3025 0.172123026

11 33.64 701.1904 0.186061119

12 116.4241 730.0804 0.360399192

13 249.64 421.4809 0.299348846

14 430.1476 324 0.076857357

15 663.0625 1087.0209 0.31995089

16 942.49 975.9376 0.342682644

17 1274.49 981.5689 0.400537706

18 1656.49 1006.1584 0.468373645

19 2093.0625 1054.3009 0.551340394

20 2570.49 1105.5625 0.640710251

0 500 1000 1500 2000 2500 30000

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

grafico 1

Series2 Linear (Series2)

0 500 1000 1500 2000 2500 30000

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

grafico 2

El I IG = 1

12M (L2+A2)

Reemplazando los datos obtenidos experimentalmente el valor de I IG es:

0.187kgm2

La propagación del error es

∆ I l=∂ I l∂M

∆M+∂ I l∂l∆ l+

∂ I l∂T∆T

Y reemplazando los datos se llega (referencia: el hueco3):

Para el momento de inercia en su centro de masa se utiliza:

I=IG+M l2

Reemplazando con los datos del hueco 3 se llega a:

IG=0.17

Para hallar el error experimental cometido es:

E (% )=|IG−I IG|I IG

= 9.09 %

OBSERVACIONES Todos resultados obtenidos tienen su fundamento

experimental en laboratorio. El procedimiento empleado obedece al teorema de Steiner y

al principio de Momento de inercia e un cuerpo rígido. El proceso fue llevado a cabo según lo indicado por el

profesor y de acuerdo al manual de física 1 de la forma más cuidadosa posible.

CONCLUSIONES Primero para el siguiente experimento fue necesario

determinar el c.g del cuerpo, experimentalmente.

Tomando en cuenta el c.g. ya que basándonos en cálculos matemáticos que se aproximen supondría variaciones aumentado os márgenes de error.

Fue preciso el presente experimente llevarse a cabo en laboratorio ya que alimenta más en conocimiento y fundamenta su importancia en la Física.

Conocer teóricamente el teorema de Steiner nos reduce engorrosos cálculos y/o mediciones experimentales.

El periodo del péndulo físico ira aumentando gradualmente a medida que el # del agujero evaluado se vaya acercando a su c.g con un aumento casi constante y disminuyendo a medida que ese se aleje sea medido por cualquiera de los extremos.

RECOMENDACIONES Y COMENTARIOS Recordar que es importante tener presente cuando usar el

principio de incertidumbre y error al medir las dimensiones de la regla.

Verificar el correcto funcionamiento delos instrumentos en laboratorio.

BIBLIOGRAFIA

http://rinconmatematico.com/foros/index.php?topic=57314.0 http://gnelsonj.files.wordpress.com/2010/01/momentos-de-inercia.pdf