INFLUENCIA DE SOFTWARE EDUCATIVO EN LA CONSOLIDACIÓN …

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Infl uencia de software educativo en la consolidación del sistema de numeración. Acosta et al.

INFLUENCIA DE SOFTWARE EDUCATIVO EN LA CONSOLIDACIÓNDEL SISTEMA DE NUMERACIÓN POSICIONAL

THE INFLUENCE OF AN EDUCATIONAL SOFTWARE IN THECONSOLIDATION OF POSITIONAL NUMERAL SYSTEM

César A. Acosta Minoli1, Efraín A. Hoyos Salcedo2, Leonardo D. Restrepo Álape3

Recibido: Mayo 5 de 2015Aceptado: 3 de Agosto de 2015

*Correspondencia del autor: E-mail: [email protected]

RESUMEN

Este trabajo presenta una propuesta de enseñanza apoyada en material didáctico manipulativo y computarizadopara la consolidación del sistema de numeración posicional en base diez a partir de la lógica de los sistemas po-sicionales. Se estableció experimental y cualitativamente los efectos del uso de la propuesta en la consolidaciónconceptual del sistema de numeración posicional. Es de resaltar el diseño y desarrollo de un software educativopor parte de los investigadores, considerando una serie de elementos didácticos y teóricos para facilitar en princi-pio, la consolidación de los sistemas de numeración posicional. El estudio permitió evidenciar que una metodo-logía de enseñanza enriquecida con materiales manipulativos y computarizados se presenta como una importanteherramienta didáctica en la enseñanza y en la consolidación de los sistemas posicionales de numeración.

Palabras Clave: Software educativo, sistema de numeración posicional, consolidación del aprendizaje.

1 Departamento de Matemáticas, Universidad del Quindío, Colombia2 Departamento de Matemáticas, Universidad del Quindío, Colombia3 Universidad del Tolima, Resultados de investigación del proyecto infl uencia de un software educativo, en la consolida ción del sistema decimal de numeración a partir de la lógica de construcción de sistemas posicionales, Universidad del Quindío, 2014-2015

ABSTRACT

This paper presents a methodological proposal based on a manipulative and computerized didactic material toconsolidate the positional numeral system in base ten from the positional systems logic. It was established ex-perimentally and qualitatively the effects of the proposal in the conceptual strengthening of positional numeralsystem. It is important to highlight the design and development of the educational software by the researches,considering a series of didactic and theoretical elements to facilitate the positional numeral system consolidation.This study evidenced that an enriching methodology based on manipulative and computerized materials is animportant didactic tool in teaching and in the consolidation of positional numeral systems.

Keywords: Educational software, positional numeral system, learning consolidation.

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Revista de Investigaciones - Universidad del Quindío

1. INTRODUCCIÓNLos sistemas de numeración son de gran importanciaen el estudio de las matemáticas, no solamente por sucontexto histórico sino como herramienta de repre-sentación y de cálculo en la resolución de problemas.Su enseñanza y aprendizaje son fundamentales parala comprensión del concepto de número, es por esoque forman parte del núcleo curricular de los progra-mas de matemáticas en educación preescolar y de bá-sica primaria.

Desde una perspectiva moderna, los sistemas de nu-meración se pueden clasifi car en sistemas aditivos,sistemas multiplicativos y sistemas posicionales. Enun sistema aditivo, se defi nen símbolos para la uni-dad, la base y las potencias de la base, de esta formael número representado se obtiene por medio de laadición de los símbolos que componen la representa-ción. Por su parte, en los sistemas multiplicativos sedefi nen símbolos para la unidad, la base, las potenciasde la base y todos los números comprendidos entre launidad y la base, de esta forma el número representa-do se obtiene multiplicando cada potencia de la basepor el valor del símbolo que le precede y sumandolos resultados junto con las unidades. Y fi nalmente enlos sistemas posicionales, se defi nen símbolos para launidad y los números comprendidos entre la unidad yla base, una característica importante de estos siste-mas es que también se defi ne un símbolo denomina-do cero para explicar la ausencia de unidades, de estaforma tanto la base como las potencias de la base serepresentan como combinación entre la unidad y elcero, (Godino,2003).

En general los sistemas de numeración posicionalcomo el hindú-arábigo se construyen bajo las siguien-tes reglas, ver (Knuth,1981): primero se elige un nú-mero denominado base b, el cual determina el númerode símbolos usados en el sistema, dichos símbolos sondenominados dígitos {0,…, b-1}. Cada b unidades deun orden forman una unidad del orden siguiente, estose expresa de forma polinomial. La falta de unidadesen un orden del lado derecho se expresa por medio deun cero. Entonces, todo número natural N se puedeexpresar de manera única mediante el siguiente poli-nomio:

N = (ak ak-1…a1 a0)b = ak ∙ bk + ak-1 ∙ bk-1…+ a1∙ b1 + a0

donde ak<b. Entre los sistemas de numeración posi-cional se destaca el sistema en base diez (b=10), ya

que su relativo bajo número de símbolos (asociado alos dedos de las manos) lo hace efi ciente para realizarcálculos mientras permite representar números gran-des con facilidad.

Con respecto a la enseñanza y al aprendizaje de lossistemas de numeración, estos se introducen en elsistema educativo como parte integral y fundamentaldel aprendizaje de las matemáticas. Para usar efecti-vamente un sistema notacional se requiere entenderla relación entre el simbolismo y los conceptos repre-sentados, y del conocimiento de las reglas para mani-pular dicha notación (Lengnink, 2010), según JorgeCastaño et. al. (Castaño,1990), el estudio de los siste-mas de numeración posicional exige del niño el ma-nejo operatorio de la composición y descomposiciónaditiva y del manejo del esquema multiplicativo, esteúltimo se refl eja en el hecho de poder operar de formasimultánea con unidades de diferentes ordenes y deestablecer la equivalencia de varias unidades de unorden con relación a las de un orden inmediatamenteinferior.

Para comprender progresivamente el sistema de nu-meración posicional, los estándares curriculares deColombia proponen el desarrollo de las siguienteshabilidades en los grados tercero y quinto: usar re-presentaciones principalmente concretas y pictóricaspara realizar equivalencias de un número en las dife-rentes unidades del sistema decimal, justifi car el va-lor de posición en el sistema de numeración decimalen relación con el conteo recurrente de unidades, ver(Ramírez,2011), (Lengnink,2010), (MEN,2003).

En relación con el uso de materiales didácticos para elestudio de los sistemas de numeración Godino y cola-boradores en su texto sistemas numéricos y su didác-tica para maestros (Godino,2003) clasifi can los ma-teriales didácticos para el aprendizaje del sistema denumeración posicional en modelos proporcionales debase 10, en los cuales la decena se expresa diez vecesmayor en tamaño que la unidad, como por ejemplolos bloques multibase, grupos de palillos, etc. Y losmodelos no proporcionales donde las diferencias delvalor posicional se indican por medio de un color, unaposición o una regla a defi nir, por ejemplo: los ába-cos, el dinero, etc. Adicionalmente, hace una lista delos materiales didácticos utilizados con más frecuen-cia en las aulas de clase. Entre ellos se destaca el ába-co, los bloques multibase y las regletas de Cuisinare.Por otra parte, la tecnología computacional juega un

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papel importante como apoyo para el aprendizaje.Diversas investigaciones corroboran los efectos po-sitivos que la tecnología tiene sobre el aprendizaje(Garay,2008). A nivel nacional, el Ministerio de Edu-cación Colombiano es consciente de las posibilidadesque brinda la informática y el uso de la nuevas tecno-logías para la enseñanza de la matemáticas en general,según se afi rma en el libro de los lineamientos curri-culares de las matemáticas: “Las nuevas tecnologíasamplían el campo de indagación sobre el cual actúanlas estructuras cognitivas que se tiene, enriquecen elcurrículo con los nuevos paradigmas asociadas y losllevan a evolucionar” (MEN, 1999, 2003) . De otrolado, el grupo GEDES de la universidad del Quindíodesde 1996 ha venido realizando una serie de inves-tigaciones y ha desarrollado una diversidad de recur-sos educativos digitales en pro de la incorporaciónde las nuevas tecnologías como recursos didácticospara la enseñanza de las matemáticas. Es el caso delos proyectos Estudio experimental del uso del geo-plano computarizado en la enseñanza de la geometríaeuclidiana (Hoyos,2002), Estrategia de intervenciónpedagógica con juegos computarizados que contri-buyan a la consolidación del esquema multiplicativo(Hoyos,2007) y Representación de objetos tridimen-sionales utilizando multicubos (Hoyos, 2012). Conrespecto a la enseñanza de los sistemas posiciona-les con tecnología informática se evidencia el traba-jo de Cadavid (Cadavid,2013) quien a través de unaplataforma denominada LMS (Learning managmentsystems) desarrolló una metodología para mejorar lacomprensión del concepto de valor posicional en elsistema de numeración decimal. En la actualidad, sepueden encontrar recursos didácticos para la enseñan-za del sistema decimal que pueden ser utilizados hastaen dispositivos móviles y tabletas, ver (Ventura,2011).Con respecto a investigaciones sobre la enseñanza delvalor posicional en el sistema decimal, basado en lametodología resolución de situaciones problema aso-ciado a las TIC, se encuentra el trabajo de ClaudiaY. Salazar & Yuly A. Vivas (Salazar C. y Vivas Y.,2013). Finalmente, en una investigación sobre el usode software educativo y la educación artística a travésde la experiencia de aula, permitiendo crear unidadesdidácticas con la fi nalidad de un aprendizaje signifi -cativo del sistema de numeración decimal (Guarín S.2012), se afi rma en relación con las experiencias deaula con TIC:

La experiencia de aula basada en el arte y las tics, para la enseñanza delsistema de numeración decimal, me ha posibilitado tener un acercamientoa las características individuales de los estudiantes, respetar y valorar losritmos individuales que presentan para acercarse al conocimiento y, sobretodo resignifi carme como maestra, ya que debe existir un equilibrio entrelas normas, las teorías, la cultura y los códigos sociales. Pero sobre todoconservar la esperanza y la alegría que se siente al estar en una aula declase.

Sin embargo, a pesar de los avances referenciados enel párrafo anterior aún es necesario el desarrollo deinnovaciones educativas basadas en el uso de la infor-mática identifi cando el papel del docente en este usoy canalizando su potencial mediante una capacitaciónque permita un mejoramiento educativo en los estu-diantes, en particular, en el desarrollo del razonamien-to numérico apoyado con software educativo. Aún nose evidencia el desarrollo de materiales didácticos ode estrategias para la enseñanza del sistema posicio-nal en relación con bases diferentes a la base diez.Las consideraciones anteriores nos conducen a la for-mulación de la siguiente pregunta: ¿En el caso de queel método complementado con juegos didácticos pue-da infl uir signifi cativamente en la consolidación delsistema decimal de numeración existen diferenciassignifi cativas entre las condiciones experimentales?El presente artículo tiene por objeto presentar los re-sultados de una investigación en relación con el usode una propuesta didáctica apoyada con material di-dáctico computarizado para la consolidación del sis-tema de numeración posicional en base 10 a partirde la lógica de los sistemas posicionales, particular-mente, estamos interesados en establecer experimen-tal y cualitativamente si esta metodología infl uye deforma signifi cativa en el proceso de consolidaciónconceptual del sistema de numeración posicional enestudiantes de grado séptimo de básica secundaria decuatro instituciones educativas del departamento delQuindío. El contenido de este artículo se presentaráen cinco secciones: en la sección 2 se describen tantola propuesta didáctica como los materiales educativoscomputarizados desarrollados por el grupo de investi-gación. Posteriormente en la sección 3 se describe lametodología de investigación utilizada. Luego, en lasección 4 se hace una discusión desde el punto de vis-ta cuantitativo y cualitativo de los resultados. Final-mente, en la sección 5 se presentan las conclusionesdel trabajo.

2. PROPUESTA DIDÁCTICALa propuesta didáctica se basa en la teoría cognitiva



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del aprendizaje (Baroody,2000), se enfoca en el traba-jo constructivista y colaborativo, esto es, el estudiantemediante el uso del software educativo y de las acti-vidades desarrolladas por el grupo de investigadorestendrá la posibilidad de extrapolar, discutir y conjetu-rar sobre las relaciones matemáticas y las diferentesrepresentaciones de los objetos que construye. Dichapropuesta en el aula se compone de tres fases las cua-les se presentan a continuación:

• Estados previos (indagación). Mediante un diá-logo con los estudiantes, el maestro relaciona eltema de la actividad anterior con el tema corres-pondiente a desarrollar. En esta etapa el maestrotambién indaga sobre los conocimientos previosque el estudiante tiene acerca del nuevo tema, yllama la atención sobre lo pertinente al nuevo len-guaje dentro de este.

• Desarrollo y descubrimiento (Orientación diri-gida y libre). En ésta parte, el estudiante emplealas guías y el software desarrollado, el aprendizajese realiza en grupos (normalmente dos estudian-tes), lo que les permite intercambiar argumentosy llegar a los primeros acuerdos conceptuales conrespecto al tema de estudio.

• Puesta en común. Esta etapa es de suma im-portancia en el proceso de aprendizaje. Aquílos estudiantes relatan las experiencias obte-nidas en el desarrollo de la etapa anterior. Losestudiantes mediante acuerdos orientados porel maestro, forman un sistema de relacionesdel objeto de estudio, lo cual los lleva a unnuevo nivel de aprendizaje. La intervencióndel maestro en ésta fase consiste en propor-cionar a los estudiantes algunos panoramasgenerales de aquello que ellos ya conocen.

La propuesta se enfoca en promover la construcciónde las razones que subyacen en el funcionamiento delos números por parte de los estudiantes. Se esperaque lleguen a comprender los principios que rigen elsistema y las operaciones asociadas a la notación nu-mérica. Las ideas centrales del desarrollo de esta pro-puesta se basan en los supuestos teóricos propuestospor F Terigi, Lerner y sus respectivos colaboradores,(Terigi,2007,Lerner,1994).

En cuanto a los temas a desarrollar, estos se eligie-ron en función de los saberes necesarios para logrardesarrollar la lógica del sistema posicional como loson: conversión entre unidades de una misma base,representación de un número en diferentes bases, su-mas y restas en base n y resolución de problemas deempaquetamiento.

Para las actividades en el aula se utilizaron dos pro-gramas de software educativo en el sistema operativoWindows, elaborados por el grupo de investigación ysiguiendo los lineamientos de desarrollo de softwareeducativo propuestos por Galvis (Galvis,1994). Estesoftware se pueden descargar de forma gratuita en lasiguiente dirección: http://academia.uniquindio.edu.co/academia/investigacion/gedes/index.php/descar-gas. El primero se denomina Casa de cambio, consistede un conjunto de fi chas de colores blanco, rosadas,azules y amarillas a las cuales se les asigna un valorsegún el color, por ejemplo, dos fi chas blancas equi-valen a una rosada, dos rosadas equivalen a una azul ydos azules equivalen a una amarilla. Para el desarrollodel juego en el computador los jugadores lanzan undado virtual y el computador en su papel de bancoentrega al jugador el número de fi chas blancas queindique el dado, fi nalmente el Jugador deberá hacerlas conversiones a fi chas de otros colores de acuerdoa las equivalencias establecidas inicialmente. En eldesarrollo del juego se pueden presentar situacionesen las que al estudiante se le lleve a realizar sumas yrestas en diferentes bases, además de realizar el pro-ceso inverso de conversión de base diez (10) a otrasbases. La interfaz del juego se presenta en la Figura.1.

El segundo software educativo utilizado se denominaÁbaco de Arbey, su interfaz construida de forma tri-dimensional modela un ábaco abierto no convencio-nal, pues está diseñado a manera de contenedor condiferentes secciones, las cuales permiten cambiar elnúmero de elementos que se agrupan en cada orden(base). Dichas secciones están asignadas a las fi chasde colores trabajadas en la casa de cambio, de estaforma el ábaco abierto en el computador se convierteen una herramienta visual complementaria a la casade cambio, ya que permite al estudiante estructurar lalógica del juego y llevarla a una representación for-mal. La interfaz del software Ábaco de Arbey se pre-senta en la Figura 2.


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Figura 1. Interfaz Software Educativo la Casa de Cambio.

Figura 2. Software Educativo ábaco de Arbey. En esta ima-gen el software le propone de forma automática el siguienteproblema al estudiante: Representar según la equivalenciade los colores (en este caso base 4) el número 54.

El software educativo desarrollado ofrece una serie deactividades interactivas, las cuales se generan de for-ma automática y complementan el aprendizaje como

lo son: el establecer relaciones de orden en diferentesbases, conversión entre bases y problemas de empa-quetamiento.

Como ejemplo de algunas de las actividades y pre-guntas desarrolladas, para lograr el proceso de conso-lidación conceptual considere el siguiente problemaen donde se establece la siguiente relación entre lasfi chas de la casa de cambio.

Figura 3. Actividad que permite el trabajo de cambio deunidades en la misma base.

3. METODOLOGÍA DE INVESTIGACIÓNLa investigación tuvo por objetivo establecer experi-mentalmente si el método complementado con juegosdidácticos infl uye signifi cativamente en la consoli-dación del sistema decimal de numeración. Adicio-nalmente se esperaba diseñar y desarrollar softwareeducativo con juegos didácticos (la casa de cambio yel ábaco abierto), comparar el grado de consolidacióndel sistema decimal de numeración en dos grupos deestudiantes, en condiciones experimentales diferen-tes: uno con juegos didácticos computarizados y elotro con juegos didácticos no computarizados, conmetodología tradicional, como también describir losaspectos más relevantes del uso de los materiales di-dácticos tanto computarizados como físicos en la en-señanza de los sistemas de numeración. Por lo tantola metodología de investigación fue de corte mixtocuasi-experimental y cualitativa.



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El estudio se realizó controlando las siguientes va-riables intervinientes: género, edad, nivel socio-eco-nómico y la escolaridad, en este último caso los es-tudiantes fueron de un mismo programa académico,y se excluyeron los repitentes. Adicionalmente, paragarantizar la homogeneidad académica se les asistióen un cursillo sobre conductas de entrada (pre-requi-sitos). Como también se consideró homogeneidad enlas ayudas educativas, en la intensidad horaria, en elhorario de clases, el tiempo dedicado, y en la inter-vención del profesor, siendo este último el mismopara todos los estudiantes.

Por su parte, el grado de consolidación del sistemadecimal de numeración se determinó por el puntajeobtenido por el estudiante ante la aplicación de uninstrumento de evaluación el cual nos permitió iden-tifi car si:• Reconoce el valor posicional en diferentes siste-

mas de representación y realiza conversiones en-tre unidades de una misma base.

• Realiza conversiones de unidades de mayor ordena unidades de menor orden.

• Calcula la equivalencia en una base determinada,de una fi cha de un color dado en fi chas blancas ypoder realizar el proceso contrario.

• Realiza adiciones y sustracciones de números es-critos en una base determinada, utilizando el ába-co abierto.

• Realiza adiciones y sustracciones de númerosescritos en una base determinada, utilizando pro-cesos simbólicos que se apoyen en los métodoslógicos utilizados en el ábaco abierto.

• Soluciona problemas de transformación de unida-des de base 10, multiplicaciones de equivalenciay de correspondencia múltiple.

La población estuvo conformada por 240 estudiantesde grado séptimo de educación básica secundaria decuatro instituciones educativas públicas del casco ur-bano del departamento del Quindío en Colombia, conedades entre los 11 y 14 años de edad y pertenecienteal casco urbano de cada uno los municipios donde serealizó el estudio.

La muestra se seleccionó de forma aleatoria y se sub-dividió en dos grupos también con asignación aleato-ria para cada institución educativa. Adicionalmente,con el fi n de eliminar las diferencias entre los indivi-duos que van a constituir los grupos experimentales ycontrolar, los factores de selección, mortalidad, histo-

ria, maduración y regresión se seleccionó el “diseñode los grupos aleatorios con mediciones antes y des-pués” Campbell y Stanley (1963).

Con respecto al proceso de intervención, este se rea-lizó a través de diez actividades durante un bimestreacadémico las cuales fueron diseñadas en función delos conceptos y habilidades relacionadas con el gradode consolidación del sistema decimal de numeración.A pesar de trabajar diferentes metodologías en cadauno de los subgrupos, las actividades contenían elmismo material conceptual y las mismas situacionesproblema.

4. RESULTADOSA continuación presentamos los resultados del estudiorealizado por el grupo de investigadores en relacióncon el uso del software educativo para la enseñanzadel sistema posicional de numeración. Comenzare-mos por presentar los resultados del estudio cuasi-ex-perimental el cual consistió básicamente en la pruebat -Student, posteriormente se describen los resultadosdel estudio descriptivo que se realizó a partir del dia-rio de campo presentando de esta forma los aspectosmás signifi cativos durante el proceso de investigaciónen el aula.

4.1 Resultados cuantitativosLa información se obtuvo de la aplicación y evalua-ción de las actividades que se diseñaron tanto parael tratamiento experimental como para la elaboracióndel instrumento de medición pre-test - post-test. Paradeterminar la no existencia de diferencias signifi ca-tivas en los grupos antes de los tratamientos, se apli-có la prueba t -Student a los resultados del pre-test.Para determinar las diferencias signifi cativas en losgrupos, debidas a las condiciones experimentales, seaplicó de nuevo la prueba t -Student a los resultadosdel post-test.

4.1.1 Confi abilidad del instrumento de mediciónPara medir la confi abilidad del instrumento de medi-ción (Test), se utilizó el método de las dos mitades porser el más adecuado a la naturaleza del instrumento.Este coefi ciente se denomina “COEFICIENTE DECONSISTENCIA” y se calcula por medio de la fór-mula de Spearman Brown, ver (Hoyos,2002) y (Ho-yos,2007). Para calcularlo, se aplicó el instrumento a21 estudiantes de grado octavo de básica secundariaobteniendo una confi abilidad del 97.33%.


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4.1.2 Homogeneidad de los gruposPara comprobar la homogeneidad de los grupos jue-gos didácticos físicos y software educativo, se aplicóla prueba estadística t-Student al Pre-test. Los resul-tados de los estudiantes de las cuatro instituciones,obtenidos mediante un paquete estadístico se puedenapreciar en la Figura. 4:

Pretest GrupoControl Juegos

Didácticos

Pretest GrupoExperimental

SoftwareRecuento 120 120Promedio 1,26978 1,0553Desviación Estándar 1,00294 1,08226Coefi ciente deVariación

78,9851% 102,555%

Mínimo 0 0Máximo 4,26 7,14Rango 4,26 7,14Sesgo Estandari-zado

2,23353 8,80533

Curtosis Estandari-zada

-0,986929 16,6185

Figura 4. Resultados de la prueba t-Student, para compro-bar la homogeneidad de los grupos al inicio de la interven-ción didáctica.

Utilizando un intervalo de confi anza del 95,0% para lamedia de Pretest_Grupo_Juegos Didácticos Físicos:1,26978 +/- 0,181289 [1,08849, 1,45107], un inter-valo de confi anza del 95,0% para la media de Pretest_Grupo_Software: 1,0553 +/- 0,195627 [0,859673,1,25093], y un intervalo de confi anza del 95,0% parala diferencia de medias suponiendo varianzas igua-les, se tiene: 0,214483 +/- 0,26535 [-0,0508668,0,479833], con t = 1,59235 y valor-P = 0,112634.

Los resultados obtenidos con el valor de P = 0,112634> 0.05, en la prueba de análisis de medias de dosmuestras son superiores al α=0.05 (nivel de signifi -cancia) por lo cual no existe diferencias signifi cati-vas entre los grupos control (juegos manipulativos)y experimental (software educativo) de acuerdo conlos resultados obtenidos al aplicar el Pre-test, propor-cionando los elementos estadísticos sufi cientes paraafi rmar la homogeneidad de los grupos, y proceder ala aplicación de la estrategia didáctica.

4.1.3 Análisis estadístico posterior al proceso de in-tervención didácticaPara el análisis estadístico de los datos, se comparóel pos-test de ambos grupos de los estudiantes de lascuatro instituciones, se procedió a utilizar la pruebaestadística t-Student obteniendo los resultados de laFigura. 5:

Postest GrupoControl

Juegos Didác-ticos

Postest GrupoExperimental

Software

Recuento 120 120Promedio 4,76887 4,89954Desviación Estándar 2,1421 2,48892Coefi ciente deVariación

44,9184% 50,799%

Mínimo 0 0,71Máximo 9,282 10,0Rango 9,282 9,29Sesgo Estandari-zado

0,128904 0,652166

Curtosis Estandari-zada

-1,61995 -2,21391

Figura 5. Resultados de la prueba t-Student, después delproceso de intervención didáctica.



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Utilizando un intervalo de confi anza del 95,0% para lamedia de Postest_Grupo_Juegos Didácticos Físicos:4,76887 +/- 0,387201 [4,38167, 5,15607], un inter-valo de confi anza del 95,0% para la media de Postest_Grupo_Software: 4,89954 +/- 0,449892 [4,44965,5,34943], y un intervalo de confi anza del 95,0% parala diferencia de medias suponiendo varianzas igua-les, se tiene: -0,130675 +/- 0,590539 [-0,721214,0,459864], con t = -0,43592 valor-P = 0,66329.

Los resultados obtenidos con el valor de P = 0.66329> 0.05, en la prueba de análisis de medias son supe-riores al α=0.05 (nivel de signifi cancia) por lo cualse afi rma que no existen diferencias signifi cativasentre los grupos juegos didácticos físicos y softwarede acuerdo con los resultados obtenidos al aplicar elpos-test; aunque se indica que la estrategia didácticaaplicada al grupo que usó el software educativo, notuvo mayor incidencia en el proceso de aprendizaje,sí tuvo un valor promedio mayor comparado con elgrupo control, en donde se usaron los juegos mani-pulativos.

4.2 Análisis cualitativoCon respecto al seguimiento realizado en el procesode intervención de cada uno de los grupos se pudoobservar que en general los estudiantes no tenían unasbases sólidas en la realización de las cuatro operacio-nes aritméticas básicas, con especial difi cultad en laresta y la división, sin embargo, después de terminarcon la secuencia didáctica, se observó una mejora enel manejo de dichas operaciones. Con respecto a laactitud de los estudiantes, se notaron dispuestos a tra-bajar tanto en la sala de informática como en el aulade clase con los materiales manipulativos. A conti-nuación se transcriben las observaciones del docenteen relación con los grupos de materiales manipulati-vos y material computarizado.

En el grupo que utilizó la metodología de juegos ma-nipulativos, por un lado, se contó con una gran dis-posición e interés por parte de los estudiantes frenteal juego de “La Casa de Cambio”, muchos de elloslograron desarrollar la habilidad de cálculo mental,para resolver los distintos problemas que plantea eljuego, sin embargo, cuando se llegó el momento depasar a la parte simbólica, y resolver los problemasplanteados en las guías, los estudiantes entraron enconfl icto, pues aunque llegaban a la respuesta co-rrecta, decían no saber cuáles eran esos procesosmentales que les permitía responder de forma co-

rrecta, produciendo cierta difi cultad para escribir lasoperaciones necesarias para resolver los problemaspropuestos en las guías. Por otro lado, la utilizacióndel Abaco abierto contó con una gran acogida entrelos estudiantes, ya que facilitó la comprensión de va-rios conceptos de los sistemas posicionales, así comola optimización del proceso de la suma y la resta enuna base numérica distinta a la base decimal.

En la metodología con Software, los estudiantes semostraron entusiasmados al saber que aprenderíanla temática propuesta, a través del uso de computa-dores. La experiencia vivida en el colegio muestra encuanto a la utilización del software, una secuencia ló-gica con respecto a la apropiación de las reglas de lossistemas de numeración. Por ejemplo, se observó quelos estudiantes para lograr una conceptualizaciónen el trabajo con el Ábaco Abierto en el computador,antes debían comprender las reglas del sistema posi-cional, este se logró gracias a la utilización del juegode la Casa de Cambio, un software sencillo, un tantomecánico pero útil el cual permite una consolidacióndel concepto posicional. Al tener este paso de la Casade Cambio al Abaco, se observa ya una utilización deprocesos mentales, algo que no se nota en la Casa deCambio, además en el Abaco, sí hay una restricciónde la cantidad de fi chas dadas por cada posiciona-miento. En conclusión, se debe dar una combinaciónde varias herramientas para lograr una buena apro-piación de un concepto a aprender.

En cuanto a las observaciones hechas durante la eva-luación de la prueba se destacan las diversas heurísti-cas utilizadas por los estudiantes y las difi cultades delos mismos para realizar los problemas de conversiónentre bases, como es el caso de la siguiente pregunta:utilice el ábaco abierto para calcular la cantidad defi chas de cada color que puedo reclamar con 42 fi -chas blancas, si se juega en base 3.

(a). Respuesta incorrecta.


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(b) Respuesta correcta.Figura 6. Respuestas de un par de estudiantes en relacióncon el problema de conversión de base 10 a base 3. Pre-gunta: Utilice el ábaco abierto para calcular la cantidadde fi chas de cada color que puedo reclamar con 42 fi chasblancas, si se juega en base 3. (a) Respuesta incorrecta, (b)Respuesta correcta.

Como se aprecia en la Figura.6a el estudiante al se-guir un procedimiento memorístico, utiliza simple-mente el cociente de la división como respuesta y noreconoce que al agrupar de a tres las 42 fi chas blancasno sobra alguna y por tanto no deben quedar fi chasblancas, esto es, no usa el residuo de la división parasignifi car el número de fi chas blancas restantes. Entreotras difi cultades en este tipo de problemas se destacalas difi cultades para efectuar las divisiones. Sin em-bargo, la respuesta correcta Figura.6b fue expresadapor varios estudiantes.

Por su parte, el proceso inverso requiere de la eva-luación de un polinomio como se establece en la si-guiente pregunta: Si se sabe que el ganador del Juegode la Casa de cambio en base 3 termina con 2 fi chasamarillas, 1 azul, 2 rosadas y 1 blanca. A cuántasfi chas blancas equivalen las fi chas obtenidas por elganador del juego?. En esta pregunta se destaca quealgunos estudiantes no reconocen el valor posicional,esto es, no establecen la relación entre cada uno de loscolores como se aprecia en la Figura 7a el estudiantesimplemente multiplica por 3 cada una de las fi chasde cada color y luego las suma. Por otro lado, la Fig.7b nos muestra como el estudiante por medio de lasrelaciones existentes entre cada uno de los colores lepermite evaluar el polinomio:

2 ∙ 33+ 32 + 2 ∙ 3 + 1

((2 ∙ 3 + 1) ∙ 3 + 2 ) ∙ 3 + 1en la forma anidada,

la cual corresponde a una forma computacionalmenteefi ciente de evaluar un polinomio, ver (Knuth,1981).

(a). Respuesta incorrecta.

(b) Respuesta correcta.

Figura 7. Respuestas de un par de estudiantes en relacióncon el problema de conversión de base 3 a base 10. Pre-gunta: Si se sabe que el ganador del juego de la casa decambio en base 3 termina con 2 fi chas amarillas, 1 azul, 2rosadas y 1 blanca. A cuántas fi chas blancas equivalen lasfi chas obtenidas por el ganador del juego? (a) Respuestaincorrecta, (b) Respuesta correcta.

5. DISCUSIÓN Y CONCLUSIONESEn este trabajo se presentaron los resultados de unainvestigación en relación con el uso de una propuestadidáctica apoyada con material didáctico computari-zado para la consolidación del sistema de numera-ción posicional en base 10 a partir de la lógica de lossistemas posicionales. Considerando el planteamientodel problema y en lo atinente a los objetivos de in-vestigación, al análisis cuantitativo y a la descripcióncualitativa del seguimiento a las actividades es posi-ble concluir que desde el punto de vista cuantitativo,la prueba t -Student aplicada a los resultados del pre-test confi rmó la hipótesis de que no existe diferenciaacadémica signifi cativa entre estos grupos. Esto indi-ca que no hay diferencias signifi cativas entre las va-rianzas de los grupos control y experimental, propor-cionando los elementos estadísticos sufi cientes paraafi rmar la homogeneidad de los grupos, para la apli-cación de la estrategia didáctica. De forma similar, laprueba t -Student aplicada al post-test indica que no



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hay diferencias signifi cativas entre las varianzas delos grupos control y experimental, esto indica que laestrategia didáctica aplicada al grupo experimental notuvo mayor incidencia en el proceso de aprendizaje,aunque sí tuvo un valor promedio mayor en el grupoexperimental que en el grupo control.

Este estudio permitió a los investigadores eviden-ciar de forma cuantitativa y cualitativa que tanto losgrupos experimentales como en el grupo control selograron avances signifi cativos debido a cada unode los tratamientos. Los materiales manipulativos ycomputarizados son una importante herramienta di-dáctica en la enseñanza y en la consolidación de lossistemas posicionales de numeración. El software di-señado por el grupo, al generar de forma automáticalos problemas, permitió a los estudiantes trabajar deforma autónoma e independiente, allí los estudiantesmás adelantados tuvieron la oportunidad de poner aprueba su conocimiento en relación con el sistema denumeración posicional. En este sentido, la metodolo-gía con software facilita la labor del docente y permiteque los estudiantes junto con la motivación intrínsecaque produce el computador resuelvan más problemas

en menos tiempo, permitiendo de esta forma consoli-dar y reforzar su aprendizaje.

Indirectamente, por lo menos, estos resultados permi-ten confi rmar algunos puntos de vista o resultados deotras investigaciones mencionadas en otras seccionesde este trabajo. En efecto, la utilización del computa-dor como elemento didáctico es una necesidad porquepermite adoptar nuevas formas metodológicas en laenseñanza de las matemáticas. La motivación que lasmismas generan en los estudiantes es un valor agre-gado que el docente defi nitivamente debe explorar. Seespera que las experiencias de este trabajo permitiránel desarrollo y formulación de nuevos proyectos deinvestigación y de formación docente en el área de in-clusión de tecnología al currículo de las matemáticasa nivel regional y nacional.

Agradecimientos: Esta investigación fue fi nanciadapor el Ministerio de Educación Nacional de Colombiaa través de Colciencias con código 1113-578-36096correspondiente al contrato 258 de 2013, como tam-bién por la Universidad del Quindío y la gobernacióndel Quindío, Colombia.

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