RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES DE 2.º GRAU RECORRENDO À FOLHA DE

CÁLCULO

Fernando Luís Santos(*) Escola Superior de Educação Jean Piaget, Almada

fsantos@almada.ipiaget.org António Domingos(*)

Faculdade de Ciência e Tecnologia da Universidade Nova de Lisboa amdd@fct.unl.pt

(*) UIED – Unidade de Investigação em Educação e Desenvolvimento

Resumo

No âmbito de um estudo sobre a implementação de um currículo e de

metodologias de ensino e aprendizagem da matemática num curso de formação inicial

de professores, tendo como pressuposto teórico as teorias sobre o Pensamento

Matemático Avançado (PMA), desenvolveu-se uma tarefa com 60 alunos de um curso

de Educação Básica (EB) sobre equações de 2.º grau recorrendo à folha de cálculo e ao

GeoGebra, a ser entregue num fórum específico na plataforma institucional de ensino a

distância.

A engenharia didáctica, utilizada como metodologia de investigação

caracterizou-se como um esquema experimental baseado nas tarefas realizadas.

Os resultados mostram que apesar de somente 50% dos estudantes terem

concluído a tarefa (que decorreu durante uma semana) estes desenvolveram graus de

autonomia e de pro-actividade em tarefas posteriores, recorrendo a estas ferramentas

para promover tarefas de experimentação matemática dos conceitos desenvolvidos até

ao final da Unidade Curricular (UC).

Palavras-chave: Aprendizagem autónoma, experimentação matemática, formação de

professores, pensamento matemático avançado.

Introdução

O ensino da matemática na formação inicial de professores assume como

objectivos fundamentais: suportar o conhecimento matemático e desenvolver o sentido

didáctico e criativo pelo desenvolvimento do seu pensamento matemático adquirindo

uma compreensão matemática mais profunda dos conceitos a ensinar.

Juntamente com os desafios que o Processo de Bolonha trouxe ao Ensino

Superior em Portugal existe uma crescente preocupação com a educação em ciência,

tecnologia e matemática expressa pelos responsáveis políticos e com resultados menos

satisfatórios em alguns relatórios internacionais (Ramalho, 2002, GAVE-ME, 2004,

Pinto-Ferreira, 2007). Pretende-se assim desenvolver actividades que permitam

identificar aprendizagens e estratégias de ensino e aprendizagem matemática.

A experiência empírica mostra que muitos estudantes têm dificuldade na

aprendizagem dos conceitos teóricos, adquirindo sobretudo rotinas de memorização e

mecanização de procedimentos. As razões principais podem prender-se com a

dificuldade na abstracção dos conceitos, a apresentação formal das ideias matemáticas e

a dificuldade em acompanhar os raciocínios dedutivos que as demonstrações exigem

(Tsvigu, 2007). Para tentar lidar com este problema foram desenvolvidas metodologias

de ensino e de aprendizagem baseadas na teoria do PMA e na aprendizagem auto-

regulada (AA-r). Neste artigo descreve-se o caso das equações de 2.º grau recorrendo a

ferramentas computacionais tais como a folha de cálculo e o GeoGebra.

As tarefas foram aplicadas no âmbito da UC de Matemática II do currículo do

1.º Ciclo de EB (Licenciatura) de uma Instituição de Ensino Superior na zona da Grande

Lisboa. Para além de 2 sessões presenciais de 2 horas (uma onde se introduzia o tema e

outra onde se explicou a utilização das ferramentas), foram disponibilizados

apontamentos e vídeos explicativos na página da UC na Moodle. Desta forma podem

esclarecer dúvidas de modo autónomo estando a plataforma disponível a qualquer

altura, promovendo assim a AA-r. Juntamente com este material foram preparados

alguns exercícios que foram distribuídos como um trabalho a desenvolver e entregue

online.

Enquadramento do estudo

Investigações anteriores e correntes têm-se centrado no ensino e na

aprendizagem da matemática e não tanto no conhecimento conceptual do professor. Os

estudos sobre este tópico têm evidenciado preocupações pois este tipo de conhecimento

matemático não está presente em muitos professores (Veloso, 2004). Muitos

investigadores têm escrito sobre os problemas na compreensão e na utilização de teorias

matemáticas, principalmente de teoremas, na passagem para o nível da matemática

formal (Leron citado por Abramovitz et al, 2007) utilizando os teoremas como fórmulas

mágicas a ser memorizadas e utilizadas na resolução de problemas juntamente com um

conjunto de regras de procedimento e algoritmos.

Considerando uma conjugação de factores (que envolve as alterações a nível da

formação de professores, os resultados de estudos internacionais e um novo programa

para o Ensino Básico) elaborou-se um currículo de matemática para a formação inicial

de professores combinando três níveis de intervenção: (i) uma formação matemática

sólida para todos os níveis da EB (pré-escolar, 1.º e 2.º ciclos); (ii) uma aprendizagem

das conexões entre os actos de conhecer e de ensinar matemática e (iii) promoção de

competências tecnológicas em ambientes educativos.

Argumenta-se que o currículo deve fornecer uma matriz matemática

suficientemente forte e flexível para que possam manipular e criar condições para que

aprendam matemática com base nos 3 problemas que enfrenta a educação matemática:

identificar conteúdos relevantes; entender como o conhecimento deve ser aprendido e o

que é necessário para ensinar conceitos matemáticos. Torna-se então necessário que as

estratégias pedagógicas e didácticas na área de matemática os encorajem a assumir um

papel activo no seu processo de aprendizagem. Gertek citado por Joffrion (2010)

explica que o conceito de experiência enquanto interacção do sujeito com o seu

ambiente reflecte a crença do construtivismo pois o currículo deve ser relevante vendo a

aprendizagem pela prática como factor crucial.

O pensamento matemático avançado (PMA)

Em 1988 Tall argumentou que o PMA podia ser interpretado de duas formas

distintas: Pensamento relacionado com a matemática avançada ou, formas avançadas de

pensamento matemático. Mas, o que é o PMA? Desde que o termo foi introduzido que

tem existido discussão sobre o mesmo, alguns autores apontam as diferenças cognitivas

entre os estudantes do ensino secundário e o início do ensino superior até os defensores

dos conflitos cognitivos inerentes aos modos diferentes de pensamento, o que pode

acontecer em qualquer idade, e com qualquer conteúdo matemático.

Segundo Leikin et al (2010) o grupo do PMA do CERME (Congress of the

European Society for Research in Mathematics Education) abordou a discussão sob

duas perspectivas: Uma centrada na matemática considerando-se as relações com os

conteúdos e conceitos matemáticos apresentando investigações sobre aquisições

conceptuais, técnicas de prova e demonstração, resolução de problemas, técnicas de

ensino e processos de abstracção, outra centrada no pensamento onde as investigações

se focam nos estudantes com grande potencial em matemática relacionando diferentes

grupos com conteúdos de matemática avançada.

Aprender matemática significa participar em diferentes tipos de práticas

matemáticas, uma forma de explicar as variações entre cada prática pode ser vista

através de definições de Tall (2002) sobre o PMA e o pensamento matemático

elementar (PME) partindo do problema identificado por Dreyfus (Tall, 2002) como o

ciclo de generalização → síntese → abstracção considerado fundamental no

desenvolvimento de conceitos matemáticos avançados ou complexos.

Estas diferenças também são trabalhadas por Dubinsky (Tall, 2002) quando se

aborda a dualidade da abstracção entre empírica e reflexiva mais tarde caracterizada

pela teoria APOS (Edwards, Dubinsky & McDonald, 2005).

A educação matemática vista pela sua vertente mais restrita, a didáctica da

matemática é uma área aplicada em que as margens entre o trabalho científico e a

prática construtivista é, no mínimo, ténue. Para Winkelmann (Biehler, Scholz, Sträßer

& Winkelmann, 1994) as reflexões e/ou melhoramentos no processo de

desenvolvimento curricular em matemática servem como ponte para os vários grupos

envolvidos na educação matemática.

A tradução de conceitos, seus princípios, técnicas e métodos de pensamento do

ponto de vista do matemático para o ponto de vista do professor de matemática

envolvem pelo menos 2 factores importantes: a escolha dos conceitos matemáticos a

ensinar e a forma como os ensinar. Para futuros professores estas questões são ainda

mais empoladas de modo a que estas experiências de aprendizagem sejam mais

envolventes e efectivas também na área do conhecimento sobre como os alunos

aprendem matemática.

Tall (1981, 1995, 2002) descreve o PMA com base em 2 componentes - a

especificação dos conceitos por definições matemáticas precisas e as deduções lógicas

de teoremas salientando que a formalização e sistematização dos conceitos matemáticos

é a etapa final do pensamento matemático mas não a actividade completa. Edwards et al

(2005) centram-se na definição do fenómeno que parece ocorrer durante a experiência

matemática quando estes relacionam conceitos abstractos e demonstrações dedutivas,

reconhecendo que as estruturas mentais que garantiam sucesso académico já não

resultam, ligando assim o conceito de PMA a este período de transição.

Rassmussen et al (2005) propõem uma abordagem alternativa ao PMA em que

utilizam a expressão advancing mathematical activity (no original) que foi traduzida

para tarefas de pensamento matemático avançado justificando a expressão dirigida para

o processo total e não para a parte final do processo referida por Tall, esta

caracterização tem um enfoque especial nas práticas matemáticas importantes e nas

diferentes abordagens práticas a essa actividades reflectindo a caracterização do

pensamento matemático como um acto de participação nas diferentes práticas

matemáticas. A utilização de símbolos, de algoritmos e de tarefas representam, sem

serem exaustivas, um núcleo útil de práticas transversais a todos os domínios da

matemática.

Para isso é necessário fazer a ponte entre a AA-r (Wolters, 2010) e o

desenvolvimento de competências de aprendizagem da matemática ligando aspectos

didácticos e pedagógicos à utilização de ambientes educativos potenciados

tecnologicamente. Argumenta-se que é possível por intermédio de ferramentas

computacionais encontrem potenciais conteúdos matemáticos e que pela

experimentação obtenham benefícios para o pensamento matemático, baseado na

familiarização para desenvolver ideias matemáticas.

A folha de cálculo e o GeoGebra

Quando criou o VisiCalc, Bricklin nunca esperava que as folhas de cálculo

tivessem tantas formas de utilização, de uma mera ferramenta para contabilidade a folha

de cálculo tem ganho visibilidade no ensino e na aprendizagem (Baker & Sugden,

2003). Para Abramovich & Brantlinger (1998) uma das vantagens da modelação

matemática é a possibilidade dos estudantes explorarem conceitos matemáticos

mediados por ferramentas computacionais em ambientes alternativos, neste caso a folha

de cálculo e o GeoGebra que segundo Laborde (2010) assumem um papel essencial

pelas suas características específicas de visualização, nomeadamente de expressões

algébricas pois estas estão interligadas.

Metodologia

O objectivo deste estudo é identificar características inerentes à resolução de

tarefas com equações de 2.º grau recorrendo à folha de cálculo e ao GeoGebra de forma

a promover a experimentação matemática.

Utilizou-se a engenharia didáctica (ED) (Brun, 2000) enquanto metodologia de

investigação, caracterizada por um esquema experimental baseado na concepção,

realização, observação e análise de tarefas matemáticas. No caso deste estudo, visto ser

limitado no tempo a uma tarefa, optou-se pelo nível da micro-engenharia.

Para Turingam e Yang (2009) a AA-r descreve um reportório de estratégias para

ultrapassar os desafios que são colocados, espera-se que durante o processo estes se

tornem mais pro-activos e procurem oportunidades de obter novas aprendizagens. Neste

sentido, esta metodologia de ensino e de aprendizagem pretende envolvê-los num

conjunto de actividades de PMA na óptica das sugestões de Rasmussen et al (2005).

Assumindo que as tarefas podem ser descritas pelo modelo da AA-r sugerido

por Pintrich (Wolters, 2010) como construtoras activas, asseguram-se as seguintes 4

fases: (i) antecipação enquanto planificação e estabelecimento de objectivos bem como

o reconhecimento de conhecimentos anteriores; (ii) monitorização enquanto se mantêm

registo dos progressos; (iii) a utilização da gestão dos conteúdos e a regulação das

várias estratégias de aprendizagem para completar a tarefa e (iv) reflexão, geração de

conhecimento a nível do PMA, nomeadamente a extensão do problema e sua

generalização.

Participantes

Os participantes foram 60 estudantes do 2.º ano do 1.º ciclo da EB a frequentar a

UC de Matemática II durante o 2.º semestre de 2011. Estes têm formações (antes do

ensino superior) muito diversas onde a maioria não tem contacto com a disciplina desde

o 9.º ano de escolaridade e tendo frequentado a UC de Matemática I cujos conteúdos

versaram sobre cálculo proposicional, teoria de conjuntos e aritmética racional.

O material de aprendizagem

Uma grande parte dos instrumentos utilizados recorre a exemplos considerados

tradicionais (exercícios de papel e lápis), vídeos explicativos e tutoria recorrendo às

várias ferramentas disponíveis na Moodle definindo à partida qual o trabalho a

desenvolver e os objectivos pretendidos. De acordo com o modelo, o material fornecido

por intermédio da Moodle é um complemento das aulas presenciais (teóricas e práticas)

leccionado a distância.

No caso apresentado a tarefa e o trabalho foi introduzido nas aulas práticas na

semana anterior à aula teórica sobre o mesmo tópico. Compreendeu 3 tipos de material:

(i) documento explicativo sobre a resolução de equações de 2.º grau com exercícios; (ii)

vídeo a explicar a resolução de equações de 2.º grau; (iii) 2 vídeos a explicar a utilização

da folha de cálculo e do GeoGebra.

O documento abordava a noção do que é uma equação de 2.º grau e explicava os

procedimentos de resolução com exemplos de exercícios resolvidos contemplando as

várias possibilidade de resultados no conjunto R. O primeiro vídeo tem a mesma

estrutura do documento explicativo dos procedimentos. Os segundos vídeos explicam a

introdução de fórmulas nas células de uma folha de cálculo com exemplos da colocação

de equações e exploração das mesmas, e a introdução das equações na secção de álgebra

do GeoGebra e posterior visualização do gráfico respectivo.

Das 10 equações apresentadas, 5 eram impossíveis em R, 2 eram possíveis com

zeros naturais, 1 era possível com um só zero (natural), 1 era possível com dois zeros

fraccionários e uma era possível com um zero natural e outro fraccionário. Estas secções

representam a fase da concepção à luz da ED.

A tarefa desenvolvida

Na 2.ª fase da ED (realização) solicitou-se a escolha de uma de 10 equações de

2.º grau disponibilizadas e posterior exploração recorrendo à folha de cálculo,

pretendia-se a analise da equação escolhida e a sua separação nas parcelas

correspondentes às várias partes da equação conforme a figura seguinte:

Figura 1. Processo de transformação de uma equação de 2.º grau na forma canónica para uma

tabela na folha de cálculo.

Este processo permite a exploração de vários valores de x e, ao mesmo tempo,

fornece informações de como a equação se altera consoante os valores introduzidos.

Nesta parte da tarefa pretendeu-se a experimentação das alterações e/ou regularidades

dos resultados e/ou dos parâmetros da equação de uma forma meramente numérica,

para, na segunda parte da tarefa explorarem a mesma equação no GeoGebra permitindo

a verificação gráfica da evolução da equação, aferida com os valores da folha de

cálculo. A tarefa após concluída (ficheiro de folha de cálculo e ficheiro do GeoGebra)

foi entregue no espaço de fórum de partilha na Moodle como forma dos restantes

colegas com dúvidas pudessem questionar e/ou aprofundar a sua aprendizagem

promovendo assim a noção de comunidade de prática (CoP) onde as tarefas são

partilhadas por todos.

Era esperado, que, durante a tarefa, os estudantes se apercebessem das relações

entre os vários termos da equação e a forma como os parâmetros se alteram quando se

alteram os valores da mesma. Pretendia-se que após a visualização numérica e

algébrica/geométrica a percepção/compreensão que têm das equações fosse mais

consistente com o que se espera de um futuro professor.

Resultados

Da observação e análise dos resultados (duas últimas fases da ED) realizado até

à data limite de entrega (1 semana) a percentagem de respostas foi de 50%, ou seja só

30 entregaram o trabalho completo, foram entregues mais 3 trabalhos que não foram

contabilizados pois os ficheiros entregues não continham as fórmulas de cálculo (um

dos trabalhos estava mesmo em formato PDF), o terceiro estava incompleto (faltava o

ficheiro do GeoGebra).

Um dos dados que se verifica pela análise das equações escolhidas é apresentado

na seguinte tabela:

Tabela 1. Estatística descritiva das respostas obtidas em cada equação.

Equação N.º de respostas % de respostas

3x2+x− 4= 0 2 6,67

x²− 5x− 6= 0 16 53,33

2 x²+6 x+5= 0 4 13,33

4 x²+2 x+2= 0 1 3,33

− 3x²+5x− 8= 0 0 0

−5 x²+3x− 3= 0 0 0

x²=4x− 4 5 16,67

9 x²+3 x=− 2 0 0

− 2=− 2 x²− 3x 1 3,33

x²+x− 1= 0 1 3,33

Total 30 100

Pela análise da tabela, a 2.ª equação destaca-se com 53%, este valor pode ser

justificado pelo facto dos resultados serem colocado em fórum público e ter ocorrido

um fenómeno de repetição pela visualização dos trabalhos dos colegas, bem como a

entreajuda existente (evidências de criação de uma CoP), como se verifica na figura 2.

Figura 2. Exemplo retirado do fórum onde um dos estudantes ajuda outro, antes da intervenção

do professor.

A participação no fórum foi relativamente elevada tendo em conta o resto da

UC, com um conjunto de dúvidas sobre a inserção de fórmulas na folha de cálculo, bem

como dos que escolheram as equações sem zeros como se verifica na figura 3.

Figura 3. Exemplo retirado do fórum sobre dúvidas na inserção de fórmulas.

De acordo com uma análise aos conteúdos das participações no fórum existe a

tendência de alguns estudantes para atingirem o quarto nível da AA-r, ou seja a tentativa

de extensão para tarefas semelhantes tal como em 4 dos 30 trabalhos entregues terem

surgido evidências de tentativas de generalização dos conceitos envolvidos (estudantes

que tentaram resolver mais do que uma das equações para verificar se o processo se

poderia replicar), como se verifica pelas figuras 4 e 5.

Figura 4. Folha de cálculo com a resolução de mais de uma equação.

Figura 5. GeoGebra com mais de uma equação.

Esta conclusões precisam de ser validadas recorrendo a outros instrumentos de

pesquisa, tais como entrevistas para comprovar esta hipótese.

Considerações finais e futuros desenvolvimentos

Torna-se importante salientar que os estudantes não estavam familiarizados com

a utilização das fórmulas na folha de cálculo, e muitos iniciaram a sua utilização

imediatamente antes desta tarefa, pela análise ao conteúdo das conversações nos fóruns

as questões prendiam-se mais sobre a inserção de fórmulas, do que sobre a tarefa em si.

A abordagem que fizeram partiu da experimentação das equações que estavam

mais familiarizados como se pode constatar pela escolha das equações que tinham sido

mais trabalhadas em aula (67% com 2 zeros), os restantes participaram mais nos fóruns

e exploraram o facto das equações escolhidas terem 1 só zero ou nenhum zero o que

implicou uma constante verificação dos resultados obtidos (na folha de cálculo e no

GeoGebra) o que evidencia alguma tentativa de passar da exploração dos dados

numéricos para uma compreensão do conceito (abordando assim o PMA) na linha do

ciclo identificado por Dreyfus, ou mesmo pela generalização reflexiva da teoria APOS,

estas impressões finais carecem de validação, necessitando de uma análise mais

profunda.

Após esta tarefa o grupo tornou-se mais activo nas tarefas seguintes,

nomeadamente com o estudo das funções e estas tarefas utilizando a folha de cálculo e o

GeoGebra fomentaram a experimentação em matemática num ambiente ideal para

desenvolver essa mesma tarefa tal como enunciado por Wolters (2010).

Indícios desta postura investigativa por parte dos estudantes foram evidenciadas

pelo tempo investido na prova e demonstração de que as suas conjecturas estão

correctas. Esta actividade aponta para a necessidade de envolver mais os estudantes

neste ambiente investigativo, mas é necessário mais trabalho de forma a flexibilizar e

integrar estas actividades não só na realidade da experiência matemática de futuros

professores, mas que estes transportem essas experiências para a sua prática

profissional.

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