FERRORRESONANCIA SERIE EN TRANSFORMADORES DE TENSION

SERIAL FERRORESONANCEIN VOLTAGE TRANSFORMERS

RESUMEN

Se describe en este artculo el fenmeno de la ferrorre-sonancia serie en los casos de ferrorresonancia funda-mental y subarmnica. Partiendo del circuito completo R-L-C en ferrorresonancia se determina el valor mnimo detensin de red que sostiene el fenmeno. Se compara,para el caso de ferrorresonancia fundamental, el resulta-do de diversas experiencias de laboratorio con los clcu-los efectuados. La aplicacin de lo aqu desarrollado esinmediata al caso de los transformadores de tensininductivos y capacitivos.

1. DESCRIPCION DEL FENOMENO DE LA FERRORRESNANCIA SERIE

En un circuito serie R-L-C, para una tensin aplicada,siempre circula la misma corriente, puesto que sus com-ponentes estn caracterizados por ser constantes y portanto invariables con la corriente, la tensin o el tiempo.

Sin embargo, si en el mismo circuito introducimos comop a r m e t ro del circuito una autoinduccin (1) variable con lac o rriente o la tensin en sus bornes, nos encontramos conla posibilidad de que se produzca un rgimen sostenido dec o rrientes y tensiones dentro del circuito totalmente distintoal esperado para una determinada tensin de alimentacin.

1

ABSTRACT

This article describes the serial ferro resonance pheno-menon in the cases of fundamental and subharm o n i cf e rro resonance. Starting from the complete R-L-C circ u i tin ferro resonance, the minimum network voltage whichsustains the phenomenon is determined. In the case offundamental ferro resonance, the results of variousl a b o r a t o ry experiments are compared with the carr i e dout calculations. These points are immediately applica-ble to the case of inductive and capacitive voltage trans-f o rmers.

1. DESCRIPTION OF THE SERIAL FERRORESONANCE PHENOMENON

In a serial R-L-C circuit, for an applied voltage, a constantcurrent always flows through the circuit, since its compo-nents are characterized by being constant and thereforenon-variable with current, voltage or time.

However, if we introduce as a parameter of the same cir-cuit a self inductance (1) variable with the current or thevoltage in its terminals, we find ourselves with the possi-bility that a sustained range of cur rents and voltages maybe produced within the circuit totally different from thatexpected for a determined supply voltage.

Ferrorresonancia Serie enTransformadores de TensinInductivos y Capacitivos.

Serial Ferroresonance in Inductive and Capacitive Voltage Transformers.

ADOLFO IBEROElectrotcnica Arteche Hnos., S.A. - Mungia

La forma clsica de explicar el fenmeno [1], aunque dauna primera aproximacin suficiente, sin embargo no con-duce a la comprensin real del fenmeno y a su cuantifi-cacin matemtica al no tener en cuenta que la autoin-duccin es una curva de transferencia compleja y no elcociente directo entre valores de tensin e intensidad enrgimen permanente.

En la fig. 1 tenemos el circuito serie R-L-C y la caracters-tica magntica de autoinduccin.

La aparicin del rgimen de ferrorresonancia en el circui-to, partiendo de un rgimen senoidal en permanencia, seproduce siempre por una variacin en la tensin de ali-mentacin del circuito, la cual puede volver de nuevo a lascondiciones originales pero manteniendo la ferrorreso-nancia.

En la fig. 2 aparecen las formas de onda de tensin ycorriente en los distintos elementos de un circuito serie R-L-C. De esta figura podemos deducir lo siguiente: en elcircuito en ferrorresonancia sostenida se producen 2 reg-menes transitorios cada medio ciclo de red y que son sin-cronizados por la corriente senoidal que circula por el cir-cuito.

La induccin pasa bruscamente del valor L1 a Lm y vice-versa con dos regmenes de carga y descarga en sentidocontrario de C a travs suyo.

Cuando la corriente de descarga y carga en sentido con-trario de C a travs de Lm llega a valer a' se tiene queL = Lm pasa a ser L = L1. En este momento, el condensa-dor C se descarga a travs de L1 con una corriente tran-sitoria en forma de semisinusoide y frecuencia:

Cuando la intensidad transitoria de esta descarga se vaacercando hacia cero ( ) entonces para valoresde corriente menores que a', la autoinduccin pasa

2

The classic method of explaining the phenomenon [1], although good enough as a first approximation, doesntlead to real understanding of the phenomenon and itsmathematical quantification because it doesnt take intoaccount that the self-induction is a complex transferencecurve and not the direct quotient between values of volta-ge and current in a continuous rating.

In fig. 1 we have the serial R-L-C circuit and the magneticcharacteristic of self-inductance.

The appearance of the condition of ferroresonance in thecircuit, starting from a permanent sine-wave condition, isalways due to a variation in the supply voltage to the cir-cuit, which may return to the original conditions but main-taining the ferroresonance.

Fig. 2 shows the voltage and current wave forms in thed i ff e rent elements of an R-L-C serial circuit. From thisf i g u re we can deduce the following: in a circuit in sustai-ned ferro resonance there are 2 transient conditionse v e ry half-cycle of the network, and they are synchro n i-zed by the sine-wave current which circulates through thec i rcuit.

The inductance goes sharply from the L1 to the Lm valueand vice versa, with two conditions of charge and dis-charge in opposite directions of C through it.

When the discharge and charge current in opposite direc-tions of C through Lm reachs the value a', then L = Lmbecomes L = L1. At this point the capacitance C dischar-ges through L1 with a transient current in semi-sine waveand frequency equal to

When the transient current of this discharge approachesto zero ( ), then for current values lower than a',the self-inductance becomes L = Lm.

Fig. 1

R

C

L1 Lm

C

L1

Lm

ai

3a valer L = Lm. El condensador C cargado en sentidoopuesto se encuentra con una Lm muy grande y se produ-cir una oscilacin de frecuencia:

mucho ms baja que la anterior.

La corriente de este transitorio crece muy lentamente y apenas se aprecia variacin de tensin en el conden-s a d o r.

Cuando la corriente de este lento transitorio sumada conla senoidal de la red llega a valor a' entonces L = L1 y serepite el fenmeno indefinidamente.

Se debe tener en cuenta lo siguiente:

Cuando L = Lm a la frecuencia de red se tiene

y, por tanto, el circuito es fuertemente inductivo. Estoimplica que por el circuito circular una dbil corrientesenoidal de carcter inductivo en los intervalos en que laautoinduccin no est saturada y har que casi toda latensin de red aparezca como rizado sobre la tensin dela autoinduccin.

2. FERRORRESONANCIA FUNDAMENTAL Y SUBARMNICA

2.1. Ferrorresonancia fundamental

De lo descrito en el apartado anterior se deducen las con-diciones que un circuito R-C-L debe cumplir para que semantenga en ferrorresonancia fundamental:

a) La frecuencia de oscilacin propia del circuito L1-C debeser mayor que la de la red (generalmente mucho mayor),es decir:

Esto equivale a decir que a la frecuencia de red el circui-to L1-C sea capacitivo, es decir:

b) La frecuencia de oscilacin propia del circuito Lm-C debe ser menor que la de la red, ya que de esta forma sesincroniza el fenmeno cada medio ciclo. Si gm>g enton-ces es imposible sincronizarlo.

Es decir:

The capacitor C charged in the opposite direction meets avery large Lm and an oscillation of frequency:

much lower than the one before is produced.

The current of this transient condition increases veryslowly and hardly any voltage variation can be appreciatedin the capacitance.

When the current of this slow transient added to the sine-wave current of the network reaches the value a'then L = L1 and the phenomenon repeats indefinitely.

The following must be taken into account:

When L = Lm at the network frequency we find out that

and therefore the circuit is very inductive. This impliesthat a weak sine-wave current of an inductive nature willcirculate through the circuit in the intervals in which theself-inductance is not saturated, and will make nearly allthe line voltage appear as rippled over the self-inductancevoltage.

2. FUNDAMENTAL AND SUBHARMONIC FERRORESONANCE

2.1. Fundamental ferroresonance

From what has been described in the section above, wecan deduce the conditions which a R-C-L circuit must ful-fill in order to maintain a fundamental ferroresonance:

a) The characteristic oscillation frequency of the L1-C circ u i tmust be higher than that of the network (usually much hig-her), that is to say:

This is the same as saying that at the network fre q u e n c y,the L1-C circuit should be capacitive, thats to say:

b) The characteristic oscillation frequency of the Lm-C circuit must be lower than that of the network, since inthis way the phenomenon is synchronized every half-cycle.If gm>g, then it is impossible to synchronize it.

That is:

Esto equivale a decir que a la frecuencia de la red el cir-cuito Lm-C debe ser inductivo y por tanto:

c) La descarga de C a travs de L1 debe ser oscilante,para lo cual el circuito debe ser subamortiguado, es decir:

De esta forma garantizamos que la corriente pasa porcero, con una go>g, y se conmuta L1 pasando a valer Lmy viceversa.

d) La tensin de red debe ser suficiente para aportar laenerga perdida en la resistencia R en los momentos deconmutacin. Adems suponemos que las prdidas en Rpor la corriente senoidal de la red o la corriente de pulsa-cin gm son despreciables debido a sus bajos valores.

2.2. Ferrorresonancia subarmnica.

En la fig. 3 se observan las formas de onda de tensionesy corrientes en el circuito en el caso de ferrorresonanciasubarmnica.

La ferrorresonancia subarmnica se produce cuando laautoinduccin Lm no saturada junto con la capacidad C delcircuito tienen una frecuencia propia de oscilacin fmmenor que la del subarmnico que se pueda producir.

De esta forma, sumadas la corriente oscilatoria de fre-cuencia fm y la componente fundamental, pueden ser capa-ces de saturar la autoinduccin de forma sncrona cada15 ciclos de red, 25 ciclos, 35 ciclos, etc, es decir conun perodo de oscilacin de 3 ciclos, 5 ciclos, 7 ciclos, etc,( 3e r s u b a rmnico, 5o s u b a rmnico, 7o s u b a rmnico, etc).

El caso anterior de la ferro rresonancia fundamental es, enrealidad, este mismo pero sincronizado cada 1/2 ciclo.

En la figura 3 se observa que si la frecuencia de oscila-cin libre

es p. ej. menor que el noveno subarmnico, podran apare-cer ferro rresonancias de 1e r s u b a rmnico (fundamental),despus del 3e r s u b a rmnico, despus del 5o s u b a rm n i c o ,despus del 7o e incluso del 9o, pero nunca del 11o, esd e c i r, de una frecuencia inferior a la de oscilacin libre:

Los subarmnicos van aumentando su perodo (rango) amedida que la tensin de red va decreciendo.

4

This is equivalent to saying that at the network frequency,the Lm-C circuit must be inductive and therefore:

c) The discharge of C through L1 must be in an oscillatingw a y, for which the circuit must be under-damped, that is:

In this way we guarantee that the current passes throughzero, with a go>g, and L1 is commuted to the value of Lmand vice versa.

d) The network voltage must be enough to provide theenergy lost in the resistor R while commutation. In addi-tion we assume that the losses in R because of the sine-wave cur rent of the network or the pulse current gm arenegligible due to their low values.

2.2. Subharmonic ferroresonance

In fig. 3 we can see the wave shapes of voltages andcurrents in the circuit in the case of subharmonic ferrore-sonance.

The subharmonic ferro resonance is produced when the non-saturated self-inductance Lm together with the capacitance Cof the circuit have an own oscillation frequency of fm, lowerthan that of the subharmonic which may be produced.

In this way, the oscillating current of frequency fm and thefundamental component added together may be able tosaturate the self-inductance in a synchronous way every 1.5network cycles, 2.5 cycles, 3.5 cycles, etc., thats to say,with an oscillation period of 3 cycles, 5 cycles, 7 cycles, etc.( 3rd s u b h a rmonic, 5t h s u b h a rmonic, 7t h s u b h a rmonic, etc.).

The above case of fundamental ferroresonance is in factthe same, but synchronized every 1/2 cycle.

Figure 3 shows that if the free oscillation frequency

is, for example, lower than the 9t h s u b h a rmonic, ferro re s o-nances of the 1s t s u b h a rmonic (fundamental) may appear,then 3rd s u b h a rmonic and 5t h s u b h a rmonic ones, followedby the 7t h and even the 9t h ones, but never the 11t h, thatis, at frequencies lower than that of free oscillation:

Subharmonics increase their periods (orders) while net-work voltage decreases.

De la figura 3 podemos deducir las condiciones del cir-cuito para que exista la ferrorresonancia subarmnica:

a) La frecuencia de oscilacin propia del circuito L1-C debe ser mayor que la del subarmnico considerado, esd e c i r :

o bien a la frecuencia del subarmnico considerando elcircuito L1-C debe ser capacitivo:

siendo n = rango del subarmnico considerado.

b) La frecuencia de oscilacin propia del circuito Lm-C debe ser menor que la del subarmnico considerado deforma que el fenmeno pueda sincronizarse, es decir:

From figure 3 we can deduce the circuit conditions requi-red for the existence of subharmonic ferroresonance:

a) The characteristic oscillation frequency of the circuit L1-C must be higher than that of the considered subhar-monic, i.e.:

or just at the frequency of the considered subharmonicthe circuit L1-C must be capacitive:

where n = order of the considered subharmonic.

b) The characteristic oscillation frequency of the circuit Lm-C must be lower than that of the considered subhar-monic so that the phenomenon can be synchronized, i.e.:

Fig. 2

VC

L=Li

a

L=Lm

i. trans.

i.total=iwm+i.fundamental

i. fundamental

network

VI

iwmp___g0

6esto equivale a decir que a la frecuencia del subarmnicoconsiderado el circuito Lm-C debe ser inductivo:

siendo n = rango del subarmnico considerado.

c) La descarga de C a travs de L1 debe ser oscilante, paralo cual el circuito debe ser subamortiguado, es decir:

De esta forma garantizamos que la corriente pasa porcero, con una go>gsubarmnico, y se conmuta L1 pasando avalor Lm y viceversa.

d) La tensin de red debe ser suficiente para aportar laenerga pedida en la resistencia R en los momentos deconmutacin. Adems suponemos que las prdidas en Rpor la corriente senoidal de la red o la corriente de pulsa-cin son despreciables debido a sus bajos valores.

3. CLCULOS Y ECUACIONES

Se exponen a continuacin las ecuaciones de equilibriopara el mantenimiento de la ferrorresonancia fundamen-tal y de la subarmnica.

Primeramente suponemos que el ncleo no tiene prd i-das y comprobamos la influencia de la resistencia serier1. (Fig. 4).

Las hiptesis de partida son las siguientes:

a) La corriente de excitacin senoidal es despreciablefrente a los impulsos en los transitorios.

b) La autoinduccin tiene 2 valores: Lm cuando est sinsaturar y L1 cuando est saturada. Adems, cuando laautoinduccin vale Lm, sta es tan grande que impide quese descargue el condensador.

Las ecuaciones a aplicar son:

Ec. (1)

E n e rga aportada por la red = Energa consumida en el cir-c u i t o Ec. (2)

Desarrollando ambas para el caso de la ferrorresonanciafundamental e integrando la ecuacin (1) entre a y b setiene:

This is equivalent to saying that at the frequency of theconsidered subharmonic the circuit Lm-C must be inducti-ve:

where n = order of the considered subharmonic.

c) The discharge of C through L1 must be oscillating, forwhich the circuit must be under-damped, thats to say:

In this way, we guarantee that the current passes throughzero, with a go>gsubharmonic and L1 is commuted to thevalue Lm and vice versa.

d) The network voltage must be enough to provide theenergy lost in the resistance R while commutation. In addi-tion we assume that the losses in R because of the sine-wave current of the network or the pulse current arenegligible due to their low values.

3. CALCULATIONS AND EQUATIONS

The equilibrium equations for the maintenance of the fun-damental and the subharmonic ferroresonance are expo-sed bellow.

First of all we assume that the core has no losses and wecheck the influence of the serial resistance r1. (Fig.4).

The initial hypothesis are as follows:

a) The excitation sine-wave current is negligible comparedto the impulses while the transients.

b) Self-inductance has 2 values: Lm when it is not satura-ted, and L1 when it is saturated. Also when the self-induc-tance value is Lm, it is so large that it prevents the capa-citors from discharging.

The equations to be applied are:

Eq. (1)

Energy supplied by the network = Energy consummed inthe circuit Eq. (2)

Developing both equations for the case of fundamentalferroresonance and integrating equation (1) between aand b we have:

y donde

;

llamando y

se tiene:

Ec. (3)

7

, and where

;

calling and

we have:

Eq. (3)

Fig. 3

V1

V2

VC

0 a

b50Hz

VL1

VLm. sub.

VLm. sub.+VL =

VR50Hz.

VL50Hz.

VL50Hz.

i. trans.

i.total=i.trans + i.fundamental

i. fundamental

network

p___g0

8De la ecuacin (2) se deduce:

Energa aportada por la red: Ec. (4)

E n e rga perdida en la conmutacin: Ec. (5)

Durante la conmutacin podemos suponer

, ya que .

Asimismo

, con b = 0 y a = p

La corriente de carga y descarga de C pone en juego unacarga que vale:

Supuesto que

Es decir:

Como:

Luego:

La relacin entre la tensin mnima que mantiene el fen-meno ( ), la tensin en el condensador ( ) y la corr i e n t een los perodos de conmutacin ( ) se obtiene:

, como , se tiene

From equation (2) we deduce:

Energy supplied by the network: Eq. (4)

Energy lost while commutation: Eq. (5)

While commutation we can assume:

, since .

Similarly

, with b = 0 and a = p

Charging and discharging current of C implies a charge which value is:

Supposing that

Thats to say:

As

Therefore:

The relation between the minimum voltage which ( ) main-tains the phenomenon, the voltage in the capacitor ( ) andthe current while conmutation periods ( ) is obtained:

, as , we obtain

From another way:

Supposing that remains constant along that semiperiodwe have:

Equalling both terms:

As

we have:

thats to say:

As y

we have:

thats to say:

9

Por otra parte:

Suponiendo que permanece constante durante esesemiperodo se tiene:

Igualando ambos trminos:

Como

se tiene:

es decir:

Como y

se tiene:

es decir:

Fig. 4

r1 L1

-Vc

Vc

rea+

rea-

network

b ab

-VL

C

Lm

10

Como , entonces:

Ec. (7)

donde ,

Esat = tensin de saturacin de la autoinduccin a 50 Hz.

La influencia de las prdidas en el ncleo de la autoinduc-cin se puede re p resentar por medio de una resistencia Ren paralelo con la autoinduccin no saturada Lm (fig. 5).

La ecuacin que debe cumplirse en cualquier rgimen deferrorresonancia es la siguiente:

Energa aportada por la red = Energa perdida en r1+ Energa perdida en R Ec. (8)

La ecuacin 8 se desarrolla igual que los casos anterio-res, con la diferencia de que el trmino "Energa perdidaen R" se obtiene como la descarga de C a travs de Rcuando la autoinduccin vale L = Lm.

Como ahora la tensin en el condensador cae de V1 hastaV2 se tiene una energa perdida de valor:

Adems en el proceso de carga-descarga de C desde V2 aV1 se tiene:

, y esto vale:

Por tanto, el incremento de tensin de alimentacinnecesaria para mantener la ferrorresonancia ser:

Es decir:

o bien

As , then:

Eq. (7)

where ,

Es a t = saturation voltage of the self-inductance at 50 Hz.

The influence of the losses in the self-inductance core canbe represented by means of a resistor R in parallel withthe non-saturated self-inductance Lm (fig.5).

The equation which has to be fulfilled with at any ferrore-sonance condition is as follows:

Energy supplied by the network = Energy lost in r1+ Energy lost in R Eq. (8)

Equation 8 is developed in the same way as the previouscases, with the only difference that the term "Energy lostin R" is obtained as the discharge from C through R whenthe self-inductance value is L = Lm.

As now the voltage in the capacitor falls from V1 to V2 wehave a lost energy of value equal to:

Besides in the charge-discharge process of C from V2 toV1 we have:

, and this is equal to:

T h e re f o re the feeding voltage increase needed to main-tain the ferro resonance will be:

Thats to say:

or

11

siendo

por lo cual

Ec. (9)

Por lo tanto, si se desean tener en cuenta las prdidas enla autoinduccin, es preciso aadir al segundo trmino dela ecuacin (7) el segundo trmino de la ecuacin (9).

4. RESULTADOS EXPERIMENTALES OBTENIDOS CON ENSAYOS SOBRE CIRCUITOS EN FERRORRESONANCIA FUNDAMENTAL

Se han realizado los siguientes experimentos sobre el cir-cuito de la figura hacindolo entrar en ferrorresonanciasubiendo la tensin de alimentacin. Despus se dismi-nuye lentamente la tensin de alimentacin y se mide aqu tensin eficaz desaparece el fenmeno. Los resulta-dos obtenidos aparecen en la Tabla 1.

5. REFERENCIAS

[1] Cahen, F.: Electrotechnique, Gauthier-Villars, 1963.

[2] Mahy, P.: Contribution theorique et experimentale letude des phnomnes de ferrorresonancemonophase, SRBE, 1972.

being

so

Eq. (9)

Therefore, if we want to take into account the losses inthe self-inductance, we have to add to the second term ofequation (7) the second term of equation (9).

4. RESULTS OF TESTS ON CIRCUITS IN FUNDAMENTAL FERRORESONANCE

The following experiments have been carried out on thecircuit shown in figure 5, making it go into ferroresonanceby raising the supply voltage. Afterwards the voltagesupply is slowly reduced and the effective voltage at whichthe phenomenon disappears is measured. The obtainedresults appear in table 1.

5. REFERENCES

[1] Cahen, F.: Electrotechnique, Gauthier-Villars, 1963.

[2] Mahy, P.: Contribution theorique et experimentale l'etude des phnomnes de ferrorresonance monophase, SRBE, 1972.

r1 L1 Lm

R C

Fig. 5

Tabla 1 / Table 1

2,85 6,54 230 80 12,68 10,62,85 6,54 230 180 14,56 14,052,85 6,54 230 240 19,96 16,52,85 6,54 230 300 19,81 19,82,85 6,54 230 360 23,08 23,72,85 6,54 66 80 33,06 322,85 6,54 66 180 23,62 24,22,85 6,54 66 240 23,75 24,52,85 6,54 66 300 25,24 25,62,85 6,54 66 360 27,6 27,4

V. AlimentacinFeeding Voltage

Parametros de CircuitoCircuit Parameters

r1 0hmr1 0hm

L1x10-3H.L1x10-3H.

R 0hmR 0hm

Cx10-6FCx10-6F

C A L C U L A D OC A L C U L ATED

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