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布林代數與第摩根定理

Chapter　4

4-1　布林代數特質4-2　布林代數基本運算4-3　布林代數基本定理與假設4-4　第摩根第一定理4-5　第摩根第二定理4-6　第摩根定理的互換4-7　基本邏輯閘與布林代數的關係

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數位邏輯總複習(含實習)

4-1 布林代數特質 1. 喬治布林(George Boolean)在1800年介紹「邏輯代數」，後來成為「布林代

數」(Boolean Algebra)。

2. Clande E. Shannon於1938年發表布林代數對於二進制函數的應用。

3. 布林代數只處理0與1兩種狀態數值，比一般代數容易。

4. 布林代數是一種專門用來分析及推算二維(真與假)邏輯關係的方法。

5. 真值表可以看出所有條件狀態及結果的關係，所以，在邏輯電路中，經常利

用「真值表」來表示輸入與輸出的關係。

6. 列出「真值表」的一般方法：

(1)確定各項變數。

(2)列出所有條件變數的不同組合。(若條件變數有n個，則所有組合共2n種)

(3)核對各種條件組合與結果的關係，並寫出結果變數的真值表。

7. 在數位電路中，由於電晶體工作於截止區與飽和區(開或閉)兩種狀態，在描

述數位電路的工作情形時，在輸出與輸入只有兩個不同的值，將以0與1來

表示。

立即評量

1. ( ) 布林代數是專門用來推論　(A)二維　(B)三維　(C)四維　(D)五維　邏輯關

係的邏輯代數。

2. ( ) 布林代數是由誰發明的？　(A)喬治布林(George Boolean)　(B)亞里士多德

(Aristotle)　(C)夏濃(C. E Shannon)　(D)第摩根(Demorgan)。

3. ( ) 布林代數中的任一變數X的值為　(A)整數　(B)自然數　(C)0或1　(D)不

一定。

4. ( ) 列出真值表之首要步驟為　(A)探究其邏輯關係　(B)確立變數　(C)列出全

部的條件組合　(D)依結果而定。

答案：1.(A)　2.(A)　3.(C)　4.(B)

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Chapter 4　布林代數與第摩根定理

4-2 布林代數基本運算 1. 布林代數的基本運算有三種：如下表所示。

運算類型運算符號運算式簡稱

加法邏輯 “＋” Y＝A＋B OR

乘法邏輯 “．” Y＝A．B AND

補數邏輯 “－” Y＝A NOT

2. 或(OR)→加法邏輯運算：

(1)運算式：Y＝A＋B (2)真值表：

(3)符號： (4)等效電路：

圖4-1

3. 及(AND)→乘法邏輯運算

(1)運算式：Y＝A．B (2)真值表：

圖4-2

A B Y0 0 00 1 11 0 11 1 1

A B Y0 0 00 1 01 0 01 1 1


4. 反相(NOT)→補數運算

(1)運算式： Y＝A (2)真值表：A Y0 11 0

150



1. ( ) 下列何者是OR閘之真值表？

(A) (B) (C) (D) (E)　　　　。

2. ( ) 單一邏輯閘，若輸入全為“0”輸出才是“0”的邏輯閘是　(A)反閘　(B)或

閘　(C)反及閘　(D)反或閘。

3. ( ) 布林代數的基本運算有哪三種？　(A)加、乘及補數　(B)加、減及補數　

(C)加、減、乘　(D)加、乘、除。

4. ( ) 布林代數的「或」運算符號為　(A)．　(B)－　(C)＋　(D)⊕。

5. ( ) 布林代數的加法運算中1＋1＝？　(A)0　(B)1　(C)2　(D)1。

6. ( ) 布林代數的「及」運算符號為　(A)．　(B)－　(C)＋　(D)⊕。

7. ( ) X的補數為　(A)0　(B)1　(C)X　(D)X。

答案：1.(A)　2.(B)　3.(A)　4.(C)　5.(B)　6.(A)　7.(C)

立即評量

A B Q0 0 00 1 11 0 11 1 1

A B Q0 0 10 1 01 0 01 1 0

A B Q0 0 00 1 01 0 01 1 1

A B Q0 0 10 1 11 0 11 1 0

A B Q0 0 00 1 11 0 11 1 0

圖4-3

範例4-11. 雙輸入或閘(OR)之輸出為0，而兩輸入為　(A)0，0　(B)0，1　(C)1，0　

(D)1，1。

解：(A)

2. 邏輯電路中，若輸入信號中至少有一個為“1”，則輸出為“1”的邏輯閘是　

(A)及閘　(B)或閘　(C)反閘　(D)反或閘。

解：(B)

151


4-3 布林代數基本定理與假設　1. 布林代數的基本公設：

(1) 封閉性：這種性質可由真值表看出，因為每一個運算結果，不是1即是0。

(2)單位元素：

①X＋0＝X

②X．1＝X

③X＋1＝1

④X．0＝0

(3)補數元素：X＝X

(4)結合律：

①(X＋Y)＋Z＝X＋(Y＋Z)

②(X．Y)．Z＝X．(Y．Z)

(5)交換律：

①X＋Y＝Y＋X

②X．Y＝Y．X

(6)分配律：

①X．(Y＋Z)＝X．Y＋X．Z

②X＋(Y．Z)＝(X＋Y)(X＋Z)

(7) 對偶性(Duality)：任何布林代數式，必有其相對的對偶式，對偶性的互換原

則如下：

①將AND運算改為OR，OR運算改為AND。

②將元素0改為1，1改為0。

③變數符號則不作改變。

2. 布林代數的基本定理：

(1)自補律：0＝0，1＝1　　X＝X

(2)等冪性：

①X．X＝X

②X＋X＝X

152


(3)補數性：

①X．X＝0

②X＋X＝1

(4)同一性：

①X．0＝0

②X＋1＝1

(5)消去性：

①X＋XY＝X

②X(X＋Y)＝X

(6)第摩根定理(De-Morgan's �eorem)

①X ＋ Y＝X．Y

②X．Y＝X＋Y

3. 定理的基本應用：

(1) ①X＋XY＝X＋Y

②X(X＋Y)＝XY

(2) ①XY＋XY＝X

②(X＋Y)(X＋Z)＝XZ＋XY

(3) ①X ＋ Y ＋ Z ＋⋯⋯＝X．Y．Z‧⋯⋯

②X．Y．Z．⋯⋯＝X＋Y＋Z＋⋯⋯

(4)(W＋X)(Y＋Z)＝WY＋XY＋WZ＋XZ

(5)XY＋XZ＋YZ＝XY＋XZ

(6)(X＋Y)(X＋Z)(Y＋Z)＝(X＋Y)(X＋Z)

4. 何謂對偶函數：

在同一電子電路，使用不同的邏輯系統去轉換。

5. 何謂補函數：

在同一邏輯系統，彼此電子電路互為補數(相差一個反相器)。

153


範例4-21. 依據布林代數X＋XY＝？　(A)X＋Y　(B)X＋Y　(C)X＋Y　(D)X‧Y。

解：X＋XY＝X(1＋Y)＋XY　　(∵1＋Y＝1)

　　＝X＋XY＋XY

　　＝X＋(X＋X)Y　　 (∵X＋X＝1)　

　　＝X＋Y

　　故選(B)

2. 依據布林代數X(X＋Y)＝？　(A)X＋XY　(B)XY　(C)X　(D)Y。

解：X(X＋Y)＝XY　　(∵X‧X＝0)

　　故選(B)

3. 依據布林代數XY＋XY＝？　(A)Y　(B)Y　(C)X　(D)X。

解：XY＋XY＝X(Y＋Y)　　(Y＋Y＝1)

　　　　　＝X

　　故選(C)

4. 依據布林代數(X＋Y)(X＋Z)＝？　(A)YZ　(B)YXZ　(C)XZ＋XY　(D)XZ＋XY。

解：(X＋Y)(X＋Z)＝YX＋XZ＋YZ

　　　　　　　＝YX＋XZ＋YZ(X＋X)　　(∵X＋X＝1)

　　　　　　　＝YX＋XZ＋XYZ＋XYZ

　　　　　　　＝XY(1＋Z)＋XZ(1＋Y)　 (∵1＋Z＝1　1＋Y＝1)

　　　　　　　＝XY＋XZ　　　　　　　　

　　故選(D)

5. 依據布林代數XY＋XZ＋YZ＝？　(A)XY＋YZ　(B)XZ＋YZ　(C)XY＋XZ　

(D)X Y＋YZ。

解：XY＋XZ＋YZ＝XY＋XZ＋YZ(X＋X)　　 (∵X＋X＝1)

　　　　　　　＝XY＋XZ＋XYZ＋XYZ

　　　　　　　＝XY(1＋Z)＋XZ(1＋Y)　　 (∵1＋Z＝1　1＋Y＝1)

　　　　　　　＝XY＋XZ

　　故選(D)

154


1. ( ) 下列布林代數之恆等式何者有誤？　(A)X＋YZ＝(X＋Y)(X＋Z)　(B)(X＋

Y)Z＝XZ＋YZ　(C)A＋B=A B　(D)X(X＋Y)＝XY。

2. ( ) 一邏輯函數 f＝A＋B，則f＝？　(A)A B　(B)AB　(C)A＋B　(D)AB。

答案：1.(D)　2.(B)

立即評量

4-4 第摩根第一定理1. 第摩根第一定理：F＝A＋B＝A‧B

2. 利用真值表證明： A B A ＋ B A B A．B0 0 1 1 1 10 1 0 1 0 01 0 0 0 1 01 1 0 0 0 0

3. 等效電路：

圖4-4

4. 結論：「和的補數等於各補數之積」。

5. 當有三輸入端時，第摩根定理可寫成：A＋B＋C＝A‧B‧C

6. 當有四輸入端時，第摩根定理可寫成：A＋B＋C＋D＝A‧B‧C‧D

6. 依據布林代數(X＋Y)(X＋Z)(Y＋Z)＝？　(A)(X＋Y)(X＋Z)　(B)(X＋Y)(X＋Z)　

(C)(X＋Y)(X＋Z)　(D)(X＋Y)(Y＋Z)。

解：(X＋Y)(X＋Z)(Y＋Z) ＝(X＋Y)(X＋Z)(Y＋Z＋X)(Y＋Z＋X)

＝[(X＋Y)(1＋X)][(X＋Z)(1＋Y)]

　　　　　　　　　　＝(X＋Y)(X＋Z)

　　故選(B)

155


立即評量

1. ( ) A＋B＝？　(A)A‧B　(B)A‧B　(C)A‧B　(D)A‧B。

2. ( ) A．B．C＝？　(A)A＋B＋C　(B)A＋B＋C　(C)A＋B＋C　(D)A．B．C。

答案：1.(D)　2.(C)

4-5 第摩根第二定理1. 第摩根第二定理：F＝A‧B＝A＋B

2. 利用真值表證明： A B A．B A B A＋B0 0 1 1 1 10 1 1 1 0 11 0 1 0 1 11 1 0 0 0 0

3. 等效電路：

圖4-5

4. 結論：「積的補數等於各補數的和」。

5. 當有三輸入端時，第摩根定理可寫成：A‧B‧C＝A＋B＋C

6. 當有四輸入端時，第摩根定理可寫成：A‧B‧C‧D＝A＋B＋C＋D

立即評量

1. ( ) A＋B＝？　(A)A．B　(B)A．B　(C)AB　(D)AB。

2. ( ) A‧B‧C＝？　(A)A＋B＋C　(B)A＋B＋C　(C)ABC　(D)A＋B＋C。

答案：1.(A)　2.(B)

156


4-6 第摩根定理的互換1. 利用第摩根定律化簡：

原則： ①長Bar變短Bar。

②短Bar變長Bar。

③「加」的變「乘」的。

④「乘」的變「加」的。

2. 公式： ①A＋B＝A‧B

②A‧B＝A＋B

立即評量

1. ( ) 化簡布林代數F＝X＋X＋Y，則F＝？　(A)X＋Y　(B)XY　(C)X＋Y　

(D)X＋Y。

2. ( ) 化簡布林代數F＝A‧(B＋C)，則F＝？　(A)A＋B＋C　(B)A＋B C

(C)A＋BC　(D)A＋BC。

答案：1.(A)　2.(C)

範例4-31. 化簡布林代數F＝A＋AB，則F＝？

解：A＋A＋B＝1＋B＝1

2. 化簡布林代數F＝AB＋C，則F＝？

解：AB‧C＝AB‧C

3. 化簡布林代數F＝AB＋A＋B＋AB，則F＝？

解：AB＋A‧B‧AB

　　＝AB＋AB‧AB　　　　(X‧X＝0)

　　＝AB＋0

　　＝AB

157


4-7 基本邏輯閘與布林代數的關係

名稱圖型符號代數函數真值表

及閘(AND) F＝XY

或閘(OR) F＝X＋Y

反相器(NOT) F＝X

緩衝器(Buffer) F＝X

反及閘(NAND) F＝(XY)

反或閘(NOR) F＝(X＋Y)

互斥或閘(XOR) F＝XY＋X Y ＝X⊕Y

反互斥或閘(XNOR)

F＝XY＋X Y ＝X☉Y

X Y F0 0 00 1 01 0 01 1 1

X Y F0 0 00 1 11 0 11 1 1

X F0 11 0

X F0 01 1

X Y F0 0 10 1 11 0 11 1 0

X Y F0 0 10 1 01 0 01 1 0

X Y F0 0 00 1 11 0 11 1 0

X Y F0 0 10 1 01 0 01 1 1

158


立即評量

1. ( ) 指出下列何者為互斥或閘？　(A) 　(B) 　(C)

(D) 。

2. ( ) 指出下列何者為反互斥或閘之布林代數？　(A)A⊕B　(B)AB＋AB　

(C)A＋B　(D)A☉B。

答案：1.(D)　2.(D)

範例4-41. 如圖，則此邏輯閘為何種閘？　(A)及(AND)閘　(B)或(OR)閘

(C)反或(NOR)閘　(D)反及(NAND)閘。

解：(D)

2. 如圖，則輸出Y之布林代數表示法為　(A)Y＝AB　(B)Y＝A＋B (C)Y＝AB　(D)Y＝A＋B。

解：(D)

159


1. ( ) 依布林定理下列何者有誤？(A)X＋1＝1，X＋X＝X (B)X＋X＝1，XX＝1(C)X‧X＝X，X＝X (D)X＋0＝X，X．1＝X。

2. ( ) 依布林定理下列何者有誤？(A)X＋Y＝Y＋X，XY＝YX(B)X＋Y＋Z＝(X＋Z)＋Y，XYZ＝XZY (C)X＋YZ＝(X＋Y)(X＋Z)，X(Y＋Z)＝XY＋XZ(D)X＋XY＝XY，X(X＋Y)＝XY。

3. ( ) 化簡X＋X＋Y＝(A)Y　(B)X　(C)X　(D)1。

4. ( ) (X＋Y)Z＋(X＋Y)Z化簡結果為(A)XZ＋YZ＋XZ＋YZ　(B)(X＋Y)Z　(C)X＋Y　(D)Z。

5. ( ) 下列布林方程式何者正確？(A)A＋A=1　(B)A．A＝1　(C)A(A＋B)＝B　(D)(ABC)=A＋B＋C。

6. ( ) 下列邏輯表示式何者錯誤？(A)A＋A＝A　(B)AA＝1　(C)A＋AB＝A　(D)A＋A＝1。

7. ( ) 下列布林等式，何者不正確？(A)1＋1＝1　(B)BC＝CB　(C)A＋A＝1 　(D)AA＝1。

8. ( ) 下列布林代數，何者是錯誤的？(A)X＋1＝1　(B)X‧X＝0　(C)X＋X＝0　(D)X‧1＝X

9. ( ) 下列布林運算何者有誤？(A)1＋1＝2　(B)0．1＝0　(C)1．0＝0　(D)0＋0＝0。

10. ( ) 在布林代數之邏輯運算中，下列何者為真？(A)1＋1＝0　(B)0＋1＝0　(C)1．1＝0　(D)0．1＝0

11. ( ) AB+AC+B+C化簡結果為(A)A＋B＋A＋C (B)(A＋B)(A＋C)　(C)A＋B＋C (D)A(B＋C)＋B＋C。

12. ( ) 下列之布林運算式，何者為真？(A)A‧A＝0 　 (B)A＋AB＝B　(C)(A＋B)B=1　 (D)B＋B=0。

綜合演練

160


13. ( ) 下列布林代數，何者不等於A？(A)A＋AB　(B)AB＋AB　(C)(A＋B)(A＋B)　(D)A＋AB。

14. ( ) 依據布林代數(Boolean Algebra)A＋AB等於 (A)A＋B　(B)A＋B　(C)A＋B　(D)A＋B 。

15. ( ) 下列之布林運算式，何者為真？(A)A＋AB＝B (B)(A＋B)B＝1　(C)AB＋AB＝A (D)A＋A＝0。

16. ( ) 下列之布林運算式B＋A‧B等於(A)0　(B)1　(C)B＋A　(D)A。

17. ( ) (A＋BC)(B＋C)化簡結果為何？(A)A(B＋C)　(B)A＋BC　(C)(B＋C)　(D)A＋B＋C。

18. ( ) (X＋Y)(X＋Z)(X＋W)與下列何者相等？(A)X＋Y　(B)X＋Y Z W　(C)X　(D)X＋YZ W。

19. ( ) 有關布林代數方程式，下列何者錯誤？(A)A＋A＝1　(B)B‧B＝0　(C)A＋AB＝A＋B　(D)A(A＋B)＝AB。

20. ( ) 下列布林代數之恆等式何者有誤？(A)X＋YZ＝(X＋Y)(X＋Z) (B)(X＋Y)Z＝XZ＋YZ　(C)A＋B＝AB (D)A＋AB＝AB。

21. ( ) 依據布林運算式(A＋B)(A＋C)等於(A)B＋AC　(B)ABC　(C)A＋BC　(D)C＋AB。

22. ( ) 布林代數X＋X‧Y＝？(A)X‧Y　(B)X＋Y　(C)X＋Y　(D)X＋Y。

23. ( ) 布林代數式W＋WX＋WXY＋WXYZ＝？ (A)WXYZ　(B)1　(C)0　(D)W。

答案

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.

(B) (D) (D) (D) (A) (B) (D) (C)

9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16.

(A) (D) (C) (A) (D) (B) (C) (C)

17. 18. 19. 20. 21. 22. 23.

(A) (D) (C) (D) (C) (C) (D)

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