2-1 質因數分解 -...
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2-1 質因數分解 A 版本
2-2 最大公因數最小公倍數
天才小語:
1.餘數等於 0(整除)的情況下才有因倍數喔!
2.
○1 1個數字找因數和倍數,也可以質因數分解。
(任何不為 0的整數中,1為最小的正因數;
自己是自己最大的因數也是最小的倍數。)
○2 2個數字以上找最大公因數(小括號表示)或最小公倍數(中括號表示),
最大公因數找出來其他公因數可以從最大公因數找。
○3
法一:
質因數分解後的數字
找最大公因數→找次方小的(全部都有的)
找最小公倍數→找次方大的
法二:
乘開用短除法慢慢算
3.最小公倍數(使用短除法要算到全部都互質才能停)
4.質數的因數只有 1和自己、
質因數有兩個身份:既是某數的因數也是質數
倍數的判別法:
法一:直接除
法二:數字大不好算用判別法最快
○1 2 的倍數:個位數為 0、2、4、6、8
4 的倍數:末 2 位
8 的倍數:末 3 位
○2 5 的倍數: 個位數為 0、5
2
○3 3、9 的倍數:數字和(是 9 的倍數必為 3 的倍數,反之不成立)
說明:
設三位數為 abc
abc=a×100+b×10+c=a(99+1)+b(9+1)+c
=99a+a+9b+b+c=99a+9b+a+b+c
其中 99a+9b 必為 9 的倍數所以只要檢查 a+b+c(數字和)
○4 11 的倍數:奇數位和偶數位和的差 (由個位數算起第一位)
○5 7、13 的倍數:奇數區間和和偶數區間和的差(三個數是一個區間)
標準分解式:
如果 a 是 b 的因數,且 a 是質數,就稱 a 為 b 的質因數。例如:
15=1 × 15=3 × 5,15 的因數有 1、3、5、15,其中 3、5 是質數,所以 3、5
為 15 的質因數。質因數由小排到大
一.選擇題
( A )1. 若 x=35×36×37×38×……×45,則下列哪個不是 x 的質因數?
(A) 17 (B) 19 (C) 37 (D) 41
( C )2. 下列何者全部都是質數?
(A) 1、29、37 (B) 23、47、91
(C) 37、59、97 (D) 67、73、87
( D )3. 小聰:「兩個整數 a和 b中,若有一個是質數,則 a和 b必互質。」
小明:「兩相異奇數必互質,兩相異偶數必不互質。」
則哪一個人的說法是正確的?
(A) 小聰對、小明錯 (B) 小聰錯、小明對
(C) 兩人都對 (D) 兩人都錯
( A )4. 已知 26 □ 732 是一個六位數,且 26 □ 732 的標準分解式為
22×3×……,則□可能是哪些數?
(A) 1、4、7 (B) 1、4 (C) 1、7 (D) 4、7
( A )5. 下列哪一個數同時是 5 的倍數也是 9 的倍數?
(A) 333360 (B) 396275 (C) 8890 (D)
111065
3
( D )6. 若 a=8.19×106,則 a 為下列哪一個數的倍數?
(A) 49 (B) 32 (C) 54 (D) 65
二.填充題
1. 如果六位數 394□56 是 7 的倍數,則□= 8 。
2. 如果四位數 4□7□是 9 的倍數,□代表相同的數,則□= 8 。
3. 若 a 為質數,則 a 有 1 個質因數。
4. 設 a=15×16×17×18×19×20,則 a 所有相異質因數的和為 46 。
5. 將 1260 作質因數分解,可得標準分解式為 22×3
2×5×7 。
6. 231192 的標準分解式為 2a×3
2×b2×19,則 a+b= 16 。
7. 介於 60〜110 的質數中,最大者為 a,最小者為 b,則 a-b= 48 。
8. 介於 20〜140 間的整數中,6 的倍數有 a 個,9 的倍數有 b 個,11 的倍數有 c
個,
則 a+b+c= 44 。
三.計算題
1. 若 a=12×36×625,求:
(1) a 的標準分解式。
(2) a 的所有相異質因數和。
(
2. 已知 6795□為一個五位數,回答下列問題:
(1) 此數是 2 和 3 的倍數,則□=?
(2) 此數是 11 的倍數,則□=?
(1) 0 或 6
(2) 8
4
3. 小威、小敏、小金三人相約星期日早上 10 時練習游泳,小威每游 3 分鐘,休
息 1 分鐘;小敏每游 4 分鐘,休息 2 分鐘;小金每游 7 分鐘,休息 3 分鐘。
則當天早上 11 時 36 分,三人各是在游泳或是休息?
小威休息,小敏休息、小金游泳
一.選擇題
( D )1. 下列敘述何者正確?
(A) 若(a , b)=1,則 a 與 b 均為質數
(B) 若(a , b)=1,(c , d)=1,則(a , c)=1
(C) 若 6 與 a 的最大公因數為 2,則 a 可能為 18
(D) 若 a、b 為相異兩質數,則(a , b)=1
( A )2. 下列各選項中的兩個數,何者「互質」?
(A) 22×3
3×7、52×11×13
(B) 3×11
2×13、5×7×132
(C) 5×72×11、5
2×7×11 (D)22×3×7
2、22×3×7
2
( C )3. 若 25×3
2×11 和某數的最大公因數是 44,則某數可能為何?
(A) 66 (B) 132 (C) 220 (D) 242
( D )4. 若 A=210、B=5
10,則〔A , B〕=?
(A) 1 (B) 5 (C) 10 (D) 1010
( D )5. 若 A=22×3
a×5b×7
3×112,B=2
3×33×c
2×11d×13,且(A , B)=
22×3
2×5×11,則 a+b+c+d=?
(A) 12 (B) 11 (C) 10 (D) 9
( B )6. 小辰將兩條長度為 150 公分和 105 公分的繩子,剪成等長的線段,
且每一線段長均為整數。則最少可以剪成多少段?
(A) 15 段 (B) 17 段 (C) 51 段 (D) 70 段
5
二.填充題
1. 求下列各組數的最大公因數:
(1)(625 , 125)= 25 。
(2)(140 , 154 , 168)= 14 。
(3)(24×3
5×55×7
2 , 2
2×37×5
3×112 , 3
2×57×7
3×11)= 32×5
3 。
(以標準分解式表示)
2. 求下列各組數的最小公倍數:(以標準分解式表示)
(1)〔156 , 260〕= 22×3×5×13 。
(2)〔23×3
3×5×7×13 , 11×18×21×30〕= 23×3
4×5×7×11×13 。
(3)〔2×32×5 , 2
2×33 , 3
5×72×13〕= 2
2×35×5×7
2×13 。
3. 已知 a=23×3
3×72,b=2
2×3×75,若 ,
,
a b
a b
〔 〕
( )=2
x×3y×7
z,則 x+y+z=
6 。
4. 已知公車發車的時間間隔皆相同,且在上午 8:20、10:00 與 12:00 時皆會
有一班公車出發,則公車發車的時間間隔最久是 20 分鐘。
三.計算題
1. 求〔(36 , 48), 96 , 72〕的值。
2. 右圖為一個半圓形公園,小文騎自行車沿自行車專用道
往返 A、B 兩地,且每 16 分鐘可往返一次;大茂沿步
行專用道往返 A、B 兩地,且每 20 分鐘可往返一次。
若兩人同時從 A 地出發,再次於 A 地相遇是幾分鐘之
後?
80 分鐘
6
3. 有一張長方形色紙,長為 90 公分,寬為 36 公分:
(1) 若將此長方形色紙全部剪成大小相同的正方形色紙,則此正方形色紙面積
最大為多少平方公分?
(2) 若將此長方形色紙全部剪成大小不一定相同的正方形色紙,則最少可以剪
成多少張?
(1) 16 平方公分
(2) 8 張
7
資優試題
1. 設 N= 2 2 2 2 2 2100 99 98 97 42 41 ,若 a 為大於 10 的質數且 a 可
整除 N,則 a =___________。.(Ans:47 )
2. 在 1,2,3,…200 中與 12 不互質的數的總和是 _________。
(Ans:13367 或 13368)
參考解:A2=2(1+2+…+100)=10100
A3=3(1+2+…+66)=6633
A6=6(1+2+…+33)=3366
在 1,2,3,…200 中與 12 不互質的數的總和是 A2+A3-A6=13367
3.已知 , ,a b c為 0,1,2,3,…,9 中的數字,使得七位數13 45ab c為 792 的倍數,試求滿
足這樣條件的所有 , ,a b c之值。
【參考解答】
7 9 2 8 9 1 1 , 1 3 4 5a b c 必能被8,9,及11整除。
因為13 45ab c被8整除, 8 必整除45 450 448 ( 2)c c c
2c 為8的倍數, 6.c 又13 456ab 為9的倍數,
1 3 4 5 6 19 ( 1) 18a b a b a b 為9的倍數, 8a b 或17.
又13 456ab 為11的倍數, 6 5 4 3 1 3b a a b 為11的倍數,
3a b 或8 ,
因此由上述知,故 8, 0.a b
8
基測試題
1. ( )某生將一正整數 a 分解成質因數相乘,計算過程如圖。則下列哪一個選
項是正確的?〔90.基測Ⅱ〕
(A) b=22×32×52×7 (B) c=32×52×7 (C) e=32×52×7 (D) f=5×
7。
2. ( )若 45 可分解為 a×b,其中 a、b 均為正整數,則下列哪一個不可能是 a+
b 的值?〔92.基測Ⅱ〕
(A) 46 (B) 42 (C) 18 (D) 14。
3. ( )設「a ○- b」代表大於 a 且小於 b 所有質數的個數。例如:大於 10 且小於
15 的質數有 11、13 兩個質數,所以 10 ○- 15=2。若 30 ○- c=2,則 c 可
能為下列哪一個數?〔94.基測Ⅰ〕
(A) 38 (B) 42 (C) 46 (D) 50。
4. ( )有 30 張分別標示 1~30 號的紙牌。先將號碼數為 3 的倍數的紙牌拿
掉,然後從剩下的紙牌中,拿掉號碼數為 2 的倍數的紙牌。若將最後剩
下的紙牌,依號碼數由小到大排列,則第 5 張紙牌的號碼為何?〔96.基
測Ⅰ〕
(A) 7 (B) 11 (C) 13 (D) 17。
5. ( )下列四個數,哪一個不是質數?〔96.基測Ⅰ〕
(A) 41 (B) 61 (C) 71 (D) 91。
6. ( )妙妙買進了 126 個茶杯,平均分裝於若干個盒子內。若每個盒子內的茶
杯數均為 x,則 x 不可能為下列哪一數?〔96.基測Ⅱ〕
(A) 3 (B) 7 (C) 9 (D) 11。
7. ( )小王有一包糖果,若平均分成 21 堆,剩 17 顆;若平均分成 7 堆,則剩
幾顆?〔97.基測Ⅱ〕
(A) 0 (B) 3 (C) 4 (D) 6。
8. ( )若 a=1.071×106,則 a 是下列哪一數的倍數?〔98.基測Ⅰ〕
(A) 48 (B) 64 (C) 72 (D) 81。
9. ( )下列選項中表示的數,哪一個是質數?〔99.基測Ⅱ〕
(A) 2×13 (B) 1×12 (C) 1×79 (D) 7×13。
10. ( )如圖,在某條公路上,從里程數 8 公尺開始到 4000 公尺為止,每隔 8
9
公尺將樹與燈按圖中所示之規則設立:在里程數 8 公尺處種一棵樹,在
16 公尺處立一盞燈,在 24 公尺處種一棵樹…,且每兩盞燈之間的距離
均相等。依此規則,下列哪一個選項是里程數 800 公尺~824 公尺之
間,樹與燈的正確排列順序?〔90.基測Ⅱ〕
(A) (B) (C) (D)
11. ( )欲將 n 個邊長為 1 的小正方形,拼成一個長、寬皆大於 1 的矩形,且不
會剩下任何小正方形,則 n 不可能為下列哪一個數?〔90.基測Ⅰ〕
(A) 81 (B) 85 (C) 87 (D) 89。
12. ( )大小相同的正方形紙牌若干張,可以緊密地排出不同形狀的長方形。若
拿 6 張,可排出兩種形狀,如圖(一)所示;若拿 12 張,可排出三種形
狀,如圖(二)。如果拿 36 張紙牌,最多可以排出幾種不同形狀的長方
形?〔91.基測Ⅰ〕
圖(一)
圖(二)
(A) 4 (B) 5 (C) 6 (D) 9。
10
13. ( )某公司每天晚上必須派保全人員留守,如表是甲、乙、丙、丁、戊五位
保全人員的留守值班表。該公司排班的規則如下:
星期
週次 一 二 三 四 五 六 日
第 1 週 甲 乙 丙 丁 戊 甲 乙
第 2 週 丙 丁 戊 甲 乙 丙 丁
… … … … … … … …
(1)按甲、乙、丙、丁、戊的順序,各排一天班。
(2)五人排完之後再以原順序排班。
請問「丙」先生在下列週次中的哪一週必須留守兩次?〔91.基測Ⅰ〕
(A)第 38 週 (B)第 39 週 (C)第 40 週 (D)第 41 週。
14. ( )小華利用自己的生日設計一個四位數的密碼,方法是:分別將月份與日
期寫成兩個質數的和,再將此四個質數相乘,所得數字即為密碼(例
如,生日若為 8 月 24 日,將 8 寫成 3 與 5 的和,24 寫成 11 與 13 的
和,再將 3、5、11、13 相乘得密碼為 2145)。已知小華的密碼為
2030,求小華出生在幾月份?〔94.基測Ⅱ〕
(A) 5 (B) 7 (C) 9 (D) 12。
15. ( )小娟想用 60 塊邊長為 1 的正方形紙板,緊密地拼成面積為 60 的長方
形,則此長方形的周長最小可為多少?〔95.基測Ⅱ〕
(A) 30 (B) 32 (C) 45 (D) 60。
16. ( )將正整數 N 的所有正因數由小至大排列如下:1,a,3,b,c,d,e,
f,g,42,h,N,判斷下列敘述何者正確?〔96.基測Ⅱ〕
(A) d 是 a 的 3 倍 (B) e 是 3 的 3 倍 (C) f 是 b 的 3 倍 (D) 42
是 d 的 3 倍。
17. ( )已知 456456=23×a×7×11×13×b,其中 a、b 均為質數。若 b>a,則 b-a
之值為何?〔99.基測Ⅰ〕
(A) 12 (B) 14 (C) 16 (D) 18。
18. ( )如圖,一正方形木板上剛好可畫分成 36 個邊長均為 2 公分的正方形。
若重新將此木板畫分成數個大小相同的長方形,則此長方形的長與寬不
可能為下列哪一組?〔99.基測Ⅱ〕
(A)長為 3 公分,寬為 2 公分 (B)長為 6 公分,寬為 4 公分 (C)
長為 9 公分,寬為 6 公分 (D)長為 12 公分,寬為 4 公分。
19. ( )在 1~45 的 45 個正整數中,先將 45 的因數全部刪除,再將剩下的整數
由小到大排列,求第 10 個數為何?〔100.聯測〕
(A) 13 (B) 14 (C) 16 (D) 17。
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20. ( )已知世運會、亞運會、奧運會分別於西元 2009 年、2010 年、2012 年舉
辦。若這三項運動會均每四年舉辦一次,則這三項運動會均不在下列哪
一年舉辦?〔100.聯測〕
(A)西元 2070 年 (B)西元 2071 年 (C)西元 2072 年 (D)西元
2073 年。
21. ( )a 是一個正整數,其所有正因數有:1、2、4、7、14、28。則 a 與 210
的最大公因數為何?〔90.基測Ⅰ〕
(A) 4 (B) 7 (C) 14 (D) 28。
22. ( )下列四個數中,哪一個與 55 互質?〔93.基測Ⅰ〕
(A) 21 (B) 30 (C) 35 (D) 77。
23. ( )請閱讀下列的敘述後,回答下列問題:〔94.基測Ⅱ〕
甲、乙、丙三家新聞臺每天中午 12:00 同時開始播報新聞,其中:
甲臺每播報 10 分鐘新聞後就接著播廣告 2 分鐘,
乙臺每播報 8 分鐘新聞後就接著播廣告 1 分鐘;
丙臺每播報 15 分鐘新聞後就接著播廣告 3 分鐘。
在 12:47 時,三家新聞臺進行的內容為何?
(A)甲:廣告;乙:新聞;丙:新聞 (B)甲:新聞;乙:廣告;丙:
新聞 (C)甲:新聞;乙:新聞;丙:廣告 (D)三家新聞臺皆正在播
報新聞。
24. ( )附圖是利用短除法求出三數 8、12、18 的最大公因數的過程。利用短除
法,求出這三數的最小公倍數為何?〔101.基測〕
(A) 12 (B) 72 (C) 216 (D) 432。
25. ( )下列哪一選項中的兩數互質?〔95.基測Ⅱ〕
(A) 14、35 (B) 20、21 (C) 22、33 (D) 42、51。
26. ( )小琪將 a、b 兩個正整數作質因數分解,完整的作法如圖。已知 a>b,e
是質數,且 a、b 的最大公因數是 14,最小公倍數是 98,則下列哪一個
關係是正確的?〔91.基測Ⅱ〕
(A) d>e (B) e>f (C) e>g (D) f>d。
27. ( )某客運公司每天早上 5:30 發第一班車,已知早上 7:00~9:00 時段
每 5 分鐘發一班車,其他時段每 15 分鐘發一班車。請問早上 7:34~
9:34 該公司共發了幾班車?〔94.基測Ⅰ〕
(A) 16 (B) 18 (C) 20 (D) 24。
28. ( )將 182 個面積為 1 的正方形,分別緊密地拼成面積為 84 與 98 的兩長方
形 ABCD 與 EFGH。若AB=EF且EF>10,則AB=?〔94.基測Ⅰ〕
(A) 12 (B) 14 (C) 17 (D) 21。
12
29. ( )請閱讀下列的敘述後,回答下列問題:〔94.基測Ⅱ〕
甲、乙、丙三家新聞臺每天中午 12:00 同時開始播報新聞,其中:
甲臺每播報 10 分鐘新聞後就接著播廣告 2 分鐘,
乙臺每播報 8 分鐘新聞後就接著播廣告 1 分鐘;
丙臺每播報 15 分鐘新聞後就接著播廣告 3 分鐘。
三家新聞臺在下列哪一個時間廣告同時結束?
(A) 12:33 (B) 12:39 (C) 13:12 (D) 14:00。
30. ( )已知有一個正整數介於 210 和 240 之間,若此正整數為 2、3 的公倍
數,且除以 5 的餘數為 3,則此正整數除以 7 的餘數為何?〔100.基測
Ⅱ〕
(A) 0 (B) 1 (C) 3 (D) 4。
31. ( )若有一正整數 N 為 65、104、260 三個數的公倍數,則 N 可能為下列何
者?〔102.基測〕
(A) 1300 (B) 1560 (C) 1690 (D) 1800。
32. ( )有一個三位數,其百位、十位、個位數字分別為 1、a、b。若此數與 72
的最大公因數為 12,則 a+b 可能為下列哪一數?〔97.基測Ⅱ〕
(A) 2 (B) 5 (C) 8 (D) 14。
答案:
1.(A) 2.(B) 3.(A) 4.(C) 5.(D)
6.(D) 7.(B) 8.(C) 9.(C) 10.(D)
11.(D) 12.(B) 13.(B) 14.(D) 15.(B)
16.(C) 17.(C) 18.(C) 19.(B) 20.(B)
21.(C) 22.(A) 23.(A) 24.(B) 25.(B)
26.(C) 27.(C) 28.(B) 29.(C) 30.(D)
31.(B) 32.(B)