量子論理に基づく Hilbert 空間形式の量子力学の再...

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......量子論理に基づく Hilbert空間形式の量子力学の再構成とその応用

古賀実

名古屋大学情報科学研究科谷村研究室 D3

量子系の統計的推測とその幾何学的構造数理解析研究所11/10 2014

古賀実 (名古屋大学情報科学研究科谷村研究室 D3 )量子論理に基づく Hilbert 空間形式の量子力学の再構成とその応用量子系の統計的推測とその幾何学的構造数理解析研究所 11/10 2014 1

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目次

...1 量子論理：基本アイディア

...2 Mackeyの論理

...3 Hilbert空間形式の量子力学の再構成

...4 まとめ


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量子論理：基本アイディア


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Hilbert空間形式の量子力学の公理

.Axiom 1 (Hilbert空間形式の量子力学の公理例)..

......

1つの量子系には 1つの可分な複素 Hilbert空間H が対応する．

物理量はH 上の自己共役作用素で表現される．

状態はH 上の密度作用素で表現される．

状態 ρにおいて物理量 Aを実数の Borel集合 E に値を見出す確率は tr[ρQA(E)]（QA(E)は Aに対応する自己共役作用素のスペクトル測度の E での値）.

量子系の状態の時間発展は系のハミルトニアン H と呼ばれる物理量から生成されるR上強連続な 1-パラメーターユニタリ群 {e−itH}t∈R で記述される．特に，時刻t = 0で系の状態がH のベクトル ψ ∈ dom(H)で表現されているとき時刻 tでの状態ベクトル ψ(t) = e−itHψ で表現される純粋状態である．


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Hilbert空間形式の量子力学に対する反省

Hilbert空間形式の量子力学は Newton力学の公理（運動の法則）や熱力学の公理（法則）と比べて数学的・抽象的

理論の各構造 (例えば Hilbert空間の内積)がどの様な物理的性質を反映したものか捉えづらい

各公理は実験的に検証不可能（cf:熱力学第二法則，光速度不変の原理，...）

実験的に検証可能な命題（実験命題）を理論の基礎に据えたい↓

量子論理


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物理への論理の観点からのアプローチ：基本的な考え方

アイディアの元：

G. Birkhoff and J. von Neumann, The Logic of Quantum Mechanics, Ann. Math. 37,

(1936) 823-843.

G. W. Mackey, The Mathematical Foundations of Quantum Mechanics, W. A. Benjamin,

Inc. (1963).

理論の出発点を実験命題とする

実験命題：“物理量 Aが E ⊂ Rに値を持つ”

実験命題全体：L

”含意”（ならば）で順序 ≤を導入：2つの実験命題 P1, P2 に対しP1 ”ならば” P2 が成り立つとき P1 ≤ P2 とする

順序集合 L：（物理系の）論理

論理 L から理論を作る


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古典力学の論理 (Birkhoff, von Neumann (1936))

P：相空間（シンプレクティック多様体）f : P → R：物理量（可測関数）E ∈ B(R)：実数の Borel集合

実験命題：“物理量 f が実数の Borel集合 E に値を持つ”

f−1(E) = {p ∈ P|f(p) ∈ E} ⊂ P

実験命題は P の可測集合で与えられる


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古典力学の論理 (Birkhoff, von Neumann (1936))

含意は実験命題を表現する集合の包含関係で定まる：

物理量 f, g : P → RBorel集合 E,F ∈ B(R)

　実験命題　

“f が E に値を持つ” = f−1(E)

“g が F に値を持つ” = g−1(F )

≤(含意) ：“f が E に値を持つ” ならば “g が F に値を持つ”f−1(E) ⊂ g−1(F )

古典力学の論理：相空間 P の部分集合からなる集合代数特に Boole代数 (可補的分配束 1)

1半順序集合 L が束def⇐⇒ 任意の 2 元に対して上限と下限が存在する.

有界束 (最小元 0 と最大元 1 が存在する束)L が可補的def⇐⇒ ∀a ∈ L , ∃a⊥ ∈ L , a ∨ a⊥ = 1, a ∧ a⊥ = 0 ∈ L .

束 L が分配的def⇐⇒ ∀a, ∀b, ∀c ∈ L , a ∨ (b ∧ c) = (a ∨ b) ∧ (a ∨ c), a ∧ (b ∨ c) = (a ∧ b) ∨ (a ∧ c).


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Hilbert空間形式の量子力学の論理 (Birkhoff, von Neumann (1936))

H ：量子系に対応する Hilbert空間

L (H )：H の閉部分空間全体

A↷ H ：物理量（自己共役作用素）, A =∫R λdQA(λ)（スペクトル分解）

（{QA(E)}E∈B(R)：Aのスペクトル測度）

状態 |ψ⟩⟨ψ|/∥ψ∥2 において物理量 Aを実数の Borel集合 E に値を見出す確率∥QA(E)ψ∥2/∥ψ∥2 (Bornの規則)

実験命題：“物理量 Aが実数の Borel集合 E に値を持つ”

MQA(E) := {ψ ∈ H ∥QA(E)ψ = ψ}

実験命題は Hilbert空間の閉部分空間で表される


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Hilbert空間形式の量子力学の論理 (Birkhoff, von Neumann (1936))

含意は実験命題を表現するH の閉部分空間の包含関係で定まる：

物理量 A,B ↷ H（{QA(E)}E∈B(R)：Aのスペクトル測度）（{QB(E)}E∈B(R)：B のスペクトル測度）

Borel集合 E,F ∈ B(R)

実験命題

“Aが E に値を持つ” = MQA(E)

“B が F に値を持つ” = MQB(F )

≤(含意) ：“Aが E に値を持つ” ならば “B が F に値を持つ”MQA(E) ⊂MQB(F )

Hilbert空間形式の量子力学の論理：L (H )（標準量子論理：Hilbert空間の射影幾何）


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問題の定式化

.Question 1........物理系の論理 L が L (H )と同型となるための”物理的に自然な”量子論の条件は何か？

問題点整理

”物理的に自然な”条件は主観的で数学的に well-formulatedでない

数学的には L が L (H )と同型となるための”より弱い条件”を考察することとする（”最も強い”条件は”L は L (H )と同型”）

L が L (H )と同型となるための（適当な意味で）極小な条件の探求：量子力学の原理探求


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Question1の一つの答え

論理の観点から通常の Hilbert空間形式の量子力学が（ほぼ）得られる：.Theorem 1..

......

物理系とその論理が axiom 2から axiom 15を満たしているとする．このとき...1 1つの物理系には 1つの可分な無限次元複素 Hilbert空間H が対応し L は L (H )と同型．

...2 物理量はH 上の自己共役作用素で表現される.

...3 状態はH 上の密度作用素で表現される．

...4 状態 ρにおいて物理量 Aを実数の Borel集合 E に値を見出す確率は tr[ρQA(E)]（QA(E)は物理量 Aに対応する自己共役作用素のスペクトル測度の E での値）.

...5 物理系の状態の時間発展は系のハミルトニアン H と呼ばれる物理量から定まる強連続な 1-パラメーターユニタリ群 {e−itH}t∈R で記述される．特に，時刻 t = 0で系の状態がH のベクトル ψ ∈ dom(H)で表現されているとき時刻 tでの状態 ψ(t)はベクトル ψ(t) = e−itHψ で表現される純粋状態である．


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問題の定式化

物理系の論理 L を数学的に定式化するために物理系とは何かを数学的に定式化する

G. W. Mackey, The Mathematical Foundations of Quantum Mechanics, W. A. Benjamin,Inc. (1963).


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Mackeyの論理

物理系を記述する枠組みの提示：.Axiom 2 (物理系を記述する体系の定義)..

......

物理系 Sには，物理量全体という集合 O と，状態全体という集合 S が同伴し，実区間[0, 1]に値を持つ O × S × B(R)上の関数 pが定まる．

物理系 Sを 3つ組 (O,S , p)のなす関係として記述

.Axiom 3 (pは確率測度を定める)..

......

任意の物理量 Aと任意の状態 αに対して，関数

p(A,α, ·) : B(R) ∋ E 7→ p(A,α,E) ∈ [0, 1] (1)

はB(R)上の確率測度である.

p(A,α,E)を “状態 αにおいて物理量 Aを実数の Borel集合 E に値を見出す確率”と読む．（実験の結果が確率的に振る舞う事実を記述可能にしておく）


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Mackeyの論理

.Axiom 4 (O とS の最小条項条件)..

......

物理量 A,B が，任意の状態 αと任意の Borel集合 E に対して p(A,α,E) = p(B,α,E)を満たすならば，A = B である．状態 α, β が，任意の物理量 Aと任意の Borel集合 E に対して p(A,α,E) = p(A, β,E)を満たすならば，α = β である.

.Axiom 5 (物理量の Borel関数による変換性)..

......

任意の物理量 Aと任意の Borel関数 f : R → Rに対して，物理量 B が存在して，任意の状態 αと任意の Borel集合 E に対して

p(B,α,E) = p(A,α, f−1(E)) (2)

が成立する.

物理量 Aと Borel関数 f に対して物理量 f(A)が定まる．


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Mackeyの量子論理

.Axiom 6 (状態集合S の σ-凸性)..

......

任意の状態列 {αn}n∈N と和が 1である非負の実数列 {tn}n∈N (tn ≥ 0,∑

n tn = 1)に対して，状態 αが存在して任意の物理量 Aと任意の Borel集合 E に対して

p(A,α,E) =

∞∑n=1

tnp(A,αn, E) (3)

が成り立つ.

(3)で定まる状態 αを∑∞

n=1 tnαn と書き表す．状態の確率混合を許容する．.Definition 1 (純粋状態と混合状態)..

......

状態 αが純粋状態である，とは実数 t ∈ (0, 1)と状態 α1, α2 が存在して

α = tα1 + (1− t)α2 (4)

が成り立つならば，α1 = α2 = αであるときをいう．すなわち，純粋状態とは S の端点である．純粋状態でない状態を混合状態と呼ぶ.


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Mackeyの論理

物理系 Sの論理構造を与える “質問”を導入する．.Definition 2 (質問)..

......

物理量 Qが質問であるとは，任意の状態 αに対して p(Q,α, {0, 1}) = 1が成り立つものをいう.

Qは 0,1のみに値を持つ物理量：“はい”か “いいえ”の 2択の質問を表す.

.Example 3 (質問の例)..

......

特性関数 χF (χF (x) = 0 (x ∈ F ), χF (x) = 1 (x ∈ F )) に対して χF (A)は質問．

Q(A,F ) := χF (A)と書く．

質問 Q(A,F )は，“物理量 Aが Borel集合 F に値をとるか，とらないか”という 2択の質問を表していると解釈する.

I := Q(A,R).O := Q(A, ∅).


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Mackeyの論理

.Definition 4 (論理)..

......O に属する質問全体を物理系 Sの論理といい，L と書く.

状態から論理上の関数が誘導される．.Definition 5..

......

状態 αに対して写像mα : L → [0, 1] (5)

をmα(Q) := p(Q,α, {1})によって定める.

mα(Q)は “状態 αにおいて質問 Qが ‘はい’である確率”と読む．

.Fact 6........集合同型 S ∼= {mα}α∈S が成立する.


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Mackeyの量子論理

{mα}α∈S を用いて L に含意としての順序構造を確率的優位性で定める．

.Definition 7..

......

質問 Q1, Q2 に対して，

Q1 ≤ Q2def⇐⇒ ∀α ∈ S , mα(Q1) ≤ mα(Q2) (6)

と定める.

論理に “直交性”が定まる．.Definition 8 (直交性)..

......

2つの質問 Q1, Q2 が直交するとは

Q1 ≤ 1−Q2(⇔ ∀α ∈ S ,mα(Q1) +mα(Q2) ≤ 1) (7)

であることをいう．このとき Q1 ⊥ Q2 と書き表す.

直交性は質問の排他的性質を表す．


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Mackeyの論理

.Definition 9..

......

互いに直交する質問の列 {Qn}n∈N ∈ L N (Qi ⊥ Qj(i = j))に対して，Q :=∑∞

n=1Qn を任意の状態 αに対してmα(Q) =

∑∞n=1mα(Qn)が成立する質問として定義する.

互いに排反な質問には”または (選言 (OR))”が定まる．

.Axiom 7..

......

任意の互いに直交する質問の列 {Qn}n∈N ∈ L N に対して，definition 9を満たす質問 Qが存在する.


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Mackeyの論理

.Remark 1 (状態は論理上の確率測度)..

......

axiom 7は任意の状態 αに対して，mα が論理 L 上の確率測度であることを意味する：...1 mα(I) = 1,...2 （一般化された σ-加法性）任意の互いに直交する質問の列 {Qn}n∈N ∈ L N に対して

mα(

∞∑n=1

Qn) =

∞∑n=1

mα(Qn). (8)


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Mackeyの論理

.Definition 10 (論理値測度)..

......

写像q : B(R) ∋ E 7→ q(E) ∈ L (9)

が論理値測度であるとは，次を満たすときをいう：...1 q(∅) = O, q(R) = I,...2 ∀E, ∀F ∈ B(R), E ∩ F = ∅ ⇒ q(E) ⊥ q(F ),...3 互いに素な Borel集合の列 {En}n∈N ∈ B(R)N に対して

q(⊔∞n=1En) =

∞∑n=1

q(En). (10)


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Mackeyの論理

.Fact 11..

......

任意の物理量から論理値測度が誘導される：

Q(A, ·) : B(R) ∋ E 7→ Q(A,E) ∈ L (11)

とおくと，Q(A, ·)は論理値測度である.

任意の論理値測度は適当な物理量から誘導される論理値測度であると要請する：.Axiom 8..

......任意の論理値測度 q に対して，物理量 Aが存在して q = Q(A, ·)である.

物理量は論理値測度に他ならないことの宣言．axiom 3 から axiom 8を満たす物理系 Sの論理 L をMackeyの論理と呼ぶことにする．


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Mackeyの第 7公理

.Axiom 9..

......

物理系の論理L は可分な無限次元複素 Hilbert空間の閉部分空間全体のなす半順序集合に順序同型．

Mackeyによる反省：

This axiom has rather a different character from axiom 3 through axiom 8.These all had some degree of physical naturalness and plausibility. axiom 9seems entirely ad hoc. Why do we make it? Can we justify making it? (...) Wemake it because it “ works”, that is, it leads to a theory which explains physicalphenomena and successfully predicts the results of experiments. (...) Ideallyone would like to have a list of physically plausible assumptions from which onecould deduce axiom 9. Short of this one would like a list from which one coulddeduce a set of possibilities for the structure of L , all but one of which couldbe shown to be inconsistent with suitably planned experiments.


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Mackeyの提示した問題：その後の発展

Mackeyの第七公理に替わる公理の探求


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Mackeyの論理++

.Axiom 10 (状態の正則性条件)..

......

...1 論理 L の互いに直交する質問は高々可算個である．

...2 状態 αと質問 Q1, Q2 がmα(Q1) = mα(Q2) = 0を満たすならば，質問 RでQ1, Q2 ≤ Rとmα(R) = 0を満たすものが存在する.

axiom 10の条件 1は，有限回の実験では排他的事象もまた有限であることから自然に課せられる．axiom 10の条件 2は，Zierlerによって導入された．(Jauch-Piron propertyと呼ばれる)

.Fact 12..

......

任意の状態 αに対して {Q ∈ L |mα(Q) = 1}の最小元が存在する．この最小元をsupp(α)と書く．


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Mackeyの論理++

.Axiom 11 (純粋状態の存在と一意性)..

......

...1 ゼロでない任意の質問 Qに対して純粋状態 αが存在して，mα(Q) = 1が成立する．

...2 αを純粋状態とすると，αはmα(supp(α)) = 1を満たす，唯一つの（純粋）状態である．

各質問を確率 1で確かめられる純粋状態の存在．.Fact 13..

......

...1 ゼロでない任意の質問 P に対して状態 αが存在して P = supp(α)が成立する．

...2 純粋状態 αに対して supp(α)はL の原子 a であり，逆に任意のL の原子 P に対して（純粋）状態 αが一意的に存在して P = supp(α)が成立する.

...3 L は完備束 b.

a最小元 0 を持つ半順序集合 L の原子とは L \ {0} の極小元を指す．b任意の部分集合に対して，その上限と下限が存在する束．

純粋状態と論理 L の原子が 1:1に対応．


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Mackeyの論理++

量子現象の特徴を論理で述べる（Diracによればそれは重ね合わせの原理）：.Definition 14 (重ね合わせ)..

......

L の原子 Rが 2つの相異なる原子 P,Qの重ね合わせであるとは，R = P,QとR ≤ P ∨Qが成り立つことをいう.

definition 14は，2つの相異なる純粋状態から，新しい純粋状態が作れることを意味している．（古典力学には存在しない性質）　重ね合わせの概念を用いて，重ね合わせの原理を述べる：.Axiom 12 (重ね合わせの原理)..

......

...1 2つの相異なる原子 P,Qに対して，P,Qの重ね合わせが少なくとも一つ存在する．

...2 原子 Rが 2つの相異なる原子 P,Qの重ね合わせであるとき，P は Q,Rの重ね合わせでもあり，Qは P,Rの重ね合わせでもある.

重ね合わせの原理は超選択則の非存在に対応


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Mackeyの論理++

.Definition 15 (次元)..

......

{Qi}ni=1 を L の上昇列：Q1 = 0, Qi < Qj(i < j)とするとき番号 n ∈ Nを {Qi}ni=1 の長さという．上昇列全体に対して，長さの上限を L の次元という．

.Axiom 13 (次元が十分高いこと)..

......L の次元は 4以上である.

目的の定理を得るための技術的条件．.Remark 2..

......

次の定理を得るためには，上の条件は L は次の何れかを満たす：

L の次元は 4以上

L の次元は 3以上でありかつ，L は Desarguesiana

に弱めてもよい.

aL が Desarguesian であるとは，2 つの共線でない（一直線上にない）3 点（原子）{p1, p2, p3}, {q1, q2, q3} に対して，3 直線 p1 ∨ q1, p2 ∨ q2, p3 ∨ q3 が共点である（1 点で交わる）ことと 3 点 (p1 ∨ p2) ∧ (q1 ∨ q2), (p2 ∨ p3) ∧ (q2 ∨ q3), (p3 ∨ p1) ∧ (q3 ∨ q1) が共線である（一直線上にある）ことは同値である，ことをいう.


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Mackeyの論理++

以上の公理系を満たす物理系の論理は，あるベクトル空間 V で表現できる：L は V の”閉”部分空間全体 L (V, ⟨·, ·⟩, θ,D)と同型：.Theorem 2..

......

物理系 Sは公理系 axiom 2から axiom 13を満たすとする．このとき論理 L に対して，対合 θ を持つ可除環 Dと D上の（左）ベクトル空間 V，V 上の θ-双線形形式 ⟨·, ·⟩が存在して，L は V の ⟨·, ·⟩-閉部分空間全体 L (V, ⟨·, ·⟩, θ,D) a がなす半順序集合に順序同型である.

a⟨·, ·⟩ に関する 2 重零化空間が自身に等しい部分空間のこと：M ⊂ V（部分空間）が ⟨·, ·⟩-閉部分空間

def⇐⇒ (M⊥)⊥ = M, (M⊥ := {y ∈ V |∀x ∈ M, ⟨x, y⟩ = 0}).

以下では表現空間を固定し L = L (V, ⟨·, ·⟩, θ,D)とする．

残る問題：D = C, θ:複素共役の特徴付け．


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Mackeyの論理+対称性

物理系の配位空間を位相空間M とする．.Definition 16 (位置)..

......

位置 X を写像 X : B(M ) → L で

X(M ) = I, X(∅) = O,

∀E, ∀F ∈ B(M ), E ∩ F = ∅ ⇒ X(E) ⊥ X(F ),

互いに素な Borel集合の列 {En}n∈N ∈ B(M )N に対して

X(⊔∞n=1En) =

∞∑n=1

X(En) (12)

が成り立つものとする．ここでB(M )はM の Borel集合体．

M = Rでは単に物理量．以下，M = Rとして位置 X の記述を考える．


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配位空間M = Rであるときの対称性の記述．.Definition 17 (対称性)..

......

加法群 Rが配位空間M 上の対称群であるとは L 上の写像

W : R ∋ g 7→Wg ∈ Aut(L )

であって

Wg1g2 =Wg1Wg2 (∀g1, ∀g2 ∈ R)Wg(X(E)) = X(g[E]) (∀g ∈ G, ∀E ∈ B(M ))

を満たすものが存在することとする．ここで Aut(L )は L 上の自己同型写像全体 a．

aL 上の自己同型写像とは束構造と否定 L ∋ Q 7→ 1 − Q ∈ L を保つ全単射のこと．

加法群 Rによって実験命題の”ラベル”が付け替わることを L 上の自己同型写像で表現．


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.Axiom 14..

......

位置 X と X(E) = 0かつ gn[E] ∩ gm[E] = ∅(n = m) であるような E ∈ B(M )と対称群の元 g ∈ R，Vg[X(E)] = X(g[E])となる V 上のユニタリ作用素 a Vg が存在する．

a双線型形式 ⟨·, ·⟩ をもつ可除環 D 上のベクトル空間 V に対して，V 上の作用素 U : V → V がユニタリ作用素であるとは，⟨·, ·⟩ を保存する線形作用素を指す：

∀c, ∀d ∈ D, ∀x, ∀y ∈ V, U(cx + dy) = cU(x) + dU(y),

∀x, ∀y ∈ V, ⟨U(x), U(y)⟩ = ⟨x, y⟩.

対称群によるラベルの付け替えをユニタリ作用素で誘導．


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結論

.Theorem 3..

......

物理系 Sが axiom 2から axiom 14を満たしているとする．このとき...1 物理系 Sには 1つの可分な無限次元 Hilbert空間H が対応し L は L (H )と同型．ここでH は R,Cまたは H上の Hilbert空間である.

...2 物理量はH 上の自己共役作用素で表現される.

...3 状態はH 上の密度作用素で表現される．

...4 状態 ρにおいて物理量 Aを Borel集合 E に値を見出す確率は tr[ρQA(E)]である（QA(E)は物理量 Aに対応する自己共役作用素のスペクトル測度の E での値）.

物理量の表現：論理値測度→ L (H )値測度＝スペクトル測度↔自己共役作用素Q(A,E) ↔ QA(E)

状態の表現：(一般化された) Gleasonの定理 S ∋ α↔ mα ↔ ρ

Bornの規則：p(Q(A,E), α, {1}) = mα(Q(A,E)) = tr[ρQA(E)]


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Mackeyの論理+時間発展

.Definition 18..

......

系の時間発展とは写像 T : R ∋ t 7→ Tt ∈ Aut(L ) であって

T0 = idL

Tt1+t2 = Tt1Tt2

を満たすものとする．Tt のパラメータ tを時刻と呼ぶ．

.Fact 19..

......

各 Tt に対してH 上の対称性 aUt が存在し，逆に対称性からはL 上の自己同型写像が誘導される．

aH 上の対称性 T : H → H とは加法的かつ全単射であって D 上の連続な自己同型写像 ϕ が存在して ⟨Tx, Ty⟩ = ϕ(⟨x, y⟩) と T (dx) = ϕ(d)T (x) を満たすものをいう

.Axiom 15 (時間発展のユニタリ作用素による記述)..

......

系の時間発展を誘導する対称性 Ut は R上強連続な 1-パラメーターユニタリ群 {Ut}t∈Rであって，系のハミルトニアンと呼ばれる物理量から生成される．

R上の強連続性と”生成される”は well-definedに定まる．古賀実 (名古屋大学情報科学研究科谷村研究室 D3 )量子論理に基づく Hilbert 空間形式の量子力学の再構成とその応用

量子系の統計的推測とその幾何学的構造数理解析研究所 11/10 2014 35/ 50

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結論

.Theorem 4..

......

物理系 Sが axiom 2から axiom 15を満たしているとする．このとき...1 物理系 Sには 1つの可分な無限次元複素 Hilbert空間H が対応し Sの論理 L は

L (H )と順序同型．...2 物理量はH 上の自己共役作用素で表現される....3 状態はH 上の密度作用素で表現される．...4 状態 ρにおいて物理量 Aを Borel集合 E に値を見出す確率は tr[ρQA(E)]である（QA(E)は物理量 Aに対応する自己共役作用素のスペクトル測度の E での値）.

...5 量子系の状態の時間発展は（系のハミルトニアンと呼ばれる）物理量 H から生成される R上強連続な 1-パラメーターユニタリ群 {e−itH}t∈R で記述される．特に，時刻t = 0で系の状態がH のベクトル ψ ∈ dom(H)で表現されているとき時刻 tでの状態ベクトル ψ(t) = e−itHψ で表現される純粋状態である．


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まとめ

量子論理：（量子系の）実験的検証可能な命題（質問）全体 L ＋含意の順序 ≤古典力学の論理：相空間の部分集合がなす Boole代数

Hilbert空間形式の量子力学の論理：Hilbert空間の閉部分空間全体 L (H )

Mackeyの論理から Hilbert空間形式の量子力学を再構成する公理系の提案

(今回話さなかった)応用例：

量子論理を用いた隠れた変数理論の数学的定式化とその存在・非存在に関する議論

dimH ≥ 3で記述される量子系に対する隠れた変数は存在しない

H = C2 で記述される量子系に対する隠れた変数理論は存在する(Kochen-Specker (1967))

”文脈に依存する”隠れた変数理論は存在する(Gudder (1970))


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参考文献

G. Birkhoff and J. von Neumann, The Logic of Quantum Mechanics, Ann. Math.37, (1936) 823-843.

K. Husimi, Studies on the Foundation of Quantum Mechanics. I, Proc. Phys. Math.Soc. Jap., 19, (1937) 766-789.

G. W. Mackey, The Mathematical Foundations of Quantum Mechanics, W. A.Benjamin, Inc., (1963).

V. S. Varadarajan, Geometry of Quantum Theory, 2nd. Ed., Springer, (1985).

M. P. Soler, Characterization of Hilbert spaces by orthomodular spaces, Comm.Algebra, 23, (1995) 219–243.

S. S. Holland, Orthomodularity in infinite dimensions; a theorem of M. Soler, Bull.Amer. Math. Soc., 32, (1995) 205-234.


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付録

Birkhoffと von Neumannの量子論理G. Birkhoff and J. von Neumann, The Logic of Quantum Mechanics, Ann. Math. 37,

823-843, (1936).


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von Neumann自身の Hilbert空間形式の量子力学への不満 (1935)

物理量全体が環をなさない：von Neumannの信念：物理量は環（和や積で閉じているもの）をなすべき一方，2つの物理量の和が定義できないことがある

状態の記述の冗長性：純粋状態を表すベクトルのゼロでない複素定数倍も同じ状態を記述

Birkhoffと von Neumannの論文の目的：古典論とは異なる量子論の論理 (L (Q),≤)の構造を明らかにする．

One of the aspects of quantum theory which has attracted the most generalattention, is the novelty of the logical notions which it presupposes. ... (中略)... The object of the present paper is to discover what logical structure one mayhope to find in physical theories which, like quantum mechanics, do notconform to classical logic. (G. Birkhoff and J. von Neumann, The Logic ofQuantum Mechanics, Ann. Math. 37, 823-843, (1936).)


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Birkhoffと von Neumannが量子論の論理として仮定したこと

L (Q)は，含意（ならば），連言（かつ）∧，選言（または）∨をもつ：.Assumption 1 (量子論理は有界束)..

......

量子論理 L (Q)は実験的命題の集合で，半順序集合であり，この半順序によって任意の二つの命題の上限 ∨と下限 ∧が定まり，束をなす．さらに，最大限 1と最小限 0が存在する．

半順序集合：含意（ならば）束（上限・下限）：連言（かつ），選言（または）最大元，最小元：真，偽.Assumption 2 (量子論理は直可補的：2重否定律の構造などを持つ)..

......

L (Q)は直可補的：写像 ⊥: L (Q) → L (Q)(p 7→ p⊥)(orthocomplementation)で

...1 ∀p ∈ L , p ∨ p⊥ = 1, ( p ∧ p⊥ = 0)（否定）,

...2 ∀p ∈ L , (p⊥)⊥ = p（2重否定律）,

...3 ∀p, ∀q ∈ L , p ≤ q ⇒ q⊥ ≤ p⊥（対偶命題の成立）

を満たすものが存在．

論理結合子：否定（でない）古賀実 (名古屋大学情報科学研究科谷村研究室 D3 )量子論理に基づく Hilbert 空間形式の量子力学の再構成とその応用

量子系の統計的推測とその幾何学的構造数理解析研究所 11/10 2014 41/ 50

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古典論の論理 L (P)と Hilbert空間形式の量子論の論理 L (H )の違い

古典論の論理は分配律：a, b, c ∈ L (P)に対して

a ∩ (b ∪ c) = (a ∩ b) ∪ (a ∩ c)a ∪ (b ∩ c) = (a ∪ b) ∩ (a ∪ c)

を満たす

L (H )は一般に分配律を満たさない反例：L (C2)

分配律を弱めたものが成立すると仮定.Assumption 3 (量子論理はモジュラー律を満たす)..

......

L (Q)はモジュラー律：p, q, r ∈ L (Q)に対して

r ≤ p⇒ p ∧ (q ∨ r) = (p ∧ q) ∨ r

を満たす．

モジュラー律は分配律を弱めたものであること∵ r ≤ p⇔ r = p ∧ r


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.Assumption 4 (有限性)..

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量子論理 L (Q)は有限鎖条件を満たす：{qi}ni=1 を L (Q)の上昇列：q1 = 0, qi < qj(i < j)とするとき番号 n ∈ Nを {qi}i の長さという．上昇列全体の長さの上限を L (Q)の次元という．L (Q)の次元は 4以上で有限である．

含意（ならば）の連鎖をたどると有限回で真に到達：物理量のとりうる値の有限性と対応.Assumption 5 (既約性)..

......

量子論理 L (Q)は既約である：L (Q)の中心元 q：∀p ∈ L (Q), p = (p ∧ q) ∨ (p ∧ q⊥)は 0, 1のみ．

L (H )では，中心元↔全ての射影子と可換重ね合わせの原理に対応（Jauch(1966)）


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Bikhoffと von Neumannの量子論理

L (Q)：Birkhoffと von Neumannの量子論理

束：論理結合子 ∧,∨，1,0(かつ，または，真，偽)の存在

モジュラー律：古典論で成立する分配律を弱めた法則

有限性：物理量のとりうる値の有限性

既約性：重ね合わせの原理

直可補的：2重否定律と対偶命題の成立を意味する否定の構造


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Birkhoffと von Neumannが量子論理が導く結論

L (Q)は “内積”空間の射影幾何と同じ

.Theorem 5 (Birkhoffと von Neumannの量子論理の表現定理)..

......

L (Q)を Bikhoffと von Neumannの量子論理とする．L (Q)の次元 nが 4以上のとき，可除環 Dと D上の n次元（左）ベクトル空間 V があって，V の部分空間全体 L (V,D)に包含関係によって順序を定めた束に同型．さらに，Dの自己反同型写像 θ と V × V 上の非退化な対称 θ-双線形形式 ⟨·, ·⟩があって，L (Q)の orthocomplementation ·⊥ は，⟨·, ·⟩の零化空間によって誘導される．

L (Q)は Hilbert空間の射影幾何と同じ

.Corollary 1..

......

上の定理と同じ仮定のもとで，...1 D = R,H（実数体・四元数体）のとき，V は ⟨·, ·⟩で Hilbert空間となる．...2 D = Cのとき，自己反同型写像 θ が連続であるとすると，V は ⟨·, ·⟩で Hilbert空間．

Birkhoffと von Neumann：実験的命題の集まりとしての量子論理 L (Q)から Hilbert空間が復元された


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Birkhoffと von Neumannの結果の功罪

良かった点

物理の論理という視点の提供

論理の観点から（一応）Hilbert空間を再導出できた

内積空間の射影幾何と有限次元直可補的モジュラー束の関係が明らかに

良くなかった点

モジュラー律導入の物理的根拠が乏しい

有限性の仮定を入れると CCRの表現が不可能（Hilbert空間形式の位置や運動量は記述し得ない）

Hilbert空間形式の量子力学における状態や物理量に対応する表現が不明なまま（物理量が自己共役作用素で，状態が密度作用素で表される事の量子論理的な根拠は未だ不明）

無限次元 Hilbert空間の閉部分空間全体からなる束 L (H )：一般にモジュラー律を満たさない


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その後の量子論理の発展

2つの方向性.Question 2 (Mackey(1963))........より自然な物理的要請から，Hilbert空間形式の量子論理 L (H )が導けるか．

.Question 3..

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L (H )が量子論の実験的検証可能な命題全体を表していると仮定したとき，物理量や状態，対称性の概念はどのように表現され，どのような定理が成立するか．

　von Neumann：モジュラー律を盲信→連続幾何


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その後の量子論理

.Question 4 (Mackey(1963))........より自然な物理的要請から，Hilbert空間形式の量子論理 L (H )が導けるか．

L (H )でオーソモジュラー律の発見（1937）

Mackey：モジュラー律の反省より自然な仮定から出発→オーソモジュラー律の成立する量子論理の導出に成功→オーソモジュラー律の成立する量子論理の研究

有限次元の仮定の除去（位置や運動量のような連続値をとる物理量の記述）→無限次元射影幾何とその表現定理の構築（Varadarajan(1968)）

純粋状態の存在・重ね合わせの原理の量子論理的定式化（Jauch(1966)）

...

自然な仮定から量子論理 L (Q)が Hilbert空間の閉部分空間全体のなす束 L (H )と同型(1995)であることが示された


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その後の量子論理

.Question 5..

......

L (H )が実験的命題を表していると仮定したとき，物理量や状態，対称性の概念はどのように表現され，どのような定理が成立するか．

状態の密度作用素による表現（Gleasonの定理 (1957)）

物理量の自己共役作用素による表現（Varadarajan(1968)）

対称性を記述するWignerの定理の一般化（Varadarajan(1968)）

同時観測可能な物理量の特徴付け（Varadarajan(1968)）

隠れた変数理論に関する研究（Kochen-Specker(1967)）

古典論と量子論を集合論の立場から再定式化（竹内 (1981)）


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量子論理の集合論・論理学的取扱い

集合論・論理学との繋がり（竹内（1981～））

量子集合：標準量子論理 Q := L (H )値の特性関数

量子集合全体の宇宙 V (Q)

L(Q)：量子集合全体を定数記号にもつ言語（with ∈,=）

古典論と量子論を集合論の立場から再定式化（竹内，小澤）

(可測集合からなる)Boole代数値集合論：実数↔可測関数 (竹内 (1978))

量子論理値集合論：実数↔自己共役作用素 (竹内 (1981))

物理量は（Boole, 量子）“実数”である　量子論の解釈の数学的定式化

L(Q) の閉論理式に標準量子論理 L (H )値の真理値 [[·]]を与える (竹内 (1981))

自己共役作用素 Aと実数区間 I = (a, b]に対し命題 A ∈ I がかける（Aは量子集合の実数としての A．I(u) := [[a < u]] ∧ [[u ≤ b]]）

[[A ∈ I]] = QA(I)が成立（小澤 (2006)）

などなど


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量子論理に基づく Hilbert 空間形式の量子力学の再...

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