Captulo 2

Desigualdades y valor absoluto

1

2 Desigualdades y valor absoluto

Valor absoluto

El valor absoluto de un nmero real es su distancia al cero. Puesto que un nmero real puede serpositivo, negativo o cero, se tiene:

|| = si 0 si 0

a

0

a

a a

a

0

a

a a

a

Si >0 aSi

Desigualdades y valor absoluto 3

|| = ||. ||2 = 2. || = 2, donde denota la raz no negativa de , para cualquier nmero 0. || = || ||.

=|||| .

Ejemplos

1. |11| = |11| = 11.

2. |12|2 = (12)2 = 144.

3. |5| = 52 = 5.

4. |8 15| = |8| |15| = 120.

5.

73

=|7||3| =

7

3.

6. Resolver la ecuacin || = 7.Solucin:

Puesto que en la ecuacin aparece un valor absoluto, consideramos tres casos:

Si 0, entonces || = , de donde = 7. Si 0, entonces || = , de donde = 7. As, = 7.

Por tanto = 7 y = 7 satisfacen la igualdad. Esto era de esperarse ya que 7 y 7 sonlos nicos puntos cuya distancia al cero es 7.

07 7. .

.

.

Figura 2-2

7. Resolver la ecuacin 2 + + = 0 donde , y son nmeros reales dados y 6= 0.Solucin:

Resolveremos esta ecuacin completando un trinomio cuadrado perfecto.

4 Desigualdades y valor absoluto

Primero factorizamos el coeficiente de 2:2 + + = 0

2 + +

= 0

2 + + = 0

Despejamos el trmino independiente

2 + = .

El nmero que completa a 2 + como trinomio cuadrado perfecto es 22, as que

sumamos ste nmero en ambos lados de la igualdad:

2 + + 22

= + 22

+

22

= +242 .

Efectuando la suma de la derecha y simplificamos:+

22

=4+ 242

+ 22

=2 442

42+

22

= 2 42+

22

= 2 4s2+

22

=2 4

2+

2

=2 4.

Tenemos dos casos

2+

2=2 4 o 2

+

2= 2 4

de donde

+ 2 =

2 42 o +

2 =

2 42

Desigualdades y valor absoluto 5

Con lo cual obtenemos las soluciones:

= +2 42 o =

2 42 .

Podemos escribir brevemente lo anterior como:

= 2 42 .

La expresin anterior se llama solucin general de la ecuacin general de segundo grado.

Desigualdades y valor absoluto

En una fbrica de cuadernos se forma una comisin de control de calidad, pues enuna encuesta se detect que los consumidores opinan que el papel es bueno, pero eltamao de los cuadernos no es uniforme: unos son ms anchos que otros. El anchorequerido es de 215 cm, y un cuaderno pasar el control de calidad si el error es de,a lo ms, 004 cm. Qu anchos pueden tener los cuadernos que hayan aprobado elcontrol de calidad?Solucin:Llamamos al ancho de un cuaderno. El defecto en el ancho del cuaderno es la

diferencia: 215.

Como el cuaderno puede ser ms ancho o ms angosto, entonces consideramos el valorabsoluto de la diferencia anterior. Dicho error puede ser de, a lo ms, 004 cm, es decir,

| 215| 004.Para resolver esta ecuacin primero quitamos el valor absoluto:

| 215| = 215 si 215 0 ( 215) si 215 0.

Ahora resolvemos las desigualdades:Si 215 0, entonces

| 215| 004 215 004

004 + 215 2154.

6 Desigualdades y valor absoluto

Si 215 0 entonces| 215| 004

( 215) 004 215 004

004 + 215 2146.

Un cuaderno pasa el control de calidad si su ancho est entre 2146 y 2154 cm.

Propiedades del valor absoluto

1. Si || y 0 entonces . Observa en la siguiente figura, que los puntos quesatisfacen que su distancia al origen es menor que son los que se encuentran a la derechade y a la izquierda de .

( )k

.

.k-

Figura 2-3

2. Si || entonces o . Los puntos cuya distancia al origen es mayor que sonlos que estn a la derecha de o bien los que se encuentran a la izquierda de .

()k

.

.k-

Figura 2-4

Ejemplos

1. Resolver |5 2| 5.Solucin:

Utilizando una de las propiedades del valor absoluto tenemos, por ser 5 un nmero positivo,que:

5 5 2 52 5 5 5 + 23 5 735

75.

es decir,

35 75

Desigualdades y valor absoluto 7

2. Resolver |3 + 2| + 4.Solucin:

Si + 4 0, entonces no hay solucin. Si + 4 0, entonces 4, es decir, [4) y:

( + 4) 3 + 2 4 3 + 22 4 3 +

64

32

y

3 + 2 + 43 4 2

2 2 2

2 1.As, para que sea solucin, tiene que cumplir que:

4 y 32 1.

Observamos que si satisface que 32 1, entonces tambin satisface que 4. As,

todas las soluciones de la desigualdad son 32 1, es decir,

32 1

3. Resolver |6 5| 4+ 7.Solucin:

Utilizando la propiedad 2 del valor absoluto, tenemos:

6 5 4+ 76 4 7 + 5

2 12 6

o

6 5 (4+ 7)6 5 4 76+ 4 7 + 5

15.

As, es solucin si satisface que 6 o 15, es decir,

1

5

(6)

4. Resolver |5 2| 2 1.Solucin:

Si 2 1 0, entonces no hay solucin, ya que |5 2| es siempre mayor o igual que 0.

8 Desigualdades y valor absoluto

Si 2 1 0, entonces 12, es decir,

1

2y:

(2 1) 5 22+ 1 5 21 + 2 5+ 2

3 73

7

y

5 2 2 15 2 2 1

3 1 1

3.

As, para que sea solucin, tiene que cumplir que:3

7 y 1

3y 1

2

Pero3

7 13,

as que no existe un real que satisfaga 37 1

3y por tanto, la desigualdad no tiene

solucin.

Desigualdades y recta

Una ecuacin del tipo = + representa la ecuacin de una recta.

Dos personas estn en un valle atravesado por un ro. Es claro que las dos personasestn del mismo lado del ro, si pueden caminar una hacia la otra hasta encontrarsesin atravesar el ro. Similarmente, dos puntos en el plano estn del mismo lado de unarecta , si podemos conectarlos mediante una recta que no corte la recta .Estn los puntos (3 12) y (23) del mismo lado o en lados opuestos de la recta

= 2+ 4?Dibujamos la recta = 2+ 4. Vase la figura 2-5La grfica de la recta = 2+ 4 divide al plano en tres regiones: Los puntos que estn en la recta. Los puntos que estn arriba de la recta. Los puntos que estn debajo de la recta.

Desigualdades y valor absoluto 9

224

Y

X

6

42

24

..

Figura 2-5

Sabemos que los puntos que estn en la recta son los que satisfacen la ecuacin:

= 2+ 4.

El punto (3 10) est en la recta:

= 2+ 4.

Todo punto que est verticalmente encima de (3 10) tiene por primera coordenada3 y su segunda es mayor que 10; es decir, la coordenada (3 ) de satisface:

2+ 4.

El punto (3 12) satisface:12 2 (3) + 4.

De la misma manera, si nos movemos verticalmente hacia abajo, la ordenada delpunto es cada vez menor, es decir,

2+ 4.

El punto (23) satisface3 2 (2) + 4 = 0.

Por tanto, los puntos (3 12) y (23) estn en lados opuestos de la recta.Entonces los puntos que estn arriba de la recta satisfacen la desigualdad 2+4.Los puntos que estn abajo de la recta satisfacen la desigualdad 2+ 4.

10 Desigualdades y valor absoluto

6

4

2

6

4

2

22 2 2

2 24

4 4 4

4 4

6

4

2

y x> +2 4 y x= +2 4 y x< +2 4

Y Y Y

XXX

Figura 2-6

La grfica de una recta = + divide al plano en tres conjuntos: Los puntos que estn arriba de la recta, que son los que satisfacen la desigualdad +. Los puntos que estn en la recta, que son los que satisfacen la ecuacin = + . Los puntos que estn abajo de la recta, que son los que satisfacen la desigualdad +.

y mx b+=y mx b+> y mx b+

12 3

642

2

6422 2 24 4 46 6 6

2

2 2 24 4 46 6 6

642

2

X

Figura 2-8

2. Describir las regiones determinadas por la recta = 7.Solucin:

Los puntos que se encuentran arriba de la recta satisfacen la desigualdad 7.Los puntos que estn en la recta satisfacen = 7.Los puntos que se encuentran debajo de la recta satisfacen la desigualdad 7.

Y Y Y

X X42246

2

2468

42246

2

2468

y>7 y