Semana 3 Inecuaciones Polinomicas Fraccionarias Valor Absoluto

8/18/2019 Semana 3 Inecuaciones Polinomicas Fraccionarias Valor Absoluto

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MATEMATICA BASICA

I

. Semana 3

2016 - 0

LA COORDINACION

CLASE 1: INECUACIONESPOLINOMICAS_RACIONALES


2/36

Inecuación Polinomial.- Es toda desigualdad donde el primer

miembro es un polinomio y el segundo miembro es el número

real cero.

Coeficientes:

Es decir; toda expresión algebraica de la forma

Conjunto Solucion: Son todos los números reales que

verifican la desigualdad. (

MB

La CoordinacionMATEMATICA BASICA

INECUACIONES

Definicion.- Es una desigualdad que contiene una o varias

variables. En nuestro caso solamente consideraremosinecuaciones con una sola variable.

!

" # !

n

n p( x ) a a x a x ... a x= + + + +

# ! na ,a ,...,a "n ; , a ≠

p(x "$> p(x "$≥ p(x "$< p(x "≤

sC


3/36

Observación 1: La expe!"#n $%a&'("$a &e )a*+ma:

e! "e&%$",)e !" n+ !e p%e&e expe!a en *a$(+e!

)"nea)e! en IR .

Si el grado de es igual a ! ó %$ las desigualdades

$ $ $

se llaman desigualdades de segundo ó tercer grado

MB


INECUACION DE SEGUNDO Y E!CE! G!ADO

O"#e$%ación &: &lamaremos 'unto# c$(tico# de un polinomio

a las ra'ces de la ecuación

p( x ) p(x "> p(x "≥ p(x "< p(x "≤

! "ax bx c, a+ + ≠

" p( x ) =

p( x )

!

p( x ) ax bx c= + +% !

p( x ) ax bx cx d = + + + "a ≠


4/36

ara resolver las inecuaciones polinomiales por )ste m)todo se

procede en la forma siguiente:

&)* Cada factor lineal se iguala a cero para *allar los puntos cr'ticos

MB


M+to,o a"$e%ia,o 'a$a $e#ol%e$ inecuacione#

)* +actori,ar el polinomio como producto de factores lineales y-o

cuadrticos. &os factores cuadrticos irreducibles se eliminan.

)* Se ubican los puntos cr'ticos sobre la recta real de menor a

mayor.

/)* Se determinan tantos intervalos como puntos cr'ticos se

obtengan y se etiquetan los intervalos de derec*a *aciai,quierda con signos en forma alternada *asta

terminar.

ó+ −


5/36

(unión de intervalos abiertos con signos positivos

0)* Se escribe el con/unto solución de la inecuación según la regla

siguiente :

MB


a*

(unión de intervalos cerrados con signos positivos

"*

(unión de intervalos abiertos con signos negativo

c*

(unión de intervalos cerrados con signos negativo

,*

s p(x " C> ⇒ = ∪ +

[ ]s p(x " C≥ ⇒ = ∪ +

s p(x " C< ⇒ = ∪ −

[ ]s p(x " C≤ ⇒ = ∪ −


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La Coordinacion

Eje$cicio .0 1esolver la inecuación$

Solución.-

2

2

+

! &os puntos cr / ticos (p.c son ! y % .

% 3bicamos los p.c. en la recta real y se tiene

3

+

4 Elegimos el intervalo que tiene el signo5 6 7

# +actori,ando:

MB

MATEMATICA BASICA

! 4 8 " x x− + <

( %( ! " x x− − <

!$% x ∈

!$%CS ∴ =


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8/36

La Coordinacion

e$c c o#:

4. Expe!e en *+ma &e "n(ea)+! )+!$+n%n(+!:

MB

7. Resuelva las siguientes inecuaciones en

:

MATEMATICA BASICA

2 6 Adicional. Resolver 2

x 1 2x 1− <

− +

3 2

3 2 2

3 2 3 2

3 2

a) x 2x x 2

!) 2x 3x 11x 6 e) x "x 1) 6x

c) x 5x 13x 7 # ) 12x $x 3x 1

d) x 3x 13x 15

+ − − ≤

+ − − ≤ + <

− − − ≤ + − − >

− − + >

{ }a) A x % 3x 1 11x 17= ∈ − ≥ −R x

!) C x % 5"x 1) 11

7

= ∈ + −


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V APLICACIONES

na *tica roduce deter,inado n,ero de lentes /i

dulica su roducci*n 0 vende 6 le uedan ,s de 26 ero

si !aara su roducci*n a la tercera arte 0 vendiera 54entonces tendra ,enos de 1 ares de lentes. Cuntos

ares de lentes se #a!ricaron

Solución

8,ero de lentes #a!ricados: xLa co,a9a dulica su roducci*n 0 vende 6: 2x-6

ero le uedan ,s de 26: 2x-6 ; 26

/i !aa su roducci*n a la tercera arte 0 vende 5: x%3 < 5

=endra ,enos de 1:'s decir4 el n,ero de lentes #a!ricados de!e ser >,a0or

ue $3? ero >,enor ue $5?4 x@$$.

Rpta. /e #a!ricaron $$ ares de lentes.

MATEMATICA BASICA La C++&"na$"+n

⇒

⇒

⇒

⇒


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3. 'l costo de roducir x taretas de video or

da est dado or . /i Dstasse ueden vender a 1$ nuevos soles cada

una4 cuntas taretas de!en roducirse 0

venderse ara o!tener utilidades diarias de al

,enos E nuevos soles

MATEMATICA BASICA La C++&"na$"+n

2C 3 7x x= + +


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INECUACIONES RACIONALES

Lic. CESAR A. AVILA CELIS 12

MB

Las inecuaciones racionales reducidas a su ,s si,le exresi*n to,an

la #or,a

"x) 0 "x)@: olino,ios de grados , 0 n resectiva,ente ",Fn).

ara resolver este tio de inecuaciones4 es si,ilar a Gnecuaciones

olino,icas en e#ecto4 co,o "x)@ entonces ,ultilicando

a cada una de las inecuaciones anteriores4 tene,os las inecuaciones

euivalente:

MATEMATICA BASICA

< > ≤ ≥:"x) :"x) :"x) :"x)

4 4 4

"x) "x) "x) "x)

!( "Q x >

< ≠ ≤ ≠

> ≠ ≥ ≠

:"x)"x) 4"x) :"x)"x) 4"x)

:"x)"x) 4"x) :"x)"x) 4"x)


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L"$. CESAR A. AILA CELIS

/e escri!e el conunto soluci*n de la inecuaci*n de acuerdo a los siguientes casos:

Solución

MATEMATICA BASICA

( )

< ⇔

>

≥ ⇔ ∈

−

∈ +

∈

⇔

U

U

U+"x)

3) 4 x de todos los intervalos de extre,os cerrados"x)

en los +untos cr5ticos de + x 4 0 extre,os a!iertos

+"x)1) 4 x

"x

+"x)

en

2)

lo

)

s

4 x"x)

+unt ( )

( )

≤ ⇔ ∈U+"x)

$) 4 x de todos los intervalos de extre,os cerrados

"x)

os cr5ticos de x 4 todos con

en los +untos cr

signos

5ticos de + x 4 0 extre,os a!

+ositivo

iert

s.

os

( ) en los +untos cr5ticos de x 4 todos con signos

negativos.


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'e,lo 1.

a) Expe!e en *+ma &e "n(ea)+! e) $+n%n(+ Solución:

L"$. CESAR A. AILA CELIS

0 145

< ++

MATEMATICA BASICA

1

A x % 5x

= ∈ > R

1 1 1 5xx A : 5 5

x x x

5x 1

x

1untos crticos : 4

5x 4 1 % 5

C/ : A 4 1% 5

−∈ > ⇒ − > ⇒ >

−⇒ <

∈

=


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1. e) 'xrese en #or,a de intervalos el conunto

6. &ado los conuntos

Halle

(. =ene,os los conuntos

&eter,ine

Alicaciones

1. edro tiene cierta cantidad de dinero. /e co,r* una ca,isa de /%.

E 0 le ueda ,enos de la tercera arte de lo ue tena. /i la ca,isa leHu!iese costado /%1E ,s4 le uedara ,s de /%2. Cunto dinero

tena si se sa!e ue es divisi!le entre tres

L"$. CESAR A. AILA CELISMATEMATICA BASICA

2

32 x $' x %

x 2 x 2x $

= ∈ ≥ − − +− R

{ }2

2x 1 A x % 0 I x % x 1 x 2

− = ∈ ≤ = ∈ + > + R R

C"A I) .∪

2x x x 1 A x 0 I x % 1 .

x 1 x 1 x 2− = ∈ ≤ = ∈


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Ee$"$"+!:

1. Expe!e en *+ma &e "n(ea)+! )+! $+n%n(+!:

. S" &e(em"ne )+! a)+e! &e a 7 , (a) 8%e

5. Da&+! )+! $+n%n(+!

9a))e

. Da&+! )+! $+n%n(+!

10.Da&+! )+! $+n%n(+!

9a))e: a; ,;


x 3 x 1C x x 2 x 2

+ + = ∈ ≤ − + R 4

$

2

x $

J x % 2 5x 2

− = ∈ ≤ ≤ + R

]x 145 4∈ 2x 3 a4!x 1

+∈ +

{ }23

A x % 1 0 I x % x x 6 .

x 1

= ∈ ≥ = ∈ − >

−

R R A I∩

2 2

2

x 5 x x 1 x $ A x % 1 1 0 I x % 4

$ x 1 x 2 x x 2

− + += ∈ − ≤ ≤ = ∈ ≥ −

+ − − − R R

Cdeter,ine "A I)−

1 3x 1 7 1 A x % $ 0 I x % 2 .

x x x $ x 2

+ = ∈ < < = ∈ + < − − +

R R

A I− ( )C

C A I∪


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MATEMÁTICA BÁSICA

/e,ana 3 - Clase 2:

PROGRAMA DEESTUDIOS BÁSICOS

20! "0

CESAR A# AVILA CELIS

Ecuacion$% $ In$cuacion$% con Valo& A'%oluto

MB


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VALOR ABSOLUTO

&e#inici*n. ( Lla,are,os valor a!soluto del n,ero real a4denotado or 4 al n,ero

Obs.: P+&em+! ape$"a 8%e e) n 7 !% "ne!+a&"("+ =−a> e!('n a "?%a) &"!(an$"a &e) $e+.

'e,lo 1.

'e,lo 2.


a

≥−


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roiedades:

ara resolver ecuaciones e inecuaciones con valor a!soluto se reuiere

conocer las siguientes roiedades


≥ ∀ ∈

− =

= ⇔ ≥ ∧ = ∨ = −

< ⇔ > ∧ − < <> ⇔ > ∨ < −

> ⇔ >

= =+ ≤ +

− = −

2 2

22 2

a) a 4 a

!) a a

c) a ! ! a ! a !

d) a ! ! ! a !

e) a ! a ! a !

# ) a ! a !

g) a a 4 a a

H) a ! a !

i) a ! ! a

R


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'e,lo 1.

&e,ostraci*n


+− < <

−

x 53. /i x 3 14 de,uestre ue 7

x 1

x 5 61

x 1 x 1

+= +

− −1 1

x 3 1 1 x 1 3 13 x 16 6

2 6 3 1 7x 1 x 1

x 5 x 57 3 7 7

x 1 x 1

− < ⇒ < − < ⇒ <


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5. &ado los conuntos4

Halle la su,a de los ele,entos de A∪I.

)# &ados los conuntos

9a))e: a; ,;

12. Da&+ )+! $+n%n(+! A 7 B @a))e !"en&+

13. Kalle el conunto soluci*n de


{ } { } A x % 3x 1 2x 5 0 I x % x 2 6 3x= ∈ − = + = ∈ + + =R R

{ } { }2 2 A x % x 2 3 x 2 $ 0 I x % 2 x x= ∈ − − − − < = ∈ ≤ +R R

( )C

A I∪ A I∩

3 2x $x 2 A x % $

x 1

− + = ∈ ≤ + R

{ }2

2x x 2 A x % 1 0 I x % x 2 1x x 2

+ − = ∈ > = ∈ − ≤ − +

R R

A I∩


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'ercicios.

1. /i 4 de,uestre ue

6. Kalle los ele,entos de:

1. . &ado los conuntos

Halle

12. &ado los conuntos 4

Halle .

15. Se tienen los conjuntos y

. &eter,ine


a4!4t % a t !∈ < − − + R R

( )c

c M .−

{ }

2

2

x x 2 A x % 1 0 I x % x 2 1

x x 2

+ − = ∈ > = ∈ − ≤ − +

R R

A I∩

{ }2

A x % 1 4 I x % x 3 2x 1

= ∈ < = ∈ + > + R R

2

2x 1 2 x 1C x %

x 2

− + − − = ∈ ≥

+ R C "A I).− ∩


23/36

MATEMÁTICA BÁSICA

'CACGN8'/ ' G8'CACGN8'/ 'ON8'8CGAL'/


20! " 0


MB

=, , ,a.! a !.


24/36

E*PONENCIALES D$+inición# /i se lla,a $,pon$ncial

-$ 'a%$ a L$.$% -$ lo% $,pon$nt$%

9a?a $)"$ a8%/ paam+&"$a.

2

9a?a $)"$ a8%/ paa m+&"$a.

xa 4 a 14 x4 0 0 a+

∈ ≠ ∈ ⇒ =R R

+=, n , n1. a a a

=, n ,n2. "a ) a=n n n3. a ! "a!)

−=

= ⇒ =

,, n

n

a$. a

a

P si , n a 1

−= ≠ ⇒ = nn

1P /i , 4 a a

a

− = = ÷ ÷

n nn

n

a a !5.

! a!

=,

n ,n6. a a

= ,n, n7. a a

=, , ,(. a.! a !

=,

,,a aE. ! !

=x 0

n, x 0 , ,n1. a ! a !


25/36


26/36

INECUACIONES E*PONENCIALES LOGARITMICAS

INECUACIONES E*PONENCIALES

Las inecuaciones exonenciales en una varia!le son de la

#or,a:

Paa e!+)e "ne$%a$"+ne! !e $+n!"&ean &+! $a!+!

9a?a $)"$ a8%/ paam+&"$a.

26

9a?a $)"$ a8%/ paa m+&"$a.

< ≤ > ≥> ≠

"x) "x) "x) "x) "x) "x) "x) "x)

: ex+re

a a 4 a a 4

siones+"x)4 "x)

a a 4 a a

an x4 4 ae 1


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CA/N 1. /i entonces los exonentes de la de la

inecuaci*n dada son desigualdades en sentido contrario al de la

inecuaci*n4 as:

CA/N 2. S" en(+n$e! )+! exp+nen(e! &e )a &e )a"ne$%a$"#n &a&a !+n &e!"?%a)&a&e! en e) m"!m+ !en("&+ &e)a "ne$%a$"#n a!/:

9a?a $)"$ a8%/ paam+&"$a.

2

9a?a $)"$ a8%/ paa m+&"$a.

< ⇔ a 1

>/i a 1< ⇔ ⇔ >"x) "x)a a "x) "x)


28/36


29/36

MATEMÁTICA BÁSICA

'CACGN8'/ ' G8'CACGN8'/ LNJARG=GCA/


20! " 0


MB


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Lo/a&itoD$+inición# &ados el lo/a&ito de , en!ase a1 se denota or 0 se de#ine co,o

Propiedades

9a?a $)"$ a8%/ paam+&"$a.

30

9a?a $)"$ a8%/ paa m+&"$a.

x 4 a 4 a 14 0+ +∈ ∈ ≠ ∈R R R

a

0log x @ 0 x @ a⇔

=xalog1. a x

= =a a2. log 1 log a 1

= +a a a3. log "x 0) log x log 0

= − ÷

a aa

x$. log log x log 0

0

=n

.a a5. log x n log xR. del so,!rero

=xa6. log a x

alog x4


31/36

9a?a $)"$ a8%/ paam+&"$a.

31

9a?a $)"$ a8%/ paa m+&"$a.

=na a1

7. log x log xn

= ≠nn

aa(. log x log n4 n

=,n

aa

nE. log x log x

,

=,n

a

n1. log a,

= !a!

"C.de !ase)log x

11. log xlog a

=ax

112. log xlog a

=a x 0 B a

13. log log 0 .log B . log S log S "Regla de la cadena)x .


32/36

'e,los

1. /i,li#iue:

3. Kalle el valor de x4 si

5. Resuelva la ecuaci*n

7. Resuelva la ecuaci*n

12. Resuelva

9a?a $)"$ a8%/ paam+&"$a.

32

9a?a $)"$ a8%/ paa m+&"$a.

+ − +32 75 5

log log 2log log 12$3 16 E

− − − =3 2"logx) 3"logx) 6logx (

( ) − + =2

logx 5logx 6

+ =x (2log $ 3log x 5

+∈ =

+"

3 xx 3

x3

log log 5x )4

61 log


33/36

'ercicios.

2. /i,li#iue

$. 'n la siguiente exresi*n:

&eter,ine: a) La exresi*n exonencial si,li#icada.

!) La exresi*n ue calcula x.

5. /i 4 "x; 1)4 Halle

6. &eter,ine el conunto soluci*n de la ecuaci*n:

$. La ecuaci*n de o#erta de un #a!ricante en ,iles de d*lares es

donde x es el n,ero de unidades o#ertadas con el recio or unidad. A uD

recio el #a!ricante o#recer 1E( unidades

9a?a $)"$ a8%/ paam+&"$a.

33

9a?a $)"$ a8%/ paa m+&"$a.

− −

− +

+, n , n, ,

, n , n

5 E 6 E

3

( ) ( ) ( )− −

− + = − +x 1 2x 2$ 2 2 $

a 2a ! ! a ! a !

+ = ÷

÷ x x x

3 (1

"log 3) log 3 log 3 x

+ − =+ + − +

2log 2 log"x 3) 1

log"7x 1) log"x 6) log 3 2

= + ÷x log 12


34/36

INECUACIONES LOGARITMICAS/e tiene ue solo los n,eros reales ositivos tienen

logarit,o.

CA/N 1 /i : Los n,eros ,a0ores ue 1 tienen logarit,o negativo.

Los n,eros entre 0 1 tienen logarit,o ositivo4 entonces:

CA/N 2. /i

Los n,eros ,a0ores ue 1 tienen logarit,o ositivo.

Los n,eros entre 0 1 tienen logarit,o negativo4 entonces:

9a?a $)"$ a8%/ paam+&"$a.

3

9a?a $)"$ a8%/ paa m+&"$a.

= = x!log 8 x s.s.s 8 !

! 1< <

1 2 1 2 ! 1 ! 2

8

!

8

!

x 4 x 4 ! 1 % x x s.s.s log x log x

/i x 4 ! 1 0 8 log x 8 s.s.s x !

x 4 ! 1 0 8 log x 8 s.s.s x !

+∈ < < < < >

> < < ∈ ⇒ > < <

> < < ∈ ⇒ < >

R

R

R

! 1>

1 2 1 2 ! 1 ! 2

8

!

8

!

x 4x 4 ! 1 % x x s.s.s log x log x

/i x 4 ! 1 0 8 log x 8 s.s.s x !

x 4 ! 1 0 8 log x 8 s.s.s x !

+∈ > < < <

> > ∈ ⇒ > >

> > ∈ ⇒ < <

R

R

R


35/36

'e,los.

1. Resolver la inecuaci*n:



$. Resolver la inecuaci*n:


9a?a $)"$ a8%/ paam+&"$a.

35

9a?a $)"$ a8%/ paa m+&"$a.

1

3

log "3x 7) 2+ < −

2

!

!

1 log x14 ! 1

1 log x

+> < <

+

2 2log "3x 2) log "2 3x) 2+ − − >

2

1 1

2 2

x x 1 x 1log logx 2 x 1 x 1+ + < + ÷− + −

x

x 6log 1

x 2

+>

−


36/36

Ee$"$"+!.

1. Resolver

2. &eter,ine el conunto soluci*n de la inecuaci*n:

3. Resuelva la inecuaci*n:

$. Resuelva:

5. &eter,ine los valores de x ue veri#ican la inecuaci*n:

9a?a $)"$ a8%/ paa

36

9a?a $)"$ a8%/ paa m+&"$a

2 5x (x (

5x $ 1452

−+

+ ≥ ÷

( )222 $ 2x 12 x x (x 616 2

− + − +− ≤

$ 1 2

3

log log "log x)

≤ ÷

( )2

3x 3

3log log x 1

x

+ > ÷

[ ]2 2 2 12x x "x $) 1log "Ex 1) log 3"x 2) log x 2−− + − + ≤ − +

Semana 3 Inecuaciones Polinomicas Fraccionarias Valor Absoluto

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