• La idea de valor absoluto está directamente relacionada con el de distancia en la recta numérica.

• La distancia de un número al origen se representa por medio de un número positivo.

• La distancia de los números 5 y -5 al origen (0) es la misma y vale 5.

• Finalmente la distancia de 5 y -5 al origen se representa por medio de una expresión llamada valor absoluto de estos, que se denota así:

|-5| = |5| = 5

Definición: El valor absoluto de un número real “x” se denota por x y se define como:

0

0

xsix

xsixx

Esto quiere decir que los números x y –x están a la misma distancia del origen.

0x

Entonces |x| representa la distancia de cualquiera de los números x y –x al origen.

Ejemplos: 66 66 33 00 55

¿Existirá algún valor de x que cumpla la siguiente igualdad: x= 7?

¿Qué valores puede tomar x si: x = 7

¿Qué valores puede tomar x si: x 5 = 9

Rpta: 7 ó 7

Rpta: 14 ó 4

Rpta: NO porque el valor absoluto de cualquier número real siempre es no negativo.

Responde

Esto también puede denotarse así: x = ± 7

PROPIEDADES DEL VALOR ABSOLUTO

1. a ≥ 0; a R

2. a = a ; a R

3. Si: x = a | a 0 x = a ó x = a

4. = x ; x R

5. a.b = a . b

6. b

a

ba

7. x = y ; si y sólo si: x = y ó x = y

2x

Para resolver ecuaciones con valor absoluto se aplica la definición de valor absoluto o algunas propiedades de valor absoluto.

Resolver una ecuación con valor absoluto, es hallar su conjunto solución; (C.S.) es decir los valores de la variable “X”.

Ejemplo N°1 Resolver 115x2

Resolución:

115x2 2x + 5 = 11 ó 2x + 5 = 11

2x = 6 ó 2x = 16

x = 3 ó x = 8

C.S: = { 8; 3}

Ejemplo N°2 Resolver 45x 2

Resolución:

45x 2 x2 5 = 4 ó x2 5 = 4

x2 = 9 ó x2 = 1

| x | = 3 ó | x | = 1

x = 3 ó x = 1

C.S, = { 3; 1; 1; 3 }

Extrayendo raíz cuadrada ambos miembros:

Ejemplo N°3 Resolver 10x72x

Resolución:

10x72x x + 2 = 7x – 10 ó x + 2 = – (7x – 10)

6x = 12 ó 8x = 8

x = 2 ó x = 1

C.S = { 2 }

Deben verificarse los valores calculados en la ecuación original

x = 2 : |2 + 2| = 7(2) – 10 4 = 4

( sí cumple)

x = 1 : |1 + 2| = 7(1) – 10

3 = 3( no cumple)

7|243

| x