Obje En esta

c

Cd

s

Cv

T

C

Cted

8

tivos

quincena a

Distinguir lcuerpos ge

Construirlodesarrollo p

Determinarsimetría.

Calcular suvolúmenes

Localizar uTierra.

Calcular la

Cómo se hatipos de mae inconvende ellos.

aprenderás

as clases dométricos.

s a partir dplano.

r sus plano

s áreas y .

n punto sob

hora en ca

acen los disapas y las vientes de c

s a:

e

de su

s de

bre la

da país.

stintos ventajas cada uno

MA

Antes d

1.Polied Defin Desa Plano Polied 2.Otros Prism Pirám Plano Polied 3.Cuerp Cilind Cono Esfer Plano 4.La es Coord Huso 5.Mapa Proye Ejercici Para sa Resume Autoeva

Activida

C

ATEMÁTICAS Orie

de empeza

dros regulaiciones rrollos

os de simedros duale

s poliedrosmas mides os de simedros semir

pos de revdros s as

os de sime

fera terresdenadas gs horarios

s ……………ecciones

os para pr

ber más

en

aluación

ades para

Cuerp

entadas a las Ense

ar

ares ………

tría es

s ………………

tría rregulares

volución …

tría

stre …………eográficas

………………

racticar

enviar al t

pos ge

eñanzas Académ

………………

…………………

s

………………

……………… s

…………………

tutor

eomét

icas 3º ESO 1

… pág. 4

… pág. 7

pág. 14

pág. 17

… pág. 20

tricos

1

s

2 MATEMÁT

TICAS Orientadass a las Enseñanzas Académicas 3º ESO

RUnpo

Calalopo

Enre

Elnúm

E

Recuerdan poliedroolígonos.

ada uno dedos de las

os extremosoliedro.

n todo polieelación de

l número dúmero de

más 2.

Eje de rotación

a o es un cu

e ellos recis caras sons de las a

edro simple Euler:

de caras dearistas (A)

C =

n

Antes

uerpo cerra

be el nomb las aristaristas son

e (sin huec

un poliedr) menos el

= A - V + 2

MA

s de em

ado limitad

bre de caras del polielos vértice

cos) se cum

ro (C) es igl de vértice

2

Un cufigura una fconten

ATEMÁTICAS Orie

mpeza

do por

a. Los edro y es del

mple la

gual al es (V)

uerpo de geométrica

figura plannido en el m

Cuerp

A

entadas a las Ense

r

revolucióa construidna alrededmismo plano

pos ge

C=6 VA-V+2=1

eñanzas Académ

ón es cualda al hacer dor de uno.

eomét

V=8 A=112–8+2=6

icas 3º ESO 3

lquier girar n eje

tricos

12 6=C

3

s

4 MATEMÁT

1. Polie

Ca

Cuerp

TICAS Orientadas

edros r

aracterísti

pos ge

s a las Enseñanza

regulare

ca…s

eomét

s Académicas 3º

es

Desa

tricos

ESO

arrollo

Defi

Diremregusigui

Sr

Em

Sólo reguSólid

T(

H(

O(

D(

I(

Des

Se geomcuanpartiformcuer

Tododesate mperm

niciones

mos que ular cuandientes cond

Sus carasegulares ig

En cada vémismo núm

hay lares (llados Platón

Tetraedro:triángulos

Hexaedro ocuadrados)

Octaedro: triángulos

Dodecaedrpentágono

Icosaedro:triángulos

arrollos

dice qumétrico endo puede ir de un

mada por topo.

os los poliearrollables ymostramos miten su con

un poliedo se cumdiciones:

s son pguales.

értice concmero de cara

cinco pamados nicos):

: 4 caras equiláteros

o cubo: 6 )

8 caras equiláteros

ro: 12 caras regulares

: 20 caras equiláteros

ue un es desarr ser constna figura odas las ca

dros regulay en este a las figurnstrucción.

edro es plen las

olígonos

urren el as.

poliedros también

s)

caras

s)

as s)

s)

cuerpo rollable truido a plana aras del

ares son apartado ras que

Tetraed 6 pl

aristla ar

Hexaed 3 pl

dos c 6 pla

por opue

Octaed 3 pl

por c 6 p

perpparepara

Dodeca 15 p

por para

Icosae 15 p

por para

dro lanos que pa y por el p

rista opuesta

dro o cuboanos paralecaras opuestaanos que p

dos aestas.

dro lanos que pcuatro vérticeplanos que endiculares s de alelas.

aedro planos que p

dos alelas.

edro planos que p

dos alelas.

pasan por upunto medio

o elos a as. pasan

aristas

pasan es. son

a aristas

pasan aristas

pasan aristas

P

Ude

Ls

una de

MA

Planos de

Un plano dedos partes exacta.

Los poliedroimetría:

ATEMÁTICAS Orie

simetría

e simetría eiguales qu

os regulares

Te

Cu

Oc

Do

Ico

Cuerp

entadas a las Ense

es aquel queue se corre

s tienen los

traedro 6bo 9

ctaedro 9odecaedro 1osaedro 1

pos ge

eñanzas Académ

e divide unesponden d

s siguientes

6 9 9 15 15

eomét

icas 3º ESO 5

n cuerpo ende manera

s planos de

tricos

5

n a

e

s

6 MATEMÁT

Poliedros

Se dice quvértices dedel segundel mismo n

Si dos polpartir del cada dos c

En las imáson dualeque el tetr

Tetraedro: n

Nº de caras

Nº de caras

Nº de aristas

Nº de caras

Nº de caras

Nº de aristas

Cuerp

TICAS Orientadas

s duales

ue dos polieel primero do y vicevenúmero de

liedros sonotro uniencaras contig

ágenes se ms, el dodecraedro es d

nº de vértices

del cubo = 6

del octaedro

s del cubo =

del dodecaed

del icosaedro

s del dodecae

pos ge

s a las Enseñanza

edros son d coincide coersa. Adem aristas.

n duales pudo con segguas del pr

muestra qucaedro y eual consigo

s = 4 = nº de c

= nº de vértic

= 8 = nº de v

12 = nº de ari

dro = 12 = nº

o = 20 = nº de

edro = 30 = n

eomét

s Académicas 3º

duales si eon el núme

más ambos

uede constrgmentos losrimero.

e el cubo yel icosaedroo mismo.

caras.

ces del octae

vértices del cu

istas del octa

de vértices d

e vértices del

nº de aristas d

tricos

ESO

el número dero de caradeben tene

ruirse uno s centros d

y el octaedo también

edro

ubo

aedro.

del icosaedro

l dodecaedro

del icosaedro

de as er

a de

ro y

o

o

o.

Prisma o

Prisma o

Paralelep

Prisma

Ortoe

oblicuo

oblicuo

pípedo

recto

edro

2P

Ufomb

MA

2. OtrosPrismas

Un prismaormadas p

mediante pabases y los

Si lorectooblic

Si lpararectá

Si laregu

ATEMÁTICAS Orie

s polied

es un poor polígonoaralelogram

s paralelogr

os lados so, en cacuo. as bases

alelepípedángulos es s bases delares decim

Prisma re

Prisma r

Cuerp

entadas a las Ense

dros

oliedro con os iguales mos. Las caramos son l

on rectángso contra

son paro y si las bun ortoedr

e un prismamos que es

egular pen

egular tri

pos ge

eñanzas Académ

dos carascuyos lado

aras paralelos lados.

gulos es uario es u

ralelogramobases y losro. a recto son un prisma

ntagonal

iangular

eomét

icas 3º ESO 7

s paralelasos se unenlas son las

un prisman prisma

os es uns lados son

n polígonosa regular.

tricos

7

s n s

a a

n n

s

s

8 MATEMÁT

Des Los prismdesarrollopolígonosvolúmene

1. Des

2. Volu

Cuerp

TICAS Orientadas

sarrollo

mas son cuo muy sencs regulareses.

sarrollo y á

umen de u

pos ge

s a las Enseñanza

os, área

uerpos desacillo, formas que form

área de un

n prisma pe

a = aH =

eomét

s Académicas 3º

s y volú

arrollables.ado por tanman las b

prisma reg

entagonal r

arista de las baltura del pris

tricos

ESO

úmenes

. En particntos rectánbases. Esto

gular pentag

regular:

bases = base sma = altura d

s de pri

ular, los pgulos igua

o facilita e

gonal:

de los rectángde los rectáng

smas r

rismas regles como lael cálculo

gulos lateralesgulos laterales

regulare

gulares tienados tengade sus á

s s

es

nen un a y dos reas y

Pir

Pirám

De Las pidesarry un cálculo

3.

rámide octo

mide penta

esarroll

rámides sorollo muy spolígonos o de sus ár

Desarrollo

ogonal recta

gonal oblic

os, áre

on cuerpos sencillo, forregular qureas y volúm

de una pirá

a

ua

P

UpleEs

Sde

Sreeigp

as y vo

desarrollabrmado por e forma lamenes.

ámide regu

MA

Pirámides

Una pirámipor un poevantan triEl polígono on los lado

Si el vérticede la base ees una pirá

Si la base egular dec

ese caso loguales. El pirámide.

olúmene

bles. En patantos trián

a base. Al

ular pentag

ATEMÁTICAS Orie

ide es un lígono cuaángulos qu es la baseos y el pun

e se proyeces una pirámide oblic

de una pcimos que os lados so tetraedro

Cuerp

es de p

rticular, lasngulos isósigual que

onal:

entadas a las Ense

poliedro coalquiera soue se unen e de la pirto común e

ta verticalmámide reccua.

pirámide rees una pi

on triángulo es un

pos ge

irámide

s pirámidessceles igualen los pris

eñanzas Académ

on una carobre cuyos en un punrámide, loses el vértic

mente sobrcta, en cas

ecta es unrámide relos isóscelecaso par

eomét

es regu

s regulareses como lasmas esto

icas 3º ESO 9

ra formadas lados sento común. triángulos

ce.

re el centroo contrario

n polígonoegular. Enes y todosrticular de

tricos

lares

tienen un ados tenga facilita el

9

a e

s

o o

o n s e

s

10 MATEMÁ

4. Áre

5. Vo

Cuerp

ÁTICAS Orientada

ea de una p

olumen de u

pos ge

as a las Enseñanz

pirámide re

una pirámid

eomét

zas Académicas 3

egular pent

de regular p

tricos

3º ESO

tagonal:

pentagonal

:

La masimetrcon la a las b

Por ediferende las

Análog

Plano

ayoría de lría. Solame de un eje bases.

ejemplo ennciadas en anteriores

gamente ac

os de sim

os prismaente, tendráde simetría

n el prism las que es mediante

contece en

metría ende

as inclinadán uno, aqua de sus ba

ma pentagstos prismagiros de am

las pirámi

Pre

Sre

MATE

n prismas base regdos de bauellos en loases. Este p

gonal podas tienen unmplitud 72º

ides inclin

Planos deegulares

Si N es el negular o de

El pres elpuntaquede la

La pcualesimepirám

0º

0º

EMÁTICAS Orient

s y pirámgular ase regulaos que su dplano pasa

emos distn plano de º = 360º/nº

nadas de b

e simetría

úmero de le la base de

risma tien plano parao medio de

ellos que coas bases.

pirámide tes son aqueetría de lamide.

Cuerp

tadas a las Enseñ

mides inc

ar no tieneirección depor ese eje

tinguir sól simetría (eº vértices)

ase regula

a en pris

lados de lae una pirám

e N+1 planalelo a las be la altura yontienen a

tiene N plaellos que coa base y

pos ge

ñanzas Académica

clinados

en ningún e inclinacióne y es perp

lo dos diel resto se

ar.

smas y p

s bases demide regula

nos de simbases que y los N res los ejes d

anos de simontienen a al vértice

eomét

36º

36º

as 3º ESO 11

plano de n coincida pendicular

recciones obtienen

pirámides

un prismar:

metría. Unopasa por elstantes sonde simetría

metría, loslos ejes de de dicha

tricos

1

s

a

o l

n a

s e a

s

12 MATEMÁ

Poliedros

Un poliedcaras son forma quepolígonos

Se puedesemirregumediante

Truncar uvértices m

Cuerp

ÁTICAS Orientada

s semirreg

dro semir polígonos e en cada(en númer

en obtenerlares a pala técnica d

un poliedromediante la

pos ge

as a las Enseñanz

gulares

rregular eregulares d

a vértice co y en tipo

r con cierartir de lodel truncam

o consiste eaplicación

eomét

zas Académicas 3

es un polde dos o mconcurren ).

rta facilidaos poliedromiento.

en suprimirde un corte

tricos

3º ESO

iedro cuyamás tipos, d

los mismo

ad poliedroos regulare

r uno de sue plano.

as de os

os es

us

6. Dis

7. Dv

8. Aa

Determinaricosaedro qsemirregula

Determinarvértice para

Analiza la arista.

r la longituque hay qar.

r la longituda obtener u

dualidad d

EJERCI

ud de la aue truncar

d de la arisun poliedro

de poliedros

MATE

ICIOS r

arista de ur a partir d

sta de un cu semirregu

s regulares

EMÁTICAS Orient

resuelto

un tetraedde un vért

ubo que halar.

s cuando s

Cuerp

tadas a las Enseñ

os

ro, de un tice para o

y que trunc

se truncan

pos ge

ñanzas Académica

octaedro obtener un

car a partir

por la mit

eomét

as 3º ESO 13

o de un poliedro

r de un

tad de la

tricos

3

s

14 MATEMÁ

3. Cue Cilindros

Un cilindr(generatral mismo (

Un cilindroparalelos curva (caren un rect

rodea la b

Conos

Un cono (generatrque se apun cuerpo

vértice al c

La cara latradio es lade la circu

Cuerp

ÁTICAS Orientada

erpos de

s

ro es un curiz) al gira(eje). El cil

o tiene 3 e iguales ra lateral)tángulo.

ase y cuya

es un cueriz) al giraoya uno de desarrollab

centro de la

teral desara generatri

unferencia d

pos ge

as a las Enseñanz

e revol

uerpo gener alrededorlindro es un

caras: dos(bases) y

) que desa

altura es l

erpo generr alrededore sus extreble.

Un círccurdestracirc

El genel radde con

a base.

rrollada es iz y cuya ade la base.

eomét

zas Académicas 3

ución

erado por ur de una ren cuerpo de

s de ellas y la otra earrollada se

El radio es el cualquierabases y lacilindro esde la gene

La cardesarrolladrectánguloes la loncircunfere

a generatri

rado por ur de una reemos (eje)

cono tieneculo (base)rva (cara lsarrollada nsforma ecular.

punto de aneratriz sobvértice d

dio del consu base y l

no es la d

un sector camplitud es

tricos

3º ESO

un segmentecta paraleesarrollable

son círculoes una cae transform

del cilindrradio d

a de sua altura ds la longitueratriz.

ra laterda es uo cuya basngitud de ncia quiz.

un segmentecta sobre ). El cono e

e 2 caras: u) y una carlateral) qu

sn un secto

apoyo de bre el eje edel cono. o es el radla altura ddistancia d

circular cuys la longitu

to ela e.

os ra

ma

ro de us el

ud

ral un se la

ue

to la es

un ra ue se or

la es El io el el

yo ud

.

E

Ug

Eccsee

LlaAú

EecCtaá

Aetad

E

PdCte

LeEcq

MATE

Esferas

Una esferagirar alrede

El radio decírculo que centro de lauperficie. E

esfera es eequidistan d

Las esferaa elaboraciAnalizaremoúltimo capít

Área de

Volume

El área de ues igual alcilindro que lComo el radambién es

área de la es

2A Además el áesférico o deambién es i

del cilindro qÁrea del caÁrea de la

El volumen d

Por tanto el vdel volumen Como el voluercera parte

La misma resférica: El volumen dcilindro que que queda en

EMÁTICAS Orient

a es un cuedor de cua

e una esferla engendra esfera a Esta propieel conjuntde un punto

s no son dón de mapos este protulo.

e la esfera

en de la es

EV

na esfera del área latea circunscribdio de ese r y su alturfera es:

4r2r área de un ce una zona igual al áreue la contienasquete=2a zona=2·

del cilindro ciVCI=

volumen de del cilindro c

umen de un e del volume

VE relación vale

de una zonla rodea men su interior

VZE=

Cuerp

tadas a las Enseñ

erpo generalquiera de s

ra es el mira y coincidcualquiera

edad caracto de punto fijo, llama

desarrollapas es un poblema co

sfera

E r34

e radio reral delbe. cilindrora 2r, el

2r casquete esféricaa lateralne. ··r·h1 ·r·h2

rcunscrito e·r2·2r = 2 la esfera eqcircunscrito. cono del min del cilindro + VCO = Ve para el v

a esférica eenos el volum. =·r2·h2 - V

pos ge

ñanzas Académica

rado por unsus diámet

smo que ede con la di de los puteriza a latos del esado centro.

ables. Por eproblema im

on más det

3r

es: 2··r3 quivale a los smo radio yo:

VCI

volumen de

es igual al vmen del tro

VTCO

eomét

as 3º ESO 15

n círculo alros.

el radio delstancia delntos de su esfera: laspacio que

ese motivomportante.talle en el

s dos tercios

y altura es la

e una zona

volumen denco de cono

tricos

5

l

l l

u a e

o l

s

a

a

l o

s

16 MATEMÁ

CírculoCuando interseccsiempre al centroCÍRCULO

Las circcírculos que sonpuntos cesfera.

Planos de

Todos los de simetríde revoluc

En es pun

En de esprevpor

Un cilindune loperpendes inclinla proye

Solo haperpendrecta qu

Cuerp

ÁTICAS Orientada

os en la eun plano

ción de aun círculo.

o de la esO MÁXIMO.

cunferenciamáximos caminos

cualesquiera

Plano

e simetría

cuerpos dea. Son todoción.

el cilindroel plano panto medio d

la esfera, infinitos p

pecial forvolución. Tor el centro d

dro es recs centrosicular a lasado. La dircción de es

ay un picular a lase pasa por

pos ge

as a las Enseñanz

esfera corta a u

ambas figu. Si ese círfera se dic

s que limtienen la más corto

a de la su

os de sim

a en cuerp

e revoluciónos los plano

o, además, aralelo a lasde la altura

adicionalmlanos de sma tieneodos los plade la esfera

cto cuando s de suss mismas. rección de sa recta sob

lano de s bases y sus centro

eomét

zas Académicas 3

una esfera uras produrculo contiece que es

mitan a propiedad os entre d

uperficie de

metría en

pos de rev

n tienen infos que con

hay un plas bases quea.

mente hay usimetría ya e infinitosanos de sima

la recta qs bases En otro cainclinación

bre una bas

simetría. contiene a

os.

tricos

3º ESO

la uce ene un

los de

dos e la

n cilindr

volución

finitos planotienen al ej

ano más que pasa por

una infinida que por s

s ejes dmetría pasa

que es

aso n es se.

Es a la

Un coel ceperpeinclinproye

Solo perpey por

os y con

os je

ue el

ad su de an

ono es recentro de lendicular aado. La di

ección de e

hay un endicular a r el vértice

os oblicu

to cuando a base co

a la base. rección de sa recta so

plano d la base, padel cono.

uos

la recta quon el vértEn otro c inclinación

obre la base

de simetríasa por su

ue une tice es aso es n es la e.

ía. Es centro

LOL

La parelatitud) coordenlugar. Estas de forsobre laun barcincluso

En la representque utilizGlobal (Gpersonas

Polo no

Polo s

ONGITUDLATITUD:

eja de núm forman lonadas geo

coordenadrma precisa Tierra deco, un avió un teléfono

imagen ptación del coza el Sistema GPS) para loc, objetos vehí

orte

sur

D: 30º O : 45º N

meros (longo que se lgráficas de

as determsa la pose un poblaón, un coco móvil.

puedes ver njunto de sa de Posicionamalizar con preículos.

4

C

Llíla

Lcll

EdeEm

gitud,llamae un

minansiciónación,che e

unaatélitesmientoecisión

MATE

4. La es

Coordenad

La Tierra tieínea llamada superficie

Los planos círculos máamadas m

El plano pede la Tierra es el EcuaEcuador cormáximos. S

Longitu

EMÁTICAS Orient

sfera te

das geogr

ene una forda eje. Los e de la Tierr

que contieáximos cuyeridianos.

rpendicular la corta en

ador. Los rtan a la T

Sus bordes s

ud y latit

Cuerp

tadas a las Enseñ

errestre

ráficas

ma casi esf puntos en ra son los p

nen al eje yos bordes.

r al eje qun un círculoplanos paierra en círson los par

ud

pos ge

ñanzas Académica

e

férica. Gira los que el polos geog

cortan a las son circu

ue pasa poo máximo caralelos al rculos que ralelos.

eomét

as 3º ESO 17

a sobre unaeje corta agráficos.

a Tierra enunferencias

r el centrocuyo bordeplano del

ya no son

tricos

7

a a

n s

o e l

n

s

18 MATEMÁ

9. Aundieztodde calc

10. SalreqemTeo

Cuerp

ÁTICAS Orientada

nque ahorazmillonésim

dos los círcmetros (encula la long

vo el Ecuaquiere el usbargo, en

orema de P

pos ge

as a las Enseñanz

EJ

a se usa unma parte deulos máximn particulargitud del ra

ador, los pso de unas algunos c

Pitágoras, p

eomét

zas Académicas 3

JERCIC

a definiciónel cuadrantmos sobre r, todos losdio de la Ti

paralelos n herramien

casos concrodemos ha

tricos

3º ESO

IOS res

n más precte de un mla Tierra m

s meridianoierra, su su

o son círcntas que noretos y coacerlo. Calc

sueltos

cisa, el metmeridiano cumiden, aproos y el Ecuauperficie y s

culos máximo verás ha

on ayuda dcula la longi

ro es, aproualquiera. Eoximadameador). A pasu volumen

mos y calcsta el cursde nuestro itud del par

oximadameEsto significente, 40.00artir de estn.

cular su loso que vien viejo amiralelo de 45

nte, la ca que 00.000 te dato

ongitud ne. Sin igo, el 5ºN.

11. Ts

12. Le

Un husosuperficicírculos mEn el caHORARIOpor dos m

Tenemos usobre esa e

La ciudad Aes en la ciu

o esférico ese de la esfermáximos. so de la TierrO a un husomeridianos.

una esfera esfera de 5

A tiene unaudad B cuan

s la región ra limitada po

ra llamamos o esférico lim

EJERCI

de 9 cm d9º de ampl

a longitud dndo en la c

H

Uschd

P2eulop1ta

de la or dos

HUSO mitado

MATE

ICIOS r

de radio. Clitud.

de 123ºO yiudad A so

Husos hor

Un día es eí misma.

cuando el Shace que indistintas.

Para evitar 24 zonas qestablecen aun huso esos puntos dpase por el 15º se formarda una h

EMÁTICAS Orient

resuelto

Calcula la s

la ciudad Bn las 10 ho

rarios

el tiempo quAsí, en c

Sol pasa pncluso loca

este probleue tienen así: Centrasférico de de este hu meridiano

man los otrora en cruz

Cuerp

tadas a las Enseñ

os

superficie d

B de 23ºE. oras.

ue tarda la cualquier por el merid

alidades ce

ema se ha la misma

ado en el m 15º (360ºso será me 0º. A partros 23 huszar cada hu

pos ge

ñanzas Académica

de un huso

Calcula la

Tierra en punto es diano del l

ercanas ten

dividido lahora. Esas

meridiano 0º:24h=15º)ediodía cuatir de él cosos horaruso.

eomét

as 3º ESO 19

o esférico

hora que

girar sobremediodía

lugar. Estongan horas

a Tierra ens zonas seº se forma). En todosando el Solon giros deios. El Sol

tricos

9

e a o s

n e a s l e l

s

20 MATEMÁ

5. Map

Cuerp

ÁTICAS Orientada

pas

pos ge

as a las Enseñanz

eomét

zas Académicas 3

tricos

3º ESO

MATEEMÁTICAS Orient

Cuer

tadas a las Enseñ

rpos g

ñanzas Académica

geomé

as 3º ESO 21

étricos

1

s

22 MATEMÁ

Cuerp

ÁTICAS Orientada

pos ge

as a las Enseñanz

eomét

zas Académicas 3

tricos

3º ESO

1. Cs

2. C

sdd

3. C

e

a

4. Cf

5. ¿

asa

6.

qdaC

Calcula el áresabiendo que

Calcula el ársabiendo quediagonales Dde h=26cm.

Calcula el ápirámide cuadel lado de lalado de la barista lateral e

Calcula el árfigura izquierdbase es r=7cm

¿Cuántos litropintar la pareastronómico sabiendo quealtura del cilinlitro se puede

Una bola de quiere cubrir de forma queamplitud de 6Calcula la spintará.

ea total del te su arista mid

rea total de e sus bases =26cm y d=

rea lateral ddrangular rega base mayobase menor es a=13cm.

rea total del da sabiendo qm y la altura e

os de pintura ed exterior de

(figura a tiene un radndro es de 9m

en pintar 10 m

navidad de parcialmentee la franja cu60º desde el uperficie de

etraedro trunce 12 cm.

un prisma r son rombos14cm y su a

de un troncoular sabiendo r es B=26cmes b=14cm

recipiente dque el radio des h=13cm.

se necesitan e un observatarriba deredio de 5m, qum y que con c

metros cuadrad

3cm de radioe con pan deubierta tenga centro de la bla bola que

MATE

cado

recto s de ltura

o de que

m. El y la

de la de la

para torio

echa) ue la cada dos?

o se e oro una bola. e se

EMÁTICAS Orient

Pa

7. Calcula fig(El tr

8. El cuCalcuBCDGdel v

9. Calcuque trianplanopor AD=

10. Calcu

pirámaristaristaltur

11. Calcu

sabiecircudiám5 cm

Cuer

tadas a las Enseñ

ara pra

ula el volumegura sabiendoriángulo APB t

ubo de la figuula el volumeG y compruevolumen del cu

ula el volumequeda divi

gular de la figo perpendiculos puntos

20m y AC=15

ula el volummide cuadrana de la basea de la basera del tronco e

ula el volumeendo que unferencia exmetro de la cirm y la altura es

rpos g

ñanzas Académica

acticar

en del tetraedo que su ariste ayudará)

ura tiene 10 n del tetraedr

eba que es laubo.

en de los doidido el prigura al ser colar a las basmedios de

5m.

men de unngular sabiee mayor es e menor es Aes PQ=15cm.

en de la pieel diámet

xterior es drcunferencia s de 10 cm.

geomé

as 3º ESO 23

r

ro regular deta AB=10cm.

cm de arista.ro de vérticesa sexta parte

s prismas ensma regularortado por unses que pasa

las aristas.

n tronco deendo que laEF=20cm, laAB=8cm y la

eza de arribatro de lade 10cm, elinterior es de

étricos

3

e

. s e

n r n a .

e a a a

a a l e

s

24 MATEMÁ

12. Las 6cmcopade menmás

13. Un r

llenocuidy luvolualtusaca

14. Calc

Tiermerla d

Cuerp

ÁTICAS Orientada

figuras represm de diámetroa con forma ddiámetro ma

nor y 8 cm s capacidad?

recipiente cúbo de agua.

dado una bolauego se sacaumen del aguara a la que a la bola.

cula la distanrra, A y B,ridiano, si la lae B es de 7º 2

pos ge

as a las Enseñanz

sentan un vaso y 8 cm dede tronco de ayor, 5 cm de generatriz

bico de 10 cm Se introduc

de cristal de a con cuidada que se ha dqueda el ag

cia entre dos, situados eatitud de A es28’ N.

eomét

zas Académicas 3

so cilíndrico de altura y unacono con 7cmde diámetro

z. ¿Cuál tiene

de arista estáce en él con 5 cm de radiodo. Calcula ederramado y laua cuando se

s puntos de laen el mismos de 38º 5’ S y

tricos

3º ESO

e a

m o e

á n o el a e

a o y

15. El puntoy el punson las 2

16. Los punparalelodiferencdesde Asiguiendmeridian

o A se encuentnto B en el m23 horas, ¿qu

ntos A y B se 45ºN y ian en 180º.

A hasta B ¿qudo el paralno por el Polo

tra en el mermeridiano 94ºOué hora es en

e encuentransus longit

Un avión tieué ruta es mlelo o sigu Norte?

idiano 7ºE O. Si en A B?

n sobre el tudes se ene que ir más corta: uiendo el

Otros t

Como mapas esfera Aquí te

tipos de map

hemos visto basados en psobre difere

mostramos a

pa

hay diferenproyecciones dentes tipos dalgunos otros t

Geod Una camimáxitodonave72º.

ntes tipos dedistintas de lade superficie.tipos:

désicas y lo

geodésica no más coimos. Una los los merid

egación aére

MATE

e a .

oxodromas

es una líneaorto. Sobre oxodroma ianos con u

ea y marítim

EMÁTICAS Orient

.

a que une d la Tierra es una trayeun ángulo ca. En la ima

Para La medid El tamaño de nuestroconoce des En el sigEratósteneradio de launa precisi Sabía que Alejandría y que el ddel Sol lleSiena y, eobeliscos ángulo de 7

ambas ciud800 km. Si 7º de m800 km, medirá 800el radio de

R = ¡Una excelentmedio real es

Cuerp

tadas a las Enseñ

os puntos dlas geodés

ectoria sobreonstante. Sgen puedes

a sabe

da de la

aproximado planeta ssde antiguo

glo III a Cs calculó a Tierra coón muy bu

las ciudadeestaban enía del solst

egaba al foel mismo dproyectaba7º.

En eque somdiferentr Eratun midi

dades que

meridiano tieel meridia0/7·360 = la Tierra se

41143/(2

te aproximaci de unos 6400

pos ge

ñanzas Académica

e una supersicas son loe la Tierra q

Son muy usa ver una lox

er más

Tierra

do se o.

C. el

on uena.

es egipcias n el mismoticio de veondo de udía, en Alejan sombra

el dibujo p el ángu

mbra coincirencia dere las dos c

tóstenes chombre

iera la dista resultó se

enen una lano entero41143 kmería:

) = 6548

ión para la ép0 km.

eomét

as 3º ESO 25

rficie por el os círculos que corta a adas en la

xodroma de

de Siena y meridianorano la luzn pozo enjandría losa con un

puedes verulo de lade con lae latitudiudades.

contrató apara queancia entreer de unos

ongitud deo de 360º, de donde

km.

poca! El radio

tricos

5

y o z n s n

r a a d

a e e s

e º e

o

s

26 MATEMÁ

l Poliedros Regularesiguales y caras. Semirregde tipos den cada véPrismas: los lados sPirámidesson triángTodos son Cuerpos d

Cilindro: uno de susCono: gensobre uno El cilindro Esfera: gesobre uno La esfera n

Áreas y v

PrismPirámCilindConoEsfer

p = perímeB = área dh = alturar = radio dR = radio Poliedros El área delas áreas volumen sprismas y/

Cuerp

ÁTICAS Orientada

Recuelo más

s

s: sus cen cada v

ulares: laiferentes yértice. las bases son paralelos: la base eulos concu desarrolla

de revoluc

generado ps lados. nerado por de sus cat y el cono senerada po de sus diáno es desar

volúmenes

A. mas pmides (p·adros 2πs π

ras

etro de la bde la base, , a = apotde la base ((esfera), g

s:

e un poliedde los polse calcula /o pirámide

pos ge

as a las Enseñanz

rda s impo

caras sonvértice con

as caras soy con el mis

son polígonogramos. es un polígrrentes en bles.

ción

por un rectá

un triánguetos. son desarroor una circumetros. rrollable.

s

lat. A. ·h B+a)/2 B+(πrh 2πr2

gr πr2

4

base, tema (pirám(conos y cig = generat

ro es siemígonos que descompoes y suman

eomét

zas Académicas 3

rtante

polígonocurre el m

on polígonosmo nº y t

nos regular

ono regulaun vértice

ángulo al g

lo rectángu

ollables. unferencia a

total Vo+p·h (pa)/2 (+2πrh

2+πgr (

πR2 (4

mide), lindros), triz (cono)

pre igual ae forman soniendo el do sus volú

tricos

3º ESO

e

s regularemismo nº d

os regularetipo de cara

res iguales

ar y los ladocomún.

girar sobre

ulo al girar

al girar

olumen B·h

B·h)/3 πr2h πr2h)/3

4πR3)/3

a la suma dsus caras.

poliedro eúmenes.

es de

es as

y

os

de El en

La e Merque numOestGreelugaParaperpTierrNortEl palatitHusdividde 1de d

Map Un mde lplanformhabit

esfera terr

idianos: cípasan por eran de 0º te a partir denwich. El r es su lonalelos: círcendiculares

ra. Se numee y Sur a paralelo de utud. os horario

de en 24 hu5º de ampliferencia en

pas

mapa es ua esfera to, obtenida

ma de proytuales son

restre

írculos máxlos polos. S

º a 180º Estdel Meridia meridiano

ngitud. culos s al eje de eran de 0º

partir del Ecun lugar es

os: la Tierausos geográlitud con unntre ellos.

una represeterrestre soa medianteyección. Llas siguien

ximos Se te y ano de de un

la a 90º cuador. su

se áficos na hora

entación obre un e alguna Las más tes:

4

6

3

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

10

MATE

. Indica quéun dodecaaristas y v

. Los catetocm. Averigobtiene hacateto o e

. Calcula eimagen saen función

. Calcula el arista del

. La “zonaaproximad¿Qué porcen la zona

. Una pirámparalelo apirámide, tronco devolumen pirámide p

. Se corta ua la base Halla el vqueda div

. Una millasituados longitudesnáutica si

. Boston esmeridianohoras y taen Boston

. Asocia lcaracteríst

EMÁTICAS Orient

Auto

é poliedro saedro por la vértices que

os de un triágua qué conaciendo gira

el que se obt

l área totaabiendo que de a)

área del tricubo es a.

a tropical”damente, encentaje de laa tropical?

mide de basa la base obteniendoe pirámide ¿del tronco

pequeña?

una semiesfede la semies

volumen de idida. (Expre

a náutica esobre el

s de 1’ ¿A el radio de l

stá en el mo 9º E. Un arda 8 horas cuando lleg

os distintoticas.

Cuerp

tadas a las Enseñ

oevalu

se obtiene a mitad e ind tiene.

ngulo rectánno tiene mayar el triánguiene al girar

l del polied su arista es

ángulo de la(Expresa el re

de la ntre los para superficie d

e cuadrada por la mita una pirám¿Cuántas ve

con respec

era de radio sfera, a una la mayor de

esa el resultad

es la distanEcuador co cuántos kla Tierra es d

meridiano 71avión sale

s en llegar aga?

os tipos

pos ge

ñanzas Académica

uación

al truncar ladica el núme

ngulo midenyor área totaulo alrededorr sobre el seg

dro semirres a. (Expresa

a figura sabiesultado en fu

Tierra estralelos 30º de la Tierra

se corta coad de la aide más peeces es mácto al volu

R con un pla altura de 2/e las dos zodo en función

ncia entre on una difkm equivalede 6366 km

1º O y Frande Frankfu

a Boston. ¿Q

de mapa

eomét

as 3º ESO 27

s aristas deero de caras

12 cm y 16al: el que ser del primergundo.

gular de laa el resultado

iendo que launción de a)

tá situada,N y 30º S.está situada

on un planoaltura de laqueña y uns grande el

umen de la

ano paralelo/3 del radio.onas en quede R)

dos puntosferencia dee una milla?

nkfurt en elrt a las 23Qué hora es

con sus

tricos

7

e s

6 e r

a o

a

, . a

o a n l a

o . e

s e a

l 3 s

s

s

28 MATEMÁ

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

Sol1. E

a

2. Ef

3. 6

4.

5. 5

6. Ep

7.

8. 1

9. E

10. a

Cuerp

ÁTICAS Orientada

1. 1745,9 cm

2. 1899,54 c

3. 922,6 cm

4. 1050,4 cm

5. 43,98 litr

6. 56,54 cm

7. 117,85 cm

8. 500/3 cm

9. El pequeñ

0. 3120 cm3

1. 589,04 cm

2. La copa tprácticam

3. Se han de

4. 5061 km.

5. En B son

6. Por el me

So

uciones Es un icosidoaristas y 30

El que gira sfrente a 384

3a3a6 22

23a2

50%

El tronco es pequeña.

81R46 3

1,85 km

Es la 1 de la

a2, b4, c1, d

pos ge

as a las Enseñanz

m2

cm2

m2

m2

os

m2

m3

m3

ño 162,37 m3.

m3

iene un volumente la mism

erramado 52

.

las 17 horas

eridiano son

luciones

AUTOEVodecaedro covértices.

obre el prim cm2.

3

7 veces may

madrugada

d3

eomét

zas Académicas 3

m3 y el grand

umen de 226ma capacida

23, 59 cm3 d

s.

10.000 km y

s de los

VALUACon 32 caras,

mero: 576 c

yor que la pi

del día sigu

tricos

3º ESO

e 487,13 cm

6,49 cm3 y ead.

de agua. La a

y por el para

ejercicio

CIÓN

, 60

m2

irámide

uiente.

m3.

el vaso de 22

altura final d

alelo son 14.

os para

26,19 cm3. T

del agua es d

.172 km.

practica

Tienen

de 4,76 cm

ar