Combinatoria con repetición Series paralelas y Números naturales

𝑪𝒓𝒏,𝒎=∑ (𝒊

𝒎 − 𝟏)𝒏+𝒎−𝟐

𝒊=𝒎−𝟏 = (𝒏 + 𝒎 − 𝟏

𝒎)

𝑺𝒎

={(

𝒊𝒎

−𝟏)}

={(

𝒎−

𝟏𝒎

−𝟏),(

𝒎𝒎

−𝟏),(

𝒎+

𝟏𝒎

−𝟏),…

,(𝒎

+𝒏

−𝟐

𝒎−

𝟏)}

∑𝒊𝒎

𝒏𝒊=𝟏

=𝒏

𝒎+

𝟏

𝒎+

𝟏⌡

+𝒏

𝒎𝟐⌡+

𝒏𝒎

−𝟏

𝟏𝟐

( 𝒎𝟏)⌡−

𝒏𝒎

−𝟑

𝟏𝟐𝟎

( 𝒎𝟑)⌡+

𝒏𝒎

−𝟓

𝟐𝟓𝟐

( 𝒎𝟓)⌡−

𝒏𝒎

−𝟕

𝟐𝟒𝟎

( 𝒎𝟕)⌡

±...

𝒎=

𝟎 𝒎

>0

𝒎>

1 𝒎

>3

𝒎>

5 𝒎

>7

∑𝒊𝒎𝒏

𝒊=𝟏

= ∑(−𝟏)𝒊−𝟏

𝒎

𝒊=𝟏

𝒂𝒊,𝒎 (𝒏 + 𝒎 − 𝒊 + 𝟏

𝒎 − 𝒊 + 𝟐)

Combinatoria con repetición, Series paralelas y Números Naturales

Combinatoria con repetición

Las series paralelas de números figurados

El triángulo de Pascal .

Series de potencias m-ésimas de los números naturales y su expresión

combinatoria.

Series aritméticas de orden superior

Determinación de los coeficientes de una ecuación polinómica de grado n en x,

cuyas soluciones corresponden a los números naturales y su relación con los

números de Stirling de 1ᵃ especie

Otras expresiones de series de potencias de los números naturales y su relación

con los números de Bernoulli.

1) Combinatoria con repetición

Algunas anotaciones sobre combinatoria con repetición, y su aplicación posterior al cálculo del

valor suma de potencias enteras de los números naturales y a otras series aritméticas de orden

superior.

En ánimo de no extendernos demasiado, supondremos ya conocidos los conceptos sobre

combinatoria simple o normal con respecto a las variaciones, permutaciones y combinaciones que

se pueden formar con n elementos de un conjunto donde todos sus miembros se consideran

diferentes por una característica determinada o establecida como tal.

Procederemos a definir los conceptos involucrados, y a obtener las expresiones matemáticas de

variaciones, permutaciones y combinaciones con repetición, formadas sobre conjuntos de n

elementos, donde todos pueden considerarse diferentes o sobre conjuntos de n elementos donde

algunos elementos están repetidos dentro del propio conjunto..

1-a) Comencemos con el concepto de variaciones con repetición ( 𝑽𝒓𝒏,𝒎 ) :

Se denominan así, a las agrupaciones de n elementos de un conjunto, tomados m a m , repetidos o

no dentro de cada agrupación, que se diferencian por el orden de sus elementos en el grupo, o

porque poseen al menos un elemento diferente. Consideremos primero, el caso en el que todos los

elementos del conjunto sean diferentes y a su vez, n > m. Denominemos tales variaciones con

repetición como: 𝑉𝑟𝑛,𝑚 .

Sea por ej. El conjunto de dos elementos {𝑎, 𝑏}, aquí n=2, y habrá una sola opción para m, es decir

m=1, de manera que las variaciones que podemos formar serán: [a] y [b], y por ende 𝑉𝑟2,1= 21 = 2

Sea ahora el conjunto de tres elementos {a,b,c}, aquí n=3 y m puede tomar los valores m=1 y m=2

Para m=1 , se pueden formar tres grupos: [a],[b] y [c] , y resulta: 𝑉𝑟3,1=31=3, mientras que para

m=2, se pueden formar 9 grupos: [

[𝑎, 𝑎] [𝑏, 𝑎] [𝑐, 𝑎]

[𝑎, 𝑏] [𝑏, 𝑏] [𝑐, 𝑏][𝑎, 𝑐] [𝑏, 𝑐] [𝑐, 𝑐]

] y resulta: 𝑉𝑟3,2 = 32 = 9

Consideremos el conjunto {a,b,c,d}, donde n=4 y m puede tomar los valores m=1,2,3

Para m=1, las variaciones serán: [a],[b],[c],[d], es decir 𝑉𝑟4,1 = 41 = 4 , concluimos que para el

caso m=1 , y para cualquier n entero positivo, se cumple 𝑉𝑟𝑛,1 = 𝑛1 = 𝑛 (demostrable por

inducción).

Para m= 2 las variaciones posibles serán: [

[𝑎, 𝑎] [𝑏, 𝑎] [𝑐, 𝑎] [𝑑, 𝑎][𝑎, 𝑏] [𝑏, 𝑏] [𝑐, 𝑏] [𝑑, 𝑏][𝑎, 𝑐]

[𝑎, 𝑑]

[𝑏, 𝑐]

[𝑏, 𝑑]

[𝑐, 𝑐] [𝑑, 𝑐]

[𝑐, 𝑑] [𝑑, 𝑑]

] y 𝑉𝑟4,2 = 42 = 16

Para m= 3, los grupos serán:

[ [𝑎, 𝑎, 𝑎] [𝑎, 𝑏, 𝑎] [𝑎, 𝑐, 𝑎] [𝑎, 𝑑, 𝑎]

[𝑎, 𝑎, 𝑏] [𝑎, 𝑏, 𝑏] [𝑎, 𝑐, 𝑏] [𝑎, 𝑑, 𝑏]

[𝑎, 𝑎, 𝑐]

[𝑎, 𝑎, 𝑑]

[𝑏, 𝑎, 𝑎]

[𝑏, 𝑎, 𝑏]

[𝑏, 𝑎, 𝑐]

[𝑏, 𝑎, 𝑑]

[𝑐, 𝑎, 𝑎]

[𝑐, 𝑎, 𝑏]

[𝑐, 𝑎, 𝑐]

[𝑐, 𝑎, 𝑑]

[𝑑, 𝑎, 𝑎]

[𝑑, 𝑎, 𝑏]

[𝑑, 𝑎, 𝑐]

[𝑑, 𝑎, 𝑑]

[𝑎, 𝑏, 𝑐]

[𝑎, 𝑏, 𝑑]

[𝑏. 𝑏, 𝑎]

[𝑏, 𝑏, 𝑏]

[𝑏, 𝑏, 𝑐]

[𝑏, 𝑏, 𝑑]

[𝑐, 𝑏, 𝑎]

[𝑐, 𝑏, 𝑏]

[𝑐, 𝑏, 𝑐]

[𝑐, 𝑏, 𝑑]

[𝑑, 𝑏, 𝑎]

[𝑑, 𝑏, 𝑏]

[𝑑, 𝑏, 𝑐]

[𝑑, 𝑏, 𝑑]

[𝑎, 𝑐, 𝑐]

[𝑎, 𝑐, 𝑑]

[𝑏, 𝑐, 𝑎]

[𝑏, 𝑐, 𝑏]

[𝑏, 𝑐, 𝑐]

[𝑏, 𝑐, 𝑑]

[𝑐, 𝑐, 𝑎]

[𝑐, 𝑐, 𝑏]

[𝑐, 𝑐, 𝑐]

[𝑐, 𝑐, 𝑑]

[𝑑, 𝑐, 𝑎]

[𝑑, 𝑐, 𝑏]

[𝑑, 𝑐, 𝑐]

[𝑑, 𝑐, 𝑑]

[𝑎, 𝑑. 𝑐]

[𝑎, 𝑑, 𝑑]

[𝑏, 𝑑, 𝑎]

[𝑏, 𝑑, 𝑏]

[𝑏, 𝑑, 𝑐]

[𝑏, 𝑑, 𝑑]

[𝑐, 𝑑, 𝑎]

[𝑐, 𝑑, 𝑏]

[𝑐, 𝑑, 𝑐]

[𝑐, 𝑑, 𝑑]

[𝑑, 𝑑, 𝑎]

[𝑑, 𝑑, 𝑏]

[𝑑, 𝑑, 𝑐]

[𝑑, 𝑑, 𝑑]]

Simbólicamente llamemos 𝑉(𝑎), al número de variaciones que comienzan por ɑ, entonces será

𝑉(𝑎) = 16, análogamente podríamos escribir: 𝑉(𝑎,𝑎) = 4, 𝑉(𝑎,𝑏) = 4, 𝑉(𝑎,𝑐) =4, y 𝑉(𝑎,𝑑) = 4, y

resulta: 𝑉(𝑎) = 𝑉(𝑎,𝑎) + 𝑉(𝑎,𝑏) + 𝑉(𝑎,𝑐) + 𝑉(𝑎,𝑑) = 4 + 4 + 4 + 4 = 4𝑥4 = 42=16 . Así mismo

También podríamos escribir: 𝑉(𝑏) = 𝑉(𝑏,𝑎) + 𝑉(𝑏,𝑏) + 𝑉(𝑏,𝑐) + 𝑉(𝑏,𝑑) = 42 = 16

𝑉(𝑐) = 𝑉(𝑐,𝑎) + 𝑉(𝑐,𝑏) + 𝑉(𝑐,𝑐) + 𝑉(𝑐,𝑑) = 42 = 16

𝑉(𝑑) = 𝑉(𝑑,𝑎) + 𝑉(𝑑,𝑏) + 𝑉(𝑑,𝑐) + 𝑉(𝑑,𝑑) = 42 = 16

En total, tendremos: 𝑉𝑟4,3 = 𝑉(𝑎) + 𝑉(𝑏) + 𝑉(𝑐) + 𝑉(𝑑) = 4. 42 = 43

Generalizando, resulta: 𝑽𝒓𝒏,𝒎 = 𝒏𝒎,expresión también demostrable por inducción de n a n+1

Consideremos ahora el caso cuando los elementos del conjunto original son todos diferentes,

y m > n

Sea por ej. El conjunto de dos elementos {𝑐, 𝑠} y formemos las variaciones con repetición de estos

dos elementos tomados tres a tres. Aquí n = 2 mientras que m=3 > n. El número de grupos que se

pueden formar será: [[𝑐, 𝑐, 𝑐] [𝑐, 𝑠, 𝑐] [𝑠, 𝑠, 𝑐] [𝑠, 𝑐, 𝑐][𝑐, 𝑐, 𝑠] [𝑐, 𝑠, 𝑠] [𝑠, 𝑠, 𝑠] [𝑠, 𝑐, 𝑠]

] , es decir: 𝑉𝑟2,3 = 23 = 8

Es el ejemplo clásico del lanzamiento de una moneda al aire con dos posibilidades al caer: cara (c )

o sello (s ), y donde la lanzamos tres veces cada vez. La expresión matemática que se obtiene, es la

misma que en el caso anterior para n > m. Haciendo un estudio de casos, llegaríamos a la misma

expresión obtenida anteriormente, y por lo tanto: : 𝑽𝒓𝒏,𝒎 = 𝒏𝒎, resultará valida independiente de

que n > m , o de que n < m.

Si consideramos el caso de un conjunto de n elementos, donde algunos de sus elementos se

encuentran repetidos, la expresión obtenida anteriormente, sigue siendo aplicable, pero deberemos

sustituir a n por k, donde k representa el número de elementos del conjunto considerados diferentes

entre sí., y en lugar de : 𝑽𝒓𝒏,𝒎 = 𝒏𝒎, deberemos utilizar: 𝑽𝒓𝒌,𝒎 = 𝒌𝒎

Ejemplo: sea el conjunto {𝑎, 𝑎, 𝑏, 𝑏, 𝑏, 𝑐}, con un total de n= 6 elementos, donde solo los tres

elementos 𝑎, 𝑏 𝑦 𝑐 pueden considerarse diferentes, es decir k = 3. Entonces, las variaciones con

repetición de dos elementos iguales o diferentes, que se pueden formar son:

[

[𝑎, 𝑎] [𝑏, 𝑎] [𝑐, 𝑎][𝑎, 𝑏] [𝑏, 𝑏] [𝑐, 𝑏]

[𝑎, 𝑐] [𝑏, 𝑐] [𝑐, 𝑐]] , y 𝑽𝒓𝟑,𝟐 = 𝟑𝟐 = 𝟗

1-b) Permutaciones con repetición ( 𝑷𝒓𝒏 )

Se denominan así a las agrupaciones que podemos formar con un conjunto de n elementos, tomados

n a n (repetidos o no en cada agrupación), que se diferencian entre sí por el orden o por tener

diferente, al menos, uno de sus elementos constituyentes.

Por la definición anterior, es evidente que las permutaciones con repetición pueden considerarse

como un caso particular ( y especial) de las variaciones con repetición, en el cual n= m, y por lo

tanto, su expresión matemática, si utilizamos 𝑷𝒓𝒏 , en lugar de 𝑽𝒓𝒏,𝒎, vendrá dada por:

𝑷𝒓𝒏 = 𝒏𝒏 ,( no es necesario escribir 𝑷𝒓𝒏 ,𝒏), y existirá una sola posibilidad para cada conjunto

dado de elementos diferentes.

Sea por ej. El conjunto {𝑎, 𝑏} de dos elementos diferentes, entonces, las permutaciones con

repetición que se pueden formar con un conjunto tal serán:

[[𝑎, 𝑎] [𝑏, 𝑎][𝑎, 𝑏] [𝑏, 𝑏]

], y 𝑷𝒓𝟐 = 𝟐𝟐 = 𝟒

Si llamamos 𝑃(𝑎), a las permutaciones con repetición de dicho conjunto, que comienzan con 𝑎,

entonces será 𝑃(𝑎) = 2, y si llamamos 𝑃(𝑏), las permutaciones que comienzan con b, se tendrá:

𝑃(𝑏) = 2, entonces: 𝑷𝒓𝟐 = 𝑃(𝑎) + 𝑃(𝑏) = 2.2 = 22 = 4

Consideremos ahora el conjunto {𝑎, 𝑏, 𝑐}, donde n= 3 .Las permutaciones con repetición que se

pueden formar en este caso serán:

[ [𝑎, 𝑎, 𝑎] [𝑎, 𝑏, 𝑎] [𝑎, 𝑐, 𝑎]

[𝑎, 𝑎, 𝑏] [𝑎, 𝑏, 𝑏] [𝑎, 𝑐, 𝑏]

[𝑎, 𝑎, 𝑐]

[𝑏, 𝑎, 𝑎]

[𝑏, 𝑎, 𝑏]

[𝑏, 𝑎, 𝑐]

[𝑐, 𝑎, 𝑎]

[𝑐, 𝑎, 𝑏]

[𝑐, 𝑎, 𝑐]

[𝑎, 𝑏, 𝑐]

[𝑏. 𝑏. 𝑎]

[𝑏, 𝑏, 𝑏]

[𝑏, 𝑏, 𝑐]

[𝑐, 𝑏, 𝑎]

[𝑐, 𝑏, 𝑏]

[𝑐, 𝑏, 𝑐]

[𝑎, 𝑐, 𝑐]

[𝑏, 𝑐, 𝑎]

[𝑏, 𝑐, 𝑏]

[𝑏, 𝑐, 𝑐]

[𝑐, 𝑐, 𝑎]

[𝑐, 𝑐, 𝑏]

[𝑐, 𝑐, 𝑐]]

Simbólicamente, podemos escribir 𝑃(𝑎) = 9, 𝑃(𝑏) = 9, y 𝑃(𝑐) = 9, entonces:

𝑷𝒓𝟑 = 𝑷(𝒂) + 𝑷(𝒃) + 𝑷(𝒄) = 𝟑. 𝟗 = 𝟑𝟑 = 𝟐𝟕

Análogamente, también podríamos escribir:

𝑃(𝑎,𝑎) = 3 𝑃(𝑎,𝑏) = 3 𝑃(𝑎,𝑐) = 3

𝑃(𝑏,𝑎) = 3 𝑃(𝑏,𝑏) = 3 𝑃(𝑏,𝑐) = 3

𝑃(𝑐,𝑎) = 3 𝑃(𝑐,𝑏) = 3 𝑃(𝑐,𝑐) = 3

𝑷𝒓𝟑=𝑃(𝑎,𝑎) + 𝑃(𝑏,𝑎) + 𝑃(𝑐,𝑎) + 𝑃(𝑎,𝑏) + 𝑃(𝑏,𝑏) + 𝑃(𝑐,𝑏) + 𝑃(𝑎,𝑐) + 𝑃(𝑏,𝑐) + 𝑃(𝑐,𝑐) = 9.3 = 33 = 27

Notamos que las 𝑷(𝒊,𝒋) = 31, mientras que las 𝑷(𝒊) = 32. Y 𝑷𝒓𝟑 = 𝑷(𝒊,𝒋). 𝑷(𝒊)

Apliquemos esta propiedad* para obtener 𝑷𝒓𝟒, para el conjunto de cuatro elementos diferentes

{𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑}. Entonces utilizando una nomenclatura simbólica análoga a la anterior, tendríamos:

[ 𝑃(𝑎,𝑎,𝑎) = 4

𝑃(𝑎,𝑎,𝑏) = 4

𝑃(𝑎,𝑎,𝑐) = 4

𝑃(𝑎,𝑎,𝑑) = 4]

y 𝑃(𝑎,𝑎) = 42 = 16

[ 𝑃(𝑎,𝑏,𝑎) = 4

𝑃(𝑎,𝑏,𝑏) = 4

𝑃(𝑎,𝑏,𝑐) = 4

𝑃(𝑎,𝑏,𝑑) = 4]

y 𝑃(𝑎,𝑏) = 42 = 16

[ 𝑃(𝑎,𝑐,𝑎) = 4

𝑃(𝑎,𝑐,𝑏) = 4

𝑃(𝑎,𝑐,𝑐) = 4

𝑃(𝑎,𝑐,𝑑) = 4]

y 𝑃(𝑎,𝑐) = 42 = 16

[ 𝑃(𝑎,𝑑,𝑎) = 4

𝑃(𝑎,𝑑,𝑏) = 4

𝑃(𝑎,𝑑,𝑐) = 4

𝑃(𝑎,𝑑,𝑑) = 4]

y 𝑃(𝑎,𝑑) = 42 = 16

De manera que:

[ 𝑃(𝑎,𝑎,) = 16

𝑃(𝑎,𝑏) = 16

𝑃(𝑎,𝑐) = 16

𝑃(𝑎,𝑑) = 16]

y 𝑃(𝑎) = 4.16 = 43 = 64

De forma similar, resultarían:

[ 𝑃(𝑏,𝑎,) = 16

𝑃(𝑏,𝑏) = 16

𝑃(𝑏,𝑐) = 16

𝑃(𝑏,𝑑) = 16]

y 𝑃(𝑏) = 4.16 = 43 = 64

[ 𝑃(𝑐,𝑎,) = 16

𝑃(𝑐,𝑏) = 16

𝑃(𝑐,𝑐) = 16

𝑃(𝑐,𝑑) = 16]

y 𝑃(𝑐) = 4.16 = 43 = 64

[ 𝑃(𝑑,𝑎,) = 16

𝑃(𝑑,𝑏) = 16

𝑃(𝑑,𝑐) = 16

𝑃(𝑑,𝑑) = 16]

y 𝑃(𝑑) = 4.16 = 43 = 64, y resulta: 𝑷𝒓𝟒 = 𝟒. 𝟒𝟑 = 𝟒𝟒 = 𝟐𝟓𝟔

* (En este caso será: 𝑷𝒓𝟒 = 𝑷(𝒊,𝒋,𝒌). 𝑷(𝒊) )

O también: 𝑷𝒓𝟒 = 𝑷(𝒂) + 𝑷(𝒃) + 𝑷(𝒄) + 𝑷(𝒅) = 𝟒. 𝟒𝟑 = 𝟒𝟒 = 𝟐𝟓𝟔

Consideremos ahora el caso de conjuntos con elementos repetidos, y definamos de nuevo el

concepto de permutaciones con repetición como el número de permutaciones que se pueden formar

con un conjunto de n elementos donde solo m < n, elementos son diferentes, así por ej. un primer

elemento se repite ∝1 veces, un segundo elemento se repite ∝2 veces, un tercero se repite ∝3 veces,

etc. , de manera que se cumple ∝1+∝2+∝3+ ⋯+∝𝑚= 𝑛, y todas las agrupaciones (de n elementos

c/u) se diferencian solo por el orden de sus elementos.

Para encontrar una expresión matemática para las permutaciones con repetición para estas

condiciones, comencemos por analizar algunos casos.

Sea por ej. el conjunto de n=5 elementos dados por {𝑎, 𝑎, 𝑏, 𝑏, 𝑏}, donde 𝑎, se repite 2 veces y b, se

repite tres veces. Para hacer analogía con las permutaciones normales o corrientes, supongamos

que todos los elementos del conjunto, pueden considerarse diferentes, lo cual denotaremos

añadiéndole un subíndice numérico a los elementos que se repiten, que permita identificarlos como

tales en el proceso deductivo posterior. Así el conjunto original puede rescribirse como

{𝑎, 𝑎1, 𝑏, 𝑏1, 𝑏2}, entonces las permutaciones simples que pueden hacerse con tal conjunto, serían:

𝑃5=5! = 120 agrupaciones diferentes de 5 elementos c/u.

Analicemos ahora cuantos grupos pueden derivarse a partir de una permutación dada. Para facilitar

dicho análisis, escogeremos la misma agrupación inicial (𝑎, 𝑎1, 𝑏, 𝑏1, 𝑏2) y permutaremos las letras,

pero sin mezclar los grupos entre sí, de manera que conserven en cuanto al orden, su identidad con

el grupo original.

Si partimos de la permutación (𝑎, 𝑎1, 𝑏, 𝑏1, 𝑏2), y permutamos los tres elementos b, dejando fijos los

elementos 𝑎, obtenemos 3!= 6 agrupaciones posibles (incluyendo la original), a saber:

[ 𝑎, 𝑎1, 𝑏, 𝑏1, 𝑏2

𝑎, 𝑎1,𝑏, 𝑏2, 𝑏1

𝑎, 𝑎1, 𝑏1, 𝑏, 𝑏2

𝑎, 𝑎1, 𝑏1, 𝑏2, 𝑏𝑎, 𝑎1, 𝑏2, 𝑏, 𝑏1

𝑎, 𝑎1, 𝑏2, 𝑏1, 𝑏]

Si permutamos ahora los elementos 𝑎, se obtendrán 6 grupos adicionales es decir

[ 𝑎1, 𝑎, 𝑏, 𝑏1, 𝑏2

𝑎1, 𝑎,𝑏, 𝑏2, 𝑏1

𝑎1, 𝑎, 𝑏1, 𝑏, 𝑏2

𝑎1, 𝑎, 𝑏1, 𝑏2, 𝑏𝑎1, 𝑎, 𝑏2, 𝑏, 𝑏1

𝑎1, 𝑎, 𝑏2, 𝑏1, 𝑏]

Obtenemos 2!.3!=2.6=12 grupos en total

Entonces, a partir de una posible permutación, se han obtenido 12 nuevas, que en realidad son una

misma, la (𝑎, 𝑎1, 𝑏, 𝑏1, 𝑏2). Por ello razonando a la inversa, esto significaría que las 120

permutaciones hipotéticas que se derivan de la original considerada como si todos sus elementos

fueran diferentes, se reducen en definitiva a 120/12=10 es decir :( 5!

2!3! )

Entonces el número de permutaciones con repetición que se pueden formar con un conjunto de n=5

elementos, como {𝑎, 𝑎, 𝑏, 𝑏, 𝑏}, donde un primer elemento 𝑎, se repite 2 veces y un segundo

elemento b, se repite tres veces, se puede obtener mediante la expresión:

𝑃𝑟5,2,3 =5!

2!3!= 10, donde 2+3=5 , que son: [

𝑎, 𝑎, 𝑏, 𝑏, 𝑏 𝑎, 𝑏, 𝑎, 𝑏, 𝑏 𝑏, 𝑎, 𝑎, 𝑏, 𝑏 𝑏, 𝑏, 𝑎, 𝑎, 𝑏𝑎, 𝑏, 𝑏, 𝑎, 𝑏 𝑏, 𝑎, 𝑏, 𝑎, 𝑏 𝑏, 𝑏, 𝑎, 𝑏, 𝑎𝑎, 𝑏, 𝑏, 𝑏, 𝑎 𝑏, 𝑎, 𝑏, 𝑏, 𝑎 𝑏, 𝑏, 𝑏, 𝑎, 𝑎

]

Analicemos un segundo caso. Por ej. sea el conjunto {𝑎, 𝑎, 𝑏, 𝑏, 𝑐, 𝑐, 𝑐} de n=7 elementos, donde

solo m=3 elementos son diferentes. Un primer elemento 𝑎, se repite 2 veces, un segundo b, se repite

también 2 veces y un tercer elemento c, se repite 3 veces. Así 2+2+3=7.

Denotaremos dicho conjunto como {𝑎, 𝑎1, 𝑏, 𝑏1, 𝑐, 𝑐1, 𝑐2}, de manera que hipotéticamente como en

el ejemplo anterior, podamos considerar todos sus elementos como diferentes entre sí. Si este fuera

el caso, el número de permutaciones posibles con 7 elementos sería: 𝑃7 = 7! = 5040.

Análogamente al caso anterior, determinemos el número de permutaciones que se pueden generar a

partir de una permutación dada, y por facilidad en el análisis, escojamos aquella que conserva la

identidad con el grupo inicial 𝑎, 𝑎1, 𝑏, 𝑏1, 𝑐, 𝑐1, 𝑐2.

Si permutamos solo los tres términos c, se originaran de esta 3!=6 permutaciones adicionales

( incluyendo la original) .Si ahora permutamos los dos elementos b, cada una de estas 6 generan dos

adicionales, es decir 2!3!= 2.6=12 grupos en total.

Si por último, permutamos los dos elementos 𝑎, en estas 12 agrupaciones, cada una de ellas genera

2 adicionales mas, para un total de 2! 2! 3!= 2.2.6 = 24 permutaciones nuevas, que en realidad son

una misma. Por ello las hipotéticas 5040 se reducen a 5040/24 = 210, o sean 7!/2! 2! 3! =210

permutaciones reales. Podemos entonces expresar este resultado como:

𝑃𝑟7,2,2,3 =7!

2!2!3!= 210, donde 2+2+3 = 7

Estos resultados nos permiten generalizar para obtener la expresión:

𝑷𝒓𝒏,∝𝟏,∝𝟐,∝𝟑,…,∝𝒎=

𝒏!

∝𝟏!∝𝟐!∝𝟑!…∝𝒎! , donde ∝𝟏+∝𝟐+∝𝟑+ ⋯+∝𝒎= 𝒏

Siendo n el número de elementos de un conjunto a permutar, donde solo hay m < n elementos

diferentes, y el primero de ellos se repite ∝1 veces, el segundo ∝2 veces, el tercero ∝3 veces y así

hasta el m-ésimo elemento diferente, que se repite ∝𝑚 veces, siendo ∝𝟏+∝𝟐+∝𝟑+ ⋯+∝𝒎= 𝒏

1-c) Combinaciones con repetición (𝑪𝒓𝒏,𝒎 )

Se denominan así a las agrupaciones que se pueden formar con los n elementos de un conjunto,

tomados de m en m (m<n , repetidos o no en cada agrupación) , que se diferencian una de otra por

lo menos en un elemento y no por el orden. Por ende en este caso, solo consideraremos conjuntos

formados por elementos todos diferentes.

Análogamente al caso de las variaciones con repetición, cuando m=1, 𝑪𝒓𝒏,𝟏 = 𝒏, y por lo tanto,

obviaremos su análisis en los diversos casos adicionales a este. Para m < n, en el caso de un

conjunto de dos elementos como {𝑎, 𝑏}, la única posibilidad es m=1 y 𝑪𝒓𝟐,𝟏 =2, y las únicas

combinaciones “con repetición” que podemos formar serán: [𝑎] 𝑦 [𝑏], es decir, solo dos

combinaciones posibles.

Sea ahora un conjunto de tres elementos ( n=3 ), tal como {𝑎, 𝑏, 𝑐}. En este caso tendríamos dos

opciones: m=1 y 𝑪𝒓𝟑,𝟏 = 𝟑 , y m=2. Para este último caso resultarían las siguientes

combinaciones con repetición posibles:

[

𝑎, 𝑎 𝑎, 𝑏 𝑏, 𝑏 𝑎, 𝑐 𝑏, 𝑐 𝑐, 𝑐

] De manera que 𝑪𝒓𝟑,𝟐 = 𝟔

Si comparamos este caso con el correspondiente al de las variaciones con repetición de tres

elementos, tomados dos a dos, notamos que las combinaciones con repetición de tres elementos

tomados dos a dos, se corresponden a las agrupaciones ubicadas por debajo de la línea quebrada

(en rojo), señalada en la matriz que contiene todas las variaciones posibles del caso y que se

muestra a continuación.

𝑎, 𝑎 𝑏, 𝑎 𝑐, 𝑎

𝑎, 𝑏 𝑏, 𝑏 𝑐, 𝑏

𝑎, 𝑐 𝑏, 𝑐 𝑐, 𝑐

Utilizando una notación simbólica similar a la ya utilizada para variaciones y permutaciones,

podemos escribir:

𝑉(𝑎) = 3 𝐶(𝑎) = 3

𝑉(𝑏) = 3 𝐶(𝑏) = 2

𝑉(𝑐) = 3 𝐶(𝑐) = 1

𝑉𝑟3,2 = 3.3 = 32 = 9 𝐶𝑟3,2 = 3 + 2 = 1 = 6

Sea ahora el conjunto de cuatro elementos n=4, tal como: {𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑}, siendo 𝐶𝑟4,1 = 4,

analizaremos las otras dos opciones posibles.

Para m=2, tendremos:

[

𝑎, 𝑎 𝑎, 𝑏 𝑏, 𝑏 𝑎, 𝑐𝑎, 𝑑

𝑏, 𝑐𝑏, 𝑑

𝑐, 𝑐 𝑐, 𝑑 𝑑, 𝑑

]

𝐶𝑟4,2 = 10, que resulta contenida en la matriz correspondiente a 𝑉𝑟4,2 = 16, (grupos por debajo de

la línea quebrada en rojo)

Análogamente, de manera simbólica podemos escribir:

𝑉(𝑎) = 4 𝐶(𝑎) = 4

𝑉(𝑏) = 4 𝐶(𝑏) = 3

𝑉(𝑐) = 4 𝐶(𝑐) = 2

𝑉(𝑑) = 4 𝐶(𝑑) = 1

𝑉𝑟4,2 = 4.4 = 42 = 16 𝐶𝑟4,2 = 4 + 3 + 2 + 1 = 10

Para m=3, resultan:

𝐶𝑟4,3 = 20, que están contenidas en la matriz correspondiente a 𝑉𝑟4,3 = 43=64 (grupos contenidos

en los recuadros escalonados señalados en rojo)

𝑎, 𝑎 𝑏, 𝑎 𝑐, 𝑎 𝑑, 𝑎

𝑎, 𝑏 𝑏, 𝑏 𝑐, 𝑏 𝑑, 𝑏

𝑎, 𝑐 𝑏, 𝑐 𝑐, 𝑐 𝑑, 𝑐

𝑎, 𝑑 𝑏, 𝑑 𝑐, 𝑑 𝑑, 𝑑

𝑎, 𝑎, 𝑎

𝑎, 𝑎, 𝑏 𝑎, 𝑏, 𝑏

𝑎, 𝑎, 𝑐 𝑎, 𝑏, 𝑐 𝑎, 𝑐, 𝑐

𝑎, 𝑎, 𝑑 𝑎, 𝑏, 𝑑 𝑎, 𝑐, 𝑑 𝑎, 𝑑, 𝑑

𝑏, 𝑏, 𝑏

𝑏, 𝑏, 𝑐 𝑏, 𝑐, 𝑐

𝑏, 𝑏, 𝑑 𝑏, 𝑐, 𝑑 𝑏, 𝑑, 𝑑

𝑐, 𝑐, 𝑐

𝑐, 𝑐, 𝑑 𝑐, 𝑑, 𝑑

𝑑, 𝑑, 𝑑

𝑎, 𝑎, 𝑎 𝑎, 𝑏, 𝑎 𝑎, 𝑐, 𝑎 𝑎, 𝑑, 𝑎

𝑎, 𝑎, 𝑏 𝑎, 𝑏, 𝑏 𝑎, 𝑐, 𝑏 𝑎, 𝑑, 𝑏

𝑎, 𝑎, 𝑐 𝑎, 𝑏, 𝑐 𝑎, 𝑐, 𝑐 𝑎, 𝑑, 𝑐

𝑎, 𝑎, 𝑑 𝑎, 𝑏, 𝑑 𝑎, 𝑐, 𝑑 𝑎, 𝑑, 𝑑

𝑏, 𝑎, 𝑎 𝑏, 𝑏, 𝑎 𝑏, 𝑐, 𝑎 𝑏, 𝑑, 𝑎

𝑏, 𝑎, 𝑏 𝑏, 𝑏, 𝑏 𝑏, 𝑐, 𝑏 𝑏, 𝑑, 𝑏

𝑏, 𝑎, 𝑐 𝑏, 𝑏, 𝑐 𝑏, 𝑐, 𝑐 𝑏, 𝑑, 𝑐

𝑏, 𝑎, 𝑑 𝑏, 𝑏, 𝑑 𝑏, 𝑐, 𝑑 𝑏, 𝑑, 𝑑

𝑐, 𝑎, 𝑎 𝑐, 𝑏, 𝑎 𝑐, 𝑐, 𝑎 𝑐, 𝑑, 𝑎

𝑐, 𝑎, 𝑏 𝑐, 𝑏, 𝑏 𝑐, 𝑐, 𝑏 𝑐, 𝑑, 𝑏

𝑐, 𝑎, 𝑐 𝑐, 𝑏, 𝑐 𝑐, 𝑐, 𝑐 𝑐, 𝑑, 𝑐

𝑐, 𝑎, 𝑑 𝑐, 𝑏, 𝑑 𝑐, 𝑐, 𝑑 𝑐, 𝑑, 𝑑

𝑑, 𝑎, 𝑎 𝑑, 𝑏, 𝑎 𝑑, 𝑐, 𝑎 𝑑, 𝑑, 𝑎

𝑑, 𝑎, 𝑏 𝑑, 𝑏, 𝑏 𝑑, 𝑐, 𝑏 𝑑, 𝑑, 𝑏

𝑑, 𝑎, 𝑐 𝑑, 𝑏, 𝑐 𝑑, 𝑐, 𝑐 𝑑, 𝑑, 𝑐

𝑑, 𝑎, 𝑑 𝑑, 𝑏, 𝑑 𝑑, 𝑐, 𝑑 𝑑, 𝑑, 𝑑

Utilizando la notación simbólica, tendremos:

𝑉(𝑎) = 16 𝐶(𝑎) = 10

𝑉(𝑏) = 16 𝐶(𝑏) = 6

𝑉(𝑐) = 16 𝐶(𝑐) = 3

𝑉(𝑑) = 16 𝐶(𝑑) = 1

𝑉𝑟4,3 = 4.16 = 43 = 64 𝐶𝑟4,3 = 10 + 6 + 3 + 1 = 20

Podemos notar que en este caso, se pone más en evidencia que podemos extender el lenguaje

simbólico a las combinaciones con repetición, para escribir:

𝐶(𝑎,𝑎) = 4 𝐶(𝑏,𝑎) = 0

𝐶(𝑎,𝑏) = 3 𝐶(𝑏,𝑏) = 3

𝐶(𝑎,𝑐) = 2 𝐶(𝑏,𝑐) = 2

𝐶(𝑎,𝑑) = 1 𝐶(𝑏,𝑑) = 1

𝐶(𝑎) = 4 + 3 + 2 + 1 = 10 𝐶(𝑏) = 3 + 2 + 1 = 6

Análogamente:

𝐶(𝑐,𝑎) = 0 𝐶(𝑑,𝑎) = 0

𝐶(𝑐,𝑏) = 0 𝐶(𝑑,𝑏) = 0

𝐶(𝑐,𝑐) = 2 𝐶(𝑑,𝑐) = 0

𝐶(𝑐,𝑑) = 1 𝐶(𝑑,𝑑) = 1

𝐶(𝑐) = 2 + 1 = 3 𝐶(𝑑) = 1

De manera que 𝐶𝑟4,3 =(4+3+2+1) + (3+2+1) + (2+1) + (1) = 10+6+3+1=20

Que podemos escribir como: 𝐶𝑟4,3 = 1.(4) + 2.(3) + 3.(2) + 4.(1) =20

Continuemos nuestro análisis estudiando un último caso. Sea un conjunto de n=5 elementos, tal

como {𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑒}, y obviando la opción m=1 ( 𝐶𝑟5,1 = 5 ), consideremos la opción m=2

Sin necesidad de graficar la matriz que contiene los grupos a considerar, si 𝑉𝑟5,2 = 52 = 25 deberá

cumplirse:

𝑉(𝑎) = 5 𝐶(𝑎) = 5

𝑉(𝑏) = 5 𝐶(𝑏) = 4

𝑉(𝑐) = 5 𝐶(𝑐) = 3

𝑉(𝑑) = 5 𝐶(𝑑) = 2

𝑉(𝑒) = 5 𝐶(𝑒) = 1

𝑉𝑟5,2 = 5.5 = 52 = 25 𝐶𝑟5,2 = 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 15

Para el caso m=3, siendo 𝑉𝑟5,2 = 53 = 125 , se cumplirán:

𝑉(𝑎,𝑎) = 5 𝐶(𝑎,𝑎) = 5

𝑉(𝑎,𝑏) = 5 𝐶(𝑎,𝑏) = 4

𝑉(𝑎,𝑐) = 5 𝐶(𝑎,𝑐) = 3

𝑉(𝑎,𝑑) = 5 𝐶(𝑎,𝑑) = 2

𝑉(𝑎,𝑒) = 5 𝐶(𝑎,𝑒) = 1

𝑉(𝑎) = 5.5 = 52 = 25 𝐶(𝑎) = 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 15

𝑉(𝑏,𝑎) = 5 𝐶(𝑏,𝑎) = 5

𝑉(𝑏,𝑏) = 5 𝐶(𝑏,𝑏) = 4

𝑉(𝑏,𝑐) = 5 𝐶(𝑏,𝑐) = 3

𝑉(𝑏,𝑑) = 5 𝐶(𝑏,𝑑) = 2

𝑉(𝑏,𝑒) = 5 𝐶(𝑏,𝑒) = 1

𝑉(𝑏) = 5.5 = 52 = 25 𝐶(𝑏) = 4 + 3 + 2 + 1 = 10

𝑉(𝑐,𝑎) = 5 𝐶(𝑐,𝑎) = 0

𝑉(𝑐,𝑏) = 5 𝐶(𝑐,𝑏) = 0

𝑉(𝑐,𝑐) = 5 𝐶(𝑐,𝑐) = 3

𝑉(𝑐,𝑑) = 5 𝐶(𝑐,𝑑) = 2

𝑉(𝑐,𝑒) = 5 𝐶(𝑐,𝑒) = 1

𝑉(𝑐) = 5.5 = 52 = 25 𝐶(𝑐) = 3 + 2 + 1 = 6

𝑉(𝑑,𝑎) = 5 𝐶(𝑑,𝑎) = 0

𝑉(𝑑,𝑏) = 5 𝐶(𝑑,𝑏) = 0

𝑉(𝑑,𝑐) = 5 𝐶(𝑑,𝑐) = 0

𝑉(𝑑,𝑑) = 5 𝐶(𝑑,𝑑) = 2

𝑉(𝑑,𝑒) = 5 𝐶(𝑑,𝑒) = 1

𝑉(𝑑) = 5.5 = 52 = 25 𝐶(𝑑) = 2 + 1 = 3

𝑉(𝑒,𝑎) = 5 𝐶(𝑒,𝑎) = 0

𝑉(𝑒,𝑏) = 5 𝐶(𝑒,𝑏) = 0

𝑉(𝑒,𝑐) = 5 𝐶(𝑒,𝑐) = 0

𝑉(𝑒,𝑑) = 5 𝐶(𝑒,𝑑) = 0

𝑉(𝑒,𝑒) = 5 𝐶(𝑒,𝑒) = 1

𝑉(𝑒) = 5.5 = 52 = 25 𝐶(𝑒) = 1

Resulta entonces 𝑉𝑟5,3 = 5.25 = 53 = 125, como ya conocíamos, mientras que para 𝐶𝑟5,3,

obtenemos:

𝐶𝑟5,3 = 15 + 10 + 6 + 3 + 1 = 35, que podemos rescribir como:

𝐶𝑟5,3 = (5 + 4 + 3 + 2 + 1) + (4 + 3 + 2 + 1) + (3 + 2 + 1) + (2 + 1) + (1) = 35, o también:

𝐶𝑟5,3 = 1. (5) + 2(4) + 3(3) + 4(2) + 5(1) = 35

Para el caso m=4, siendo 𝑉𝑟5,4 = 54 = 625, se cumplirán:

𝑉(𝑎,𝑎) = 25 𝐶(𝑎,𝑎) = 15

𝑉(𝑎,𝑏) = 25 𝐶(𝑎,𝑏) = 10

𝑉(𝑎,𝑐) = 25 𝐶(𝑎,𝑐) = 6

𝑉(𝑎,𝑑) = 25 𝐶(𝑎,𝑑) = 3

𝑉(𝑎,𝑒) = 25 𝐶(𝑎,𝑒) = 1

𝑉(𝑎) = 5.25 = 53 = 125 𝐶(𝑎) = 15 + 10 + 6 + 3 + 1 = 35

𝑉(𝑏,𝑎) = 25 𝐶(𝑏,𝑎) = 0

𝑉(𝑏,𝑏) = 25 𝐶(𝑏,𝑏) = 10

𝑉(𝑏,𝑐) = 25 𝐶(𝑏,𝑐) = 6

𝑉(𝑏,𝑑) = 25 𝐶(𝑏,𝑑) = 3

𝑉(𝑏,𝑒) = 25 𝐶(𝑏,𝑒) = 1

𝑉(𝑏) = 5.25 = 53 = 125 𝐶(𝑏) = 10 + 6 + 3 + 1 = 20

𝑉(𝑐,𝑎) = 5 𝐶(𝑐,𝑎) = 0

𝑉(𝑐,𝑏) = 5 𝐶(𝑐,𝑏) = 0

𝑉(𝑐,𝑐) = 5 𝐶(𝑐,𝑐) = 6

𝑉(𝑐,𝑑) = 5 𝐶(𝑐,𝑑) = 3

𝑉(𝑐,𝑒) = 5 𝐶(𝑐,𝑒) = 1

𝑉(𝑐) = 5.5 = 53 = 125 𝐶(𝑐) = 6 + 3 + 1 = 10

𝑉(𝑑,𝑎) = 25 𝐶(𝑑,𝑎) = 0

𝑉(𝑑,𝑏) = 25 𝐶(𝑑,𝑏) = 0

𝑉(𝑑,𝑐) = 25 𝐶(𝑑,𝑐) = 0

𝑉(𝑑,𝑑) = 25 𝐶(𝑑,𝑑) = 3

𝑉(𝑑,𝑒) = 25 𝐶(𝑑,𝑒) = 1

𝑉(𝑑) = 5.25 = 53 = 125 𝐶(𝑑) = 3 + 1 = 4

𝑉(𝑒,𝑎) = 25 𝐶(𝑒,𝑎) = 0

𝑉(𝑒,𝑏) = 25 𝐶(𝑒,𝑏) = 0

𝑉(𝑒,𝑐) = 25 𝐶(𝑒,𝑐) = 0

𝑉(𝑒,𝑑) = 25 𝐶(𝑒,𝑑) = 0

𝑉(𝑒,𝑒) = 25 𝐶(𝑒,𝑒) = 1

𝑉(𝑒) = 5.25 = 53 = 125 𝐶(𝑒) = 1

Resulta entonces: 𝑉𝑟5,4 = 5.125 = 54 = 625,como ya conocíamos y

𝐶𝑟5,4 = 35 + 20 + 10 + 4 + 1 = 70, que podemos rescribir como:

𝐶𝑟5,4 = (15 + 10 + 6 + 3 + 1) + (10 + 6 + 3 + 1) + (6 + 3 + 1) + (3 + 1) + (1) = 70, o también:

𝐶𝑟5,4 = 1. (5) + 3. (4) + 6. (3) + 10. (2) + 15. (1)

Si escribimos un resumen de los resultados obtenidos hasta ahora;

m=1 m=2

𝐶𝑟2,1 = 1 + 1 = 2

𝐶𝑟3,1 = 1 + 1 + 1 = 3 𝐶𝑟3,2 = 1 + 2 + 3 = 6

𝐶𝑟4,1 = 1 + 1 + 1 + 1 = 4 𝐶𝑟4,2 = 1 + 2 + 3 + 4 = 10

𝐶𝑟5,1 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 5 𝐶𝑟5,2 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15

m=3 m=4

𝐶𝑟4,3 = 1 + 3 + 6 + 10 = 20

𝐶𝑟5,3 = 1 + 3 + 6 + 10 + 15 = 35 𝐶𝑟5,4 = 1 + 4 + 10 + 20 + 35 = 70

Una observación cuidadosa de estos resultados, nos indica que los valores de 𝑪𝒓𝒏,𝒎 , se identifican

con las series paralelas del triángulo de Tartaglia o de Pascal. Estudiaremos dichas series a

continuación.

2) Las series paralelas de números figurados del triángulo de Pascal

Para estudiar dichas series, comencemos por su obtención a partir de la siguiente identidad:

𝑥(𝑥+1)(𝑥+2)…(𝑥+𝑚−1)(𝑥+𝑚)

1.2.3…𝑚(𝑚+1)−

(𝑥−1)𝑥(𝑥+1)…(𝑥+𝑚−1)

1.2.3…𝑚(𝑚+1)=

𝑥(𝑥+1)(𝑥+2)…(𝑥+𝑚−1)

1.2.3…𝑚,

que es , una relación de recurrencia.

Si en esta identidad, hacemos m=1, obtenemos: 𝑥(𝑥+1)

1.2−

(𝑥−1)𝑥

1.2=

𝑥

1

Y si damos a x, sucesivamente los valores: x=1,2,3,…,(n-1),n, resultan las siguientes identidades :

1.2

1.2−

0.1

1.2=

1

1

2.3

1.2−

1.2

1.2=

2

1

3.4

1.2−

2.3

1.2=

3

1

. . .

. . .

. . . (𝑛 − 1)𝑛

1.2−

(𝑛 − 2)(𝑛 − 1)

1.2=

𝑛 − 1

1

𝑛(𝑛 + 1)

1.2−

(𝑛 − 1)𝑛

1.2=

𝑛

1

Sumando miembro a miembro todas estas identidades, obtenemos:

𝑛(𝑛 + 1)

2!= 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ⋯+ (𝑛 − 1) +

𝑛

1!

Si de nuevo en la identidad inicial, hacemos m=2, resulta:

𝑥(𝑥+1)(𝑥+2)

1.2.3−

(𝑥−1)𝑥(𝑥+1)

1.2.3=

𝑥(𝑥+1)

1.2, y si en esta identidad, hacemos tomar a x, sucesivamente los

valores x=1,2,3,…,(n-1),n, obtenemos:

1.2.3

1.2.3−

0.1.2

1.2.3=

1.2

1.2

2.3.4

1.2.3−

1.2.3

1.2.3=

2.3

1.2

3.4.5

1.2.3−

2.3.4

1.2.3=

3.4

1.2

. . .

. . .

. . . (𝑛 − 1)𝑛(𝑛 + 1)

1.2.3−

(𝑛 − 2)(𝑛 − 1)𝑛

1.2.3=

(𝑛 − 1)𝑛

1.2

𝑛(𝑛 + 1)(𝑛 + 2)

1.2.3−

(𝑛 − 1)𝑛(𝑛 + 1)

1.2.3=

(𝑛 − 1)𝑛

1.2

Si sumamos miembro a miembro estas identidades, resulta:

𝑛(𝑛 + 1)(𝑛 + 2)

3!= 1 + 3 + 6 + 10 + 15 + ⋯+

𝑛(𝑛 + 1)

2!

Repitiendo este procedimiento para m=3, obtendríamos:

𝑥(𝑥+1)(𝑥+2)(𝑥+3)

1.2.3.4−

(𝑥−1)𝑥(𝑥+1)(𝑥+2)

1.2.3.4=

𝑥(𝑥+1)(𝑥+2)

1.2.3, y haciendo tomar a x sucesivamente los

valores x=1, 2,3,…, (n-1), n, y sumando miembro a miembro las identidades resultantes,

obtendremos la serie:

𝑛(𝑛 + 1)(𝑛 + 2)(𝑛 + 3)

4!= 1 + 4 + 10 + 20 + 35 + ⋯+

𝑛(𝑛 + 1)(𝑛 + 2)

3!

Si continuamos para m=4, obtendríamos la serie:

𝑛(𝑛 + 1)(𝑛 + 2)(𝑛 + 3)(𝑛 + 4)

5!= 1 + 5 + 15 + 35 + 70 + ⋯+

𝑛(𝑛 + 1)(𝑛 + 2)(𝑛 + 3)

4!

Y así sucesivamente, podemos extendernos hasta cualquier valor de m entero natural.

Si ordenamos estos resultados, adicionando en primer lugar el caso análogo que se obtiene de la

identidad: 𝑥

1−

𝑥−1

1=

1

1, cuando damos a x los valores x=1,2,3,…,(n-1),n

1+1+1+1+...+1=𝑛

1!, tendremos:

1+1+1+1+.1+...+1= 𝑛

1!

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ⋯+ (𝑛 − 1) +𝑛

1!=

𝑛(𝑛 + 1)

2!

1 + 3 + 6 + 10 + 15 + ⋯+𝑛(𝑛 + 1)

2!=

𝑛(𝑛 + 1)(𝑛 + 2)

3!

1 + 4 + 10 + 20 + 35 + ⋯+𝑛(𝑛 + 1)(𝑛 + 2)

3!=

𝑛(𝑛 + 1)(𝑛 + 2)(𝑛 + 3)

4!

1 + 5 + 15 + 35 + 70 + ⋯+𝑛(𝑛 + 1)(𝑛 + 2)(𝑛 + 3)

4!=

𝑛(𝑛 + 1)(𝑛 + 2)(𝑛 + 3)(𝑛 + 4)

5!

……………………………………………………………………………………………….

Notamos que en estas series, el término enésimo de una, es igual a la suma de los primeros n

términos de la serie precedente, así p.ej. 15=1+2+3+4+5 o 70=1+4+10+20+35.

Así mismo las diferencias de los términos consecutivos n y (n-1) de una serie, da como resultado el

término n de la serie precedente, así p ej. 35-20=15 o 70-35=35.

Si escribimos estas series de tal forma que la series siguientes a la de partida se van formando como

resultado de las diferencias entre cada dos términos sucesivos de la serie precedentes, entonces la

serie siguiente a la original, se le denomina serie de las diferencias primeras, a la que le sigue, serie

de las diferencias segundas y así sucesivamente, siempre con respecto a la serie original o de

partida.

Por ejemplo si partimos de los 7 primeros términos de la serie obtenida para m=4, tendríamos:

1 5 15 35 70 126 210 Diferencias

4 10 20 35 56 84 1⁰ 6 10 15 21 28 2⁰ 4 5 6 7 3⁰ 1 1 1 4⁰

Cuando la serie de las k-ésimas diferencias se compone de términos iguales, se dice que la serie de

partida es de orden k. en nuestro caso la serie * 1,5,15,35,70,126,210,… es de 4⁰ orden con respecto

a la serie 1,1,1,1,1,1,1,…

*Para evitar alguna supuesta ambigüedad matemática al utilizar como sinónimos los términos

sucesión y serie, (lo cual es correcto gramaticalmente) , cuando el término corresponda a la suma

de los términos de una sucesión de igual nomenclatura , para diferenciarlas, agregaremos un supra

índice + .Así por ejemplo 𝑆𝑚 , representa una sucesión, mientras que 𝑆𝑚

+ , representaría la suma de

sus términos o serie.

Las series obtenidas anteriormente a partir de la identidad de recurrencia inicial, se denominan

series de los números figurados o series de números combinatorios y se pueden agrupar de diversas

formas:

Sucesión de sumas triangulares 0 1 1 1 1 1 1

0 1 2 3 4 5 6

0 1 3 6 10 15 21

0 1 4 10 20 35 56

0 1 5 15 35 70 126

Diferencias sucesivas 0 1 5 15 35 70 126

0 1 4 10 20 35 56

0 1 3 6 10 15 21

0 1 2 3 4 5 6

0 1 1 1 1 1 1

Sumas acumulativas 0 1 1 1 1 1 1

1

0 1 2 3 4 5 6

0 1 3 6 10 15 21

0 1 4 10 20 35 56

0 1 5 15 35 70 126

En forma de triángulo isósceles rectángulo, donde se evidencian como resultado de la suma de sus

elementos en dirección diagonal, tal como se muestra en la figura anterior, los valores de la

sucesión de Fibonacci: 𝑓𝑛 = 𝑓𝑛−1 + 𝑓𝑛−2, partiendo de los dos primero valores, predeterminados:

𝑓0 = 0 𝑦 𝑓1 = 1, se obtienen los valores de la sucesión: 1,1,2,3,5,8,13,21,34,...

Pero la manera más usual de representarlas, es agrupándolas en forma de un triángulo equilátero

numérico (en número de elementos por cada lado), y simétrico respecto a su “altura”, en el cual las

series de números combinatorios, aparecen repetidas en ambas direcciones oblicuas del triángulo.

Nosotros denotaremos a dichas series como : 𝑆1 , 𝑆2

, 𝑆3 , … , 𝑆𝑚

,donde consideramos los primeros n

términos de la serie, y el sub índice m, es un contador para indicar su ubicación como serie paralela,

que hacemos coincidir con el segundo término de la serie respectiva.

Cada una de estas series paralelas de n términos se caracteriza porque su término n-ésimo, es igual a

la suma de los n términos de la sucesión precedente.

3) Triángulo de Pascal

El triángulo que a continuación se muestra, se denomina en Occidente como triángulo de Tartaglia

(1500-1557) o más comúnmente triángulo de Pascal (1632-1662), porque su descubrimiento es

atribuido a dichos matemáticos europeos, pero ya dicha distribución de números, aparece en la

portada del Rechnung, un libro de aritmética del matemático y astrónomo alemán Peter Apian

(1499-1552), y el matemático chino Chu Shih Chien, lo mencionó en 1303 (3 siglos antes) en su

libro “El espejo mágico de los 4 elementos”, refiriéndose a él como el antiguo método (usado

desde 2 siglos atrás). Probablemente dicho triángulo se remonta al año 1100 d.C., cuando el poeta y

matemático persa Omar Khayyám, parece referirse a él en su famosa álgebra.

El triángulo resulta ilimitado por su base y la lectura de sus filas horizontales tiene el mismo tenor,

si su lectura se hace en un sentido o en el contrario. Así mismo, cada fila inicia y termina en un

valor unitario y los restantes términos de cada fila se puede obtener de la anterior, sumando cada

dos números consecutivos de la fila anterior, siendo esto una consecuencia inmediata de que cada

serie paralela, viene a ser la serie de las diferencias primeras de la serie anterior. Ver a modo de

ejemplo el trazado de color rojo entre fila 5 y fila 6 en el gráfico a continuación.

TRIANGULO DE PASCAL ( ∆ 𝟎 ), (filas desde n=0, hasta n=10)

𝑺𝟏 Filas

1 𝑺𝟐 0

1 1 𝑺𝟑 1

1 2 1 𝑺𝟒 2

1 3 3 1 𝑺𝟓 3

1 4 6 4 1 𝑺𝟔 4

1 5 10 10 5 1 𝑺𝟕 5

1 6 15 20 15 6 1 𝑺𝟖 6

1 7 21 35 35 21 7 1 𝑺𝟗 7

1 8 28 56 70 56 28 8 1 𝑺𝟏𝟎 8

1 9 36 84 126 126 84 36 9 1 𝑺𝟏𝟏 9

1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1 10

. . . . . . . . . . . .

El triángulo de Pascal, se puede considerar como la distribución de números o coeficientes que

resultan de la expansión de las potencias sucesivas de un binomio elevado a una potencia k, como

(𝑥1 + 𝑥2)𝑘, cuando k varia de cero a n. Las filas del triángulo se numeran de arriba abajo, tal como

sea el valor de k, y los términos de la fila n, son los coeficientes que corresponden al desarrollo del

binomio (𝑥1 + 𝑥2)𝑛 o binomio de Newton.

Estos coeficientes se denominan coeficientes binomiales y se denotan usualmente como:

(𝑛𝑚

) =𝑛!

(𝑛 − 𝑚)!𝑚!=

𝑛(𝑛 − 1)(𝑛 − 2)… (𝑛 − 𝑚 + 1)

1.2.3…𝑚

Como es conocido, la expresión (𝑛𝑚

), se denomina número combinatorio, y representa el n⁰ de

combinaciones que se pueden formar con los n elementos de un conjunto, tomados de m en m, de

tal manera que todos los grupos resultantes se diferencien entre sí, al menos en un elemento

(combinaciones simples, sin repetición, y por ende , el orden de los elementos en el grupo no hace

diferenciación alguna).Por conveniencia ,en lo que respecta a la nomenclatura a utilizar, para

nuestros fines, hemos incluido el valor 1 en el vértice superior del triángulo, de manera de incluir el

caso trivial (𝑥1 + 𝑥2)0 =1, correspondiente a k=0, y al combinatorio (

00) = 1. Así aparece en la fila

cero (0), el coeficiente 1, como único elemento. Una identidad fundamental e inmediata de estos

números es (𝑛𝑚

)=(𝑛

𝑛 − 𝑚), implícita en su propia definición.

Dos de las propiedades más conocidas del triángulo de Pascal, se derivan de :

(1 + 1)𝑛=∑ (𝑛𝑖)𝑛

𝑖=0 = 2𝑛 .La suma de los coeficientes de cualquiera fila n del triángulo de Pascal es

siempre igual a 2𝑛

(1 − 1)𝑛=∑ (−1)𝑖 (𝑛𝑖)𝑛

𝑖=0 = 0 .La suma de los coeficientes de cualquiera fila n del triángulo de

Pascal, con signos alternados, es siempre igual a cero (0)

La identidad inicial

𝑥(𝑥+1)(𝑥+2)…(𝑥+𝑚−1)(𝑥+𝑚)

1.2.3…𝑚(𝑚+1)−

(𝑥−1)𝑥(𝑥+1)…(𝑥+𝑚−1)

1.2.3…𝑚(𝑚+1)=

𝑥(𝑥+1)(𝑥+2)…(𝑥+𝑚−1)

1.2.3…𝑚 de la

cual se dedujo la formación de las series paralelas, tiene su expresión combinatoria en la relación de

recurrencia :

(𝑛 + 𝑚𝑛 − 1

) − (𝑛 + 𝑚 − 1

𝑛 − 2) = (

𝑛 + 𝑚 − 1𝑛 − 1

)

Además, la expresión en números combinatorios de las series paralelas será:

𝑺𝒎 ={(

𝒊𝒎 − 𝟏

)} con i = (m-1),m,…,(m+n-2), para cada m=1,2,…,n

Luego para m=1 , con i= 0,1,…,(n-1) resulta:

𝑆1 = {(

𝑖0)} = {(

00) , (

10) , (

20) ,… , (

𝑛 − 10

)} = {1,1,1,… ,1}

Si m=2 , con i=1,2,…,n

𝑆2 = {(

𝑖1)} = {(

11) , (

21) , (

31) ,… , (

𝑛1)} = {1,2,3,…𝑛}

Si m=3, con i=2,3,…,(n+1)

𝑆3 = {(

𝑖2)} = {(

22) , (

32) , (

42) ,… , (

𝑛 + 12

)} = {1,3,6,… ,(𝑛 + 1)𝑛

2!}

Para m=4, con i=3,4,…,(n+2)

𝑆4 = {(

𝑖3)} = {(

33) , (

43) , (

53) ,… , (

𝑛 + 23

)} = {1,4,10,… ,(𝑛 + 2)(𝑛 + 1)𝑛

3!}

…………………………………………………………………………………..

La expresión general será:

𝑺𝒎 = {(

𝒊𝒎 − 𝟏

)} = {(𝒎 − 𝟏𝒎 − 𝟏

) , (𝒎

𝒎 − 𝟏) , (

𝒎 + 𝟏𝒎 − 𝟏

) ,… , (𝒎 + 𝒏 − 𝟐

𝒎 − 𝟏)}=

{𝟏,𝒎

𝟏!,(𝒎 + 𝟏)𝒎

𝟐!,(𝒎 + 𝟐)(𝒎 + 𝟏)𝒎

𝟑!, … ,

[𝒏 + (𝒎 − 𝟐)][𝒏 + (𝒎 − 𝟑)]…𝒏

(𝒎 − 𝟏)!}

Como hemos señalado en apuntes previos, podemos identificar los resultados obtenidos para las

combinaciones con repetición con estas series paralelas de números combinatorios binomiales.

Así, resultan:

𝑪𝒓𝒏,𝟏 = 𝑺𝟏+ = ∑ 𝒊𝟎𝒏

𝒊=𝟏 = 𝒏

𝟏! = (

𝒏𝟏)

𝑪𝒓𝒏,𝟐 = 𝑺𝟐+ = ∑ 𝒊 𝒏

𝒊=𝟏 = 𝒏(𝒏+𝟏)

𝟐!= (

𝒏 + 𝟏𝟐

)

𝑪𝒓𝒏,𝟑 = 𝑺𝟑+ = ∑

𝒊(𝒊+𝟏)

𝟐!𝒏𝒊=𝟏 =

𝒏(𝒏+𝟏)(𝒏+𝟐)

𝟑!= (

𝒏 + 𝟐𝟑

), y así sucesivamente, de tal manera que la

expresión general para n y m, vendrá dada por:

𝑪𝒓𝒏,𝒎= 𝑺𝒎+ = ∑

𝒊(𝒊+𝟏)(𝒊+𝟐)…(𝒊+𝒎−𝟐)

(𝒎−𝟏)!𝒏𝒊=𝟏 =

𝒏(𝒏+𝟏)(𝒏+𝟐)…(𝒏+𝒎−𝟏)

𝒎! = (

𝒏 + 𝒎 − 𝟏𝒎

) = (𝒏 + 𝒎 − 𝟏

𝒏 − 𝟏)

Aquí, contabilizamos todas estas sumatorias de i=1 hasta n, pero hay que tener claro que el valor

de n, no se refiere a la fila correspondiente de ∆ 𝟎, sino al término de lugar n de la serie 𝑺𝒎 .

TRIANGULO DE COEFICIENTES COMBINATORIOS ( ∆𝟎 ) , ( filas desde n=0, hasta n=9)

𝑺𝟏 fila

(𝟎𝟎) 𝑺𝟐

0

(𝟏𝟎) (

𝟏𝟏) 𝑺𝟑

1

(𝟐𝟎) (

𝟐𝟏) (

𝟐𝟐) 𝑺𝟒

2

(𝟑𝟎) (

𝟑𝟏) (

𝟑𝟐) (

𝟑𝟑) 𝑺𝟓

3

(𝟒𝟎) (

𝟒𝟏) (

𝟒𝟐) (

𝟒𝟑) (

𝟒𝟒) 𝑺𝟔

4

(𝟓𝟎)

(𝟓𝟏) (

𝟓𝟐) (

𝟓𝟑)

(𝟓𝟒) (

𝟓𝟓)

𝑺𝟕 5

(𝟔𝟎) (

𝟔𝟏) (

𝟔𝟐) (

𝟔𝟑) (

𝟔𝟒) (

𝟔𝟓) (

𝟔𝟔) 𝑺𝟖

6

(𝟕𝟎) (

𝟕𝟏) (

𝟕𝟐) (

𝟕𝟑) (

𝟕𝟒) (

𝟕𝟓) (

𝟕𝟔) (

𝟕𝟕) 𝑺𝟗

7

(𝟖𝟎) (

𝟖𝟏) (

𝟖𝟐) (

𝟖𝟑) (

𝟖𝟒) (

𝟖𝟓) (

𝟖𝟔) (

𝟖𝟕) (

𝟖𝟖) 8

(𝟗𝟎) (

𝟗𝟏) (

𝟗𝟐) (

𝟗𝟑) (

𝟗𝟒) (

𝟗𝟓) (

𝟗𝟔) (

𝟗𝟕) (

𝟗𝟖) (

𝟗𝟗) 9

Como cada uno de los elementos de las filas del triángulo de Pascal puede escribirse como un

número combinatorio, concluimos que 𝑪𝒓𝒏,𝒎 se corresponde con (𝒏 + 𝒎 − 𝟏

𝒎) , que será el

término n-ésimo de 𝑺𝒎+𝟏 , que a su vez representa la suma de los n primeros términos de 𝑺𝒎

Entonces, podremos también escribir:

𝑪𝒓𝒏,𝟏 = ∑ (𝒊𝟎)

𝒏−𝟏

𝒊=𝟎

= (𝒏𝟏)

𝑪𝒓𝒏,𝟐 = ∑(𝒊𝟏) =

𝒏

𝒊=𝟏

(𝒏 + 𝟏

𝟐)

𝑪𝒓𝒏,𝟑 = ∑ (𝒊𝟐)

𝒏+𝟏

𝒊=𝟐

= (𝒏 + 𝟐

𝟑)

La expresión general ,ya determinada anteriormente, será:

𝑪𝒓𝒏,𝒎=∑ (𝒊

𝒎 − 𝟏)𝒏+𝒎−𝟐

𝒊=𝒎−𝟏 = (𝒏 + 𝒎 − 𝟏

𝒎) = (

𝒏 + 𝒎 − 𝟏𝒏 − 𝟏

)

Siendo el valor suma de cada una de estas series (hasta un cierto valor de n) ,también un número

combinatorio (el n-ésimo de la serie siguiente), se podrá determinar como la intersección de la fila

n+ m -1, con la serie 𝑆𝑚+1𝑛

Así, por ejemplo 𝐶𝑟4,1 = ∑ (𝑖0)3

𝑖=0 = (00) + (

10) + (

20) + (

30) = 1 + 1 + 1 + 1 = 4 = (

41)

Como aquí n=4 y m=1, 𝐶𝑟4,1, corresponde a la intersección de la fila 4, con la serie 𝑆2𝑛, ver trazos

en rojo sobre el gráfico anterior.

Y para 𝐶𝑟6,3, será: 𝐶𝑟6,3 = ∑ (𝑖2)7

𝑖=2 = (22) + (

32) + (

42) + (

52) + (

62) + (

72) = 1 + 3 + 6 + 10+15+21=56=(

83)

Aquí n=6 y m=3, por lo tanto , (83), corresponde a la intersección de la fila 8, con la serie 𝑆4

𝑛, ver

trazos en verde sobre el gráfico anterior.

Hemos deducido una expresión* que nos permite pasar de la fila n a la fila n+r :

(𝑟0) (

𝑛𝑚

) + (𝑟1) (

𝑛𝑚 + 1

) + (𝑟2) (

𝑛𝑚 + 2

) + ⋯+ (𝑟𝑟) (

𝑛𝑚 + 𝑟

) = (𝑛 + 𝑟𝑚 + 𝑟

)= (𝑛 + 𝑟𝑛 − 𝑚

)

Que podemos escribir como:∑ (𝑟𝑗) (

𝑛𝑚 + 𝑗)

𝑟𝑗=0 = (

𝑛 + 𝑟𝑚 + 𝑟

) = (𝑛 + 𝑟𝑛 − 𝑚

)

Con n ≥ r , aplicable a n-(r-1) casos, siendo m Є {0,1, … , 𝑛 − 𝑟}

Que para m= n-r nos da:

(𝑟0) (

𝑛𝑟) + (

𝑟1) (

𝑛𝑟 − 1

) + (𝑟2) (

𝑛𝑟 − 2

) + ⋯+ (𝑟𝑟) (

𝑛0) = (

𝑛 + 𝑟𝑛

) = (𝑛 + 𝑟

𝑟)

Que podemos escribir como: ∑ (𝑟𝑗) (

𝑛𝑟 − 𝑗)

𝑟𝑗=0 =(

𝑛 + 𝑟𝑛

) = (𝑛 + 𝑟

𝑟), con n ≥ r

*Que resulta un caso particular de la identidad de Vandermonde:

(𝑚0

)(𝑛𝑟) + (

𝑚1

)(𝑛

𝑟 − 1) + (

𝑚2

) (𝑛

𝑟 − 2) + ⋯+ (

𝑚𝑟)(

𝑛0) = (

𝑚 + 𝑛𝑟

)

Cuando m= r

Así , por ej. sí n=5 y r=3 , pasamos de la fila 5 a la fila 8, mediante:

(53) + 3 (

52) + 3 (

51) + (

50) = (

83)

Nótese que los coeficientes involucrados {1,3,3,1}, corresponden a los de la fila 3 de ∆0(Triángulo

de Pascal).Análogamente, se cumple que (61) + 2 (

63) + (

63) = (

83) al pasar de la fila 6 a la 8 ( r=2

y coeficientes 1,2,1) y también que (72) + (

73) = (

83) ,al pasar de la 7 a la 8 ( r=1 y coeficientes

1,1)

Esta relación de valor suma constante, se podría describir gráficamente como:

(53) + 3 (

52) + 3 (

51) + (

50)

=(61) + 2 (

63) + (

63)

= (72) + (

73)

= (83)

Y es aplicable a cualquier distribución triangular semejante (invertida), sobre el gráfico de

coeficientes combinatorios, y los coeficientes de los números combinatorios deberán seguir una

secuencia inversa a la de ∆𝟎, dependiendo del número de filas involucradas.

Otra distribución de números combinatorios interesante, es la que resulta de considerar un

triángulo interior a ∆𝟎, pero con igual sentido, y efectuar la suma de sus elementos afectados de

coeficientes según las filas análogas de ∆𝟎 .La sumas resultantes de sus filas siguen la sucesión de

sus elementos centrales (fila de por medio). Esto por supuesto es aplicable al propio ∆𝟎.

Como hemos ya señalado en los apuntes sobre combinatoria, existen otras series equivalentes (que

dan el mismo valor suma), que pueden ser desarrolladas para obtener los valores de las

combinaciones con repetición 𝐶𝑟𝑛,𝑚 . Así por ejemplo, si m= 3, tendremos:

𝐶𝑟𝑛,3=∑ 𝑖(𝑛 − 𝑖 + 1)𝑛𝑖=1 = 1(𝑛) + 2(𝑛 − 1) + 3(𝑛 − 2) + ⋯+ (𝑛 − 1). 2 + 𝑛. 1, y sí m=4

𝐶𝑟𝑛,4 = ∑𝑖

2!

𝑛𝐼=1 (𝑖 + 1)(𝑛 − 𝑖 + 1) =

1

2[1.2. (𝑛) + 2.3. (𝑛 − 1) + 3.4. (𝑛 − 2) + ⋯+(n+1).n.2+n(n+1).1],

La equivalencia general entre los dos tipos de serie, cuyo desarrollo permite obtener 𝐶𝑟𝑛,𝑚 , viene

dada por la expresión:

𝑪𝒓𝒏,𝒎 = ∑𝒊(𝒊 + 𝟏)(𝒊 + 𝟐)… (𝒊 + 𝒎 − 𝟐)

(𝒎 − 𝟏)!

𝒏

𝒊=𝟏

= ∑𝒊(𝒊 + 𝟏)(𝒊 + 𝟐)… (𝒊 + 𝒎 − 𝟑)

(𝒎 − 𝟐)!

𝒏

𝒊=𝟏

. (𝒏 − 𝒊 + 𝟏) = (𝒏 + 𝒎 − 𝟏

𝒎)

(m > 1) (m > 2) (n ≥ 1)

Así, por ejemplo, para 𝐶𝑟5,3, , con n=5 y m=3, tendremos:

𝐶𝑟5,3 =1.2

2!+

2.3

2!+

3.4

2!+

4.5

2!+

5.6

2!= 1 + 3 + 6 + 10 + 15 = 35

=1.5

1!+

2.4

1!+

3.3

1!+

4.2

1!+

5.1

1!= 1(5) + 2(4) + 3(3) + 4(2) + 5(1) = (

5 + 3 − 13

) = (73) = 35

Sin olvidar que también: 𝐶𝑟5,3 = ∑ (𝑖2)6

𝑖=2 = (22) + (

32) + (

42) + (

52) + (

62) = (

73) = 35, valor que se

puede obtener directamente al recorrer convenientemente el triángulo de coeficientes binomiales

antes mostrado.

Otras formas de obtener el Triángulo de Pascal (∆𝟎)

Sea {𝑎𝑛}, una sucesión numérica, correspondiente al caso inicial o caso (0), y formemos a partir de

ella, una nueva serie de sucesiones, que resultan de sumar cada par de términos sucesivos de la

sucesión precedente. En cada caso, el número de términos de la sucesión siguiente, será menor en

una unidad, al caso previo.

Caso:

0 : 𝑎1, 𝑎2, 𝑎3, 𝑎4, 𝑎5, … , 𝑎𝑛−4, 𝑎𝑛−3, 𝑎𝑛−2, 𝑎𝑛−1, 𝑎𝑛

1 : 𝑎1 + 𝑎2, 𝑎2 + 𝑎3 , 𝑎3 + 𝑎4, . . . , 𝑎𝑛−3 + 𝑎𝑛−2, 𝑎𝑛−2 + 𝑎𝑛−1, 𝑎𝑛−1 + 𝑎𝑛

2 : 𝑎1 + 2𝑎2 + 𝑎3, 𝑎2 + 2𝑎3 + 𝑎4, 𝑎3 + 2𝑎4 + 𝑎5, … , 𝑎𝑛−3 + 2𝑎𝑛−2 + 𝑎𝑛−1, 𝑎𝑛−2 + 2𝑎𝑛−1 + 𝑎𝑛

3 : 𝑎1 + 3𝑎2 + 3𝑎3 + 𝑎4, 𝑎2 + 3𝑎3 + 3𝑎4 + 𝑎5, 𝑎3 + 3𝑎4 + 3𝑎5 + 𝑎6, … , 𝑎𝑛−3 + 3𝑎𝑛−2 + 3𝑎𝑛−1 + 𝑎𝑛

4 : 𝑎1 + 4𝑎2 + 6𝑎3 + 4𝑎4 + 𝑎5, 𝑎2 + 4𝑎3 + 6𝑎4 + 4𝑎5 + 𝑎6, … , 𝑎𝑛−4 + 4𝑎𝑛−3 + 6𝑎𝑛−2 + 4𝑎𝑛−1 + 𝑎𝑛

..............................................................................................................................................................

Para el caso de las n-1-ésimas sumas, la sucesión constará de un solo término de la forma:

𝑎1 +(𝑛 − 1)

1!𝑎2 +

(𝑛 − 1)(𝑛 − 2)

2!𝑎3 +

(𝑛 − 1)(𝑛 − 2)(𝑛 − 3)

3!𝑎4 + ⋯+ 𝑎𝑛

O, en forma combinatoria: contabilizando los casos del 0 a n-1 (n casos)

∑ (𝑛 − 1

𝑖)𝑛−1

𝑖=0 𝑎𝑖+1=(𝑛 − 1

0) 𝑎1 + (

𝑛 − 11

)𝑎2 + (𝑛 − 1

2) 𝑎3 + ⋯+ (

𝑛 − 1𝑛 − 1

) 𝑎𝑛

Si tomamos la última fila como n, el último elemento de la sucesión, deberá tomarse como 𝑎𝑛+1 ,

y podemos escribir:

∑ (𝑛𝑖)𝑛−

𝑖=0 𝑎𝑖+1=(𝑛0)𝑎1 + (

𝑛1)𝑎2 + (

𝑛2)𝑎3 + ⋯+ (

𝑛𝑛)𝑎𝑛+1

Si colocamos en filas sucesivas, los resultados obtenidos para el primer elemento de cada sucesión :

𝑎1

𝑎1 + 𝑎2,

𝑎1 + 2𝑎2 + 𝑎3

𝑎1 + 3𝑎2 + 3𝑎3 + 𝑎4

𝑎1 + 4𝑎2 + 6𝑎3 + 4𝑎4 + 𝑎5

...........................................

La fila n-ésima será:

(𝑛0)𝑎1 + (

𝑛1)𝑎2 + (

𝑛2)𝑎3 + ⋯+ (

𝑛𝑛)𝑎𝑛+1

Como resulta evidente si colocamos únicamente los coeficientes involucrados en cada fila,

obtendremos nuestro conocido ∆𝟎

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

............................................................................................

(𝑛0) (

𝑛1) (

𝑛2) ……………………… .. (

𝑛𝑛)

Si procediéramos en forma similar, formando una serie de sucesiones sucesivas, donde cada

elemento se obtiene como la diferencia de cada par de términos sucesivos de la sucesión anterior,

Obtendríamos un resultado similar, pero donde los coeficientes aparecen provistos de signos

alternativamente positivos y negativos. Análogamente la última sucesión constará de un solo

término de la forma:

∑ (−1)𝑖 (𝑛𝑖)𝑛−

𝑖=0 𝑎𝑖+1=(𝑛0)𝑎1 − (

𝑛1)𝑎2 + (

𝑛2)𝑎3 ∓ ⋯+ (−1)𝑛 (

𝑛𝑛)𝑎𝑛+1 ,

Expresión que en términos solo de coeficientes combinatorios, se corresponde con:

∑(−1)𝑖 (𝑛𝑖)

𝑛

𝑖=0

= 0

4) Series de potencias m-ésimas de los números naturales y su expresión

combinatoria.

La series paralelas 𝑆1 , 𝑆2

, 𝑆3 , … , 𝑆𝑚

,de los números figurados del triángulo de Pascal, nos permiten

obtener los valores suma de las series de potencias m-ésimas de los números naturales, como

expresiones o series combinatorias.

Así, resulta inmediatamente : ∑ 𝑖𝑛𝑖=1 =

𝑛(𝑛+1)

2= 𝑆2

+ = (𝑛 + 1

2), resumiendo, resulta:

1) ∑ 𝒊𝒏𝒊=𝟏 = (

𝒏 + 𝟏𝟐

)

De ∑𝑖(𝑖+1)

2!

𝑛𝑖=1 =

𝑛(𝑛+1)(𝑛+2)

3!= 𝑆3

+, obtenemos: ∑ 𝑖2𝑛𝑖=1 + ∑ 𝑖𝑛

𝑖=1 = 2! 𝑆3+, y con el resultado de

1), resulta: ∑ 𝑖2𝑛𝑖=1 = 2! 𝑆3

+ − 𝑆2+, que expresadas como combinatorios, nos dan:

2) ∑ 𝒊𝟐𝒏𝒊=𝟏 = 𝟐! (

𝒏 + 𝟐𝟑

) − 𝟏. (𝒏 + 𝟏

𝟐)

De ∑𝑖(𝑖+1)(𝑖+2)

3!

𝑛𝑖=1 =

𝑛(𝑛+1)(𝑛+2)(𝑛+3)

4!= 𝑆4

+, obtenemos:

∑ i3ni=1 + 3∑ i2n

i=1 + 2∑ ini=1 = 3! S4

+, que tomando en cuenta 1) y 2) se puede escribir como:

∑ 𝑖3𝑛𝑖=1 = 3! 𝑆4

+ − 3[2! 𝑆3+ − 𝑆2

+] − 2𝑆2+, y sumando términos semejantes:

∑ 𝑖3𝑛𝑖=1 = 3! 𝑆4

− 6𝑆3 + 𝑆2

, que en términos combinatorios resulta:

3) ∑ 𝒊𝟑𝒏𝒊=𝟏 = 𝟑! (

𝒏 + 𝟑𝟒

) − 𝟔(𝒏 + 𝟐

𝟑) + (

𝒏 + 𝟏𝟐

)

De ∑𝑖(𝑖+1)(𝑖+2)(𝑖+3)

4!𝑛𝑖=1 =

𝑛(𝑛+1)(𝑛+2)(𝑛+3)(𝑛+4)

5!= 𝑆5

+, obtenemos:

∑ 𝑖4𝑛𝑖=1 + 6∑ 𝑖3𝑛

𝑖=1 + 11∑ 𝑖2𝑛𝑖=1 + 6∑ 𝑖𝑛

𝑖=1 = 4! 𝑆5+, que tomando en cuenta 1), 2), 3), resulta:

∑ 𝑖4𝑛𝑖=1 = 4! 𝑆5

+ − 6[3! 𝑆4+ − 6𝑆3

+ + 𝑆2+] − 11[2! 𝑆3

+ − 𝑆2+] − 6𝑆2

+, agrupando:

∑ 𝑖4𝑛𝑖=1 = 4! 𝑆5

+ − 36𝑆4+ + 14𝑆3

+ − 1. 𝑆2+, que en términos combinatorios será:

4) ∑ 𝒊𝟒𝒏𝒊=𝟏 = 𝟒! (

𝒏 + 𝟒𝟓

) − 𝟑𝟔(𝒏 + 𝟑

𝟒) + 𝟏𝟒(

𝒏 + 𝟐𝟑

) − 𝟏(𝒏 + 𝟏

𝟐)

Si procedemos de manera análoga, de: ∑𝑖(𝑖+1)(𝑖+2)(𝑖+3)(𝑖+4)

5!𝑛𝑖=1 =

𝑛(𝑛+1)(𝑛+2)(𝑛+3)(𝑛+4)(𝑛+5)

6!= 𝑆6

+

Obtendremos:

5) ∑ 𝒊𝟓𝒏𝒊=𝟏 = 𝟓! (

𝒏 + 𝟓𝟔

) − 𝟐𝟒𝟎(𝒏 + 𝟒

𝟓) + 𝟏𝟓𝟎(

𝒏 + 𝟑𝟒

) − 𝟑𝟎(𝒏 + 𝟐

𝟑) + 𝟏(

𝒏 + 𝟏𝟐

)

Estos desarrollos, nos permitieron establecer las secuencias operacionales para determinar los

distintos coeficientes que multiplican a los números combinatorios. Los resultados obtenidos, se

pueden escribir en forma de tabla de coeficientes triangulares 𝑎𝑖,𝑚, donde i es un contador que

refleja la cantidad de coeficientes de cada caso y m indica la potencia a que están elevados los

números naturales del caso. Es evidente que para cualquier caso 𝒂𝟏,𝒎 = 𝒎! y 𝒂𝒎,𝒎=1.Estas

expresiones, reducen a m sumandos los n necesarios para determinar la sumatoria de n números

naturales elevados cada uno a la potencia m y su utilidad será más importante, a medida que n>>m

La expresión general estará dada por:∑ 𝒊𝒎𝒏𝒊=𝟏 = ∑ (−𝟏)𝒊−𝟏𝒎

𝒊=𝟏 𝒂𝒊,𝒎 (𝒏 + 𝒎 − 𝒊 + 𝟏

𝒎 − 𝒊 + 𝟐)

Tabla de coeficientes triangulares: Sumatorias de potencias de naturales a serie combinatoria

(de m=1, hasta m=9 )

m 𝒂𝟏,𝒎 𝒂𝟐,𝒎 𝒂𝟑,𝒎 𝒂𝟒,𝒎 𝒂𝟓,𝒎 𝒂𝟔,𝒎 𝒂𝟕,𝒎 𝒂𝟖,𝒎 𝒂𝟗,𝒎

1 1

2 2 1

3 6 6 1

4 24 36 14 1

5 120 240 150 30 1

6 720 1800 1560 540 62 1

7 5040 15120 16800 8400 1806 126 1

8 40320 141120 191520 126000 40824 5796 254 1

9 362880 1451520 2328480 1905120 834120 186480 18150 510 1

Construcción del triángulo de coeficientes triangulares:

Por “diagonales o hipotenusas”:

Primera diagonal

1!=1+0=1 x 1 1 + 0=1 x 1 1 +0=1

x 1 1+0 =1 ....

Segunda diagonal

2 + 1= 3 x 2 6 +1=7 x 2 14 + 1=15 x2 30 +1=31 x2 62 +1=63 ....

Tercera diagonal

6 + 6= 12

x3

36 + 14=50

x3

150 + 30=180

x3

540 + 62=602 ....

Así, podemos extender la tabla hasta donde queramos, pero hemos preferido deducir una expresión

analítica en función de la distribución por filas.

La fila correspondiente a un determinado valor de m, se puede expresar simbólicamente como:

𝑎0,𝑚𝑎1𝑚 , 𝑎2𝑚, … , 𝑎𝑚𝑚, donde el elemento 𝑎0,𝑚 = 0, se incluye en razón de la coherencia de

la formulación matemática.

En general, se cumple 𝜶𝒊,𝒎 =(𝜶𝒊−𝟏,𝒎−𝟏+ 𝜶𝒊,𝒎−𝟏) (m – i + 1) , con( i =1,2,…,m )

Donde el primer sumando del primer paréntesis se hace nulo cuando i = 1, ( ∝𝟎,𝒎=0 ) , y el segundo

paréntesis, a su vez, se hace unitario cuando i = m

Ejemplo: sea m=5, entonces La fórmula sumatoria nos dará::

∑𝑖5 = 5! (𝑛 + 5

6)

𝑛

𝑖=1

− 240. (𝑛 + 4

5) + 150. (

𝑛 + 34

) − 30. (𝑛 + 2

3) + (

𝑛 + 12

)

(n sumandos) (5 sumandos)

La expresión 𝜶𝒊,𝒎 =(𝜶𝒊−𝟏,𝒎−𝟏+ 𝜶𝒊,𝒎−𝟏) (m – i + 1) , con( i =1,2,…,m )

, permite obtener de forma inmediata los coeficientes de una fila, conociendo previamente los

coeficientes de la fila anterior.

Así p.ej. Para obtener los coeficientes de la fila 6ᵃ del triángulo, a partir de los correspondientes de

la fila 5ᵃ, tendremos:

( 0 + 120).6 = 720

( 120 + 240).5 = 1800

( 240 + 150).4 = 1560

( 150 + 30).3 = 540

( 240 + 120).5 = 1800

( 30 + 1).2 = 62

( 1 + 0).1 = 1

Resulta entonces:

∑ 𝑖6𝑛𝑖=1 = 6! (

𝑛 + 67

)-1800(𝑛 + 5

6)+1560(

𝑛 + 45

) − 540(𝑛 + 3

4) + 62(

𝑛 + 23

) − (𝑛 + 1

2)

La Obtención de los coeficientes para una determinada fila, a partir de los correspondientes de la

fila anterior, se realiza de una manera práctica y sencilla. Y, la construcción del triángulo es

inmediata, ya que se parte de una fila inicial con un solo coeficiente, igual a la unidad.

Para el caso trivial, correspondiente a m=0 o sea, ∑ 𝑖𝑜𝑛𝑖=1 = n, podemos interpretar la expresión

sumatoria como:

∑ (−1)0𝛼1,0 0𝑖=1 (

𝑛1) = 1.(

𝑛1)= n, quedando así incluido este caso.

Los factores correspondientes a la expresión combinatoria (𝑛 + 𝑚 − 𝑖 + 1

𝑚 − 𝑖 + 2), se pueden obtener de

manera inmediata y sucesiva, variando i de 1 a m, a partir de la relación:

(𝑛 + 𝑚 − 𝑖 + 1

𝑚 − 𝑖 + 2) =

𝑛+𝑚−𝑖+1

𝑚−𝑖+2(𝑛 + 𝑚 − 𝑖𝑚 − 𝑖 + 1

)

Otra propiedad de estos coeficientes triangulares:

∑(−1)𝑖

𝑚

𝑖=1

𝑎𝑖,𝑚 = (−1)𝑚

5) Series Aritméticas de orden superior

Como una aplicación más de las series paralelas, trataremos en este apartado, de obtener las

fórmulas para determinar el término general de las series aritméticas de orden k, así como su

respectivo valor suma

Consideremos la serie numérica 𝑎1, 𝑎2, 𝑎3, … , 𝑎𝑛 , como una serie aritmética de orden k, y

designemos por ∆1,1, ∆1,2, ∆1,3, … , ∆1,𝑛−1 , la serie de sus primeras diferencias, y por

∆2,1, ∆2,2, ∆2,3, … , ∆2,𝑛−2, la serie de sus segundas diferencias, y así sucesivamente hasta,

la serie ∆𝑘,1, ∆𝑘,2, ∆𝑘,3, … , ∆𝑘,𝑛−𝑘 , de sus k-ésimas diferencias, de valor constante

( ∆𝑘,1= ∆𝑘,2= ∆𝑘,3= ⋯ = ∆𝑘,𝑛−𝑘 ), y de diferencias nulas de orden k+1 .

Para obtener las expresiones buscadas, comencemos analizando el caso correspondiente a las series

de 2∘ orden, es decir k=2. Sean: Serie 1𝑎Dif. 2𝑎Dif.

𝑎1

∆1,1

𝑎2 ∆2,1

∆1,2

𝑎3 ∆2,2

∆1,3 .

𝑎4 . .

. . .

. . ∆2,𝑛−2

. ∆1,𝑛−1

𝑎𝑛

En este caso ∆2,1= ∆2,2, =, … ,= ∆2,𝑛−2= valor común constante que tomamos como ∆2,1

Calculamos a continuación la suma de los primeros n términos de la serie dada:

𝑎1 = 𝑎1

𝑎2 = 𝑎1 + ∆1,1

𝑎3 = 𝑎2 + ∆1,2= (𝑎1 + ∆1,1) + (∆1,1 + ∆2,1) = 𝑎1 + 2. ∆1,1 + ∆2,1

Adicionalmente, agrupando y efectuando las sumas de términos intermedios, resultan:

𝑎4 = 𝑎1 + 3. ∆1,1 + 3. ∆2,1

𝑎5 = 𝑎1 + 4. ∆1,1 + 6. ∆2,1

𝑎6 = 𝑎1 + 5. ∆1,1 + 10. ∆2,1

. . . .

. . . .

. . . .

𝑎𝑛 = 𝑎1 +(𝑛 − 1)

1!∆1,1 +

(𝑛 − 1)(𝑛 − 2)

2!∆2,1

Sumando miembro a miembro todas estas igualdades, se obtiene:

∑𝑎𝑖

𝑛

𝑖=1

= 𝑛𝑎1 + [1 + 2 + 3 + 4 + ⋯+(𝑛 − 1)

1!] ∆1,1 + [1 + 3 + 6 + 10 + ⋯+

(𝑛 − 1)(𝑛 − 2)

2!] ∆2,1

Pero los términos entre corchetes del lado derecho de esta igualdad, representan el valor suma de las

tres primeras series paralelas del triángulo de Pascal, a saber:

𝑆1+ =1+1+1+1+...+1=

𝑛

1! = (

𝑛1) con n sumandos

𝑆2+ = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ⋯+

(𝑛−1)

1!=

(𝑛−1)𝑛

2!= (

𝑛2) con n-1 sumandos

𝑆3+ = 1 + 3 + 6 + 10 + ⋯+

(𝑛−2(𝑛−1)

2!=

(𝑛−2)(𝑛−1)𝑛

3!= (

𝑛3) con n-2 sumandos

Luego, podemos escribir:

∑ 𝑎𝑖𝑛𝑖=1 = 𝑛𝑎1 +

(𝑛−1)

1!∆1,1 +

(𝑛−2)(𝑛−1)𝑛

2!∆2,1, o en su lugar:

∑ 𝑎𝑖𝑛𝑖=1 = (

𝑛1)𝑎1 + (

𝑛2)∆1,1 + (

𝑛3)∆2,1, y si hacemos 𝑎1 = ∆0,1, el valor suma de la serie se puede

expresar como:

∑ 𝒂𝒊𝒏𝒊=𝟏 = ∑ (

𝒏𝒊)∆𝒊−𝟏,𝟏

𝟑𝒊=𝟏

Notamos que independientemente de que del lado izquierdo de esta igualdad hay n sumandos, del

lado izquierdo solo hay 3 sumandos

Y el término general de la serie será: 𝑎𝑛 = ∆0,1 + (𝑛 − 1

1)∆1,1 + (

𝑛 − 12

)∆2,1, o en términos de

sumatoria: 𝒂𝒏 = ∑ (𝒏 − 𝟏

𝒊)∆𝒊,𝟏

𝟐𝒊=𝟎

Consideremos ahora el caso de una serie aritmética de tercer orden (k=3), tal como:

Serie 1𝑎Dif. 2𝑎Dif. 3𝑎Dif.

𝑎1

∆1,1

𝑎2 ∆2,1

∆1,2 ∆3,1

𝑎3 ∆2,2

∆1,3 ∆3,2

𝑎4 ∆2,3 .

∆1,4 . .

𝑎5 . . .

. . . ∆3,𝑛−3

. . ∆2,𝑛−2

. ∆1,𝑛−1

𝑎𝑛

En este caso ∆3,1= ∆3,2= ∆3,3= ⋯ = ∆3,𝑛−3=valor constante, que tomamos como ∆3,1

Calculemos la suma de los primeros n términos de la serie dada, agrupando y efectuando las sumas

de términos intermedios, resultan:

𝑎1 = 𝑎1

𝑎2 = 𝑎1 + 1. ∆1,1

𝑎3 = 𝑎1 + 2. ∆1,1 + 1. ∆2,1

𝑎4 = 𝑎1 + 3. ∆1,1 + 3. ∆2,1 + 1. ∆3,1

𝑎5 = 𝑎1 + 4. ∆1,1 + 6. ∆2,1 + 4∆3,1

𝑎6 = 𝑎1 + 5. ∆1,1 + 10. ∆2,1 + 10. ∆3,1

. . . . .

. . . . .

. . . . .

𝑎𝑛 = 𝑎1 +(𝑛 − 1)

1!∆1,1 +

(𝑛 − 1)(𝑛 − 2)

2!∆2,1 +

(𝑛 − 1)(𝑛 − 2)(𝑛 − 3)

3!∆3,1

Sumando miembro a miembro estas igualdades, resulta:

∑𝑎𝑖

𝑛

𝑖=1

= 𝑛𝑎1 + [1 + 2 + 3 + ⋯+(𝑛 − 1)

1!] ∆1,1 + [1 + 3 + 6 + ⋯+

(𝑛 − 1)(𝑛 − 2)

2!] ∆2,1

+ [1 + 4 + 10 + ⋯+(𝑛 − 1)(𝑛 − 2)(𝑛 − 3)

3!] ∆3,1

Pero los términos del lado derecho entre corchetes de esta igualdad resultante , representan el valor

suma de las cuatro primeras series paralelas del triángulo de Pascal, a saber:

𝑆1+= 1+1+1+1+...+1=

𝑛

1! = (

𝑛1) con n sumandos

𝑆2+ = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ⋯+

(𝑛−1)

1!=

(𝑛−1)𝑛

2!= (

𝑛2) con n-1 sumandos

𝑆3+ = 1 + 3 + 6 + 10 + ⋯+

(𝑛−2(𝑛−1)

2!=

(𝑛−2)(𝑛−1)𝑛

3!= (

𝑛3) con n-2 sumandos

𝑆4+ = 1 + 4 + 10 + 20 + ⋯+

(𝑛−3)(𝑛−2)(𝑛−1)

3!=

(𝑛−3)(𝑛−2)(𝑛−1)𝑛

4!= (

𝑛4) con n-3 sumandos

Por lo tanto, podemos escribir:

∑𝑎𝑖

𝑛

𝑖=1

= 𝑛𝑎1 +𝑛(𝑛 − 1)

2!∆1,1 +

𝑛(𝑛 − 1)(𝑛 − 2)

3!∆2,1 +

𝑛(𝑛 − 1)(𝑛 − 2)(𝑛 − 3)

4!∆3,1

O en su lugar:∑ 𝑎𝑖𝑛𝑖=1 = (

𝑛1)𝑎1 + (

𝑛2)∆1,1 + (

𝑛3)∆2,1 + (

𝑛4)∆3,1, y si hacemos: 𝑎1 = ∆0,1,

podemos escribir: ∑ 𝒂𝒊𝒏𝒊=𝟏 = ∑ (

𝒏𝒊)∆𝒊−𝟏,𝟏

𝟒𝒊=𝟏

Y el término general de la serie será:

𝑎𝑛 = ∆0,1 +(𝑛 − 1)

1!∆1,1 +

(𝑛 − 1)(𝑛 − 2)

2!∆2,1 +

(𝑛 − 1)(𝑛 − 2)(𝑛 − 3)

3!∆3,1

O en términos de sumatoria: 𝒂𝒏 = ∑ (𝒏 − 𝟏

𝒊)∆𝒊,𝟏

𝟑𝒊=𝟎

De nuevo, notamos que independientemente de que en el lado izquierdo de esta igualdad haya n

sumandos, del lado derecho solo hay 4 sumandos.

Evidentemente, el procedimiento aplicado nos permite generalizar estos resultados (por inducción),

al caso de una serie de orden k. (manteniendo la sustitución 𝑎1 = ∆0,1)

Para el valor suma de los primeros n términos de la serie de orden k obtendremos:

∑𝒂𝒊

𝒏

𝒊=𝟏

= ∑ (𝒏𝒊)

𝒌+𝟏

𝒊=𝟏

∆𝒊−𝟏,𝟏

Y para el término general:

𝒂𝒏 = ∑(𝒏 − 𝟏

𝒊)

𝒌

𝒊=𝟎

∆𝒊,𝟏

Esta última expresión la podemos rescribir como:

𝒂𝒏 = ∑ 𝒊

𝒏

𝒌+𝟏𝒊=𝟏 (

𝒏𝒊) ∆𝒊−𝟏,𝟏 , por lo tanto, para obtener el valor suma de los primeros n

términos de la serie, bastará multiplicar cada uno de los sumandos de esta expresión por el cociente 𝒏

𝒊, y efectuar la nueva suma resultante.

Igualmente resultan n sumandos del lado izquierdo de la igualdad contra apenas k+1 sumandos del

lado derecho de la misma.

Ejemplo: Supongamos que conocemos los primeros 6 términos de la serie:

24,124,344,729,1324,2174 y queremos determinar el valor del término de lugar 12, y la suma

correspondiente de esos 12 términos. Lo primero que hay que determinar es sí la serie es una serie

aritmética y de que orden es.

Para ello construimos las series de diferencias sucesivas posibles, dadas por

1𝑎𝑠Diferencias 2𝑎𝑠Diferencias 3𝑎𝑠Diferencias

124-24=100 220-100=120 165-120=45

344-124=220 385-220=165 210-165=45

729-344=385 595-385=210 255-210=45

1324-729=595 850-595=255

2174-1324=850

Los datos han sido suficientes para establecer que se trata de una serie aritmética de 3𝑒𝑟orden, es

decir, k =3 , y los valores a utilizar en nuestras expresiones serán:

∆0,1= 24, ∆1,1= 100, ∆2,1= 120 y ∆3,1= 45

Entonces el término doceavo de la serie estará dado por:

𝑎12 = ∑ (11𝑖

)3𝑖=0 ∆𝑖,1= (

110

) 24 + (111

)100 + (112

)120 + (113

) 45 , y su valor es:

𝑎12 = 24 + 1100 + 6600 + 7425 = 15149

Mientras que la suma de los primeros 12 términos , será:

∑𝑎𝑖

12

𝑖=1

= ∑(12𝑖

)

4

𝑖=1

∆𝑖−1,1= (121

) 24 + (122

) 100 + (123

)120 + (124

)45

=12.24+66.100 + 220.120 + 495.45 = 288 + 6600 + 26400 + 22275 = 55563

6) Determinación de los coeficientes de una ecuación polinómica de grado n en x,

cuyas soluciones corresponden a los números naturales y su relación con los números

de Stirling de 1ᵃ especie

Este problema puede ser abordado como una aplicación del determinante de Vandermonde para

resolver sistemas de ecuaciones de la forma :

𝑎10𝑥1 + 𝑎1

1𝑥2 + 𝑎12𝑥3 + ⋯+ 𝑎1

𝑛−1𝑥𝑛 + 𝑎1𝑛 = 0

𝑎20𝑥1 + 𝑎2

1𝑥2 + 𝑎22𝑥3 + ⋯+ 𝑎2

𝑛−1𝑥𝑛 + 𝑎2𝑛 = 0

𝑎30𝑥1 + 𝑎3

1𝑥2 + 𝑎32𝑥3 + ⋯+ 𝑎3

𝑛−1𝑥𝑛 + 𝑎3𝑛 = 0

. . . . . . . . . . . . . . .

𝑎𝑛0𝑥1 + 𝑎𝑛

1𝑥2 + 𝑎𝑛2𝑥3 + ⋯+ 𝑎𝑛

𝑛−1𝑥𝑛 + 𝑎𝑛𝑛 = 0

Donde los valores de 𝑥𝑖 , o incógnitas del sistema lineal, vendrán dadas en función de los

coeficientes 𝑎𝑖 , mediante las relaciones:

𝑥1 = (−1)𝑛 ∏ 𝑎𝑖𝑛𝑖=1 , con (

𝑛𝑛) = 1 sumando, con n factores

𝑥2 = (−1)𝑛−1 ∑ 𝑎𝑖𝑎𝑗𝑎𝑘 …𝑎𝑚𝑛𝑖,𝑗,𝑘,…,𝑚=1 , (𝑖 < 𝑗 < 𝑘 < ⋯ < 𝑚) ,con (

𝑛1) = 𝑛 sumandos, con n-1factores c/u

. . . . . . . . . . . . . . . . . .

𝑥𝑛−2 = (−1)3 ∑ 𝑎𝑖𝑎𝑗𝑎𝑘𝑛𝑖,𝑗,𝑘=1 , (𝑖 < 𝑗 < 𝑘) ,con (

𝑛3) =

𝑛(𝑛−1)(𝑛−2)

3! sumandos, con 3factores c/u

𝑥𝑛−1 = (−1)2 ∑ 𝑎𝑖𝑎𝑗𝑛𝑖,𝑗=1 , (𝑖 < 𝑗) ,con (

𝑛2) =

𝑛(𝑛−1)

2! sumandos, con 2factores c/u

𝑥𝑛 = (−1)1 ∑ 𝑎𝑖𝑛𝑖=1 , con (

𝑛1) = 𝑛 sumandos, con un solo factor c/u

Notamos que esta propiedad, es análoga pero recíproca con respecto a la relación que existe entre

las raíces y los coeficientes de una ecuación polinómica de grado n en equis, tal como:

𝑥𝑛 + 𝑏1𝑥𝑛−1 + 𝑏2𝑥

𝑛−2 + 𝑏3𝑥𝑛−3 + ⋯+ 𝑏𝑛−1𝑥

+ 𝑏𝑛 = 0

Si hacemos que los coeficientes de esta ecuación, sean los valores de las soluciones del sistema

lineal anterior, manteniendo los signos, pero invirtiendo el orden en la sustitución de los valores

obtenidos, las soluciones de la ecuación se corresponderán con los valores de los coeficientes del

sistema lineal, de manera que si estos coeficientes son una sucesión de números naturales, de uno

a n, el problema planteado queda resuelto. Para ello, deben cumplirse dos condiciones: Primero que

𝑏1 = 𝑥𝑛

𝑏2 = 𝑥𝑛−1

𝑏3 = 𝑥𝑛−2

. .

. .

. .

𝑏𝑛−1 = 𝑥2

𝑏𝑛 = 𝑥1

Y, segundo que los coeficientes del sistema sean una sucesión de números naturales desde el uno

hasta n

Ejemplo: Sea el sistema lineal de 4 ecuaciones siguiente:

𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 + 𝑥4 + 1 = 0

𝑥1 + 2𝑥2 + 4𝑥3 + 8𝑥4 + 16 = 0

𝑥1 + 3𝑥2 + 9𝑥3 + 27𝑥4 + 81 = 0

𝑥1 + 4𝑥2 + 16𝑥3 + 64𝑥4 + 256 = 0

Cuyos coeficientes son: 𝑎1 = 1, 𝑎2 = 2, 𝑎3 = 3, 𝑦 𝑎4 = 4 , ( n=4 )

Y cuya solución corresponde a los siguientes valores de 𝑥𝑖 :

𝒙𝟏 = (−1)4[1.2.3.4] = 24

𝒙𝟐 = (−1)3[2.3.4 + 1.3.4 + 1.2.4 + 1.2.3] = −50

𝒙𝟑 = (−1)2[3.4 + 2.4 + 1.4 + 2.3 + 1.3 + 1.2] = 35

𝒙𝟒 = (−1)1[1 + 2 + 3 + 4] = −10

Entonces, la ecuación polinómica de cuarto grado en equis correspondiente será:

𝑥4 − 10𝑥3 + 35𝑥2 − 50𝑥 + 24 = 0

Cuyas soluciones serán: 𝑥𝜖{1,2,3,4}

Es evidente que este método se puede extender para cualquier valor de n, y por ende, nos permitirá

determinar los coeficientes de la ecuación polinómica correspondiente, pero nuestro objetivo es

encontrar relaciones prácticas y sencillas de establecer, que nos permitan pasar de un caso conocido

al siguiente, sin necesidad de resolver y construir cada vez la solución del sistema.

Construyamos algunos casos en base al teorema fundamental del Algebra y al mecanismo ya

establecido de formación de los coeficientes:

Caso: n=1

Ecuación: 𝑥 − 1 = 0 Soluciones: 𝑥 = 1 (obvia)

Formación de los coeficientes:

𝑏1 = −1

Caso: n=2

Ecuación: (𝑥 − 1)(𝑥 − 2) = 𝑥2 − 3𝑥 + 2 = 0 Soluciones: 𝑥 ∈ {1,2}

Formación de los coeficientes:

𝑏1 = −(1 + 2) = −3

𝑏2 = 1.2 = 2 = 2!

Caso n=3

Ecuación: (𝑥 − 1)(𝑥 − 2)(𝑥 − 3) = 𝑥3 − 6𝑥2 + 11𝑥 − 6 = 0 Soluciones 𝑥 ∈ {1,2,3}

Formación de los coeficientes:

𝑏1 = −(1 + 2 + 3) = −6

𝑏2 = [(1.2 + 1.3) + 2.3] = [5 + 6] = 11

𝑏3 = −(1.2.3) = −6 = −3!

Caso n=4

Ecuación: (𝑥 − 1)(𝑥 − 2)(𝑥 − 3)(𝑥 − 4) = 𝑥4 − 10𝑥3 + 35𝑥2 − 50𝑥 + 24 = 0

Soluciones: 𝑥 ∈ {1,2,3,4}

Formación de los coeficientes:

𝑏1 = −(1 + 2 + 3 + 4) = −10

𝑏2 = [(1.2 + 1.3 + 1.4) + (2.3 + 2.4) + (3.4)] = [9 + 14 + 12] = 35

𝑏3 = −[(1.2.3 + 1.2.4) + (1.3.4) + 2.3.4] = −[14 + 12 + 24] = −50

𝑏4 = 1.2.3.4 = 24 = 4!

Caso n=5

Ecuación: (𝑥 − 1)(𝑥 − 2)(𝑥 − 3)(𝑥 − 4)(𝑥 − 5) = 𝑥5 − 15𝑥4 + 85𝑥3 − 225𝑥2 + 274𝑥 − 120 = 0

Soluciones: 𝑥 ∈ {1,2,3,4,5}

Formación de los coeficientes:

𝑏1 = −(1 + 2 + 3 + 4 + 5) = −15

𝑏2 = [(1.2 + 1.3 + 1.4 + 1.5) + (2.3 + 2.4 + 2.5) + (3.4 + 3.5) + (4.5)] = [14 + 24 + 27 + 20] = 85

𝑏3 = −[(1.2.3 + 1.2.4 + 1.2.5) + (1.3.4 + 1.3.5) + (1.4.5) + (2.3.4 + 2.3.5) + (2.4.5) + (3.4.5)] =

−[24 + 27 + 20 + 54 + 40 + 60] = −225

𝑏4 = [(1.2.3.4 + 1.2.3.5) + (1.2.4.5) + (1.3.4.5) + (2.3.4.5)] = [54 + 40 + 60 + 120] = 274

𝑏5 = (1.2.3.4.5) = −120 = −5!

Caso 6

Ecuación:

(𝑥 − 1)(𝑥 − 2)(𝑥 − 3)(𝑥 − 4)(𝑥 − 5)(𝑥 − 6) = 𝑥6 − 21𝑥5 + 175𝑥4 − 735𝑥3 + 1624𝑥2 − 1764𝑥 + 720 = 0

Soluciones: 𝑥 ∈ {1,2,3,4,5,6}

Formación de los coeficientes:

𝑏1 = −(1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) = −21

𝑏2 = [(1.2 + 1.3 + 1.4 + 1.5 + 1.6) + (2.3 + 2.4 + 2.5 + 2.6) + (3.4 + 3.5 + 3.6) + (4.5 + 4.6)] =

[20+36+45+44+30] = 175

𝑏3 = −[(1.2.3 + 1.2.4 + 1.2.5 + 1.2.6) + (1.3.4 + 1.3.5 + 1.3.6) + (1.4.5 + 1.4.6) + (1.5.6) +

(2.3.4 + 2.3.5 + 2,3.6) + (2.4.5 + 2.4.6) + (2.5.6) + (3.4.5 + 3.4.6) + (3.5.6) + (4.5.6)] = −[36 + 45 +

+44 + 30 + 90 + 88 + 60 + 132 + 90 + 120] = −735

𝑏4 = [(1.2.3.4 + 1.2.3.5 + 1.2.3.6) + (1.2.4.5 + 1.2.4.6) + (1.2.5.6) + (1.3.4.5 + 1.3.4.6) + (1.3.5.6) +

(1.4.5.6) + (2.3.4.5 + 2.3.4.6) + (2.3.5.6) + (2.4.5.6) + (3.4.5.6) ] = [90 + 88 + 60 + 132 + 90 + 120 +

264 + 180 + 240 + 360] = 1624

𝑏5 = −[(1.2.3.4.5 + 1.2.3.4.6) + (1.2.3.5.6) + (1.2.4.5.6) + (1.3.4.5.6) + (2.3.4.5.6)] = −[264 + 180 +

240 + 360 + 720] = −1764

𝑏6 = [1.2.3.4.5.6] = 720 = 6!

Podemos notar que en la formación de los coeficientes se repiten los resultados parciales de los

arreglos correspondientes al coeficiente anterior, y algunas otras relaciones sencillas y repetitivas.

Es evidente que el desarrollo de estas secuencias nos permite encontrar los coeficientes

correspondientes a cualquier otro valor de n, pero tiene el inconveniente de tener que desarrollar los

arreglos parciales y sus sumas hasta el caso considerado. Nuestro objetivo es obtener una relación

sencilla entre los coeficientes de un caso y los del siguiente, para poder pasar del uno al otro de

manera práctica e inmediata.

Por conveniencia, vamos a rescribir la ecuación polinómica de grado n en equis, de soluciones

correspondientes a los números naturales, como:

∑ (−𝟏)𝒎𝒏

𝒎=𝟎𝑷𝒎,𝒏𝒙

𝒏−𝒎 = 𝑷𝟎,𝒏𝒙𝒏 − 𝑷𝟏,𝒏𝒙

𝒏−𝟏 + 𝑷𝟐,𝒏𝒙𝒏−𝟐 ∓ ⋯+ (−𝟏)𝒏−𝟏𝑷𝒏−𝟏,𝒏𝒙

+ (−𝟏)𝒏𝑷𝒏,𝒏

Donde 𝑷𝒎,𝒏, representa la suma de los productos m a m , de n números naturales a partir del

uno , sin repetición. Y donde siempre 𝑷𝟎,𝒏 = 𝟏, y 𝑷𝒏,𝒏 = 𝒏!

Resumen de resultados para ∑ (−𝟏)𝒎𝒏𝒎=𝟎 𝑷𝒎,𝒏𝒙𝒏−𝒎 = 𝟎

n Ecuación Soluciones

1 𝑥 − 1 = 0 𝑥 ∈ {1} 2 𝑥2 − 3𝑥 + 2 = 0 𝑥 ∈ {1,2} 3 𝑥3 − 6𝑥2 + 11𝑥 − 6 = 0 𝑥 ∈ {1,2,3} 4 𝑥4 − 10𝑥3 + 35𝑥2 − 50𝑥 + 24 = 0 𝑥 ∈ {1,2,3,4} 5 𝑥5 − 15𝑥4 + 85𝑥3 − 225𝑥2 + 274𝑥 − 120 = 0 𝑥 ∈ {1,2,3,4,5} 6 𝑥6 − 21𝑥5 + 175𝑥4 − 735𝑥3 + 1624𝑥2 − 1764𝑥 + 720 = 0 𝑥 ∈ {1,2,3,4,5,6}

Estudiemos algunas propiedades del triángulo de coeficientes:

Notamos que se cumple: ∑ 𝑷𝒎,𝒏 𝒏𝒎=𝟎 =0, tomando los coeficientes con su signo.

n Suma de Coeficientes (con su signo)

1 1 − 1 = 0

2 1 − 3 + 2 = 0

3 1 − 6 + 11 − 6 = 0

4 1 − 10 + 35 − 50 + 24 = 0

5 1 − 15 + 85 − 225 + 274 − 120 = 0

6 1 − 21 + 175 − 735 + 1624 − 1764 + 720 = 0

Análogamente se verifica: ∑ (−𝟏)𝒎 𝒏𝒎=𝟎 𝑷𝒎,𝒏 = (𝒏 + 𝟏)!

n Suma de coeficientes en valor absoluto

1 1 + 1 = 2 = 2! 2 1 + 3 + 2 = 6 = 3! 3 1 + 6 + 11 + 6 = 24 = 4! 4 1 + 10 + 35 + 50 + 24 = 120 = 5! 5 1 + 15 + 85 + 225 + 274 + 120 = 720 = 6! 6 1 + 21 + 175 + 735 + 1624 + 1764 + 720 = 5040 = 7! Está claro que estas propiedades, son extensibles a cualquier valor de n, entero natural.

Tabla de coeficientes triangulares de la ecuación polinómica de grado n en equis, de

soluciones correspondientes a los números naturales (desde n =1 hasta n = 7)

n 𝑃𝑛−7,𝑛 𝑃𝑛−6,𝑛 𝑃𝑛−5,𝑛 𝑃𝑛−4,𝑛 𝑃𝑛−3,𝑛 𝑃𝑛−2,𝑛 𝑃𝑛−1,𝑛 𝑃𝑛,𝑛 = 𝑛!

1 1 1

2 1 3 2

3 1 6 11 6

4 1 10 35 50 24

5 1 15 85 225 274 120

6 1 21 175 735 1624 1764 720

7 1 28 322 1960 6769 13132 13068 5040

Aquí

𝑃𝑛−𝑚,𝑛, solo existe sí 𝑛 ≥ 𝑚. Así por ej. si n = 5 tendremos:

𝑷𝟎,𝟓 = 𝟏 , 𝑷𝟏,𝟓 = 𝟏𝟓, 𝑷𝟐,𝟓 = 𝟖𝟓, 𝑷𝟑,𝟓 = 𝟐𝟐𝟓, 𝑷𝟒,𝟓 = 𝟐𝟕𝟒, 𝒚 𝑷𝟓,𝟓 = 𝟏𝟐𝟎 = 𝟓!

Una observación cuidadosa de las relaciones entre los valores contenidos en cada una de las filas

de la tabla anterior, nos permitió obtener la ley que regula la formación de los coeficientes

correspondientes a un determinado valor n+1, partiendo de los valores correspondientes a n.

Para los coeficientes de dos filas consecutivas n y n + 1, se cumple:

1) El primer término de cada fila, es la unidad.

𝟎. (𝒏 + 𝟏) + 𝑷𝟎,𝒏 = 𝑷𝟎,𝒏+𝟏 = 𝟏

2) Los términos consecutivos, posteriores al 1°, se pueden obtener de:

𝑷𝒎,𝒏(𝒏 + 𝟏) + 𝑷𝒎+𝟏,𝒏 = 𝑷𝒎+𝟏,𝒏+𝟏 , con 𝒎 ∈ {𝟎, 𝟏, 𝟐, … , 𝒏}

Por ejemplo: Para obtener los coeficientes de la 5° fila, a partir de los de la 4° fila, se tendrá:

𝑛 = 4 , 𝑦 , 𝑛 + 1 = 5

0.5 + 1 = 1

1.5 + 10 = 15

10.5 + 35 = 85

35.5 + 50 = 225

50.5 + 24 = 274

24.5 + 0 = 120 = 5!

La obtención de los coeficientes de una determinada fila, a partir de los correspondientes de la fila

anterior, se realiza de una manera práctica y sencilla, y la construcción del triangulo de

coeficientes contenidos en la tabla, es inmediata, ya que se parte de una fila inicial con solo

dos coeficientes unitarios.

Los coeficientes contenidos en la tabla anterior son también conocidos, como números de

Stirling de 𝟏𝒂 especie.

Aunque con estas deducciones y las expresiones resultantes, consideramos que el problema

planteado queda totalmente resuelto, hemos considerado conveniente desarrollar un método que nos

permita obtener las expresiones de las distintas 𝑷𝒎,𝒏, en términos combinatorios.

Queremos hallar la suma de los productos de los números naturales desde 1 hasta n, tomados de m

en m*, sin repetición, que hemos denominado 𝑷𝒎,𝒏 , Sea por ejemplo el conjunto {1,2,3,4,5}, con

𝑛 = 5, y consideremos el caso para 𝑚 = 2 , para formar los productos 𝑖. 𝑗, siendo 𝑖 < 𝑗, entonces:

𝑃2,5 = ∑ 𝑖 . 𝑗 5

𝑖,𝑗=1= (1.5 + 2.5 + 3.5 + 4.5) + (1.4 + 2.4 + 3.4) + (1.3 + 2.3) + (1.2) = 85

Que podemos escribir como:

𝑃2,5 = 5(1 + 2 + 3 + 4) + 4(1 + 2 + 3) + 3(1 + 2) + 2(1) , que en forma general para n, será:

𝑃2,𝑛 = 𝑛 ∑ 𝑖𝑛−1

𝑖=1+ (𝑛 − 1)∑ 𝑖

𝑛−2

𝑖=1+ ⋯+ 3∑ 𝑖

2

𝑖=1+ 2∑ 𝑖

1

𝑖=1

O también:

𝑃2,𝑛 = 𝑛(𝑛 − 1)𝑛

2+ (𝑛 − 1)

(𝑛 − 2)(𝑛 − 1)

2+ (𝑛 − 2)

(𝑛 − 3)(𝑛 − 2)

2+ ⋯+ 3

2.3

2+ 2

1.2

2

O en forma combinatoria:

𝑃2,𝑛 = 𝑛 (𝑛2) + (𝑛 − 1) (

𝑛 − 12

) + (𝑛 − 2) (𝑛 − 2

2) + ⋯+ 3(

32) + 2 (

22)

Es decir: 𝑷𝟐,𝒏 = ∑ 𝒊 (𝒊𝟐)𝒏

𝒊=𝟐

Por otra parte, también se tiene:

𝑃2,𝑛 = 𝑛2(𝑛 − 1)

2+ (𝑛 − 1)2

(𝑛 − 2)

2+ (𝑛 − 2)2

(𝑛 − 3)

2+ ⋯+ 32

2

2+ 22

1

2

Es decir: 𝑷𝟐,𝒏 =𝟏

𝟐∑ 𝒊𝟐(𝒊 − 𝟏)𝒏

𝒊=𝟐 =𝟏

𝟐[∑ 𝒊𝟑𝒏

𝒊=𝟐 − ∑ 𝒊𝟐𝒏𝒊=𝟐 ]

*Es evidente que sí 𝑚 = 1, entonces 𝑃1,𝑛 =1

2∑ 𝑖𝑛

𝑖=1 =𝑛(𝑛+1)

2= (

𝑛 + 12

), y no podemos

escribir 𝑃1,𝑛 = ∑ 𝑖𝑛𝑖=1 (

𝑖1), ya que estamos excluyendo la repetición.

Podemos comprobar fácilmente que [∑ 𝑖3𝑛𝑖=2 − ∑ 𝑖2𝑛

𝑖=2 ] = [∑ 𝑖3𝑛𝑖=1 − ∑ 𝑖2𝑛

𝑖=1 ]

Ya que los términos extras de la segunda expresión son idénticos y se anulan entre sí al efectuar la

diferencia. Luego podemos escribir:

𝑷𝟐,𝒏 =𝟏

𝟐[∑ 𝒊𝟑

𝒏

𝒊=𝟏− ∑ 𝒊𝟐

𝒏

𝒊=𝟏]

Y utilizando las expresiones ya obtenidas para cada una de estas sumatorias en el apartado 4) de

Series de potencias,

∑ 𝒊𝟑𝒏𝒊=𝟏 = 𝟑! (

𝒏 + 𝟑𝟒

) − 𝟔(𝒏 + 𝟐

𝟑) + (

𝒏 + 𝟏𝟐

)

∑𝒊𝟐𝒏

𝒊=𝟏

= 𝟐! (𝒏 + 𝟐

𝟑) − 𝟏. (

𝒏 + 𝟏𝟐

)

Resulta:

𝑷𝟐,𝒏 = 𝟑(𝒏 + 𝟑

𝟒) − 𝟒(

𝒏 + 𝟐𝟑

) + (𝒏 + 𝟏

𝟐)

Comprobando para n = 5 : 𝑃2,5 = 3(84) − 4 (

73) + (

62) = 3.70 − 4.35 + 15 = 85

Analicemos ahora el caso 𝑚 = 3, para el mismo conjunto, ( 𝑛 = 5 )

𝑃3,5 = ∑ 𝑖 𝑗 𝑘5𝑖,𝑗,𝑘=1 , (𝑖 < 𝑗 < 𝑘)

𝑃3,5 = (1.2.5 + 1.3.5 + 1.4.5 + 2.3.5 + 2.4.5 + 3.4.5) + (1.2.4 + 1.3.4 + 2.3.4) + (1.2.3) =

5(1.2 + 1.3 + 1.4 + 2.3 + 2.4 + 3.4) + 4(1.2 + 1.3 + 2.3) + 3(1.2) , es decir:

𝑃3,5 = 5∑ 𝑖. 𝑗4𝑖,𝑗=1 + 4∑ 𝑖. 𝑗3

𝑖,𝑗=1 + 3∑ 𝑖. 𝑗2𝑖,𝑗=1 , que por definición equivale a:

𝑃3,5 = 5𝑃2,4 + 4𝑃2,3 + 3𝑃2,2

que en forma general para n, estas relaciones se puede escribir como:

𝑷𝟑,𝒏 = 𝒏 ∑ 𝒊. 𝒋𝟒𝒊,𝒋=𝟏 + (𝒏 − 𝟏)∑ 𝒊. 𝒋𝟑

𝒊,𝒋=𝟏 + ⋯+ 𝟑∑ 𝒊. 𝒋𝟐𝒊,𝒋=𝟏

Y: 𝑷𝟑,𝒏 = ∑ 𝒊𝒏𝒊=𝟑 𝑷𝟐,𝒊−𝟏

Entonces: 𝑃3,𝑛 = 𝑛𝑃2,𝑛−1 + (𝑛 − 1)𝑃2,𝑛−2 + (𝑛 − 2)𝑃2,𝑛−3 + ⋯+ 4𝑃2,3 + 3𝑃2,2

Como

𝑷𝟐,𝒏 = 𝟑(𝒏 + 𝟑

𝟒) − 𝟒(

𝒏 + 𝟐𝟑

) + (𝒏 + 𝟏

𝟐)

Tendremos:

𝑃2,𝑛−1 = 3(𝑛 + 2

4) − 4 (

𝑛 + 13

) + (𝑛2)

𝑃2,𝑛−2 = 3(𝑛 + 1

4) − 4 (

𝑛3) + (

𝑛 − 12

)

𝑃2,𝑛−3 = 3(𝑛4) − 4 (

𝑛 − 13

) + (𝑛 − 2

2)

. . . . . . . . . . . .

𝑃2,3 = 3 (64) − 4 (

53) + (

42)

𝑃2,2 = 3 (54) − 4 (

43) + (

32)

Sumando y agrupando todas estas igualdades, resulta:

𝑃3,𝑛 = 3 [𝑛 (𝑛 + 2

4) + (𝑛 − 1) (

𝑛 + 14

) + (𝑛 − 2) (𝑛4) + ⋯+ 4(

64) + 3 (

54)] − 4 [𝑛 (

𝑛 + 13

) +

(𝑛 − 1) (𝑛3) + (𝑛 − 2) (

𝑛 − 13

) + ⋯+ 4(53) + 3 (

43)] + [𝑛 (

𝑛2) + (𝑛 − 1) (

𝑛 − 12

) +

(𝑛 − 2) (𝑛 − 2

2) + ⋯+ 4(

42) + 3 (

32)] , igualdad que podemos rescribir como:

𝑃3,𝑛 = 3∑ 𝑖 (𝑖 + 2

4)

𝑛

𝑖=3− 4∑ 𝑖 (

𝑖 + 13

)𝑛

𝑖=3+ ∑ 𝑖 (

𝑖2)

𝑛

𝑖=3

Y siendo 𝑖 (𝑖 + 2

4) =

𝑖(𝑖+2)(𝑖+1)𝑖(𝑖−1)

4!

𝑖 (𝑖 + 1

3) =

𝑖(𝑖+1)𝑖(𝑖−1)

3!

𝑖 (𝑖2) =

𝑖(𝑖−1)

2!

Sustituyendo:

𝑃3,𝑛 =3

4!∑ 𝑖(𝑖 + 2)(𝑖 + 1)𝑖(𝑖 − 1)

𝑛

𝑖=3−

4

3!∑ 𝑖(𝑖 + 1)𝑖(𝑖 − 1)

𝑛

𝑖=3+

1

2!∑ 𝑖. 𝑖(𝑖 − 1)

𝑛

𝑖=3

Efectuando y agrupando, resulta:

𝑃3,𝑛 =1

8∑ 𝑖5𝑛

𝑖=3 −5

12∑ 𝑖4𝑛

𝑖=3 +3

8∑ 𝑖3𝑛

𝑖=3 −1

12∑ 𝑖2𝑛

𝑖=3 , expresión, que por razones

análogas a las del caso anterior 𝑃2,𝑛, puede sustituirse por:

𝑃3,𝑛 =1

8∑𝑖5𝑛

𝑖=1

−5

12∑𝑖4𝑛

𝑖=1

+3

8∑𝑖3𝑛

𝑖=1

−1

12∑𝑖2𝑛

𝑖=1

Y recordando que ∑ 𝒊𝒎𝒏𝒊=𝟏 = ∑ (−𝟏)𝒊−𝟏𝒎

𝒊=𝟏 𝒂𝒊,𝒎 (𝒏 + 𝒎 − 𝒊 + 𝟏

𝒎 − 𝒊 + 𝟐), donde las 𝒂𝒊,𝒎 , son los

coeficientes triangulares recogidos en la tabla del apartado 4) correspondiente a las sumas de

potencias de números naturales, ya calculados.

∑ 𝒊𝟓𝒏𝒊=𝟏 = 𝟓! (

𝒏 + 𝟓𝟔

) − 𝟐𝟒𝟎 (𝒏 + 𝟒

𝟓) + 𝟏𝟓𝟎(

𝒏 + 𝟑𝟒

) − 𝟑𝟎 (𝒏 + 𝟐

𝟑) + 𝟏(

𝒏 + 𝟏𝟐

)

∑ 𝒊𝟒𝒏 𝒊=𝟏 = 𝟒! (

𝒏 + 𝟒𝟓

) − 𝟑𝟔(𝒏 + 𝟑

𝟒) + 𝟏𝟒 (

𝒏 + 𝟐𝟑

) − 𝟏 (𝒏 + 𝟏

𝟐)

∑ 𝒊𝟑𝒏𝒊=𝟏 = 𝟑! (

𝒏 + 𝟑𝟒

) − 𝟔 (𝒏 + 𝟐

𝟑) + (

𝒏 + 𝟏𝟐

)

∑ 𝒊𝟐𝒏𝒊=𝟏 = 𝟐! (

𝒏 + 𝟐𝟑

) − 𝟏. (𝒏 + 𝟏

𝟐)

Efectuando operaciones y agrupando, resulta:

𝑷𝟑,𝒏 = 𝟏𝟓(𝒏 + 𝟓

𝟔) − 𝟒𝟎(

𝒏 + 𝟒𝟓

) + 𝟑𝟔(𝒏 + 𝟑

𝟒) − 𝟏𝟐(

𝒏 + 𝟐𝟑

) + (𝒏 + 𝟏

𝟐)

Repitiendo el procedimiento a partir de 𝑷𝒎,𝒏 = ∑ 𝒊𝒏𝒊=𝒎 𝑷𝒎−𝟏,𝒊−𝟏 , podemos obtener las expresiones

de 𝑃𝑚,𝑛 , para cualquier valor entero positivo de m, pero reconocemos que la obtención de los

coeficientes de la ecuación polinómica de soluciones correspondientes a los números naturales, a

partir de la tabla ya mostrada anteriormente, resulta más inmediato y sencillo.

7) Otras expresiones de series de potencias de los números naturales y su relación con

los números de Bernoulli.

Si desarrollamos el binomio de Newton (𝑥 − 1)2 = 𝑥2 − 2𝑥 + 1, dándole a x los valores sucesivos

de la serie de los números naturales, 𝑥 ∈ {1,2,3,… , 𝑛}, obtendremos:

0 = 12 − 2.1 + 1

12 = 22 − 2.2 + 1

22 = 32 − 2.3 + 1

32 = 42 − 2.4 + 1 . . . . . . . . . . . .

(𝑛 − 2)2 = (𝑛 − 1)2 − 2(𝑛 − 1) + 1

(𝑛 − 1)2 = 𝑛2 − 2. 𝑛 + 1

Sumando miembro a miembro todas estas identidades numéricas, resulta:

𝟎 = 𝒏𝟐 − 𝟐.∑ 𝒊𝒏

𝒊=𝟏 + 𝒏

Nótese que 𝑛 = ∑ 𝑖0𝑛𝑖=1 = 1 + 1 + ⋯+ 1, con n sumandos.

Procediendo de manera análoga para (𝑥 − 1)3 = 𝑥3 − 3𝑥2 + 3𝑥 − 1, obtendremos:

0 = 13 − 3. 12 + 3.1 − 1

13 = 23 − 3. 22 + 3.2 − 1

23 = 33 − 3. 32 + 3.3 − 1

33 = 43 − 3. 42 + 3.4 − 1 . . . . . . . . . . . . . . .

(𝑛 − 2)3 = (𝑛 − 1)3 − 3. (𝑛 − 1)2 + 3. (𝑛 − 1) − 1

(𝑛 − 1)3 = 𝑛3 − 3. 𝑛2 + 3. 𝑛 − 1

Sumando miembro a miembro, resulta:

𝟎 = 𝒏𝟑 − 𝟑.∑ 𝒊𝟐𝒏

𝒊=𝟏 + 𝟑.∑ 𝒊

𝒏

𝒊=𝟏 − 𝒏

Este resultado, puede extenderse a la potencia m +1 del binomio de Newton, correspondiente a

(𝑥 − 1)𝑚+1, para obtener el siguiente resultado:

𝟎 = 𝒏𝒎+𝟏 − (𝒎 + 𝟏

𝟏)∑ 𝒊𝒎

𝒏

𝒊=𝟏

+ (𝒎 + 𝟏

𝟐)∑𝒊𝒎−𝟏

𝒏

𝒊=𝟏

− (𝒎 + 𝟏

𝟑)∑𝒊𝒎−𝟐

𝒏

𝒊=𝟏

+ ⋯+ (−𝟏)𝒎+𝟏 (𝒎 + 𝟏𝒎 + 𝟏

)∑𝒊𝟎𝒏

𝒊=𝟏

Que puede resumirse como: 𝟎 = 𝒏𝒎+𝟏 + ∑ 𝒎+𝟏𝒋=𝟏 (−𝟏)𝒋 (

𝒎 + 𝟏𝒋

)∑ 𝒊𝒎+𝟏−𝒋𝒏𝒊=𝟏

Estas series nos permiten obtener ∑ 𝑖𝑚𝑛𝑖=1 , en función de los valores sucesivos de ∑ 𝑖0𝑛

𝑖=1 , ∑ 𝑖1𝑛𝑖=1 ,

∑ 𝑖2𝑛𝑖=1 , … , ∑ 𝑖𝑚−1𝑛

𝑖=1

Así por ejemplo, para m = 0, obtenemos:

0 = 𝑛 − ∑ 𝑖0𝑛𝑖=1 , de donde: ∑ 𝒊𝟎𝒏

𝒊=𝟏 = 𝒏

Para m = 1, será:

0 = 𝑛2 − 2.∑ 𝑖𝑛𝑖=1 + 𝑛, de donde: ∑ 𝒊 𝒏

𝒊=𝟏 =𝒏𝟐

𝟐+

𝒏

𝟐=

𝒏(𝒏+𝟏)

𝟐!

Para m = 2, tenemos:

0 = 𝑛3 − 3.∑ 𝑖2𝑛𝑖=1 + 3.∑ 𝑖𝑛

𝑖=1 − 𝑛, de donde, tomando en cuenta los casos anteriores, resulta:

∑ 𝑖2𝑛

𝑖=1

=𝑛3

3+ [

𝑛2

2+

𝑛

2] −

𝑛

3=

𝑛3

3+

𝑛2

2+ [

1

2−

1

3] . 𝑛 =

𝑛3

3+

𝑛2

2+

𝑛

6=

𝑛(𝑛 + 1)(2𝑛 + 1)

3!

Para m = 3 , será:

0 = 𝑛4 − 4.∑𝑖3𝑛

𝑖=1

+ 6.∑ 𝑖2𝑛

𝑖=1

− 4.∑ 𝑖

𝑛

𝑖=1

+ 𝑛

De donde, tomando en cuenta los resultados previos, resulta:

∑ 𝑖3𝑛𝑖=1 =

𝑛4

4+

6

4[𝑛3

3+

𝑛2

2+

𝑛

2−

𝑛

3] −

4

4[𝑛2

2+

𝑛

2] +

𝑛

4=

𝑛4

4+

3𝑛3

2.3+ [

3

4−

1

2] 𝑛2 + [

3

4−

1

2−

1

2+

1

4] 𝑛, es decir:

∑𝒊𝟑𝒏

𝒊=𝟏

=𝒏𝟒

𝟒+

𝒏𝟑

𝟐+

𝒏𝟐

𝟒=

𝒏𝟐(𝒏𝟐 + 𝟐𝒏 + 𝟏)

𝟒=

𝒏𝟐(𝒏 + 𝟏)𝟐

𝟒= [

𝒏(𝒏 + 𝟏)

𝟐]𝟐

Siguiendo este procedimiento hemos resumido en la siguiente tabla los resultados obtenidos para

m =0, hasta m = 10

m ∑𝑖𝑚𝑛

𝑖=1

0 𝑛 1⁄

1 𝑛2 2⁄ + 𝑛 2⁄

2 𝑛3 3⁄ + 𝑛2 2⁄ + 𝑛 6⁄

3 𝑛4 4⁄ + 𝑛3 2⁄ + 𝑛2 4⁄

4 𝑛5 5⁄ + 𝑛4 2⁄ + 𝑛3 3⁄ − 𝑛 30⁄

5 𝑛6 6⁄ + 𝑛5 2⁄ + (5 12⁄ )𝑛4 − 𝑛2 12⁄

6 𝑛7 7⁄ + 𝑛6 2⁄ + 𝑛5 2⁄ − 𝑛3 6⁄ + 𝑛 42⁄

7 𝑛8 8⁄ + 𝑛7 2⁄ + (7 12⁄ )𝑛6 − (7 24⁄ )𝑛4 + 𝑛2 12⁄

8 𝑛9 9⁄ + 𝑛8 2⁄ + (2 3⁄ )𝑛7 − (7 15⁄ )𝑛5 + (2 9⁄ )𝑛3 − 𝑛 30⁄

9 𝑛10 10⁄ + 𝑛9 2⁄ + (3 4⁄ )𝑛8 − (7 10⁄ )𝑛6 + 𝑛4 2⁄ − (3 20⁄ )𝑛2

10 𝑛11 11⁄ + 𝑛10 2⁄ + (5 6⁄ )𝑛9 − 𝑛7 + 𝑛5 − 𝑛3 2⁄ + (5 66⁄ )𝑛

Es de notar que en cuanto a la factorización, únicamente en factores racionales de la forma

(𝑎𝑛 + 𝑏), ya no es posible para valores de m iguales o superiores a 4.

Pero lo que realmente nos ocupa, es encontrar una expresión o formula general para el desarrollo de

∑ 𝑖𝑚𝑛𝑖=1 , en potencias de n, donde los coeficientes sean sólo funciones de m.

Para ello, consideraremos cada uno de los resultados obtenidos hasta ahora, como un caso particular

del polinomio:

∑𝒊𝒎𝒏

𝒊=𝟏

= 𝒂𝟏𝒏𝒎+𝟏 + 𝒂𝟐𝒏

𝒎 + 𝒂𝟑𝒏𝒎−𝟏 + ⋯+ 𝒂𝒎𝒏𝟐 + 𝒂𝒎+𝟏𝒏

= ∑ 𝒂𝒌𝒏𝒎+𝟐−𝒌

𝒎+𝟏

𝒌=𝟏

Así, por ejemplo:

∑ 𝑖5𝑛

𝑖=1=

1

6𝑛6 +

1

2𝑛5 +

5

12𝑛4 + 0. 𝑛3 −

1

12𝑛2 + 0. 𝑛

O también:

∑ 𝑖8𝑛

𝑖=1=

1

9𝑛9 +

1

2𝑛8 +

2

3𝑛7 + 0. 𝑛6 −

7

15𝑛5 + 0. 𝑛4 +

2

9𝑛3 + 0. 𝑛2 −

1

30𝑛

Los resultados obtenidos anteriormente, y resumidos en la tabla anterior, pueden ahora presentarse

como:

m 𝑎1 𝑎2 𝑎3 𝑎4 𝑎5 𝑎6 𝑎7 𝑎8 𝑎9 𝑎10 𝑎11

0 1 1⁄

1 1 2⁄ 1 2⁄

2 1 3⁄ 1 2⁄ 1 6⁄

3 1 4⁄ 1 2⁄ 1 4⁄ 0

4 1 5⁄ 1 2⁄ 1 3⁄ 0 −1 30⁄

5 1 6⁄ 1 2⁄ 5 12⁄ 0 −1 12⁄ 0

6 1 7⁄ 1 2⁄ 1 2⁄ 0 −1 6⁄ 0 1 42⁄

7 1 8⁄ 1 2⁄ 7 12⁄ 0 −7 24⁄ 0 1 12⁄ 0

8 1 9⁄ 1 2⁄ 2 3⁄ 0 −7 15⁄ 0 2 9⁄ 0 −1 30⁄

9 1 10⁄ 1 2⁄ 3 4⁄ 0 −7 10⁄ 0 1 2⁄ 0 −3 20⁄ 0

10 1 11⁄ 1 2⁄ 5 6⁄ 0 −1 0 1 0 −1 2⁄ 0 5 66⁄

Como es de inmediato, observamos que 𝒂𝟏 = 𝟏 (𝒎 + 𝟏⁄ ), para cada caso, y que 𝒂𝟐 = 𝟏 𝟐⁄ , es

constante para cada m ≥ 1, por otra parte para cada k par, igual o mayor que 4, será 𝑎𝑘 = 0. De

manera que habrá que determinar las leyes de variación de las 𝑎𝑘, cuando k, es impar e igual o

mayor que 3. Para ello podemos utilizar el método del tanteo, para obtener los coeficientes

indeterminados y estudiar cada caso particular.

Para el caso de k = 3, es inmediato que 𝑎3 = 𝑚 12⁄ , que podemos denotar como: 𝒂𝟑 =𝟏

𝟏𝟐(𝒎𝟏

),

con m ≥ 2

Si suponemos que 𝑎5 = −𝐴. (𝑚3

) = −𝐴𝑚(𝑚−1)(𝑚−2)

3!, será: 𝐴 = −

3!𝑎5

𝑚(𝑚−1)(𝑚−2)

Que para 𝑚 = 4, y 𝑎5 = −1

30, obtenemos: 𝐴 =

6(1 30⁄ )

4.3.2=

1

120, comprobamos que el valor de A

,resulta constante con los siguientes valores de la tabla: 𝑚 = 5, 𝑦 𝑎5 = −1

12 , entonces:

𝐴 =6(1 12⁄ )

5.4.3=

1

120, Así mismo, se puede verificar que 𝐴 =

1

120, para cada uno de los valores de m y

de 𝑎5, previamente calculados y ya recogidos en la tabla anterior. Concluimos que:

𝒂𝟓 = −𝟏

𝟏𝟐𝟎(𝒎𝟑

) = −𝟏

𝟏𝟐𝟎.𝒎(𝒎−𝟏)(𝒎−𝟐)

𝟑!, para 𝑚 ≥ 4

De manera análoga, supondremos que 𝑎7 = 𝐵. (𝑚5

) = 𝐵.𝑚(𝑚−1)(𝑚−2)(𝑚−3)(𝑚−4)

5!, de donde:

𝐵 =5!𝑎7

𝑚(𝑚−1)(𝑚−2)(𝑚−3(𝑚−4), que para 𝑚 = 6, 𝑦 𝑎7 = 1 42⁄ , toma el valor:

𝐵 =5!(1 42⁄ )

6.5.4.3.2=

1

252, comprobamos que B, resulta también constante con los siguientes valores de

𝑚 𝑦 𝑎7 , Así para 𝑚 = 7, 𝑦 𝑎7 =1

12, tenemos:

𝐵 =5!(1 12⁄ )

7.6.5.4.3=

1

252, Así mismo, se verifica que 𝐵 =

1

252, para cada uno de los valores de m y de 𝑎7,

previamente calculados y recogidos en la tabla anterior. Concluimos que:

𝒂𝟕 =𝟏

𝟐𝟓𝟐(𝒎𝟓

) =𝟏

𝟐𝟓𝟐.𝒎(𝒎−𝟏)(𝒎−𝟐)(𝒎−𝟑)(𝒎−𝟒)

𝟓!, para 𝑚 ≥ 6.

De manera análoga, podemos obtener:

𝒂𝟗 = −𝟏

𝟐𝟒𝟎(𝒎𝟕

) = −𝟏

𝟐𝟒𝟎.𝒎(𝒎−𝟏)(𝒎−𝟐)(𝒎−𝟑)(𝒎−𝟒)(𝒎−𝟓)

𝟕!, y así sucesivamente.

Estos resultados, los podemos recoger en una expresión de sumatorias parciales acumulativas de

términos combinatorios para ∑ 𝑖𝑚𝑛𝑖=1 , tal como:

∑ 𝒊𝒎𝒏𝒊=𝟏 =

𝒏𝒎+𝟏

𝒎+𝟏│+

𝒏𝒎

𝟐│+

𝒏𝒎−𝟏

𝟏𝟐(𝒎𝟏

)│−𝒏𝒎−𝟑

𝟏𝟐𝟎(𝒎𝟑

)│+𝒏𝒎−𝟓

𝟐𝟓𝟐(𝒎𝟓

)│−𝒏𝒎−𝟕

𝟐𝟒𝟎(𝒎𝟕

)│±...

𝒎 = 𝟎 𝒎 > 0 𝒎 > 1 𝒎 > 3 𝒎 > 5 𝒎 > 7

Donde se van agregando términos adicionales a la sumatoria, en función del valor de m

Por ejemplo, para calcular ∑ 𝑖410𝑖=1 , tomaremos solo los 4 primeros términos de la expresión

anterior, ya que m es mayor que tres pero menor que cinco. Así tendremos:

∑𝑖410

𝑖=1

=105

5+

104

2+

103

12(41) −

10

120(43) = 20000 + 5000 +

1000

3−

1

3= 25333

El problema que se nos presenta ahora, es encontrar un método o una manera de determinar

directamente los términos siguientes de la sumatoria, en función de los determinados previamente.

Un análisis cuidadoso del mecanismo de formación de los coeficientes 𝑎𝑘, recogidos en la tabla

anterior, nos permite establecer las siguientes relaciones para la determinación del último

coeficiente 𝑎𝑚+1 , correspondiente a cada fila de la tabla:

𝒂𝒎+𝟏 = 𝒂𝟐 − ∑ 𝒂𝟐𝒋−𝟏𝒎 𝟐⁄𝒋=𝟏 , para m entero par ≥ 𝟐

𝒂𝒎+𝟏 = 𝒂𝟐 − ∑ 𝒂𝟐𝒋−𝟏(𝒎+𝟏) 𝟐⁄𝒋=𝟏 , para m entero impar ≥ 𝟑

Donde 𝒂𝟐 =𝟏

𝟐, constante

Podemos entonces construir una nueva tabla para reflejar la relación de cada una de las 𝒂𝒎+𝟏, con

los valores anteriores de las 𝑎𝑘, de su propia fila

Tabla de las 𝒂𝒎+𝟏 en función de las 𝒂𝒌 de cada fila

m 𝑎𝑚+1=

1 1 2⁄ = 1 2⁄

2 1 6⁄ = 1 2⁄ − 1 3⁄

3 0 = 1 2⁄ − 1 4⁄ − 1 4⁄

4 −1 30⁄ = 1 2⁄ − 1 5⁄ − 1 3⁄

5 0 = 1 2⁄ − 1 6⁄ − 5 12⁄ + 1 12⁄

6 1 42⁄ = 1 2⁄ − 1 7⁄ − 1 2⁄ + 1 6⁄

7 0 = 1 2⁄ − 1 8⁄ − 7 12⁄ + 7 24⁄ − 1 12⁄

8 − 1 30⁄ = 1 2⁄ − 1 9⁄ − 2 3⁄ + 7 15⁄ − 2 9⁄

9 0 = 1 2⁄ − 1 10⁄ − 3 4⁄ + 7 10⁄ − 1 2⁄ + 3 20⁄

10 5 66⁄ = 1 2⁄ − 1 11⁄ − 5 6⁄ + 1 − 1 + 1 2⁄

Estas relaciones son claves, para determinar nuevos términos en la expresión de sumas parciales

acumulativas, establecida con anterioridad para ∑ 𝒊𝒎𝒏𝒊=𝟏

Si queremos por ej. la expresión de este tipo, que corresponde a ∑ 𝒊𝟏𝟎𝒏𝒊=𝟏 , podemos desarrollarla

de dos formas equivalentes:

1°, Como agregado de sumas parciales de términos combinatorios, en este caso:

∑𝑖10

𝑛

𝑖=1

=𝑛11

11+

𝑛10

2+

𝑛9

12(101

) −𝑛7

120(103

) +𝑛5

252(105

) −𝑛3

240(107

) + 𝐴. 𝑛 (109

)

Aunque no conocemos el último término en esta expresión, la secuencia de la serie nos permite

deducir que tiene la forma supuesta.

Donde debemos determinar el coeficiente A (fraccionario), correspondiente a 𝑚 = 10

2°, Simplificando cada uno de los términos de la expresión anterior, obtendremos la expresión

equivalente, en términos de las 𝑎𝑘:

∑ 𝑖10𝑛𝑖=1 =

1

11𝑛11 +

1

2𝑛10 +

5

6𝑛9 − 𝑛7 + 𝑛5 −

1

2𝑛3 + 𝑎11. 𝑛,

Donde debemos determinar el coeficiente 𝑎11, ( 𝑎𝑚+1 para 𝑚 = 10 )

Pero según las relaciones entre las 𝑎𝑚+1, y las demás 𝑎𝑘 de su fila, deberá cumplirse:

𝑎11 = 𝑎2 − (𝑎1 + 𝑎3 + 𝑎5 + 𝑎7 + 𝑎9) =1

2−

1

11−

5

6+ 1 − 1 +

1

2=

5

66

(Valor que ya habíamos obtenido al confeccionar la tabla de coeficientes 𝑎𝑘, hasta 𝑚 = 10)

Entonces, de 𝐴 (109

) = 𝑎11, resulta: 𝐴 =𝑎11

10=

5

660=

1

132

Por lo tanto, el nuevo término que podemos agregar a la serie en sumas parciales para ∑ 𝒊𝒎𝒏𝒊=𝟏 ,

Que se tomará en cuenta para 𝑚 = 10 𝑦 𝑚 = 11, será: +1

132𝑛𝑚−9 (

𝑚9

), válido para 𝑚 > 9

Si queremos obtener el término siguiente de las sumatorias, válido para 𝑚 = 12 𝑦 𝑚 = 13,

Deberemos calcular ∑ 𝑖12𝑛𝑖=1 , para ello, 1°, utilizaremos la expresión en sumas parciales:

∑𝑖12

𝑛

𝑖=1

=𝑛13

13+

𝑛12

2+

12𝑛11

12−

𝑛9

120(123

) +𝑛7

252(125

) −𝑛

240

5

(127

) +𝑛3

132(129

) − 𝐵. 𝑛 (1211

)

2°, simplificamos, y obtenemos la misma ecuación en función de las 𝑎𝑘, es decir:

∑𝑖12

𝑛

𝑖=1

=𝑛13

13+

𝑛12

2+ 𝑛11 −

11

6𝑛9 +

22

7𝑛7 −

33

10𝑛5 +

5

3𝑛3 − 𝑎13 𝑛

Donde debemos determinar el coeficiente 𝑎13, ( 𝑎𝑚+1 para 𝑚 = 12 )

Pero según las relaciones entre las 𝑎𝑚+1, y las demás 𝑎𝑘 de su fila, deberá cumplirse:

𝑎13 = 𝑎2 − (𝑎1 + 𝑎3 + 𝑎5 + 𝑎7 + 𝑎9 + 𝑎11)

Es decir: 𝑎13 =1

2−

1

13− 1 +

11

6−

22

7+

33

10−

5

3= −

691

2730

Y de 𝑎13 = 𝐵. (1211

), obtenemos: 𝐵 =𝑎13

12=

691

32760, y por lo tanto el término adicional

para nuestra expresión en sumatorias parciales será: −691

32760𝑛𝑚−11 (

𝑚11

), aplicable para

𝑚 = 12 𝑦 𝑚 = 13

Así sucesivamente, podemos determinar cualquier otro término adicional que sea necesario para el

cálculo.

La revisión bibliográfica necesaria, nos lleva a concluir que los coeficientes 𝒂𝒎+𝟏 ,del polinomio:

∑𝒊𝒎𝒏

𝒊=𝟏

= 𝒂𝟏𝒏𝒎+𝟏 + 𝒂𝟐𝒏

𝒎 + 𝒂𝟑𝒏𝒎−𝟏 + ⋯+ 𝒂𝒎𝒏𝟐 + 𝒂𝒎+𝟏𝒏

= ∑ 𝒂𝒌𝒏𝒎+𝟐−𝒌

𝒎+𝟏

𝒌=𝟏

Corresponden a los denominados números de Bernoulli (𝑩𝒎), por lo cual vamos a rescribir

dicho polinomio como: ∑ 𝒊𝒎𝒏𝒊=𝟏 = 𝒂𝟏𝒏

𝒎+𝟏 + 𝒂𝟐𝒏𝒎 + 𝒂𝟑𝒏

𝒎−𝟏 + ⋯+ 𝒂𝒎𝒏𝟐 + 𝑩𝒎𝒏 , donde 𝑩𝒎,

siempre es el coeficiente de n y las 𝒂𝒌, con 𝑘 desde 1 hasta m, son los coeficientes triangulares de

la tabla correspondiente.

En este caso, se tendrá:

𝑎1 = 1 (𝑚 + 1⁄ ) , para 𝑚 ≥ 0 y 𝑎2 = 1 2⁄ , constante, mientras que: 𝑩𝟏 = 1 2⁄ , que es el

coeficiente de n en ∑ 𝑖𝑛𝑖=1 =

𝑛2

2+

𝑛

2. Así mismo, podríamos tomar a 𝑩𝟎 = 1, que es el coeficiente

de n en ∑ 𝑖0𝑛𝑖=1 = 𝑛, es decir podríamos comenzar la determinación de los 𝑩𝒎 en 𝑚 = 0.

Adicionalmente, 𝑎𝑘 = 0, ⩝ k par > 2

𝑎3 =1

12(𝑚1

), que se calcula para m > 2, ya que para m = 2, se tiene:

𝑩𝟐 =1

12(21) =

1

6, y 𝑩𝟑 = 0 = 𝑎4

Análogamente, 𝑎5 = −1

120(𝑚3

), que se calcula para m > 4, ya que para m = 4,se tiene:

𝑩𝟒 = −1

120(43) = −

1

30, y 𝑩𝟓 = 0 = 𝑎6

Así mismo, 𝑎7 =1

252(𝑚5

), que se calcula para m > 6, ya que para m = 6, se tiene:

𝑩𝟔 =1

252(65) =

1

42, y 𝑩𝟕 = 0 = 𝑎8, y así sucesivamente.

En vista de los resultados obtenidos previamente, podemos escribir una expresión que nos de los

𝑩𝒎, en función de sumas parciales de términos combinatorios, a saber:

𝑩𝒎 =𝟏

𝟐− 〔

𝟏

𝒎 + 𝟏│ +

𝟏

𝟏𝟐(𝒎𝟏

)│ −𝟏

𝟏𝟐𝟎(𝒎𝟑

)│ +𝟏

𝟐𝟓𝟐(𝒎𝟓

)│ −𝟏

𝟐𝟒𝟎(𝒎𝟕

)│ +𝟏

𝟏𝟑𝟐(𝒎𝟗

)│ −𝟔𝟗𝟏

𝟑𝟐𝟕𝟔𝟎(𝒎𝟏𝟏

)│ ± ⋯ ]

𝒎 = 𝟏 m>1 m>2 m>4 m>6 m>8 m>10 m>12 ...

Explicación:

Supongamos que conocemos la expresión solo hasta su cuarto término :−𝟏

𝟏𝟐𝟎(𝒎𝟑

) , esto nos permite

calcular 𝐵1 = 1 2⁄ , 𝐵2 = 1 6⁄ , 𝐵3 = 0, 𝐵4 = 1 30⁄ , 𝐵5 = 0, 𝑦 𝐵6 = 1 42⁄ . Llamemos 𝐶5 al

coeficiente del término combinatorio siguiente, que sabemos tiene la forma 𝐶5 (𝑚5

), y que es

necesario para calcular 𝐵7 𝑦 𝐵8.Este coeficiente se obtiene de 𝐵6 = 𝐶5 (65), de donde:

𝐶5 =𝐵6

6=

1

252, con lo que queda determinado el quinto término de las sumatorias: +

𝟏

𝟐𝟓𝟐(𝒎𝟓

), lo

que nos permite a su vez, calcular 𝐵7 = 0 𝑦 𝐵8 = −1 30⁄ . Análogamente se tendrá :

𝐶6 = 𝐵8 8⁄ = −1 240⁄ , con lo que obtenemos el sexto término de las sumatorias: −𝟏

𝟐𝟒𝟎(𝒎𝟕

) ,que nos

permite calcular 𝐵9 = 0 𝑦 𝐵10 = 5 66⁄ , y con estos valores se obtiene 𝐶7 = 𝐵10 10⁄ = 1 32⁄ , y

así sucesivamente.

Tomando en cuenta estos resultados, podemos escribir una expresión que nos permite calcular el

valor de una determinada 𝑩𝒎, en función de los valores previos ya conocidos.

𝑩𝒎 =𝟏

𝟐− [

𝟏

𝒎 + 𝟏│ +

𝑩𝟐

𝟐(𝒎𝟏

)│ +𝑩𝟒

𝟒(𝒎𝟑

)│ +𝑩𝟔

𝟔(𝒎𝟓

)│ + ⋯]

𝒎 = 𝟏 𝒎 > 1 𝑚 > 2 𝑚 > 4 𝑚 > 6 …

Explicación: Conocido 𝐵1 = 1 2⁄ , este valor nos permite calcular 𝐵2 = 1 2⁄ − 1 3⁄ = 1 6⁄

Conocido 𝐵2, podemos calcular 𝐵3 =1

2− [

1

4+

1 6⁄

2(31)] = 0, y 𝐵4 =

1

2− [

1

5+

1 6⁄

2(41)] = −

1

30

Conocido 𝐵4, nos permite calcular 𝐵5 =1

2− [

1

6+

1 6⁄

2(51) −

1 30⁄

4(53)] = 0, y

𝐵6 =1

2− [

1

7+

1 6⁄

2(61) −

1 30⁄

4(63)] =

1

42, conocido 𝐵6, nos permite calcular 𝐵7 𝑦 𝐵8, y así

sucesivamente.

Como hemos encontrado que se verifican las siguientes relaciones:

𝐵2

2=

1

12 ,

𝐵4

4= −

1

120,

𝐵6

6=

1

252 ,

𝐵8

8= −

1

240,

𝐵10

10=

1

132

y así sucesivamente, podemos entonces rescribir la expresión encontrada para : ∑ 𝒊𝒎𝒏𝒊=𝟏 , en

términos de las 𝐵𝑚, y así resulta:

∑𝑖𝑚 =

𝑛

𝑖=1

𝑛𝑚+1

𝑚 + 1+ (

𝑚0

)𝐵1

1𝑛𝑚 + (

𝑚1

)𝐵2

2𝑛𝑚−1 + (

𝑚3

)𝐵4

4𝑛𝑚−3 + (

𝑚5

)𝐵6

6𝑛𝑚−5 + +(

𝑚7

)𝐵8

8𝑛𝑚−7 + ⋯

A esta expresión, podemos agregarle los 𝐵𝑚 𝑚⁄ , para valores impares de 𝑚 ≥ 3, ya que todos son

ceros, y por lo tanto no afectan la sumatoria. Podemos entonces escribir:

∑ 𝑖𝑚 =𝑛𝑖=1

𝑛𝑚+1

𝑚+1+ (

𝑚0

)𝐵1

1𝑛𝑚 + (

𝑚1

)𝐵2

2𝑛𝑚−1 + (

𝑚2

)𝐵3

3𝑛𝑚−2 + (

𝑚3

)𝐵4

4𝑛𝑚−3 + (

𝑚4

)𝐵5

5𝑛𝑚−4 +

(𝑚5

)𝐵6

6𝑛𝑚−5 + (

𝑚6

)𝐵7

7𝑛𝑚−7 + ⋯

Tomando en cuenta que (𝑚 + 1

𝑗) =

𝑚+1

𝑗(

𝑚𝑗 − 1), o lo que es equivalente:

(𝑚

𝑗 − 1) = (𝑚 + 1

𝑗)

𝑗

𝑚+1, podemos hacer las sustituciones siguientes en los términos de la expresión

sumatoria:

(𝑚0

) = (𝑚 + 1

1)

1

𝑚 + 1

(𝑚1

) = (𝑚 + 1

2)

2

𝑚 + 1

(𝑚2

) = (𝑚 + 1

3)

3

𝑚 + 1

Y así sucesivamente para cada valor combinatorio de la sumatoria.

Sustituyendo, se eliminan todos y cada uno de los denominadores de los 𝐵𝑚 𝑚⁄ , y además se puede

sacar a la fracción 1 (𝑚 + 1⁄ ), como factor común. Entonces, tomando en cuenta que 𝐵0 = 1 y que

(𝑚 + 1

0) = 1, podemos escribir:

∑𝑖𝑚𝑛

𝑖=1

=1

𝑚 + 1[(

𝑚 + 10

)𝐵0𝑛𝑚+1 + (

𝑚 + 11

)𝐵1𝑛𝑚 + (

𝑚 + 12

)𝐵2𝑛𝑚−1 + (

𝑚 + 13

)𝐵3𝑛𝑚−2 + ⋯]

Con lo que queda normalizada (homogenizada), la expresión, y como conocemos que se trata de un

polinomio de 𝑚 + 1 , términos y de grado 𝑚 + 1 en n, la expresión completa podemos escribirla

como:

∑ 𝒊𝒎𝒏𝒊=𝟏 =

𝟏

𝒎+𝟏[(

𝒎 + 𝟏𝟎

)𝑩𝟎𝒏𝒎+𝟏 + (

𝒎 + 𝟏𝟏

)𝑩𝟏𝒏𝒎 + (

𝒎 + 𝟏𝟐

)𝑩𝟐𝒏𝒎−𝟏 + ⋯ +

(𝒎 + 𝟏𝒎 − 𝟏

)𝑩𝒎−𝟏𝒏𝟐 (

𝒎 + 𝟏𝒎

)𝑩𝒎𝒏 ]

Que puede resumirse en:

∑ 𝒊𝒎𝒏𝒊=𝟏 =

𝟏

𝒎+𝟏∑ (

𝒎 + 𝟏𝒋

)𝑩𝒋𝒏𝒎+𝟏−𝒋𝒎

𝒋=𝟎 , con 𝑩𝟏 = 𝟏 𝟐⁄ y 𝒎 ≥ 𝟎

Así, por ej. para 𝑚 = 0, con 𝐵0 = 1

∑𝑖0𝑛

𝑖=1

=1

1[(

10)𝐵0𝑛] = 𝑛

Para 𝑚 = 1, con 𝐵0 = 1 𝑦 𝐵1 = 1 2⁄

∑𝑖 𝑛

𝑖=1

=1

2[(

20)𝐵0𝑛

2 + (21)𝐵1𝑛

] =1

2[𝑛2 + 𝑛] =

𝑛2

2+

𝑛

2

Para 𝑚 = 2, con 𝐵0 = 1 , 𝐵1 = 1 2⁄ , 𝑦 𝐵2 = 1 6⁄

∑𝑖2𝑛

𝑖=1

=1

3[(

30)𝐵0𝑛

3 + (31)𝐵1𝑛

2 + (32)𝐵2𝑛

] =1

3[𝑛3 +

3

2𝑛2 +

1

2𝑛] =

𝑛3

3+

𝑛2

2+

𝑛

6

Con estos ejemplos que a su vez sirven de comprobación de la última fórmula de sumatorias

deducida para ∑ 𝒊𝒎𝒏𝒊=𝟏 , damos por terminados estos breves apuntes sobre algunos aspectos

relevantes e interrelacionados, de la combinatoria con repetición, las series paralelas y los

números naturales.

Enrique R. Acosta R. 1998-Revisado 2016