5/20/2018 Ficha Aulas Analise Combinatoria

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Matematica 12.o / Ensino Medio

Ficha+Aulas de Analise Combinatoria

Versao de 2 de Julho de 2014.

Verifique existe versao com data mais recenteaqui.

A Ficha+Aulas de Analise Combinatoria inclui 7 aulas e 22 exerccios em vdeo. O au-tor Rui Paiva (ruipaiva21@gmail.com) tambem a disponibilizou emwww.academiaaberta.ptjuntamente com conteudos interativos e forum de tira duvidas. Recomendamos que a uti-lize de acordo com a seguinte sequencia:

Vdeo da aula Resolver os exerccios Confirmar resultados nas solucoes Vdeos dos exerccios.

Para visualizar a resolucao dum exerccio deve clicar no cone junto ao mesmo.

AULA 1: Analise Combinatoria - Princpio fundamental da contagem

Se tiver dificuldades em visualizar a Aula 1 clique em .

1. Num restaurante uma ementa e constituda por 4 entradas, 6 pratos e 7 sobre-mesas. De quantos modos se pode escolher uma refeicao formada por uma entrada,um prato e uma sobremesa?

2. A Carla tem 3 saias, 4 blusas e 2 pares de sapatilhas. De quantos modosdiferentes se pode vestir?

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https://www.youtube.com/watch?v=VSlUdPhjH3g&index=1&list=PLklmjWbEq3izpcxkruN9979Gr7v_30oh_http://www.academiaaberta.pt/http://www.academiaaberta.pt/http://bit.ly/Ficha_e_Aulas_Complexosmailto:ruipaiva21@gmail.comhttp://www.academiaaberta.pt/https://www.youtube.com/watch?v=gbva692Nzmw&index=2&list=PLklmjWbEq3izpcxkruN9979Gr7v_30oh_https://www.youtube.com/watch?v=VSlUdPhjH3g&index=1&list=PLklmjWbEq3izpcxkruN9979Gr7v_30oh_https://www.youtube.com/watch?v=CFKBMLt_Evw&index=1&list=PLklmjWbEq3izMb5f8AwdgqrFIaimKLRJOhttp://www.academiaaberta.pt/mailto:ruipaiva21@gmail.comhttp://bit.ly/Ficha_e_Aulas_Complexos

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3. Quantos codigos Multibanco existem para um cartao?

4. Extraem-se sucessivamente duas cartas de um baralho com 52 cartas. Quantospares de cartas podemos formar sendo:

(a) a primeira carta ouros e a segunda espadas?

(b) a primeira ouros e a segunda um as?

(c) a primeira figura e a segunda copas?

5. Dados os algarismos 1, 2, 3, 4 e 5

(a) Quantos numeros de tres algarismos podemos escrever?

(b) Quantos numeros de tres algarismos diferentes podemos escrever?

(c) Quantos numeros de tres algarismos diferentes e menores que 300 podemosescrever?

6. (IN Exame 2001 ) Capicua e uma sequencia de algarismos cuja leitura da direitapara a esquerda ou da esquerda para a direita da o mesmo numero. Por exemplo,75957 e 30003 sao capicuas. Quantas capicuas existem com cinco algarismos, sendoo primeiro algarismo mpar?

AULA 2: Analise Combinatoria - Permutacoes

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2

https://www.youtube.com/watch?v=x9yRYBiqh4c&index=2&list=PLklmjWbEq3izMb5f8AwdgqrFIaimKLRJOhttps://www.youtube.com/watch?v=6FGe6NMMBjM&index=6&list=PLklmjWbEq3izpcxkruN9979Gr7v_30oh_https://www.youtube.com/watch?v=OZJEu9Plrpw&index=5&list=PLklmjWbEq3izpcxkruN9979Gr7v_30oh_https://www.youtube.com/watch?v=pSMOOiBuAAk&index=4&list=PLklmjWbEq3izpcxkruN9979Gr7v_30oh_https://www.youtube.com/watch?v=b2VL0JZG0D4&index=3&list=PLklmjWbEq3izpcxkruN9979Gr7v_30oh_

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7. De quantas maneiras diferentes se podem colocar numa prateleira, em fila, 2livros de Fsica e 3 de Matematica

(a) sem restricoes?

(b) se os livros ficarem juntos por disciplinas?

8. De quantas maneiras diferentes podem sentar-se 7 amigos:

(a) no balcao de um snack-bar?

(b) numa mesa redonda?

(c) num banco tendo em conta que a Ana nao quer ficar junto do Pedro, seuex-namorado?

(d) numa banco se houver tres pessoas que nao querem ficar juntas?

AULA 3: Analise Combinatoria - Arranjos sem repeticao

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9. Numa prova final de natacao participam 6 nadadores que disputam as medalhasde ouro, prata e bronze. De quantas formas diferentes se podem repartir os trespremios?

10. Num clube, 15 pessoas concorrem aos lugares de presidente, secretario e tesou-reiro. De quantas formas diferentes podem esses lugares ser preenchidos?

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https://www.youtube.com/watch?v=lvmivkRZPWs&list=PLklmjWbEq3ixcJbJuPtnjcAkQlN4M0Tpg&index=1https://www.youtube.com/watch?v=rnd7lPjNscU&list=PLklmjWbEq3ixcJbJuPtnjcAkQlN4M0Tpg&index=2https://www.youtube.com/watch?v=lvmivkRZPWs&list=PLklmjWbEq3ixcJbJuPtnjcAkQlN4M0Tpg&index=1https://www.youtube.com/watch?v=HkV-eR6SW3o&index=3&list=PLklmjWbEq3izMb5f8AwdgqrFIaimKLRJOhttps://www.youtube.com/watch?v=61BTE-bXBbs&index=2&list=PLklmjWbEq3iwB19O6p4C3O6ztYpoKWzDZhttps://www.youtube.com/watch?v=zu8kj8X59mM&index=1&list=PLklmjWbEq3iwB19O6p4C3O6ztYpoKWzDZ

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11. (IN Exame 2000) Na figura esta representado um poliedro com doze faces,que pode ser decomposto num cubo e em duas piramides quadrangulares regulares.Pretende-se numerar as doze faces do poliedro, com os numeros de 1 a 12 (umnumero diferente em cada face). Como se ve na figura, duas das faces do poliedroja estao numeradas, com os numeros 1 e 3.

P

Q1

3

(a) De quantas maneiras podemos numerar as outras dez faces, com os restantesdez numeros?

(b) De quantas maneiras podemos numerar as outras dez faces, com os restantesdez numeros, de forma a que, nas faces de uma das piramides, fiquem sonumeros mpares e, nas faces da outra piramide, fiquem so numeros pares?

AULA 4: Analise Combinatoria - Arranjos com repeticao

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12. Num certo pas existem tres empresas operadoras de telecomunicacoes moveis:A, B e C. Independentemente do operador, os numeros de telemovel tem nove

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https://www.youtube.com/watch?v=wKOosCHNXpg&index=1&list=PLklmjWbEq3iydGtXTtDqs1WCqOyFW__ZKhttps://www.youtube.com/watch?v=qxTnF6fz5GM&index=4&list=PLklmjWbEq3izMb5f8AwdgqrFIaimKLRJOhttps://www.youtube.com/watch?v=eLWezuzQoU8&list=PLklmjWbEq3ixcJbJuPtnjcAkQlN4M0Tpg&index=3

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algarismos. Os numeros do operador A comecam por 51, os do B por 52 e os doC por 53. Quantos numeros de telemovel constitudos so por algarismos mparespodem ser atribudos nesse pas?

13. Uma turma de 12

ano tem 23 alunos, dos quais 11 sao raparigas. Num sacointroduziram-se 23 cartoes, todos, iguais, cada um deles com o nome de um alunoda turma. Quantos sao os resultados diferentes que podemos obter ao extrair 6cartoes:

(a) se tirarmos um de cada vez, sem reposi cao?

(b) se tirarmos um de cada vez, com reposicao?

(c) de modo a que saiam 2 raparigas numa extracao sucessiva com reposicao?

AULA 5: Analise Combinatoria - Combinacoes

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14. (IN EXAME) Uma pessoa tem de tomar diariamente, a mesma refeicao, 2 com-primidos de vitamina Ce 1 comprimido de vitamina A. Por lapso, misturou todosos comprimidos no mesmo frasco. Os comprimidos tem igual aspecto exterior, sendo20 de vitamina A e 35 de vitamina C. Ao retirar simultaneamente 3 comprimidosdo frasco, de quantas formas diferentes o pode fazer de modo

(a) a que sejam todos do mesmo tipo de vitamina?

(b) a cumprir as indicacoes do medico?

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https://www.youtube.com/watch?v=u1kopTIfgEw&list=PLklmjWbEq3iycJSMNRWYl1_tXI7JHfqvr&index=1https://www.youtube.com/watch?v=smOfppEiz-A&index=5&list=PLklmjWbEq3izMb5f8AwdgqrFIaimKLRJOhttps://www.youtube.com/watch?v=UqsggOb2cU0&index=2&list=PLklmjWbEq3iydGtXTtDqs1WCqOyFW__ZK

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15. (IN EXAME) Um quadro de palavras cruzadas, constitudo por 5 linhas e 5colunas, tem 9 quadriculas a cheio. Destas, sabe-se que 5 ocuparao os 4 cantos e oquadrado central, podendo os restantes ocupar qualquer outra posicao.

(a) Quantos quadros diferentes se podem obter satisfazendo as condicoes indica-

das?(b) Quantos quadros tem pelo menos uma das diagonais com quadriculas a cheio?

16. (IN EXAME 2002) Considere todos os numeros de quatro algarismos que se podemformar com os algarismos de 1 a 9.

(a) Quantos numeros:

i. tem exatamente dois algarismos iguais a 1

ii. tem os algarismos todos diferentes e sao maiores do que 9800.

(b) Considere o seguinte problema:De todos os numeros de quatro algarismos que se podem formar com os alga-rismos de 1 a 9, alguns deles cumprem as tres condicoes seguintes:

comecam por 9; tem os algarismos todos diferentes; a soma dos quatro algarismos e par.

Quantos sao esses numeros?

Uma resposta correta a este problema e 3 4 4A2+ 4A3.Numa pequena composicao explique porque.

AULA 6: Analise Combinatoria - Triangulo de Pascal

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https://www.youtube.com/watch?v=W4SiF9oc3Lk&index=6&list=PLklmjWbEq3izMb5f8AwdgqrFIaimKLRJOhttps://www.youtube.com/watch?v=LfZUsu1km6M&list=PLklmjWbEq3iycJSMNRWYl1_tXI7JHfqvr&index=4https://www.youtube.com/watch?v=gjl2X_NsaRM&list=PLklmjWbEq3iycJSMNRWYl1_tXI7JHfqvr&index=3https://www.youtube.com/watch?v=oJl4ec-qj-4&list=PLklmjWbEq3iycJSMNRWYl1_tXI7JHfqvr&index=2

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17. O penultimo numero de uma certa linha do Triangulo de Pascal e 10. Qual e oterceiro numero dessa linha?

18. O segundo numero de uma determinada linha do Triangulo de Pascal e 32.

Afirma-se que(I) o terceiro numero da linha anterior e 4495;

(II) o penultimo numero da linha anterior e 31;

(III) o quarto numero da linha seguinte e 5456.

Entao

(A) (I) e (III) sao falsas; (B) (I) e (II) sao verdadeiras(C) (II) e (III) sao falsas; (D) (II) e (III) sao verdadeiras.

AULA 7: Binomio de Newton

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19. O termo medio do binomio (x + y)n e nCpx8pyp. Qual e o valor de ne de p?

20. Consideremos o binomio 2x2 2

2x

n

, x >0

(a) Sabendo que os coeficientes do oitavo e decimo sexto termos sao iguais deter-mine n.

(b) Quantos termos tem o desenvolvimento do binomio?(c) Determine o termo medio.

(d) Determine o termo em que figura (depois de simplificado) x9.

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https://www.youtube.com/watch?v=dLTSF9qTDAk&index=2&list=PLklmjWbEq3ix-1fL9FRNa3RmDrsDNSVpOhttps://www.youtube.com/watch?v=wmDy2YLW8rI&index=1&list=PLklmjWbEq3ix-1fL9FRNa3RmDrsDNSVpOhttps://www.youtube.com/watch?v=O8kqaxLtWyo&index=7&list=PLklmjWbEq3izMb5f8AwdgqrFIaimKLRJOhttps://www.youtube.com/watch?v=vNvNN5junHs&index=2&list=PLklmjWbEq3izrEUDsK-2-D4BN1uq56aZAhttps://www.youtube.com/watch?v=6EMhWkpmLXM&index=1&list=PLklmjWbEq3izrEUDsK-2-D4BN1uq56aZA