Historia de la Optimización Combinatoria

Presentación para la clase MATH 6350

Mathematical Methods Research

Dr. Balbino García

•Rosa E. Padilla Torres•Andrea Peña Sureda

•Xaymara Pérez Rodríguez

Introducción

• La programación lineal constituye la bisagra en la historia de la optimización de la combinatoria.• Su concepción inicial por Kantorovich y Koopmans fue motivado por las aplicaciones de combinatoria, en particular en el transporte y transbordo.

Introducción

•Después de la formulación de programación lineal como un problema genérico, y el desarrollo en 1947 por Dantzig del método simplex como una herramienta, ha tratado de un ataque sobre todos los problemas de optimización combinatoria con las técnicas de programación lineal.

Introducción

•Uno puede imaginar que incluso en los muy sociedades primitivas (hasta animales), la búsqueda de caminos más cortos y la búsqueda (por ejemplo, para la alimentación) es esencial. •Un problema es el viaje del vendedor de cultivos, cuando va de compras o turismo, o cuando un médico o un cartero planea su gira o viaje.

Introducción

•Del mismo modo, la asignación de puestos de trabajo a los hombres, el transporte de mercancías, y realizar las conexiones de forma elemental, no sólo los problemas considerados por el matemático.• Trabajaremos seis áreas de problemas:

• La asignación del transporte• El flujo máximo• El camino más corto• El problema del viajante

1784•Monge

• El problema de asignación es uno de los primeros estudiado en los problemas de optimización combinatoria.• Investigó el problema de asignación, aunque

camuflado como un problema continuo y, a menudo llamado un problema de transporte.• Dio el método geométrico para resolver el

problema de transporte, considerando la posibilidad de una línea tangente a dos áreas y transportar molécula a molécula hasta que todo haya sido transportado.

Emparejamiento bipartito1912 – 1917 Frobenius

• La búsqueda de parejas en un grafo bipartito fue considerado como un caso especial del problema de asignación.

• Ambos investigaron la descomposición de matrices.

• Surge el "teorema determinante curioso”

• Dio una combinatoria y prueba algebraica.

• Demostró el teorema fundamental de la teoría de grafos

1915 -1931 Köning

• Teorema: Cada grafo bipartito regular tiene una correspondencia perfecta.

• Corolario: El conjunto de aristas de un grafo bipartito regular puede ser descompuesto en emparejamientos perfectos.

1931

Egerváry • Encuentra una versión ponderada del teorema de

König.• Se caracteriza por el emparejamiento de los grafos

ponderados bipartitos, el cual se aplica al problema de asignación.

1946

• Esterfield• Formuló y probó un teorema equivalente al de

König.• Describió un método primal-dual para el problema

de asignación.• Realizó la mejor exploración de todas las

permutaciones para sus tiempos.

1949

• Robinson• Informa de que un "intento fallido" para resolver el

problema del viajante de comercio, lo llevó al siguiente ciclo en el método para la reducción problema de asignación óptima.

Método “Simplex”

•Dantzig [1951] encontró un gran avance en el problema de asignación.•Mostró que el problema de asignación puede ser formulado como un problema de programación lineal que tiene automáticamente una solución óptima entera.

Método “Simplex”• Birkhoff [1946] indica que el tope convexo de las matrices de permutación es igual al conjunto de matrices positivas estocásticas dobles, en las que cada fila y columna suma 1.• Votaw [1952] informó que la solución de un problema de asignación simple 10 × 10 tomó 20 minutos.• Kuhn indica que este es un problema lineal con 100 variables no negativas y 20 limitaciones.

Tema de complejidad• El problema de asignación ha ayudado a obtener una idea de que un algoritmo finito no tiene que ser práctico.• Se expuso poca confianza en las matemáticas.• Thorndike [1952] presentó tres heurísticos para el problema de asignación: Método de la Divina Intuición, Método de las Cuotas Diarias, y el Método de Rendimiento Previsto.

Tema de complejidad

• Von Newman [1951] mostró que el problema de asignación puede ser reducido a la búsqueda de estrategia óptima una columna cuyas sumas no son cero.• Brown [1950] mostro un método para determinar las

estrategias óptimas es que cada jugador elige a su vez, la línea que es mejor con respecto a la distribución de las líneas elegidas por el oponente hasta el momento.

Tema de complejidad

• Fue probado por Robinson [1951] que converge a las mejores estrategias. • El método de Brown y de Von Neumann [1950] son una versión continua de esta, y asciende a la solución de un sistema de ecuaciones diferenciales a lineales.

Tema de complejidad

• Beckmann y Koopmans [1953] señalaron que hay que añadir que en todos los problemas de asignación discutidos, no son, el método de fuerza bruta obvia de enumerar todas las tareas, la evaluación de la maximización en cada uno de estos, y la selección de la asignación de dar el valor más alto.

Método Húngaro

• Kuhn [1955-1956]• Mientras leía el libro clásico Konig en la teoría de

grafos, se percató de que el problema del pareo de un grafo bipartito de dos conjuntos de n vértices está asignado por cada componente de la matriz.

1930• Tolstoĭ

• Realizó en primer estudio sobre el problema de transporte.• Escribió el artículo titulado “Método para

encontrar el mínimo kilometraje en la planificación de transporte de carga en el espacio” el cual fue publicado en el libro sobre transportación emitido por la Comisaría Nacional de Transporte de la Unión Soviética.

1930

• Tolstoĭ• Estudió la maximización

óptima para una ruta de 10 fábricas.

• Resolvió el problema de entrega en 10 pasos utilizando programación lineal moderna.

1939• Kantorovich

• Sin darse cuenta, estudió la clase general de problemas que incluye el problema de transporte.• El caso más simple de uno o dos problemas de

estas variables son fáciles de resolver, pasando por todos los puntos extremos posibles y elegir ruta o camino mejor.• Formuló los problemas sobre el factor de riesgo en

una fábrica de tapas como un problema de optimización de transporte de la materia prima por todas las estaciones de trabajo.

1939• Kantorovich

• Describe un nuevo método para maximizar la función lineal bajo ciertas restricciones de desigualdad lineal.• El método consiste en la determinación de las variables

duales y la búsqueda de solución primaria correspondiente.• El papel de las variables duales en el análisis de

sensibilidad.• Dio una gran cantidad de aplicaciones prácticas de sus

métodos, que se basa principalmente en la economía del plan soviético.

1939• Kantorovich

• Dio el problema de transporte como una aplicación.• El primer problema trata sobre la ubicación de

estaciones de consumo con respecto a las estaciones de producción.

1942• Kantorovich

• Dio un método de reducción de ciclo para encontrar el mínimo costo de transbordo.• Se limitó a las funciones de distancia simétrica.

1941•Hithcock

• Podría ser el primero con una descripción matemática precisa del problema de asignación.• Para poder minimizar los costos de distribución de

productos por la ciudad, tomó en consideración las tarifas de flete y el costo por tonelada de producto en cada ciudad en particular.• Demostró que el mínimo se alcanza en el vértice de

la región factible y esbozó un plan para resolver el problema de transporte.

1942 - 1948• Koopmans

• Fue nombrado en marzo de 1942 como un estadístico personal de los mercantes británicos.• Fue responsable de los problemas de rutas de la

Marina Mercante durante la Segunda Guerra Mundial.• Analizó la sensibilidad de los envíos óptimos para

los pequeños cambios en las demandas• No encontró un algoritmo matemático óptimo.

1942 - 1948• Koopmans

• Declaró que si no mejora en una solución el problema de transporte, una solución puede ser obtenida por un cíclico cambio de rutas de los barcos, entonces, la solución es óptima.• “El retraso cultural del problema económico en la

aplicación de métodos matemáticos es notablemente ilustrada por el hecho de que los gráficos lineales están haciendo su entrada en la teoría de transporte de casi un siglo después de haber sido estudiado por primera vez, en relación con las redes eléctricas, aunque organizados los sistemas de transporte, son mucho mayores que el estudio de electricidad”.

1949 - 1950• Programación lineal y el método “Simplex”

• El problema de trasporte fue fundamental en el desarrollo del problema más general de programación lineal.• El verdadero “crux” de esta investigación es si el

ahorro en el costo de transporte supera el costo de utilizar la programación lineal.• Se crearon métodos alternos por Gleyzal [1955],

Ford y Fulkerson[ 1955 – 1956], Munkres [1957] y Egervary [1958]

Teorema de Menger

• El topólogo, Karlo Menger, publicó su teorema en el artículo “On the General Theory of Curves” en 1927.• Es el resultado básico sobre conectividad en un grafo finito-no dirigido.• Provo la conectividad de las esquinas (edges) y de los vértices.

Conectividad de Esquinas (edge-connectivity):

Si G es un grafo finito-no dirigido, siendo x y y dos vértices distintos.

El teorema indica que el tamaño mínimo del corte de esquina para x y y es igual al numero máximo de pares de caminos independientes de cada esquina desde x hasta y. • Conectividad de Vértices (vertex-connectivity):

Si G es un grafo finito-no dirigido, siendo x y y dos vértices no adyacentes.

El teorema indica que el tamaño mínimo del corte del vértice para x y y es igual al numero máximo de pares de caminos independientes de cada vértice desde x hasta y.

• El resultado puede ser formulado en términos de grafos:

Si G = (V,E) es un grafo indirecto

siendo P,Q contenidos en V.

• El número máximo de caminos P-Q disjuntos es igual a la cardinalidad mínima del conjunto W de tal manera que cada P-Q camino interseca W.

• Curva: espacio compacto y conectado X con la propiedad de que para cada x que pertenece a X, cada vecindario de x contiene un vecindario x con limites totalmente conectados. •Menger aplico inducción en |E|, donde E es el conjunto esquina de un grafo G.• La base de la inducción: P y Q contienen todos los vértices.

Flujo Máximo de 1954• Fue formulado primeramente en 1954 por T.E. Harris como un modulo simplificado del flujo de trafico del ferrocarril soviético. • El 1955, Lester R. Ford y Delbert R. Fulkerson crearon el primer algoritmo conocido y le llamaron el Algoritmo Ford-Fulkerson.• En la teoría de la optimización, fue encontrado como un flujo factible de un recurso-sencillo, un solo flujo de red que sea máximo.

• Flujo de Red (flow network): es un grafo directo donde cada esquina tiene una capacidad y cada una de estas esquinas recibe un flujo.• En investigación de operaciones, cada grafo dirigido se conoce como una red.•Una red puede ser utilizaba para modelar el trafico de un sistema de carreteras, el fluido en la plumería, corriente en un circuito eléctrico, o cualquier cosa que pueda viajar a través de una red por nodos.

• El problema del flujo máximo puede ser visto como un caso sencillo de una red de problemas de flujo mas complejos. •Dado un grafo, con un vértice “recurso” s y un vértice “terminal” t y una función capacidad c definida en sus limites, se encuentra un flujo de valor máximo de s hasta t sujeto a c.

•Ejemplo de un flujo de red con flujo máximo. •El recurso es s y el terminal es t.•Los números denotan el flujo y la capacidad.

• Existen diferentes métodos para resolver el problema del flujo máximo:

2.Programación Lineal: restricciones dadas por la definición de un flujo legal.

3.Algoritmo Ford-Fulkerson: siempre y cuando haya un camino a través del grafo residual, envía el mínimo de capacidades residuales en un camino.

El Teorema “Max-flow Min-cut”

• En 1954, Ford and Fulkerson presentaron el teorema max-flow min-cut para grafos no dirigidos, diciendo que:

valor flujo máximo =

capacidad mínima de separación de s y t ;

donde s:recurso y t:terminal

• Ahora bien podemos establecer que: valor max. del flujo s-t = capacidad min. de corte s-t

• Robacker mostro que este teorema puede ser derivado de la versión vertice-disjunto.• Es un caso especial del teorema de dualidad y

puede ser usado para derivar el teorema de Menger.

Ejemplo:

*Una red de valor de flujo de 7.

*El vértice es blanco y los vértices grises de los subconjuntos s y t de un corte s-t.

Flujos de Costo Mínimo

• Encuentra el camino mas económico posible para enviar cierta cantidad de flujo a través de una red de flujo.• Puede resolverse por programación lineal, ya que optimizamos un función lineal ya que todas las restricciones son lineales.

Shortest Spanning Tree(Árbol de Corto-Paneo)

• Boruvka fue el primero en considerar el problema del árbol de corto-paneo• Tiene menos o igual peso que cualquier otro árbol de paneo.•Dado un grafo conectado y no dirigido, una árbol de paneo es un subgrafo y conecta todos los vértices.

• Se asigna un peso a cada esquina (edge), el cual es un numero que representa cuan no favorable puede ser y usado para asignar el peso al árbol de paneo computando la suma de los pesos.• Ejemplo:

# Cada esquina tiene su propio peso, el cual es approx. proporcional al largo.

Ejemplo:

•Un árbol de paneo para ese grafo seria un subconjunto de todos los camino que no tienen ciclos pero aun así conectan todas las casas.

Camino más corto

• Los problemas de la rutas se estudiaron a comienzos de la década del 1950 en el contexto de las rutas alternas, es decir, encontrar el segundo camino más corto por si la ruta para el primer camino es bloqueada.• Durante este periodo se consideran los enfoques

heurísticos.• La búsqueda del camino más corto es un laberinto,

que se relaciona con grafos de problemas clásicos que constituyen las bases para las técnicas en su profundidad.• Ejemplo: Uso de la autopista, la ruta de una llamada

telefónica.

1946 -1953• Métodos de matriz para la ruta de unidad longitud

corta.• Se desarrolla para estudiar las relaciones en las redes.• Estos métodos fueron estudiados debido a su

aplicación en las comunicaciones.• Los métodos de matriz consisten en la representación

del grafo dirigido por una matriz• La motivación para que Shimbel se interesara por los

métodos fue por sus aplicaciones a las redes neuronales. •Analizó con las matrices que los lugares en una red se pueden comunicar entre sí y cuánto tiempo se necesita para ese fin.•Descubre que un sistema de comunicación adecuado es aquel que tiene matriz con valores positivos.• El tiempo que toma ir a todos los lugares con información es igual a un valor mínimo positivo.

Longitud de caminos más cortos

• Se basan en las distancias y los caminos más cortos de longitud desde un vértice determinado. • Para determinar la longitud existen los métodos de:• Bellman-Ford• Dijkstra

Método de Bellman- Ford Se utiliza cuando hay aristas con pesos negativos Si un grafo contiene un ciclo de costo total negativo entonces este grafo no tiene solución. Se consideran todos los arcos en forma consecutiva y la repetición de ellos

Método de Dijkstra Es el método más rápido pero esta limitado solamente a las longitudes positivas. Se enfoca en elegir un arco con distancia pequeña.

Surgen una serie de resultados que se obtienen sobre el problema del camino más corto e incluyen la programación lineal como enfoque para estos problemas.

Se resumen artículos realizados por los científicos en un orden cronológico.

Shimbel 1955

• En abril de 1954, presentó su papel en el Simposio sobre las Redes de Información en Nueva York.

• Su propósito fue extender sus métodos de matriz para la ruta de longitud corta, donde presenta la siguiente “min-sum álgebra”

• Esto para encontrar las distancias en todos los pares de puntos o nodos.

Programación lineal en los caminos más cortos 1955-1957

•Dantzing: • mostró su método con un ejemplo de envío de un

paquete desde Los Ángeles a Boston, y muestra que puede tomar un tiempo exponencial.

Ford 1956• En agosto de 1956 describe un método para encontrar el camino más corto desde 0 hasta n, en una red de vértices V0, …, Vn y lij es la longitud de un arco de i a j.

• Concluye que una matriz de longitud (li,j) es la única matriz (di,j) que satisface su método.

Características para un buen camino corto (1956 – 1958)

• El máximo de un número de cortes disjuntos es igual a la longitud de la cadena más corta.•Gallai ( 1958):

• La longitud en los arcos de un grafo dirigido no es negativa <-> existe una función potencial p: V -> ℤ tal que l(u,v) ≥ p(v) – p(u) para cada arco.

Bellman 1958• Se enfocó en el problema del camino más corto, y

publicó un artículo llamado “el método de la ecuación funcional”:• Hay N ciudades, cada dos de las ciudades están unidas

por un camino directo.• Una matriz T = (ti, j) es dada cuando ti, j es el tiempo

requerido para viajar desde i hasta j. • El objetivo es encontrar un camino entre 1 y N que consuma un tiempo mínimo.

• Solo hay un número finito de rutas;• el problema se reduce a la elección de la más pequeña de un conjunto finito de números.

• Entonces le dio un enfoque a la ecuación funcional:

Dantzing 1958• Consiste en elegir un arco con una distancia y longitud lo más pequeño posible, asume que: • Se puede escribir el orden de longitud para cada

nodo de los arcos donde estos conducen en orden creciente.• no es posible hacer caso omiso que un arco

conduce a un nodo que se ha alcanzado anteriormente.

Moore 1959• Presentó el camino más corto a través de un laberinto. • Eran algoritmos especialmente adecuados para el uso en computadora.• Su motivación fue la ruta de la llamada telefónica.• Considera un grafo no dirigido y sin longitud de

función, en la que un camino desde el vértice A hasta B debe ser encontrado con un número mínimo de bordes

Problema del Viajante del Comercio

• Sean N ciudades de un territorio. El objetivo es encontrar una ruta que, comenzando y terminando en una ciudad concreta, pase una sola vez por cada una de las ciudades y minimice la distancia recorrida por el viajante.

Manual Para el vendedor Exitoso 1832• El problema tiene una interpretación natural por

los matemáticos.• El manual parte de la advertencia sobre los riesgos de

las mujeres dentro y fuera de los negocios. • Como debería ser y lo que tiene que hacer para

obtener pedidos y estar seguro de tener éxito en su negocio.• Orienta al vendedor a organizar sus viajes para obtener

economía; teniendo en cuenta sus viajes de ida y vuelta. El punto principal consiste en visitar tantos lugares como sea posible sin repetir los lugares.

Muestra Un recorrido por 45 ciudades alemanas, como se describe en el manual de 1832 , está dada por la continua (en negrita y delgada) líneas (1285 km). Un corto recorrido está dada por la audaz ininterrumpida y por las líneas punteadas (1248 km).

Menger 1930• Primer matemático que escribió sobre el problema del viajante, donde estudia la longitud de una curva simple en un espacio métrico , por definición

•Demostró que se podía minimizar todas las posibles ordenaciones de X, con este fin se define que para cualquier subconjunto finito X existe un espacio métrico de longitud corta λ(X) , l(C) = sup λ(X) .

Harvard, Princeton 1930-1934• En 1930 1931 Menger fue profesor en la Universidad de Harvard, donde presenta sus estudios y resultados en las longitudes y caminos más cortos a través de conjuntos finitos.•Hassler Whitney, quien hizo un doctorado en teoría de Grafos en Harvard, mencionó en la Universidad de Princeton el Problema de encontrar la ruta más corta a lo largo de los 48 Estados de América.

Conclusión• El origen de todos los métodos se presentan como ejemplos de investigación básica.• Los algoritmos pueden conducir finalmente a un ahorro de grandes sumas de dinero y tiempo al permitir el uso más eficiente de transportes o de sistemas de comunicación.• La búsqueda del camino más corto puede conducir a ensayos y errores por tanto puede tomar mucho tiempo en alcanzar la ruta del camino más corto.