Capitulo IV - Aproximación Funcional e Interpolación 2

APROXIMACIÓN FUNCIONAL E INTERPOLACIÓNAPROXIMACIÓN FUNCIONAL E INTERPOLACIÓN

4.1. INTRODUCCIÓNMuchos experimentos en el área de la Ingeniería dan como resultado funciones

tabulares de la variable independiente, frente a la variable dependiente. Durante

la aplicación en ciertos fenómenos físicos se relacionan los valores de las

variables dependientes e independientes resultando valores discretos que se

tabulan en diferentes relaciones, cantidad de reactante consumido con respecto

al alimentado en una reacción, concentración de un componente puro con

respecto a la mezcla en una destilación, los mismo que se pueden expresar con

respecto ciertos intervalos en el tiempo. Como no siempre se pueden registrar lo

que sucede a cada instante, en el fenómeno que se está estudiando, se pueden

usar los datos registrados para obtener los faltantes, es decir valores

aproximados en aquellos puntos donde no se han registrado o experimentado.

En otros casos con fines computacionales se requiere construir una función

explícita de toda la tabla obtenida por métodos experimentales señalados

anteriormente, por lo cual se hace importante el conocimiento de técnicas de

interpolación polinómica sea con pasos equidistantes, no equidistantes o

técnicas de interpolación iterada.

4.2. CAPACIDADES:

Al finalizar esta unidad, a partir de un conjunto de datos experimentales de

laboratorio, el estudiante estará en la capacidad de determinar un polinomio de

interpolación, extrapolación y elaborar el programa de interpolación en Excel y

MatLab y realizar el ajuste curvas.

Contenidos Conceptuales

Contenidos Procedimentales

Contenidos Actitudinales

Aproximación Simple Interpolación de

Lagrange Diferencias divididas Aproximación Polinomial

de Newton Polinomios de Newton en

diferencias finitas.

Analiza los datos de laboratorio y determinar el polinomio de interpolación.

Usa el MatLab para la programación del algoritmo de interpolación.

Manifiesta creatividad e inventiva en el análisis y la programación de los métodos.

1

Aproximación con mínimos cuadrados.

Realizar el ajuste curvas.

4.3. 4.2 MÉTODOS DE SOLUCIÓNA. POLINOMIOS DE LAGRANGE

Sea una función dada en forma tabular:

Tabla 9: Información tabular

Puntos 0 1 2 n

Se pueden obtener un polinomio que relacione todos estos puntos:

…(4.1)

Obsérvese que si se va a relacionar con un polinomio de grado n se

necesita n+1 puntos para el método. Los polinomios de Lagrange

en forma matemática se representan como:

…(4.2)

Tenemos algunos ejemplos de los primeros polinomios de Lagrange:

Entonces la ecuación (4.1) queda expresada de la siguiente forma:

…(4.3)

Ejemplo de Aplicación 4.1

Dada la siguiente información, encontrar el valor de la función para :Puntos 0 1 2 3

x 0,5 0,7 0,9 1,0

f(x) 0,9385 0,8812 0,8072 0,7652

Solución:

2

Se tiene 4 puntos, esto nos permite hacer un ajuste hasta un polinomio de grado

3:

Ajuste – Polinomio de Primer grado

Aplicando la expresión (4.3) para y utilizaremos sólo 2 puntos en donde se

encuentre el valor que se quiere interpolar (puntos 1 y 2), reformulando estos

puntos:

Puntos 0 1

x 0,7 0,9

f(x) 0,8812 0,8072

…(1)

Reemplazando los valores del la formulación previa en el cuadro y reordenando

se tiene:

…(2)

Reemplazando el valor en (2):

Ajuste – Polinomio de Segundo grado

Aplicando la expresión (4.3) para y utilizaremos 3 puntos en donde se

encuentre el valor que se quiere interpolar (puntos 1, 2 y 3), reformulando estos

puntos:

Puntos 0 1 2

x 0,7 0,9 1,0

f(x) 0,8812 0,8072 0,7652

…(3)


se tiene:

3

…(4)


Ajuste – Polinomio de Tercer grado

Aplicando la expresión (4.3) para y utilizaremos 4 puntos (utilizaremos el

cuadro del problema en el mismo orden de los puntos)

…(5)


se tiene:

…(6)


Si nos basamos en el concepto del mejor ajuste que pasa por la mayor cantidad

de puntos, diremos que el ajuste de tercer grado es la mejor aproximación como

se puede ver en la siguiente interfaz gráfica:

Figura 37: Interfaz Gráfica del método de Interpolación de Polinomios de

Lagrange en el MatLab

4

B. DIFERENCIAS DIVIDIDASPara utilizar este concepto, es necesario recordar la definición de la

derivada de una función , es decir:

…(4.4)

Cuando esta función se encuentra en forma tabular (tabla 9), estas

diferencias deberán obtenerse numéricamente forma aproximada, luego la

derivada se calcula como:

…(4.5)

El lado derecho de esta expresión se conoce como la primera diferencia

dividida y normalmente se denota mediante:

…(4.6)

En la siguiente tabla, se presenta un resumen de la notación de estas

diferencias divididas:

Tabla 10: Tabulación general de diferencias divididas

Ejemplo de Aplicación 4.2

Dada la siguiente información, elabore una tabla de diferencias divididas:

Pun

tos0 1 2 3

4 5

x -3 -2 0 2 5 6

f(x) - - 1 5 8 15

5

5

0

1

9

6 7

Solución:Con esta información podemos encontrar las diferencias divididas haciendo uso

de la tabla anterior:

Primeras diferencias:

; ;

;

Segundas diferencias

;

;

Terceras diferencias:

; ;

Resumiendo se obtienen la siguiente tabla de diferencias divididas:

Tabla 11: Tabulación de las diferencias divididas del ejemplo 4.2

i x f(x)Diferencias Divididas

Primera Segunda Tercera Cuarta

652023

Observamos que las diferencias de tercer orden tienen el mismo valor, y las

diferencias de cuarto orden son cero lo que concuerda con la tercera y cuarta

derivada de un polinomio de tercer grado.

C. APROXIMACIÓN POLINOMIAL DE NEWTON

Esta se expresa en forma matemática de la siguiente forma:

6

…(4.7)

Donde los coeficientes están dados por:

…(4.8)

Ejemplo de Aplicación 4.3Dada la siguiente información, con el polinomio de Newton en diferencias

divididas de segundo grado, aproxime el valor de la función cuando :Puntos 0 1 2 3 4 5 6

x 40 60 80 100 120 140 160

f(x) 0,63 1,36 2,18 3,00 3,93 6,22 8,59

Solución:Si ; entonces la expresión (4.7) para este caso es:

Se necesitará solo tres puntos para la determinación de este polinomio, entonces procedemos a formular la respectiva tabla de diferencias divididas:


Primera Segunda

Como sólo se necesita 3 puntos, elegimos de la siguiente manera:

Entonces nuestro polinomio ahora está dado de la siguiente manera:

7

Reemplazando en este polinomio, y se puede ver la distribución de los

puntos:

Figura 37: Interfaz Gráfica del método de Interpolación Polinomial de Newton en

Diferencias Divididas

D. DIFERENCIAS FINITAS

D.1 Diferencia Progresiva

Si es denominado como operador lineal hacia delante y definido sobre

como:

…(4.9)

Donde: .Las diferencias de orden superior se generan como

sigue:

…(4.10)

D.2 Diferencia Regresiva

Si es denominado como operador lineal hacia atrás y definido sobre

como:

…(4.11)

8

Donde: .Las diferencias de orden superior se expresan en

términos generales como:

…(4.12)

E. POLINOMIO DE NEWTON EN DIFERENCIAS FINITAS

E.1 Polinomio de Newton en Diferencias hacia adelante

Si se denota ; se obtiene el polinomio el siguiente polinomio

en diferencias hacia delante:

.

..(4.13)

E.2 Polinomio de Newton en Diferencias hacia atrás

Si se denota ; se obtiene el polinomio el siguiente polinomio

en diferencias hacia delante:

...(4.14)

Se denomina a como punto base o punto pivote.

Ejemplo de Aplicación 4.4En base a la función tabula que se muestra, aproxime el valor de la función

cuando :Puntos 0 1 2 3 4 5

x 0 1 2 3 4 5

f(x) -5 1 9 25 55 105

Solución:Desarrollando las primeras diferencias finitas hacia adelante:

; ;

;

Segundas diferencias finitas:

;

;

9

Terceras diferencias finitas:

; ;

Resumiendo se obtienen la siguiente tabla de diferencias finitas:

Tabla 12: Tabulación de las diferencias finitas del ejemplo 4.4

i x f(x)Diferencias Finitas

201482

Observamos que las diferencias de tercer orden tienen el mismo valor, esto se

interpreta que esta función tabular probablemente es un polinomio de tercer

grado. Formulando una interpolación con diferencias hacia adelante para un

polinomio de tercer grado y un valor pivote de :

;

El ajuste de tercer grado es la mejor aproximación como se puede ver en la

siguiente interfaz gráfica:

Figura 38: Interfaz Gráfica del método de Interpolación Polinomial de Newton en

Diferencias Finitas

10

F. APROXIMACIÓN POLINOMIAL CON MÍNIMOS CUADRADOS

Los métodos vistos anteriormente se han enfocado en encontrar un

polinomio de aproximación que pase por estos puntos, sin embargo cuando se

realiza un procedimiento experimental, en muchos casos se busca correlacionar

dos o más variables entre sí. El objetivo en este caso es encontrar la mejor curva

de ajuste que tenga una forma polinomial, ya que el manejo de polinomios

resulta sencillo en cualquier aplicación. Supongamos que se mide el valor de y

para de x, se representan los datos en una gráfica de y vs. x, y trazamos una

recta que pase por dichos puntos.

Figura 39: Gráfica de la aproximación lineal que pasa entre los puntos

No obstante, esto crea algunos problemas, ya que se puede pasar un

número infinito de curvas entre los puntos. Para la determinación de la mejor

curva se establece que la suma de las distancias al cuadrado calculadas entre el

valor de la función que aproxima y el valor de sea mínima, es decir:

…(4.15)

Si es la aproximación a un polinomio de

grado n; la expresión (4.15) se presenta como:

…(4.16)

Se pasa a minimizar la expresión (4.16), lo cual se obtiene derivándola

parcialmente con respecto a cada coeficiente aj, e igualando a cero cada una de

estas derivadas con esto se llega al siguiente sistema:

…(4.17)

11

Donde m es el número de puntos (x,y) en la información tabular. Se han

omitido los subíndices i, de x e y, así como los límites de sus sumatorias que van

desde 1 hasta m para simplificar su escritura.

Ejemplo de Aplicación 4.5En base a los datos observados, encontrar la ecuación de ajuste a un polinomio

de segundo grado y estime el valor correspondiente cuando :Puntos x y Puntos X y

1 0,05 0,956 7 0,70 0,378

2 0,11 0,890 8 0,74 0,370

3 0,15 0,832 9 0,82 0,306

4 0,31 0,717 10 0,98 0,242

5 0,46 0,571 11 1,17 0,104

6 0,52 0,539

Solución:

Para y se tiene 11 puntos la expresión (4.17) toma la forma de:

…(1)

Para el cálculo de los coeficientes a0, a1 y a2 formulamos la siguiente tabla:

Puntos

(i)

1 0,05 0,956 0,0025 1,250×10-4 6,250×10-6 0,0478 2,390×10-3

2 0,11 0,890 0,0121 1,331×10-3 1,464×10-4 0,0979 0,010769

3 0,15 0,832 0,0225 3,375×10-3 5,063×10-4 0,1248 0,018720

4 0,31 0,717 0,0961 0,029791 9,235×10-3 0,2223 0,068904

5 0,46 0,571 0,2116 0,097336 0,0447746 0,2627 0,120824

6 0,52 0,539 0,2704 0,140608 0,0731162 0,2803 0,145746

7 0,70 0,378 0,4900 0,343000 0,2401000 0,2646 0,185220

8 0,74 0,370 0,5476 0,405224 0,2998658 0,2738 0,202612

9 0,82 0,306 0,6724 0,551368 0,4521218 0,2509 0,205754

10 0,98 0,242 0,9604 0,941192 0,9223682 0,2372 0,232417

11 1,17 0,104 1,3689 1,601613 1,8738872 0,1217 0,142366

∑ Totales 6,01 5,905 4,6545 4,114963 3,9161277 2,1839 1,335721

12

Reemplazando estos resultados en (1), se tiene:

…(2)

Resolviendo (2) con el método de la eliminación de Gauss:

Entonces la ecuación buscada es:

El valor estimado para es:

Una forma de saber qué tipo de polinomio es el adecuado para el ajuste, viene

relacionado con el factor de correlación r que tiene una variedad de fórmulas

(para cada grado del polinomio) en los textos de estadística, mientras se acerque

éste valor a la unidad será el mejor polinomio de ajuste.

Para un bosquejo rápido usted puede deducir un polinomio de ajuste con el

diagrama de dispersión de los puntos; obsérvese la interfaz gráfica con el

ejemplo anterior:

Figura 40: Interfaz Gráfica del método de Aproximación Polinomial por Mínimos

Cuadrados

F. APROXIMACIÓN MULTILINEAL CON MÍNIMOS CUADRADOS

13

Con frecuencia se tienen funciones con más de una variable, esto es

. Si se sospecha una funcionalidad lineal en las distintas variables; es

decir, si se piensa que la función:

…(4.18)

Se puede aplicar el método de mínimos cuadrados para determinar los

coeficientes ; lo cual se obtiene derivándola parcialmente con

respecto a cada coeficiente aj, e igualando a cero cada una de estas derivadas

con esto se llega al siguiente sistema:

…(4.19)

Donde m es el número de puntos en la información tabular.

4.3 Aproximación Funcional e Interpolación en Ingeniería Química

La interpolación es de gran importancia en el campo de la ingeniería, ya

que al consultar fuentes de información presentadas en forma tabular, es

frecuente no encontrar el valor buscado como un punto en la tabla. Si se realizó

un experimento y se quiere conseguir un modelo matemático, el ajuste de curva

de estos puntos hace posible conseguirlo.

Problema de Aplicación 4.3.1Cátedras: Química general

(Problema Propuesto 5.1 – Métodos Numéricos Aplicados a la Ingeniería - A.

Nieves)

La densidad del carbonato neutro de potasio en solución acuosa varía con la

temperatura y la concentración de acuerdo con la tabla siguiente:

a) Calcule la densidad a 40 ºC y 15% de concentración.

b) Calcule la densidad a 50 ºC y 28% de concentración.

c) Calcule la densidad a 90 ºC y 25% de concentración.

14

d) Calcule la concentración que tiene una solución de densidad 1,129 a una

temperatura de 60 ºC.

Utilice interpolaciones cuadráticas en todos los incisos.

Solución:

Utilizaremos la interpolación con los polinomios de Lagrange para un polinomio

de segundo grado. Para el inciso a) se toma la concentración como argumento

(x) y a la densidad como el valor de la función f(x). Para una interpolación

cuadrática necesitamos 3 puntos:

Reemplazando y reordenando estos datos en (4.3) tenemos:

Para el inciso b) se toma la temperatura como argumento (x) y a la densidad

como el valor de la función f(x):

Reemplazando y reordenando estos datos en (4.3) tenemos:

Para el inciso c) la densidad se aproxima utilizando las interpolaciones previas a

90 ºC de las filas 12%, 20% y 28%; después a partir de estos valores se

interpola a 25%:

Aproximación de la densidad a 12% y 90 ºC.


15


Ahora interpolamos a una concentración de 25%:

Para el inciso d) es necesario interpolar los valores de densidad a 60 ºC a

diferentes concentraciones, después se interpola la concentración que

corresponda la densidad de 1,129.




16

Ahora interpolamos a una densidad de 1,129:

Nótese que los resultados se redondearon a 4 dígitos decimales, las

concentraciones y las temperaturas se presentan sólo en números enteros.

El algoritmo del problema anterior para las interpolaciones es presentado en un

archivo m. en el MatLab y como ejemplo la interfaz gráfica del inciso b):

clc,clear disp(' Problema de Aplicación 4.1 ') disp(' -------------------------- ') c=0;N=2;X=[0 40 80];F=[1.2846 1.2652 1.2418]; x=50;FX=0;I=1; while I<=N+1; L=1; J=1; while J<=N+1; if I~=J L=L*(x-X(J))/(X(I)-X(J)); end J=J+1; end FX=FX+L*F(I); I=I+1; end disp(' Solución: ') fprintf(' El valor interpolando es: %f\n',FX)

17

Figura 40: Interfaz Gráfica para el inciso b) del problema 4.1

Problema de Aplicación 4.3.2Cátedras: Química General

Las presiones de vapor de la benzofenona, a distintas temperaturas, figuran en la tabla contigua:

T(ºC) 108,2 141,7 157,6 175,8 195,7 208,2 224,4

p (mmHg) 1 5 10 20 40 60 100

Calcule la temperatura a una presión de 80 mmHg y la presión de vapor a una

temperatura de 150 ºC utilizando polinomios de Newton en diferencias divididas:

Solución:

Para el cálculo de la temperatura a una presión de 80 mmHg, tomaremos los 4 últimos puntos y utilizaremos un polinomio de tercer grado, su respectiva tabla de diferencias divididas es:


Primera Segunda Tercera

0,00006979

Reemplazando estos datos en (4.7) y se obtiene el siguiente polinomio:

18

Para el cálculo de la presión de vapor a 150 ºC, tomaremos los 4 primeros

puntos y utilizaremos un polinomio de tercer grado, la tabla de diferencias

divididas es:


Primera Segunda Tercera

0,000043527

Reemplazando estos datos en (4.7) y se obtiene el siguiente polinomio:

El algoritmo del problema anterior es presentado en un archivo m. en el MatLab

y como ejemplo la interfaz gráfica para el cálculo de la presión de vapor a 150

ºC:

clc,clear disp(' Problema de Aplicación 4.2 ') disp(' -------------------------- ') c=0;N=3;X=[108.2 141.7 157.6 175.8];F=[1 5 10 20]; x=150;I=1; while I<=N T(I,1)=(F(I+1)-F(I))/(X(I+1)-X(I));I=I+1; end J=2; while J<=N I=J; while I<=N T(I,J)=(T(I,J-1)-T(I-1,J-1))/(X(I+1)-X(I+1-J)); I=I+1; end J=J+1; end in=F(1);I=1; while I<=N P=1;J=1; while J<=I P=P*(x-X(J));J=J+1; end in=in+T(I,I)*P;I=I+1; end disp(' Solución: ') fprintf(' El valor interpolando es: %f\n',in)

19

Figura 41: Interfaz Gráfica para la presión de vapor a 150 ºC del problema 4.2

Problema de Aplicación 4.3.3Cátedras: Química General, Fisicoquímica

(Problema Propuesto 5.19 – Métodos Numéricos Aplicados a la Ingeniería - A.

Nieves)

En una reacción química, la concentración del producto CB cambia con el tiempo

como se indica en la tabla de abajo. Calcule la concentración CB cuando t = 0,82; usando un polinomio de Newton en diferencias finitas.

CB 0,00 0,30 0,55 0,80 1,10 1,15

t 0,00 0,10 0,40 0,60 0,80 1,00

Solución:

Se utilizará un polinomio de tercer grado con los 4 últimos puntos (pasos equidistantes), la respectiva tabla de diferencias finitas hacia adelante:

i x f(x)Diferencias Finitas

01806040

,,,,

-0,3

Reemplazando en la expresión (4.13) y reordenando se obtiene el polinomio:

20


y la interfaz gráfica para la interpolación:

clc,clear,disp(' Problema de Aplicación 4.3 ') disp(' -------------------------- ') n=3;X=[0.40 0.60 0.80 1.00];FX=[0.55 0.80 1.10 1.15]; s=0.82;F=FX; for l=0:length(X)-2;F=diff(F);T(1:length(X)-(l+1),l+1)=F; end disp([T]);d=1;xo=0.4;h=X(2)-X(1);s=(s-xo)/h;so=s; for I=1:length(X); if X(I)==xo;break,end end p=FX(I)+s*T(I,1); if n~=1; for l=1:n-1; s=s*(so-l);p=p+s*T(I,1+l)/prod(1:l+1); end end disp(' Solución: ') fprintf(' El valor interpolando es: %f\n',p)

Figura 42: Interfaz Graficadle del resultado del problema 4.3

Problema de Aplicación 4.3.4Cátedras: Fenómenos de Transporte, Fundamentos de Ingeniería Química

La velocidad a la cual una sustancia pasa a través de una membrana

semipermeable se determina mediante la difusividad D (cm2/s), D varía con la

temperatura de la membrana T (K) según la ley de Arrhenius:

D = D0

Donde: D0: Factor pre exponencial

E: Energía de activación

R: 1,987 cal / molgK

21

Se miden las difusividades de SO2 (g) en un tubo de goma fluorosiliconado, a varias temperaturas, obteniéndose los siguientes resultados:

T (K) D (cm2/s) x 106

347,0 1,34

374,2 2,50

396,2 4,55

420,7 8,52

447,7 14,07

471,2 19,99

Calcule los valores de D0 y E utilizando el método de los mínimos cuadrados.

Solución:

Haciendo los siguientes arreglos a la ley de Arrhenius:

D = D0

Ln (D) = Ln (D0) -

Los cambios de variable:

y = Ln (D) ; a0 = Ln (D0) ; ; x =

Tabulando nuevamente los datos del problema:x Y

2,8818 x 10-3 -13,5228

2,6724 x 10-3 -12,8992

2,5240 x 10-3 -12,3004

2,3770 x 10-3 -11,6731

2,2336 x 10-3 -11,1715

2,1222 x 10-3 -10,8203

Aplicando el método de mínimos cuadrados se obtiene:

Entonces:

D0 =

D0 =

22

La ecuación que representa los datos experimentales queda de la siguiente

forma:

D =

Obsérvese que las difusividades dadas en la tabla ya están multiplicadas por un

factor de 10-6 y se refiere en realidad:

D (347 K) = 1,34x10-6 (cm2/s)

Una mala interpretación de la información tabular, no fijarse en las unidades o no

tomar en cuenta las cifras significativas provocará un mal ajuste de curva.


y la interfaz gráfica para el ajuste de curva:

clc,clear disp(' Problema de Aplicación 4.4 ') disp(' -------------------------- ') X=[2.8818 2.6724 2.5240 2.3770 2.2336 2.1222]*10^-3; F=[-13.5228 -12.8992 -12.3004 -11.6731 -11.1715 -10.8203];M=6; A=zeros(2);A(1,1)=M; for l=1:2*2; s(l)=sum((X.^l)); end for l=0:2; b(l+1)=sum(F.*(X.^l)); end A(1,2:2)=s(1:1); for l=2:2; A(l,1:2)=s(l-1:2 -1); end b=b';DET=1;I=1;x=A\b; disp(' Solución: ') for l=0:2; fprintf(' El coeficiente a(%d) es: %f\n',l,x(l+1)) end

23

Figura 43: Interfaz Gráfica para el ajuste de curva del problema 4.4

Problema de Aplicación 4.3.5Cátedras: Fundamentos de Ingeniería Química

Observe que los datos siguientes parecen ser ajustados por una curva

al hacer una gráfica en papel semilogarítmico y observar que los puntos parecen

caer sobre una recta (los datos son las solubilidades de n-butano en ácido

fluorhídrico anhidro a altas presiones y se usaron en el diseño de refinerías de

petróleo).

Temperatura, º F Solubilidad, %peso

77 2,4

100 3,4

185 7,0

239 11,1

285 19,6

Encuentre los valores de a y b por medio de una regresión.

Solución :

Las gráficas en el papel logarítmico representan los puntos como una recta y

para dar esta forma, hacemos las siguientes operaciones:

24

Las temperaturas serán las variables independientes y las solubilidades las

dependientes , tabulando los datos para la aplicación del método de mínimos cuadrados:

x

77 0,87547

100 1,22378

185 1,94591

239 2,40695

285 2,97553

Procediendo con el método obtenemos la ecuación de la recta:


y la interfaz gráfica para el ajuste de curva:

clc,clear disp(' Problema de Aplicación 4.5 ') disp(' -------------------------- ') N=1; X=[77 100 185 239 285]; F=[0.87547 1.22378 1.94591 2.40695 2.97553];M=5; A=zeros(2);A(1,1)=M; for l=1:2*N; s(l)=sum((X.^l)); end for l=0:N; b(l+1)=sum(F.*(X.^l)); end A(1,2:N+1)=s(1:N); for l=2:N+1; A(l,1:N+1)=s(l-1:N+l-1); end b=b';x=A\b; disp(' Solución: ') for l=0:N; fprintf(' El coeficiente a(%d) es: %f\n',l,x(l+1)) end

25

Capitulo IV - Aproximación Funcional e Interpolación 2

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