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127

Víctor Yepes1 and José V. Martí2

variables, al crecer el tiempo de cálculo de forma exponencial con la dimensión del problema. Sin embargo, es posible utilizar en el ámbito de la optimización estructural técnicas aproximadas de optimización heurística, que proporcionan buenas soluciones en tiempos de cálculo razonables. Este grupo de técnicas comprende procedimientos basados en procesos físicos o bioinspirados, tales como los algoritmos genéticos [3], el recocido simulado [4], las colonias de hormigas [5] o las nubes de partículas [6], entre otros. Cohn y Dinovitzer [7] tras revisar los métodos empleados en la optimización de estructuras destacan el vacío existente entre los estudios teóricos y las aplicaciones reales, indicando además que numerosos estudios se han centrado en las estructuras de acero mientras que una porción muy pequeña de estos se ha ocupado del hormigón estructural.

Tanto los primeros trabajos de optimización de las estructuras de hormigón [8] como gran parte de los estudios posteriores, han empleado los algoritmos evolutivos. Una revisión de la aplicación de este tipo de algoritmos al diseño estructural puede consultarse en el trabajo de Kicinger et al. [9]. Sin embargo, nuestro grupo de investigación ha presentado recientemente trabajos tanto con técnicas evolutivas [10,11], como no evolutivas [12‐21], donde se han optimizado estructuras de hormigón armado y pretensado. En particular, se han optimizado económicamente y desde el punto de vista de las emisiones de CO2 muros ménsula de contención de tierras [22,23].

Este tipo de algoritmos, debido a que incluyen un gran número de decisiones aleatorias, alcanzan un resultado distinto en cada ejecución. Así, un problema añadido radica en determinar las veces que el algoritmo se debería ejecutar para que la mejor solución obtenida tuviera una calidad suficiente. Además, sería de gran interés conocer lo alejada que se encuentra dicha solución del óptimo global del problema. Ello supone encontrar un criterio objetivo de parada para un algoritmo multiarranque que conciliase la calidad de la solución con el tiempo de cálculo necesario para su obtención. Si se acepta que el óptimo local encontrado por un algoritmo de búsqueda estocástico puede considerarse como una solución extrema de una muestra aleatoria simple constituida por las soluciones visitadas, entonces se podría aplicar la teoría del valor extremo (Extreme Value Theory: EVT) para estimar el óptimo global del problema. El empleo de la EVT a los métodos heurísticos ya ha sido descrita en trabajos preliminares como en McRoberts [24] y Golden et al. [25]. Giddings et al. [26] han realizado una revisión muy reciente de las técnicas de estimación estadística de los óptimos en los problemas de optimización combinatoria.

En la comunicación se describe una metodología que determina el número de veces que un algoritmo heurístico debe reiniciarse para que el mejor resultado obtenido no difiera más de un umbral predeterminado respecto al valor teórico obtenido mediante la EVT. Para ello, se ha desarrollado una aplicación que diseña de forma automática y optimiza muros de contrafuertes empleados en la contención de tierras, donde las dimensiones, los materiales y las armaduras de refuerzo son dadas de antemano y son variables discretas. Este módulo evalúa el coste de la solución y comprueba que se cumplen con las restricciones impuestas por todos los estados límite relevantes.

El artículo se organiza de la siguiente forma: en la sección 2 se describe el problema de optimización, en la sección 3 se analiza la aplicabilidad de la distribución de Weibull, los resultados se discuten en la sección 4, y por último, en la sección 5 se recogen las conclusiones principales.

128

Automatic counterfort retaining wall design by simulated annealing and extreme value estimation Third International Conference on Mechanical Models in Structural Engineering University of Seville. 24-26 june 2015.

2. OPTIMIZACIÓN DEL COSTE DE LOS MUROS DE CONTRAFUERTES

El problema consiste en minimizar el coste de un muro de contrafuertes de hormigón armado, representado por la función objetivo F de la Eq. (1), de modo que satisfaga las restricciones formuladas en la Eq. (2).

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Obsérvese que x1, x2,..., xn son las variables de diseño del problema, que pueden tomar uno de los valores discretos indicados en la Eq. (3). La función objetivo es el coste por metro lineal de muro de contrafuertes definido en la Eq. (1), donde pi son los precios unitarios (Tabla 1) mientras que mi son las mediciones de las unidades de obra necesarias. La Eq. (2) indica las restricciones geométricas y de constructibilidad, así como todos los estados últimos y de servicio que la estructura ha de cumplir. El esfuerzo principal en computación se requiere para evaluar las restricciones impuestas por los estados límites. Es importante resaltar que en este trabajo no se aceptan soluciones que incumplan las condiciones impuestas por los estados límite.

Tabla 1. Precios unitarios de la función de coste

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Los costes unitarios incluyen los costes de la mano de obra, materiales, medios auxiliares y los costes indirectos. La unidad de excavación incluye los costes de las operaciones de excavación, carga, transporte a vertedero y hormigón de limpieza. El coste de los encofrados comprende su colocación, sujeción y la retirada tras el fraguado del hormigón. El coste de la ferralla incluye el material, su elaboración, su transporte a obra y su colocación. El coste del hormigón incluye los costes de los materiales, la fabricación, la colocación, el vibrado y el curado. Finalmente, la unidad de rellenos comprende la preparación del material, su transporte, el extendido por tongadas y la compactación. No se incluyen unidades comunes que sean independientes de la geometría del muro por no

129

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130





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132


Cada combinación de las 32 variables que define una solución debe comprobarse para validar su diseño. El muro puede fallar por vuelco y deslizamiento, por agotamiento de la capacidad portante del terreno de cimentación y por fallos en el comportamiento estructural. No se consideran otro tipo de mecanismos de fallo como la rotura por deslizamiento profundo del terreno que dependerá de consideraciones geotécnicas que escapan a los objetivos del artículo. La magnitud de los empujes del terreno sobre el paramento que lo contiene depende de la deformabilidad de éste. En los muros el terreno ejerce sobre el alzado el denominado empuje activo, al tratarse de estructuras con suficiente deformabilidad. La obtención de estos empujes puede realizarse con el modelo de Coulomb admitiendo que el terreno es granular, suficientemente drenado y que la coronación del relleno es un plano. Por otra parte, en el terreno frente a la puntera se moviliza un empuje pasivo trapezoidal que actúa sobre el canto de la zapata, oponiéndose al movimiento de la estructura. Su evaluación se ha realizado según la teoría de Rankine para materiales granulares sin cohesión. La comprobación de las tensiones sobre el terreno de cimentación en condiciones de servicio se realiza considerando una distribución rectangular. Sin embargo, la incertidumbre en la determinación de ángulo de rozamiento interno del material de relleno puede provocar un incremento no despreciable del empuje sobre el muro. Se ha comprobado además, según propone Calavera [1], que un incremento del 50% en los empujes no supera en dos veces la presión admisible del terreno. La Eq. (2) representa las restricciones impuestas por las normas [27] para el diseño de este tipo de estructuras de hormigón e incluyen la comprobación de los estados límites últimos de flexión y cortante para la envolvente de esfuerzos originados. El cálculo de la estructura se ha realizado siguiendo las consideraciones recogidas por Calavera [1] y por la guía de cimentaciones en obras de carretera[28].

2.3. Algoritmo de recocido simulado

El algoritmo empleado en este estudio es el “recocido simulado” (simulated annealing –SA‐). Kirkpatrick et al. [4] y Černy [29] propusieron de forma independiente esta técnica inspirándose en los trabajos sobre Mecánica Estadística de Metrópolis et al. [30]. El nombre “recocido” al que hace referencia el método es el proceso consistente en calentar y enfriar un material de manera controlada. La energía de un sistema termodinámico se compara con la función de coste evaluada para una solución admisible de un problema de optimización. Si existe un descenso suave de la temperatura, el metal adquirirá una estructura cristalina que corresponderá a un estado termodinámico de mínima energía. Si se enfría demasiado rápido, las moléculas pueden llegar a estados meta‐estables, sin alcanzar configuraciones adecuadas. Este símil termodinámico es el que ha permitido el diseño de un algoritmo de optimización heurística, considerando que los estados alcanzados son cada una de las soluciones y que la energía es la función objetivo.

El criterio de aceptación de nuevas soluciones está gobernado por la expresión de Glauber [31] 1/(1+exp(‐ΔE/T)), donde ΔE es el incremento del coste y T es un parámetro denominado temperatura. El algoritmo comienza con una solución generada aleatoriamente y con una temperatura inicial elevada. La solución de trabajo inicial se modifica por un pequeño movimiento al azar de los valores de las variables. La nueva solución se comprueba en términos de coste, aceptándose algunas de mayor coste cuando un número aleatorio entre 0 y 1 es más pequeño que la expresión exp(‐ΔE/T). Dicha solución se comprueba estructuralmente, y si es factible se adopta como nueva solución. La temperatura inicial se reduce geométricamente (T=kT) por medio de un coeficiente de enfriamiento k.

133


En cada paso de temperatura se ejecutan un número determinado de iteraciones denominado cadena de Markov. El algoritmo se detiene cuando la temperatura queda reducida a un porcentaje pequeño de la temperatura inicial y, simultáneamente, no hay mejoras en un número consecutivo de cadenas de Markov. Este método, es capaz de sobrepasar óptimos locales en temperaturas de rango alto‐medio para converger gradualmente cuando la temperatura se reduce a cero.

El método del SA requiere la calibración de la temperatura inicial, de la longitud de las cadenas de Markov y del coeficiente de enfriamiento. En este caso, la calibración para el problema del muro de contrafuertes de 11 m de altura, llevó a un coeficiente de enfriamiento de 0,95, una longitud de 50000 en la cadena de Markov y un movimiento de variación simultánea del 15% de las variables. La temperatura inicial se calcula siguiendo el método propuesto por Medina [32]. Como criterio de parada se eligió el cumplimiento de una reducción mínima del 10% de la temperatura inicial y seis cadenas sin mejora.

3. LA FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN DE WEIBULL

La función de distribución de Weibull puede expresarse como:

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0

,0

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x

xx

xFX (3)

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donde γ es el parámetro de posición, η es el parámetro de escala y β es el parámetro de forma.

Esta función fue desarrollada por Weibull [33] para estimar el comportamiento tensional de los materiales. La función pertenece a la familia de distribuciones de valores extremos. Fisher y Tippett [34] demostraron que si se extraen muestras de tamaño m de una población cuyo valor extremo es γ, conforme crece el valor de m, la distribución formada por los valores extremos de dichas muestras tienden a una distribución Weibull de tres parámetros, donde γ es el parámetro de posición de la función.

La aplicación de esta función de distribución se basa en que el óptimo local alcanzado por el algoritmo constituye un mínimo respecto a un amplio conjunto de soluciones consideradas durante el proceso de búsqueda. La población de soluciones del problema de optimización considerado es extraordinariamente alto, pero finito, por lo que se asume que el espacio discreto de soluciones se aproxima suficientemente bien a esta distribución continua. Si es posible ajustar el conjunto de óptimos locales obtenidos mediante la heurística SA a una distribución Weibull, entonces el parámetro γ puede estimar el óptimo global del problema. Para ello, se va a utilizar una metodología

134


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135


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Tabla 3. Resultados del muro de contrafuertes de 11 m de menor coste

Resultado Valor

Presupuesto 2610,71€/mCanto de la zapata 0,81 mEspesor del muro 0,47 mLongitud de la puntera 0,43 mLongitud del talón 6,15 mEspesor del contrafuerte 0,25 mDistancia entre contrafuertes 4,10 mTipo de hormigón HA‐25Tipo de acero B500Volumen de hormigón 16,078 m3/mPeso de acero 312,455 kg/m

A continuación vamos a comprobar que se puede aplicar la teoría del valor extremo a la muestra de soluciones obtenida. En primer lugar se debe verificar que no existen evidencias significativas de que la muestra de 1400 resultados obtenidos por SA procede de una distribución Weibull de tres parámetros; en segundo lugar, se debe comprobar que las 1400 soluciones de mínimo coste encontradas por el algoritmo SA son independientes (ver Fisher y Tippet [34]); por último, el coeficiente de correlación del ajuste de los resultados a la distribución debe ser suficientemente alto.

Para comprobar el ajuste a una distribución se pueden emplear pruebas no paramétricas como las de Kolmogorov‐Smirnov y la de χ2 de Pearson (ver, por ejemplo, Conover [36]), siempre que se asuma la independencia del muestreo. Se verifica que ambos estadísticos se encuentran muy por debajo del valor crítico correspondiente a un nivel de significación del 0,05. Por tanto, no existe razón para rechazar la hipótesis de pertenencia de la muestra a la distribución de Weibull.

Una de las premisas subyacentes en la teoría del valor extremo es la independencia de cada una de las muestras, es decir, que cada una de las soluciones obtenidas por el algoritmo SA debe ser independiente de las restantes. Este supuesto se basa en que el proceso de búsqueda del algoritmo SA se inicia desde una solución aleatoria. Para confirmar la independencia se ha empleado el contraste de rachas de Wald‐Wolfowitz a las 1400 soluciones obtenidas siguiendo el orden en que aparecieron (ver, por ejemplo, Conover [36]). En nuestro caso, se comprueba que no es posible rechazar la hipótesis nula de que los resultados sean independientes. Los datos, pues, proceden de una muestra aleatoria.

Finalmente, se deben calcular los parámetros que mejor encajen con la muestra de 1400 resultados obtenidos por SA y cuantificar dicho ajuste. Pueden utilizarse distintos métodos de estimación como el método de los momentos, el de máxima verosimilitud, de mínimos cuadrados, etc. (ver Dannenbring [37], Golden et al. [25], Vasko y Wilson [38]). En este trabajo se ha manejado el software de ReliaSoft’s Weibull++7 [39] para estimar los tres parámetros de la distribución de Weibull. Se han utilizado tanto los métodos de máxima verosimilitud como el de regresión en Y (de acuerdo con el

136


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5 a 1000,

137


respectivamente. También se advierte que, si bien la diferencia entre γmáx y γmin baja consecutivamente, la divergencia entre Cmin y γmin se estabiliza a partir de las 100 ejecuciones.

Tabla 4. Coste mínimo y parámetros estimados para 9 muestras mediante extracción con reemplazamiento del conjunto de 1400 ejecuciones

Ejecuciones Cmin máx mín

5 2613,42 2623,03 2469,96 10 2616,88 2620,46 2523,96 25 2611,24 2610,39 2575,54 50 2610,71 2605,33 2561,97

100 2610,71 2599,48 2594,60 500 2610,71 2597,08 2594,60

1000 2610,71 2595,10 2594,60

Como el número de óptimos locales conocidos depende de las ejecuciones realizadas, se puede aplicar la técnica bootstrap [40] para estimar los parámetros. Ésta técnica se basa en tratar una muestra aleatoria de n observaciones como si fuera toda la población, de la cual se extraen nuevas muestras utilizando el reemplazamiento de los individuos seleccionados. Este método se ha empleado con éxito en problemas que serían complicados de resolver mediante herramientas estadísticas tradicionales o en situaciones donde las técnicas clásicas no son aplicables [41].

Se ha repetido la estimación de la variabilidad del parámetro de posición mediante 9 muestras obtenidas mediante la selección aleatoria con reemplazamiento de entre el conjunto de óptimos locales encontrados. En la Figura 8 se ha representado la evolución del coste mínimo y de los parámetros γmáx y γmin correspondientes a las 9 muestras extraídas mediante bootstrap para 5, 10, 25, 50, 100, 500 y 1000 ejecuciones.

La diferencia relativa entre γmáx y γmín baja con el número de ejecuciones, pasando del 1,509% en el caso de 5, al 0,030% en el caso de 1000. En cuanto a la diferencia relativa entre el coste mínimo y el parámetro γmín estimado, ésta se ha mantenido del 1,903% al 0,621%, cuando se pasa de 5 a 1000 ejecuciones del algoritmo SA (Tabla 5).

Con la metodología explicada se puede establecer un criterio de parada que sea objetivo para un algoritmo multiarranque basado en la búsqueda local SA. En efecto, partiendo desde una solución aleatoria, se puede emplear una búsqueda local que nos lleve a una solución de coste mínimo. Con distintos arranques se obtiene una muestra de óptimos locales que permiten, mediante la técnica bootstrap, extraer 9 muestras para determinar la diferencia entre el coste mínimo alcanzado hasta ese momento y el mínimo teórico estimado mediante una distribución Weibull, además de la diferencia entre el valor máximo y mínimo de los parámetros γ estimados. El algoritmo multiarranque se detendrá cuando tanto la diferencia entre el mínimo encontrado y el teórico como la variabilidad de los parámetros de posición no superen determinada cota. En el caso estudiado, si se establece que es suficiente que la variabilidad en la determinación del parámetro de posición γ sea inferior al 1% y que la diferencia entre el coste mínimo alcanzado y el teórico sea inferior al 1%, interpolando en la Tabla 5, hubieran sido necesarias 82 ejecuciones de SA.

138


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Ta

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25252525252525

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567,29 520,79 579,20 572,66 598,50 594,60 594,60

ara optimizas que confo

ámetros, siealgoritmo.

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AGRADECIMIENTOS

Los autores agradecen la financiación del Ministerio de Ciencia e Innovación (Proyecto de Investigación BIA2011‐23602) y de la Universitat Politècnica de València (Proyecto de Investigación SP20120341).

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