ANALISIS INTERVENSI MULTI INPUT FUNGSI STEP DAN PULSE

DALAM MODEL SEASONAL AUTOREGRESSIVE INTEGRATED

MOVING AVERAGE (SARIMA)

(Skripsi)

Oleh

LIZA FITRIANI

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS LAMPUNG

BANDAR LAMPUNG

2019

ABSTRACT

MULTI INPUT INTERVENTION ANALYSIS WITH STEP AND PULSE

FUNCTIONS IN SEASONAL AUTOREGRESSIVE INTEGRATED

MOVING AVERAGE MODEL (SARIMA)

By

Liza Fitriani

Intervention model is one of time series models that can be used to forecast data

consist of disturbance or intervention that come from internal or external factors.

Generally there are two kinds of intervention function i.e. step and pulse

functions. This research is focused on time series data that have seasonal factor

and multi input intervention, so that the model used on multi input intervention

analysis is SARIMA model as an initial identification model. In this research,

practical learning is applied to the monthly data on the number of train passengers

in Indonesia. Intervention variables that are used in this research are limitation on

the number of passengers at August 2011 as pulse function and implementation of

E-ticketing and progressive tariffs since July 2013 as step function. The results of

the analysis showed that the effect of limitation on the number of passengers gives

negative effect, whereas implementation of E-ticketing and progressive tariffs

gives positive effect to the number of train passengers in Indonesia.

Keywords: SARIMA, Multi Input Intervention Analysis with Step and Pulse

Functions.

ABSTRAK

ANALISIS INTERVENSI MULTI INPUT FUNGSI STEP DAN PULSE

DALAM MODEL SEASONAL AUTOREGRESSIVE INTEGRATED

MOVING AVERAGE (SARIMA)

Oleh

Liza Fitriani

Model intervensi adalah suatu model deret waktu yang daat digunakan untuk

memodelkan dan meramalkan data yang mengandung goncangan atau intervensi

baik dari faktor internal mauun internal. Ada dua fungsi utama yang digunakan

dalam model intervensi yaitu fungsi step dan pulse. Penelitian ini mengkaji data

deret waktu yang memiliki faktor musiman dan intervensi multi input, sehingga

model yang digunakan ada analisis intervensi multi input adalah model SARIMA

sebagai model identifikasi awal. Pada penelitian ini, kajian terapan dilakukan

pada data bulanan jumlah penumpang Kereta Api Indonesia. Variabel intervensi

yang digunakan pada penelitian ini adalah pembatasan jumlah penumpang pada

Agustus 2011 sebagai fungsi pulse dan penerapan E-ticketing dan tarif progresif

pada Juli 2013 sebagai fungsi step. Hasil analisis yang dilakukan menunjukkan

bahwa pengaruh pembatasan jumlah penumpang memberikan efek negatif,

sedangkan penerapan E-ticketing dan tarif progresif memberikan efek positif bagi

jumlah penumpang Kereta Api Indonesia.

Keywords: SARIMA, Analisis Intervensi Multi Input Fungsi Step dan Pulse.

ANALISIS INTERVENSI MULTI INPUT FUNGSI STEP DAN PULSE

DALAM MODEL SEASONAL AUTOREGRESSIVE INTEGRATED

MOVING AVERAGE (SARIMA)

Oleh

Liza Fitriani

Skripsi

Sebagai Salah Satu Syarat untuk Mencapai Gelar

SARJANA SAINS

Pada

Jurusan Matematika

Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS LAMPUNG

BANDAR LAMPUNG

2019

RIWAYAT HIDUP

Penulis dilahirkan di Penengahan pada tanggal 27 Januari 1997, sebagai anak

pertama dari tiga bersaudara dari pasangan Bapak Toizir dan Ibu Yulinda.

Penulis telah menempuh Pendidikan di TK Aisyiyah Bustanul Athfal Pardasuka

tahun 2002-2003, Sekolah Dasar Negeri (SDN) 2 Penengahan tahun 2003-2009,

Sekolah Menengah Pertama Negeri (SMPN) 1 Pardasuka tahun 2009-2012, dan

Sekolah Menengah Atas Negeri (SMAN) 1 Pringsewu pada 2012-2015.

Pada tahun 2015 penulis terdaftar sebagai Mahasiswi Program Studi S1

Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas

Lampung melalui jalur SBMPTN. Selama menjadi mahasiswi, penulis bergabung

di Generasi Muda Matematika (GEMATIKA) periode 2015-2016, pengurus

Himpunan Mahasiswa Jurusan Matematika (HIMATIKA) sebagai anggota Biro

Dana dan Usaha periode 2016 dan 2017, anggota Departemen Komunikasi dan

Informasi BEM FMIPA Unila 2017, dan bendahara Departemen Advokasi dan

Kesejahteraan Mahasiswa BEM FMIPA Unila 2018.

Pada bulan Januari sampai dengan Februari 2018 penulis melaksanakan Kerja

Praktik (KP) di Badan Pusat Statistik Kota Bandar Lampung guna menerapkan

ilmu yang telah diperoleh sewaktu kuliah. Pada bulan Juli sampai dengan

Agustus 2018 penulis melaksanakan Kuliah Kerja Nyata (KKN) Kebangsaan di

Desa Adi Luhur, Kecamatan Jabung, Kabupaten Lampung Timur.

KATA INSPIRASI

Siapa yang menjadikan cita-citanya untuk menggapai akhirat, maka Allah akan cukupkan

baginya dunianya, dan barangsiapa yang menjadikan cita-citanya hanya untuk mencari

dunia, maka Allah tidak peduli di lembah mana ia binasa.

(HR. Ibnu Majah)

Jika kamu berbuat baik (berarti) kamu berbuat baik bagi dirimu sendiri dan jika kamu berbuat

jahat, maka (kejahatan) itu bagi dirimu sendiri.

(QS. Al-Isra:7)

Waktu adalah pedang, jika kamu tidak menebasnya maka ialah yang akan menebasmu.

(Imam Syafi’i)

PERSEMBAHAN

Dengan mengucap Alhamdulillah, puji syukur kehadirat Allah SWT.

Ku persembahkan karya kecil dan sederhana ini kepada:

Ayah dan Emak tercinta yang telah mengasihi dan menyayangiku dengan penuh rasa tulus

dan telah berjuang dengan ikhlas, tak kenal lelah dan waktu. Senantiasa berdoa di setiap

jejak langkah kakiku dan memberiku semangat ketika diriku mulai merasa gentar melewati ini

semua.

Adik-adikku, keluarga, dan sahabat yang telah memberi semangat dan doa yang tidak akan

terbayarkan oleh apapun.

Dosen pembimbing dan penguji yang telah mengarahkan dan memberi motivasi keada penulis.

Almamater tercinta, Universitas Lampung.

SANWACANA

Alhamdulillah puji syukur kepada Allah SWT yang telah melimpahkan segala

rahmat dan hidayah-Nya sehingga skripsi ini dapat terselesaikan. Shalawat serta

salam semoga selalu tercurah kepada junjungan alam Nabi Muhammad SAW,

penuntun jalan bagi seluruh umat manusia. Skripsi yang berjudul “Analisis

Intervensi Multi Input Fungsi Step dan Pulse dalam Model Seasonal

Autoregressive Integrated Moving Average (SARIMA)” adalah salah satu syarat

untuk memperoleh gelar Sarjana Sains di Universitas Lampung.

Penulis menyadari bahwa terselesainya skripsi ini tidak akan terwujud tanpa

bantuan dan doa dari mereka yang senantiasa mendukung penulis. Oleh karena

itu, penulis ingin mengucapkan terimakasih kepada:

1. Ibu Dr. Khoirin Nisa, M.Si., selaku dosen pembimbing satu yang telah

membimbing, mengarahkan, dan memotivasi penulis.

2. Bapak Agus Sutrisno, S.Si., M.Si., selaku dosen pembimbing kedua yang

telah memberikan pengarahan dalam proses penyusunan skripsi ini.

3. Bapak Drs. Eri Setiawan, M.Si., selaku penguji atas saran dan kritik yang

diberikan untuk skripsi ini.

4. Ibu Dr. Notiragayu, M.Si., selaku dosen pembimbing akademik yang telah

membimbing penulis selama mengikuti perkuliahan.

5. Ibu Prof. Dra. Wamiliana, M.A., Ph.D., selaku Ketua Jurusan Matematika

Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Lampung.

6. Bapak Drs. Suratman, M.Sc., selaku Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu

Pengetahuan Alam Universitas Lampung.

7. Ayah dan Emak tercinta yang selalu mendoakan, memberi dukungan, dan

kasih sayang yang tulus kepada penulis.

8. Adik-adikku, Dwi dan Suci yang selalu memberi semangat dan dukungan

untuk menyelesaikan skripsi ini.

9. Sahabat-sahabat penulis (Anggun, Dhenty, Pipin, Riza, Ulfa, Wilda) yang

selalu memberikan dukungan dan pengalaman yang indah.

10. Departemen Adkesma beserta pimpinan BEM FMIPA Unila 2018.

11. Teman-teman Jurusan Matematika angkatan 2015, serta Keluarga

HIMATIKA.

12. Seluruh pihak yang telah memotivasi, membantu, dan mendoakan penulis

yang tidak dapat disebutkan satu per satu.

Bandar Lampung, Juli 2019

Penulis,

Liza Fitriani

NPM. 1517031166

DAFTAR ISI

Halaman

DAFTAR TABEL .............................................................................................xvi

DAFTAR GAMBAR .........................................................................................xvii

I. PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang dan Masalah ............................................................ 1

1.2 Batasan Masalah............................................................................... 3

1.3 Tujuan Penelitian ............................................................................. 3

1.4 Manfaat Penelitian ........................................................................... 3

II. TINJAUAN PUSTAKA

2.1 Data Deret Waktu ............................................................................. 4

2.2 Stasioneritas ..................................................................................... 7

2.2.1 Stasioneritas Terhadap Ragam ............................................. 9

2.2.2 Stasioneritas Terhadap Nilai Tengah ................................... 10

2.3 Fungsi Autokorelasi (ACF) .............................................................. 12

2.4 Fungsi Autokorelasi Parsial (PACF) ................................................ 15

2.5 Model Autoregressive (AR) ............................................................. 20

2.6 Model Moving Average (MA) .......................................................... 22

2.7 Model Autoregressive Moving Average (ARMA) ........................... 24

2.8 Model Autoregressive Integrated Moving Average (ARIMA) ........ 25

2.9 Model Seasonal Autoregressive Integrated Moving Average

(SARIMA) ....................................................................................... 27

2.10 Proses White Noise ........................................................................... 28

2.11 Analisis Intervensi ............................................................................ 30

2.11.1 Model Intervensi Input Tunggal Fungsi Step .................... 32

2.11.2 Model Intervensi Input Tunggal Fungsi Pulse .................. 33

2.11.3 Model Intervensi Multi Input ............................................ 34

2.11.4 Analisis Intervensi Multi Input dalam Model SARIMA ... 35

2.12 Estimasi Parameter Model ............................................................... 36

2.13 Uji Normalitas .................................................................................. 38

2.14 Kriteria Pemilihan Model ................................................................ 39

III. METODOLOGI PENELITIAN

3.1 Waktu dan Tempat Penelitian .......................................................... 40

3.2 Data Penelitian ................................................................................. 40

3.3 Metode Penelitian............................................................................. 40

IV. HASIL DAN PEMBAHASAN

4.1 Analisis Intervensi Multi Input Fungsi Step dan Pulse dalam

Model SARIMA ............................................................................... 44

4.2 Estimasi Model Intervensi Multi Input Fungsi Step dan Pulse

dalam Model SARIMA .................................................................... 46

4.3 Aplikasi Penggunaan Analisis Intervensi Multi Input dalam

SARIMA .......................................................................................... 48

4.3.1 Pemodelan Seasonal Autoregressive Integrated Moving

Average (SARIMA) ............................................................. 50

4.3.1.1 Identitas Model SARIMA ...................................... 50

4.3.1.2 Estimasi Parameter Model SARIMA .................... 56

4.3.1.3 Evaluasi Model SARIMA ...................................... 57

4.3.1.4 Pemilihan Model SARIMA Terbaik ...................... 59

4.3.2 Pemodelan Intervensi Pertama ............................................. 61

4.3.2.1 Identifikasi Orde Intervensi Pertama ..................... 61

4.3.2.2 Estimasi Parameter Intervensi Pertama ................. 63

4.3.2.3 Evaluasi Model Intervensi Pertama ....................... 63

4.3.3 Pemodelan Intervensi Kedua ............................................... 65

4.3.3.1 Identifikasi Orde Intervensi Kedua ........................ 66

4.3.3.2 Estimasi Parameter Intervensi Kedua .................... 67

4.3.3.3 Evaluasi Model Intervensi Kedua .......................... 68

4.3.4 Peramalan Jumlah Penumpang KAI Menggunakan Model

Intervensi Multi Input dalam SARIMA ............................... 71

V. KESIMPULAN

DAFTAR PUSTAKA

LAMPIRAN

DAFTAR TABEL

Tabel Halaman

2.1 Transformasi Parameter Box-Cox ............................................................... 10

4.1 Hasil Pengujian Signifikansi Dugaan Model SARIMA .............................. 56

4.2 Hasil Uji Ljung-Box Sembilan Model yang Memenuhi Uji Signifikansi ... 58

4.3 Hasil Uji Kolmogorov-Smirnov Sembilan Model yang Memenuhi Uji

Signifikansi .................................................................................................. 59

4.4 Nilai AIC, AICc, dan BIC untuk Model yang Signifikan, White Noise,

dan Normal .................................................................................................. 60

4.5 Estimasi Parameter Intervensi Pertama ....................................................... 63

4.6 Estimasi Parameter Intervensi Kedua .......................................................... 68

4.7 Hasil Peramalan Jumlah Penumpang KAI Mei 2019-April 2020 ............... 71

DAFTAR GAMBAR

Gambar Halaman

2.1 Pola Horizontal ............................................................................................ 5

2.2 Pola Musiman .............................................................................................. 6

2.3 Pola Trend .................................................................................................... 6

2.4 Pola Siklis .................................................................................................... 7

4.1 Plot Data Jumlah Penumpang KAI Januari 2006-April 2019 ..................... 48

4.2 Plot Jumlah Penumpang KAI Januari 2006-Juni 2011 ................................ 50

4.3 Pengecekan Stasioneritas Data Terhadap Ragam ........................................ 51

4.4 Nilai λ Hasil Transformasi Box-Cox II ....................................................... 52

4.5 Plot Hasil Differencing Non-Musiman ........................................................ 53

4.6 Plot Differencing Musiman.......................................................................... 54

4.7 Plot ACF Differencing Non–Musiman ........................................................ 55

4.8 Plot PACF Differencing Non–Musiman ...................................................... 55

4.9 Plot ACF Differencing Musiman ................................................................. 55

4.10 Plot PACF Differencing Musiman .............................................................. 55

4.11 Plot Perbandingan antara dengan Hasil Peramalan Model SARIMA .... 61

4.12 Plot residual dari Data Jumlah Penumpang KAI Setelah Intervensi

Pertama dan Sebelum Intervensi Kedua ...................................................... 62

4.13 Plot Perbandingan antara dengan Hasil Peramalan Model Intervensi

Pertama ........................................................................................................ 66

4.14 Plot Residual dari Data Jumlah Penumpang KAI Setelah Intervensi

Kedua ........................................................................................................... 67

4.15 Plot Hasil Peramalan Model Intervensi Kedua ............................................ 73

1

I. PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang dan Masalah

Data deret waktu merupakan deretan observasi (pengamatan) yang diambil secara

berurutan berdasarkan waktu dengan interval yang sama baik dalam harian,

mingguan, bulanan, tahunan atau yang lainnya (Box, dkk, 1994). Studi yang

berkaitan dengan deret waktu disebut analisis deret waktu. Analisis deret waktu

merupakan salah satu prosedur statistika yang diterapkan untuk meramalkan

struktur probabilitas keadaan yang akan datang dalam rangka pengambilan

keputusan (Aswi dan Sukarna, 2006).

Pemodelan deret waktu seringkali dikaitkan dengan proses peramalan

(forecasting) suatu nilai karakteristik tertentu pada periode yang akan datang.

Peramalan sangat penting dalam pengambilan keputusan karena efektif atau

tidaknya suatu keputusan umumnya tergantung pada beberapa faktor yang tidak

dapat dilihat pada waktu keputusan itu diambil (Soejoeti, 1987). Data deret waktu

yang digunakan dalam peramalan seringkali mengandung gangguan noise yang

dapat mempengaruhi pola data deret waktu. Gangguan tersebut dapat disebabkan

oleh berbagai faktor baik faktor eksternal maupun faktor internal, seperti bencana

alam, peraturan pemerintah, kestabilan ekonomi, kerusuhan, dan terorisme.

Faktor-faktor itulah yang disebut intervensi (Nuvitasari, dkk, 2009).

2

Pada analisis deret waktu, pemodelan data yang dilakukan tanpa memperhatikan

efek dari intervensi akan menghasilkan nilai kesalahan model (error) yang besar.

Nilai error yang semakin besar mengakibatkan model yang diperoleh menjadi

tidak akurat dan tentunya model tersebut kurang sesuai untuk menggambarkan

data yang diamati. Efek dari intervensi pada suatu data deret waktu dapat

dianalisis dengan menggunakan suatu metode yang disebut analisis intervensi

(Wanto, 2016).

Secara umum ada dua variabel dalam model intervensi, yaitu fungsi step dan

pulse. Fungsi step adalah suatu bentuk intervensi yang terjadi dalam kurun waktu

yang panjang, sedangkan fungsi pulse adalah suatu bentuk intervensi yang terjadi

hanya dalam suatu waktu tertentu (Suhartono, 2007). Model intervensi yang

mengandung intervensi fungsi pulse dan step disebut analisis intervensi multi

input. Beberapa penelitian mengenai analisis intervensi, yaitu pengaruh

pemberlakuan undang-undang desain mesin terhadap tingkat polusi oxcidant di

daerah Los Angeles (Box dan Tiao, 1975), analisis intervensi kenaikan harga

BBM bersubsidi pada data inflasi kota Semarang (Ariyani, dkk, 2015), analisis

intervensi fungsi step pada kasus jumlah pengiriman benda pos ke Semarang pada

tahun 2006-2011 (Crystine, dkk, 2014).

Penelitian-penelitian tersebut terbatas pada analisis intervensi dengan model

identifikasi awal yang digunakan adalah model ARIMA. Namun, apabila data

deret waktu yang digunakan tersebut mengandung faktor musiman, maka model

yang digunakan sebagai model identifikasi awal pada analisis intervensi adalah

model Seasonal Autoregressive Integrated Moving Average (SARIMA).

3

Musiman mengartikan bahwa data memiliki kecenderungan mengulangi pola

tingkah gerak dalam periode musim baik dalam mingguan, bulanan, triwulan,

ataupun semesteran. Dalam penelitian ini akan dilakukan analisis intervensi multi

input dengan model identifikasi awal yang digunakan adalah model SARIMA.

1.2 Batasan Masalah

Dalam penelitian ini pemodelan dan peramalan data hanya dilakukan pada data

deret waktu yang berbasis pada model seasonal ARIMA (SARIMA) dan

mengandung intervensi multi input fungsi step dan pulse.

1.3 Tujuan Penelitian

Penelitian ini bertujuan untuk mendapatkan model dan hasil peramalan dari suatu

data deret waktu yang mengandung faktor musiman dan intervensi multi input

fungsi step dan pulse.

1.4 Manfaat Penelitian

Manfaat dari penelitian ini adalah sebagai referensi dalam melakukan pemodelan

dan peramalan data deret waktu yang lebih akurat terhadap data deret waktu yang

mengandung faktor musiman dan intervensi multi input fungsi step dan pulse.

4

II. TINJAUAN PUSTAKA

2.1 Data Deret Waktu

Data deret waktu adalah deretan observasi (pengamatan) yang diambil secara

berurutan berdasarkan waktu dengan interval yang sama baik dalam harian,

mingguan, bulanan, tahunan atau yang lainnya (Box, dkk, 1994). Prinsip dasar

deret waktu adalah pengamatan sekarang ( ) dipengaruhi oleh satu atau

beberapa pengamatan sebelumnya ( ), dengan kata lain model deret waktu

dibuat karena secara statistik ada korelasi antara deret pengamatan.

Metode deret waktu adalah metode peramalan dengan menggunakan analisa pola

hubungan antara variabel yang akan diperkirakan dengan variabel waktu. Adapun

metode peramalan data deret waktu, antara lain metode smoothing, metode Box–

Jenkins (ARIMA), metode proyeksi trend dengan regresi. Hal yang perlu

diperhatikan dalam melakukan peramalan adalah galat (error) yang tidak dapat

dipisahkan dalam metode peramalan. Hasil ramalan akan semakin baik

(mendekati data asli) jika nilai error yang dimiliki semakin kecil. Dengan adanya

data deret waktu, maka pola gerakan data dapat diketahui. Data deret waktu dapat

dijadikan sebagai dasar untuk pembuatan keputusan pada saat in, peramalan

keadaan suatu data deret waktu pada masa yang akan datang, dan perencanaan

kegiatan untuk masa depan.

5

Analisa data deret waktu adalah analisa yang menerangkan dan mengukur

berbagai perubahan atau perkembangan data selama satu periode (Hasan, 2002).

Analisis deret waktu dilakukan untuk memperoleh pola data deret waktu dengan

menggunakan data masa lalu yang akan digunakan untuk meramalkan suatu nilai

pada masa yang akan datang. Pada deret waktu terdapat empat macam tipe pola

data, yaitu:

1. Horizontal

Tipe data horizontal ialah ketika data observasi berubah-ubah di sekitar tingkatan

atau rata-rata yang konstan. Sebagai contoh penjualan tiap bulan suatu produk

tidak meningkat atau menurun secara konsisten pada suatu waktu. Berikut adalah

contoh plot data deret waktu yang mengikuti pola horizontal (stasioner).

Gambar 2.1. Pola Horizontal

2. Musiman (Seasonal)

Tipe data seasonal ialah ketika observasi dipengaruhi oleh musiman, yang

ditandai dengan adanya pola perubahan yang berulang baik dalam mingguan,

bulanan, triwulan, ataupun semesteran. Oleh karena itu, runtun waktu musiman

mempunyai karakteristik yang ditunjukkan oleh adanya korelasi beruntun yang

kuat pada jarak musiman (periode musiman), yaitu waktu yang berkaitan dengan

Y

t

6

banyak observasi pada periode musim. Faktor utama yang menyebabkan pola ini

adalah iklim dan kebiasaan. Berikut adalah contoh plot data deret waktu yang

mengikuti pola musiman.

Gambar 2.2. Pola Musiman

3. Trend

Trend melukiskan gerak data deret waktu selama jangka waktu yang cukup lama.

Gerak ini mencerminkan sifat kontinuitas atau keadaan yang terus menerus dari

waktu ke waktu selama jangka waktu tertentu. Dengan sifat kontinuitas ini, maka

trend dianggap sebagai gerak stabil dan menunjukkan arah perkembangan secara

umum (kecenderungan naik/turun). Trend sangat berguna untuk membuat

peramalan (forecasting) yang merupakan perkiraan untuk masa depan yang

diperlukan bagi perencanaan.

Gambar 2.3. Pola Trend

Y

t

t

Y

7

Trend dibedakan menjadi dua jenis, yakni :

a. Trend Linear: mengikuti pola garis lurus ( )

b. Trend Non Linear: mengikuti pola lengkung (parabola, eksponensial,

logaritma, dan lain-lain).

4. Cyclical

Tipe data cyclical ditandai dengan adanya fluktuasi bergelombang data yang

terjadi di sekitar garis trend. Gerak siklis adalah gerak/variasi jangka panjang di

sekitar garis trend (temponya lebih pendek). Gerak siklis terjadi berulang-ulang

namun tidak perlu periodik, artinya bisa berulang setelah jangka waktu tertentu

atau bisa juga tidak berulang dalam jangka waktu yang sama. Gerak siklis

melukiskan terjadinya empat fase kejadian dalam jangka waktu tertentu, yakni

kemajuan, kemunduran, depresi dan pemulihan. Berikut adalah plot data deret

waktu yang mengikuti pola siklis.

Gambar 2.4. Pola Siklis

2.2 Stasioneritas

Stasioneritas merupakan asumsi yang sangat diperlukan dalam analisis deret

waktu untuk meminimalisir kesalahan pemodelan. Data deret waktu yang

Y

t

8

memenuhi asumsi stasioneritas mempunyai rataan dan ragam yang konstan

dengan kovarians dan korelasi yang tergantung hanya pada selisih waktu (Wei,

2006). Kestasioneran data ini berkaitan dengan metode estimasi yang digunakan.

Selain itu, apabila data yang digunakan dalam model ada yang tidak stasioner,

maka data tersebut dipertimbangkan kembali validitas dan kestabilannya. Salah

satu penyebab tidak stasionernya sebuah data adalah adanya autokorelasi. Bila

data distasionerkan maka autokorelasi akan hilang dengan sendirinya, karena itu

transformasi data untuk membuat data yang tidak stasioner menjadi stasioner

sama dengan transformasi data untuk menghilangkan autokorelasi. Suatu data

deret waktu dikatakan stasioner jika untuk setiap , maka:

(i) ( ) ( ) (2.1)

(ii) ( ) (2.2)

(iii) ,( )( )-, (2.3)

dengan adalah autokovarians pada lag-k, nilai dan untuk setiap adalah

konstan.

Apabila suatu data deret waktu mempunyai ragam yang tidak stasioner, maka

perlu dilakukan transformasi terhadap data tersebut untuk membuat ragam data

menjadi stasioner. Transformasi yang banyak digunakan adalah transformasi

Box-Cox. Sementara itu untuk data deret waktu yang mempunyai nilai rataan

tidak stasioner, maka dapat digunakan proses pembedaan (differencing) (Wanto,

2016).

9

2.2.1 Stasioner Terhadap Ragam

Data deret waktu dikatakan stasioner terhadap ragam apabila data tersebut

berfluktuasi terhadap varians yang tetap dari waktu ke waktu (horizontal

sepanjang sumbu waktu), dengan kata lain nilai ragamnya konstan untuk semua .

Ragam yang tidak konstan menyebabkan data menjadi tidak stasioner terhadap

ragamnya. Modifikasi dilakukan agar data stasioner pada ragam dengan

melakukan transformasi pada data deret waktu. Apabila standar deviasi dari data

deret waktu proporsional terhadap data aslinya, maka modifikasi yang dapat

dilakukan adalah logaritma asli (ln) sedemikian sehingga deret yang baru

memiliki varians yang konstan. Akan tetapi, apabila ragam dari data deret waktu

proporsional terhadap data aslinya, maka modifikasi yang dapat dilakukan adalah

akar kuadrat untuk memperoleh varians yang konstan (Pankratz, 1991). Pada

tahun 1964, Box dan Cox memperkenalkan suatu transformasi bentuk pangkat

yang disebut dengan transformasi Box-Cox. Transformasi Box-Cox didefinisikan

sebagi berikut:

( ) {

(2.4)

dengan adalah parameter transformasi Box-Cox dan adalah nilai deret waktu

pada waktu ke-t. Transformasi Box-Cox hanya dapat digunakan jika observasi

bernilai lebih dari 0. Apabila terdapat , maka suatu konstanta dapat

ditambahkan sedemikian sehingga dan transformasi Box-Cox

dapat digunakan terhadap . Hal ini dimungkinkan karena sebuah konstanta

selalu dapat ditambahkan pada data tanpa mempengaruhi nilai korelasi data

tersebut. Transformasi parameter Box-Cox disajikan pada Tabel 2.1.

10

Tabel 2.1. Transformasi Parameter Box-Cox

Transformasi

-1

-0,5

√

0

0,5 √

1 (tidak dilakukan

transformasi)

2.2.2 Stasioner Terhadap Nilai Tengah

Data deret waktu dikatakan stasioner terhadap nilai tengah (mean) apabila data

berfluktuasi pada sekitar suatu nilai tengah yang tetap dari waktu ke waktu selama

penelitian. Suatu data deret waktu yang stasioner terhadap ragam namun tidak

stasioner terhadap rataan (mean) dapat diupayakan menjadi suatu deret waktu

yang stasioner dengan memilih suatu pembedaan (difference) yang bersesuaian

dengan data deret waktu tersebut (Wei, 2006). Proses pembedaan merupakan

proses mencari selisih antara data suatu periode dengan periode sebelumnya

secara beruntun. Proses pembedaan dapat dilakukan hingga beberapa periode

sampai data stasioner. Menurut Pankratz (1991), pembedaan terhadap suatu data

deret dilakukan dengan menggunakan operator . Pembedaan pertama

didefinisikan sebagai berikut:

( ) , (2.5)

dengan adalah data asli setelah dilakukan pembedaan tingkat pertama, adalah

Back-shift operator yang didefinisikan dengan . Notasi yang

11

dipasangkan pada mempunyai pengaruh menggeser data satu waktu belakang.

Sebagai contoh, jika suatu data deret waktu nonstasioner, maka data tersebut dapat

dibuat mendekati stasioner dengan melakukan pembedaan orde pertama dari data.

Apabila pembedaan pertama belum memberikan hasil yang stasioner pada nilai

tengah, maka dilakukan pembedaan pada periode selanjutnya dari hasil

pembedaan pertama untuk semua . Pembedaan tingkat dua didefinisikan sebagai

berikut:

( ) ( )

( )

( )

( )

( ) . (2.6)

Deret pada persamaan (2.6) disebut pembedaan kedua dari . Apabila suatu data

deret waktu tidak stasioner, maka pembedaan ke-d, ( ) , untuk suatu

adalah stasioner. Pembedaan ke-d didefinisikan sebagai berikut:

( )

( ) ( )

( ) . (2.7)

12

2.3 Fungsi Autokorelasi (ACF)

Autokorelasi adalah ketergantungan antara nilai-nilai suatu data deret waktu yang

sama pada periode waktu yang berlaianan yang digunakan untuk menentukan

koefisien korelasi pada deret waktu. Autokorelasi pada lag-k ( ) merupakan

korelasi pada data deret waktu antara pengamatan dan (Wei, 2006). Pada

yang stasioner, ( ) dan ( ) ( ) adalah konstan

dan ( ) adalah fungsi dari selisih waktu | |. Kovarians antara

dan dinyatakan sebagai berikut:

( ) ( )( ) (2.8)

dan korelasi antara dan yaitu:

( )

,( )( )-

√ ,( ) - ,( ) -

( )

√ ( )√ ( )

, (2.9)

dengan ( ) ( ) . Sebagai fungsi dari , disebut fungsi

autokovarians dan disebut fungsi autokorelasi (ACF). Sifat-sifat yang dimiliki

oleh fungsi autokovariansi dan fungsi autokorelasi yaitu:

1. ( ) dan

2. | | dan | |

3. dan

13

Bukti:

1. Dengan menggunakan definisi korelasi antara dan akan dibuktikan

bahwa ( ) dan .

( )

√ ( )√ ( )

,

dengan , maka

( )

√ ( )√ ( )

( )

√ ( )√ ( )

( )

√ ( )

( )

( )

.

2. Sifat kedua merupakan akibat dari persamaan autokorelasi kurang dari atau

sama dengan 1 dalam nilai mutlak.

3. Sifat ketiga diperoleh dari perbedaan antara dan .

( ) ( ) ( )

Oleh karena itu, fungsi autokorelasi sering hanya diplotkan untuk lag

nonnegatif.

ACF pada sampel dihitung dengan menggunakan formula berikut:

∑ ( )( )

∑ ( )

, (2.10)

dengan adalah nilai korelasi pada lag-k dan adalah banyaknya pengamatan.

Plot dari ACF disebut correlogram. Plot ini digunakan untuk mempermudah

14

dalam melihat apakah ACF signifikan atau tidak, selain itu dapat dilihat juga

melalui galat bakunya (standard error). Dalam membuat correlogram, terlebih

dahulu hitung nilai galat baku dari ACF tersebut. Galat baku ini digunakan untuk

melihat apakah ACF berbeda secara nyata dengan nol. Berikut adalah formula

untuk menghitung galat baku.

( ) √ ∑

, (2.11)

dengan ( ) adalah nilai galat baku dari dan adalah nilai autokorelasi

sampel pada lag i.

Pada uji autokorelasi, didefinisikan dengan yaitu tidak ada autokorelasi

(koefisien autokorelasi tidak signifikan), sedangkan adalah yaitu ada

autokorelasi antar observasi (koefisien autokorelasi signifikan). Statistik uji yang

digunakan dalam uji autokorelasi adalah statistik t yang dirumuskan sebagai

berikut:

( )

, (2.12)

dengan , adalah banyaknya data dan adalah lag koefisien

autokorelasi yang diuji. Daerah penolakan yang digunakan adalah tolak jika

| |

. Selain menggunakan statistik t, plot ACF dapat digunakan untuk

melihat ada atau tidaknya autokorelasi antar observasi. Apabila tidak terdapat lag

yang keluar dari batas signifikan, maka dapat disimpulkan bahwa tidak ada

korelasi antar lag (Wanto, 2016).

15

2.4 Fungi Autokorelasi Parsial (PACF)

Autokorelasi parsial atau partial autocorrelation (PACF) antara dan

adalah korelasi antara dan setelah ketergantungan liniernya dengan

dihilangkan. Autokorelasi parsial antara dan ,

dinotasikan dengan . Konsep PACF dianalogikan dengan konsep koefisien

regresi parsial.

, (2.13)

dengan merupakan parameter regresi ke-i, dan merupakan

kesalahan nilai residual yang tidak berkorelasi dengan dengan

. Langkah pertama yang dilakukan untuk mendapatkan nilai PACF

adalah mengalikan persamaan (2.13) dengan pada kedua ruas sehingga

diperoleh:

Misalkan ( ) dan ( ) sehingga diperoleh:

.

Langkah kedua yaitu membagi kedua ruas dengan :

,

16

sehingga diperoleh persamaan berikut:

, (2.14)

dengan dan diberikan didapatkan sistem persamaan sebagai

berikut:

. (2.15)

Sistem persamaan (2.15) dapat diselesaikan dengan menggunakan aturan Cramer.

Persamaan (2.15) untuk digunakan untuk mencari nilai-nilai fungsi

autokorelasi parsial pada lag k yaitu , ..., . adalah matriks

autokorelasi dan ( ) dan adalah autokorelasi pada lag k.

Matriks adalah matriks dengan kolom terakhir disubtitusi dengan transpose

dari ( ) dan ( ) .

a. Untuk lag pertama ( ) dan ( ) diperoleh sistem persamaan

, karena sehingga yang berarti bahwa fungsi

autokorelasi parsial pada lag pertama akan sama dengan fungsi autokorelasi

pada lag pertama.

b. Untuk lag kedua ( ) dan ( ) diperoleh sistem persamaan

. (2.16)

Bentuk matriks dari persamaan (2.16) yaitu:

[

] [

] [

]

17

[

]

[

],

dengan menggunakan aturan Cramer diperoleh:

(

)

( )

|

|

|

|.

c. Untuk lag ketiga ( ) dan ( ) diperoleh sistem persamaan

. (2.17)

Bentuk matriks dari sistem persamaan (2.17) yaitu:

[

] [

] [

]

[

]

[

] dan dengan menggunakan

aturan Cramer diperoleh:

(

)

( )

|

|

|

|

.

d. Untuk k lag diperoleh sistem persamaan sebagai berikut:

. (2.18)

18

Bentuk matriks dari sistem persamaan (2.18) yaitu:

[

]

[

]

[

]

,

dengan aturan Cramer diperoleh

[

]

.

Nilai autokorelasi parsial lag k hasilnya adalah

(

)

( )

||

||

||

||

, (2.19)

Himpunan dari * + disebut sebagai fungsi autokorelasi parsial.

Fungsi menjadi notasi standar untuk autokorelasi parsial antara observasi

dan dalam analisis deret waktu. Fungsi akan bernilai nol untuk .

Sifat ini dapat digunakan untuk mengidentifikasi model AR dan MA, yaitu pada

model Autoreggresive berlaku ACF akan menurun secara bertahap menuju nol

dan Moving Average berlaku ACF menuju ke-0 setelah lag ke-q sedangkan nilai

PACF model AR yaitu dan model MA yaitu , untuk

(Wei, 2006). Himpunan hasil nilai dari fungsi autokorelasi parsial sampel

disingkat SPACF. Setiap koefesien populasi diduga untuk suatu himpunan data

19

yang diberikan oleh sampel pasangan ( ). Penduga koefesien populasi

didefinisikan sebagai berikut:

∑

∑

,

dengan . Untuk .

Menurut Durbin (1960), alternatif cara untuk menghitung autokorelasi parsial

tanpa perlu sebelumnya menentukan nilai ( ) dan ( ) yaitu dengan

metode rekursif sebagai berikut:

∑

∑

(2.20)

dan

. (2.21)

Signifikansi setiap dapat diukur dengan membandingkan penduganya dengan

standar erornya:

( ) √

, (2.22)

dengan adalah banyaknya pengamatan sampel. Pada uji autokorelasi parsial,

didefinisikan dengan , (tidak ada autokorelasi parsial/koefisien

autokorelasi parsial tidak signifikan), sedangkan adalah (ada

autokorelasi parsial antar observasi /koefisien autokorelasi parsial signifikan).

Statistik uji yang digunakan dalam uji autokorelasi parsial adalah statistik t yang

dirumuskan sebagai berikut:

( )

. (2.23)

20

Daerah penolakan yang digunakan adalah tolak jika | |

(Wei, 2006).

2.5 Model Autoregressive (AR)

Model Auteregressive (AR) adalah suatu model persamaan regresi yang

menghubungkan nilai-nilai sebelumya dari suatu variabel dependent (tak bebas)

dengan variabel itu sendiri. Nilai koefisien parameter AR terbatas antara -1

sampai dengan +1 untuk proses AR (1), sedangkan untuk AR (2) nilai koefisien

parameternya adalah dan (Makridakis, dkk, 1999).

Model Auteregressive (AR) dengan orde p dinotasikan dengan AR (p). Bentuk

umum model AR orde ke-p atau AR (p) dinyatakan sebagai berikut:

, (2.24)

dengan:

: variabel dependent pada waktu ke-t

: variabel independent yang merupakan lag dari

: koefisien autoregressive (AR)

: nilai residual (nilai kesalahan) pada waktu ke-t

: orde AR

Persamaan (2.24) dapat diartikan bahwa nilai saat ini dari suatu proses

ditunjukkan sebagai jumlah tertimbang dari nilai lalu ditambah error saat ini.

Persamaan (2.24) dapat ditulis menggunakan operator atau operator backshift

sehingga menjadi persamaan berikut:

(

)

21

atau

( ) (2.25)

dan ( ) disebut operator AR(p) (Wei, 2006).

Fungsi autokorelasi dari AR (p) diperoleh dengan mengalikan persamaan (2.25)

dengan yang dinyatakan sebagai berikut:

. (2.26)

Jika pada kedua ruas persamaan (2.26) dimasukkan nilai harapan (expected value)

dan diasumsikan terdapat stasioneritas, maka persamaan tersebut akan menjadi

( ) ( ) ( ) ( )

( ). (2.27)

Karena nilai residual ( ) bersifat random dan tidak berkorelasi dengan ,

maka ( ) adalah nol untuk sehingga persamaan (2.27) akan menjadi

. (2.28)

Jika kedua ruas pada persamaan (2.28) dibagi dengan , maka akan diperoleh

atau

. (2.29)

Jika untuk , maka dapat dilihat bahwa ketika

pada kolom terakhir matriks pembilang dari pada persamaan (2.19)

dapat ditulis sebagai kombinasi linier dari kolom sebelumnya pada matriks yang

sama. Oleh karena itu, fungsi autokorelasi parsial akan terputus setelah lag p.

22

2.6 Model Moving Average (MA)

Proses Moving Average atau rata-rata bergerak berorde q menyatakan hubungan

ketergantungan antara nilai pengamatan dengan nilai-nilai kesalahan yang

berurutan dari periode t sampai . Secara umum model MA orde ke-q atau

MA (q) dinyatakan sebagai berikut:

, (2.30)

dengan:

: nilai variabel dependent pada waktu t

: nilai residu pada waktu t,

: koefsien Moving Average

q : orde MA

Persamaan (2.30) dapat ditulis sebagai berikut:

(

)

atau

( ) (2.31)

dengan ( )

. Proses MA berhingga selalu

stasioner karena

.

Apabila kedua ruas pada persamaan (2.30) dikalikan dengan , maka hasilnya

yaitu:

( )( ) (2.32)

23

Jika dimasukkan nilai harapan (expected value) pada kedua ruas persamaan

(2.32), maka persamaan tersebut akan menjadi

( ) [( )(

)]

(

). (2.33)

Nilai harapan pada persamaan (2.33) tergantung pada nilai . Jika , maka

persamaan (2.33) menjadi

( ) ( )

( ). (2.34)

Seluruh suku yang lain pada persamaan (2.33) hilang karena

( )

dan

( ) ,

sehingga persamaan (2.34) menjadi sebagai berikut:

(

) . (2.35)

Persamaan (2.35) merupakan varians dari proses model MA (q). Jika ,

maka persamaan (2.33) menjadi

( ) ( ) ( )

( ) .

24

Secara umum untuk , persamaan (2.33) menjadi

( ) , (2.36)

sehingga fungsi autokovarians dari proses MA (q) yaitu:

{( )

(2.37)

Fungsi autokorelasi MA (q) dihasilkan dari pembagian antara persamaan (2.37)

dengan persamaan (2.35) yang dinyatakan sebagai berikut:

{

(2.38)

Dari bagian ini diperoleh bahwa ACF sangat membantu mengidentifikasi model

MA dan orde cut off tepat setelah lag q (Montgomery, dkk, 2008).

2.7 Model Autoregressive Moving Average (ARMA)

Model ARMA (p,q) merupakan kombinasi dari model AR (p) dan MA(q) yang

memiliki asumsi bahwa data periode sekarang dipengaruhi oleh data pada periode

sebelumnya dan nilai residual pada periode sebelumnya (Assauri, 1984). Model

ARMA (p,q) dinyatakan sebagai berikut:

. (2.39)

Persamaan (2.39) dapat ditulis dalam bentuk berikut:

( ) (

) (2.40)

atau

( ) ( ) . (2.41)

25

Jika kedua ruas pada persamaan (2.39) dikalikan dengan , maka

persamaannya menjadi

(2.42)

Jika pada kedua ruas persamaan (2.42) dimasukkan nilai harapan (expected

value), maka persamaanya akan menjadi

( ) ( )

( ). (2.43)

Karena ( ) untuk , maka

( ) (2.44)

dan autokorelasinya dinyatakan sebagai berikut:

( ). (2.45)

2.8 Model Autoregressive Integrated Moving Average (ARIMA)

Model AR, MA dan ARMA menggunakan asumsi bahwa data deret waktu yang

dihasilkan sudah bersifat stasioner. Pada kenyataannya, data deret waktu lebih

banyak bersifat tidak stasioner (Sadeq, 2008). Jika data tidak stasioner, maka

metode yang digunakan untuk membuat data stasioner adalah differencing untuk

data yang tidak stasioner dalam rataan dan proses transformasi untuk data yang

tidak stasioner dalam ragam (Mulyana, 2004). Model ARMA (p,q) pada

persamaan (2.40), yaitu

( ) (

) ,

26

dengan

( ) ( ) (2.46)

Berdasarkan persamaan (2.46), model AR (p) menjadi

( ) (2.47)

dan model MA (q) menjadi

(

) , (2.48)

di dalam proses MA (q), .

Menurut Suhartono (2006), model ARIMA (p, d, q) merupakan gabungan dari

model ARMA (p, q) dan proses differencing yang dinyatakan sebagai berikut:

( )( ) ( ) , (2.49)

dimana ( )

dan ( )

,

dengan:

: data observasi ke-t

: operator backshift

( ) : deret waktu yang stasioner pada pembedaan ke-d

: nilai error pada waktu ke-t

: orde AR

: orde MA

: banyaknya pembedaan atau differencing

Parameter mempunyai peran yang berbeda untuk dan . Untuk

, data asli telah stasioner dan seperti pada persamaan (2.46) bahwa

merupakan rata-rata proses, yaitu ( ) . Sedangkan

27

untuk , data asli nonstasioner dan merupakan istilah trend deterministik

yang biasanya dihilangkan.

2.9 Model Seasonal Autoregressive Integrated Moving Average (SARIMA)

Musiman adalah kecenderungan mengulangi pola tingkah gerak dalam periode

musim. Model SARIMA merupakan model ARIMA yang digunakan untuk

menyelesaikan deret waktu musiman yang terdiri dari dua bagian, yaitu bagian

tidak musiman dan bagian musiman. Bagian tidak musiman dari metode ini

adalah model ARIMA (Ukhra, 2014).

Suatu deret * + yang tidak mengandung variasi periode musiman dan tidak

musiman, bentuk model ARIMA untuk deret tersebut, yaitu:

( )( ) ( ) . (2.50)

Jika terdapat * + tidak white noise dengan korelasi antar periode musiman, maka

fungsi autokorelasi untuk * + dinyatakan sebagai berikut:

( ) ( )( )

(2.51)

Untuk lebih mudah melihat korelasi antar periode, dapat direpresentasikan sebagai

model ARIMA berikut:

( )( ) ( ) , (2.52)

dengan ( )

dan ( )

28

adalah persamaan polinomial dalam . Jika akar-akar dari polinomial tersebut

berada di luar lingkaran unit dan * + , maka proses tersebut adalah proses

white noise.

Kombinasi dari persamaan (2.50) dan persamaan (2.52) akan menghasilkan model

SARIMA yang dinyatakan sebagai berikut:

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) , (2.53)

dengan:

{

( ) : faktor AR non-musiman

( ) : faktor MA non-musiman

( ) : faktor AR musiman

( ) : faktor MA musiman

: rata-rata

P : orde musiman untuk AR

Q : orde musiman untuk MA

D : banyaknya sesonal differencing

S : jumlah periode per musim

2.10 Proses White Noise

Suatu proses * + dikatakan sebagai proses white noise jika * + adalah barisan

peubah acak yang tidak berkorelasi dengan mean ( ) , varians

konstan ( ) dan ( ) untuk semua . Oleh

29

karena itu, suatu proese white noise * + adalah stasioner dengan fungsi

autokovariansi

{

(2.54)

fungsi autokorelasi

{

(2.55)

fungsi autokorelasi parsial

{

(2.56)

Proses white noise dapat dideteksi menggunakan uji autokorelasi residual pada

analisis error-nya. Uji korelasi residual digunakan untuk mendeteksi ada

tidaknya korelasi residual antar lag. Suatu model deret waktu dikatakan baik

apabila residualnya white noise. White noise digunakan untuk menjelaskan bahwa

suatu data memiliki residual dengan perilaku acak dan stasioner. White noise

dinotasikan dengan * + ( ). Barisan * + mengarah sebagai white noise

dengan mean 0 dan varians . Sehingga barisan IID (

) adalah ( )

(Brockwell dan Davis, 2002). Autokorelasi residual dapat dilihat dari plot ACF

residual. Apabila tidak terdapat lag yang keluar dari garis signifikan, maka dapat

dikatakan bahwa tidak ada autokorelasi pada residual. Selain itu, autokorlasi

residual dapat dilihat melalui Uji Ljung-Box. Uji statistik Ljung-Box merupakan

modifikasi dari statistik uji Q. Uji ini digunakan untuk mengidentifikasi residual

bahwa residual merupakan white noise. Uji Ljung-Box menggunakan seluruh

residual sampel SACF dengan hipotesis sebagai berikut:

(Residual tidak berautokorelasi)

30

(Residual berautokorelasi)

Taraf signifikansi atau yang digunakan sebesar 5%.

Rumus uji Ljung-Box dinyatakan sebagai berikut:

( )∑ ( )

, (2.57)

dengan:

n : banyaknya observasi dalam runtun waktu

K : banyaknya lag yang diuji

k : selisih lag

: nilai koefisien autokorelasi pada lag-k

Kriteria keputusan yang digunakan yaitu tolak jika ( ) . Tidak tolak

jika ( ) tabel dengan derajat bebas ( ) atau p-value <α

(Wei, 2006).

2.11 Analisis Intervensi

Dalam praktek seringkali ditemukan data deret waktu yang dipengaruhi kejadian-

kejadian khusus. Kejadian khusus yang dimaksud di sini adalah adanya suatu

intervensi baik yang bersifat eksternal maupun internal yang mempengaruhi pola

data. Pada analisis intervensi diasumsikan bahwa kejadian intervensi terjadi pada

waktu yang diketahui dari suatu deret waktu (Box, dkk, 1994). Tujuan utama

dari analisis ini adalah mengukur besar dan lamanya efek intervensi pada suatu

deret waktu (Wei, 2006). Bentuk umum dari model intervensi dinyatakan sebagai

berikut:

31

∑

( )

( )

, (2.58)

dengan:

: variabel respon pada waktu t

j : banyaknya intervensi yang terjadi,

: variabel intervensi ke-j pada waktu t, bernilai 1 atau 0 yang menunjukkan

ada tidaknya pengaruh intervensi pada waktu t

: delay waktu mulai terjadinya intervensi

( ) : ( menunjukkan lamanya suatu intevensi

berpengaruh pada data setelah b periode)

( ) : ( pola efek intervensi yang terjadi setelah

periode sejak kejadian intervensi pada waktu T)

: error/noise yang berupa model tanpa adanya intrvensi

Secara umum, ada dua jenis variabel intervensi, yaitu fungsi step dan pulse (Box,

dkk, 1994). Kejadian intervensi yang terjadi sejak waktu dan seterusnya dalam

waktu yang panjang disebut fungsi step. Sedangkan, kejadian intervensi terjadi

hanya pada waktu saja dan tidak berlanjut pada waktu selanjutnya disebut

fungsi pulse.

Persamaan (2.58) menunjukkan bahwa besar dan periode dampak intervensi di

tunjukkan oleh . Dalam mengidentifikasi orde pada model intervensi

( ), dapat dilakukan dengan melihat plot residual. Residual diperoleh

dari selisih antara data hasil pengamatan dengan nilai peramalan menggunakan

noise model. Misalkan residual dinotasikan sebagai , maka:

32

∑

( )

( )

. (2.59)

Nilai ditentukan dengan melihat kapan efek intervensi mulai terjadi, nilai

menunjukkan kapan gerak bobot respon mulai mengalami penurunan, dan

menunjukkan pola dari residual (Nuvitasari, dkk, 2009).

2.11.1 Model Intervensi Input Tunggal Fungsi Step

Fungsi step adalah suatu jenis intervensi yang terjadi pada dan memiliki

pengaruh jangka panjang dalam jangka panjang (Budiarti, dkk, 2013). Secara

matematis, bentuk intervensi fungsi step dinotasikan sebagai berikut:

{

(2.60)

Berdasarkan persamaan (2.60) dapat diperoleh model intervensi input tunggal step

sebagai berikut:

∑

( )

( )

. (2.61)

Berdasarkan persamaan (2.59), dampak intervensi input tunggal fungsi step

dinyatakan sebagai berikut:

(∑

( )

( )

)

∑

( )

( )

. (2.62)

33

Menurut Wei (2006), terdapat beberapa kemungkinan respon yang dapat terjadi

dari fungsi step, yaitu:

1. Efek intervensi terjadi setelah (delay waktu mulai terjadinya intervensi)

yang dinotasikan sebagai berikut:

. (2.63)

2. Efek intervensi terjadi setelah (delay waktu mulai terjadinya intervensi),

namun memiliki respon yang gradual atau secara perlahan mengalami

perubahan. Respon tersebut dinyatakan sebagai berikut:

( ) , (2.64)

dengan adalah . Jika , maka dampak intervensi akan

meningkat secara linier.

2.11.2 Model Intervensi Input Tunggal Fungsi Pulse

Fungsi pulse adalah suatu jenis intervensi yang hanya terjadi pada waktu tertentu

(Budiarti, dkk, 2013). Bentuk intervensi fungsi pulse dinotasikan sebagai berikut:

{

(2.65)

Berdasarkan persamaan (2.65) dapat diperoleh model intervensi input tunggal

pulse sebagai berikut:

∑

( )

( )

. (2.66)

Berdasarkan persamaan (2.59), dampak intervensi input tunggal fungsi pulse

dinyatakan sebagai berikut:

34

(∑

( )

( )

)

∑

( )

( )

. (2.67)

Menurut Wei (2006), terdapat beberapa kemungkinan respon yang dapat terjadi

dari fungsi pulse, yaitu:

1. Efek intervensi terjadi setelah (delay waktu mulai terjadinya intervensi)

yang dinotasikan sebagai berikut:

. (2.68)

2. Efek intervensi terjadi setelah (delay waktu mulai terjadinya intervensi),

namun memiliki respon yang gradual atau secara perlahan mengalami

perubahan. Respon tersebut dinyatakan sebagai berikut:

( ) , (2.69)

dengan adalah . Jika , maka dampak intervensi akan

meningkat secara linier.

2.11.3 Model Intervensi Multi Input

Model intervensi multi input mengandung dua variabel intervensi atau lebih.

Model intervensi multi input dibentuk berdasarkan persamaan (2.58) yang

dinotasikan sebagai berikut:

( )

( )

( )

( )

( )

( )

. (2.70)

35

Persamaan (2.70) menunjukkan bahwa ada pada dataset deret waktu. Analisis

intervensi multi input fungsi pulse ( ) yang diikuti oleh fungsi

step ( ) akan menghasilkan dampak yang berbeda dengan

analisis intervensi multi input fungsi step ( ) yang diikuti oleh

fungsi pulse ( ) dengan masing-masing kasus menggunakan

,

,

, dan (Novianti dan

Suhartono, 2009).

2.11.4 Analisis Intervensi Multi Input dalam Model SARIMA

Analisis intervensi dalam model SARIMA adalah sebuah pengembangan dari

konsep Multivariate ARIMA (MARIMA) yang telah dilakukan oleh Box dan Tiao

(1975). Analisis tersebut digunakan untuk mengidentifikasi intervensi dari

beberapa veriabel independen pada suatu variabel dependen. Dampak dari

intervensi dapat berjangka panjang atau hanya pada suatu waktu saja. Model

intervensi dapat diformulasikan sebagai fungsi regresi. Model regresi yang

mengandung variabel independen terdiri dari model SARIMA dan suatu fungsi

intervensi menunjukkan tipe khusus dari variabel dummy yang disebut fungsi step

atau pulse menjadi model SARIMA multivariat. Secara spesifik, variabel respon,

adalah fungsi dari model SARIMA sebelum intervensi ditambah fungsi input

dari indikator intervensi deterministik (Goh dan Law, 2002).

∑ ( )

∑

( )

( )

( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) , (2.71)

36

dengan:

: nilai peramalan pada periode t

( ) : fungsi intervensi pada waktu t

: model SARIMA sebelum terjadinya intervensi

Berdasarkan persamaan (2.59), dampak intervensi multi input fungsi step dan

pulse dinyatakan sebagai berikut:

(∑

( )

( )

( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) )

( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

∑ ( )

( ) . (2.72)

2.12 Estimasi Parameter Model

Metode yang digunakan untuk memperkirakan parameter-parameter pada model

statistik yang diberikan melalui pengamatan-pengamatan dengan menggunakan

Maximum Likelihood Estimation (MLE). MLE berupaya untuk menemukan nilai

parameter yang dapat memaksimalkan fungsi likelihood berdasarkan pengamatan-

pengamatan yang telah dilakukan. Fungsi kepadatan peluang atau probability

density function (pdf) peubah acak yang dikondisikan untuk suatu parameter

dinotasikan ( | ). Fungsi kepadatan peluang bersama dari suatu observasi

yang i.i.d. adalah hasil perkalian dari setiap kepadatan individual:

( | ) ∏ ( | ) ( | ), (2.73)

atau ( | ) disebut juga sebagai fungsi likelihood. Fungsi likelihood

didefinisikan sebagai suatu fungsi dari vektor parameter yang tidak diketahui ,

37

dengan mengindikasikan koleksi dari data sampel. MLE didefinisikan

sebagai maximizer dari:

( )

∑ ( | )

(2.74)

Beberapa sifat dari MLE, yaitu:

1. Penduga dari adalah penduga yang tak bias jika ( ) .

2. Penduga dari adalah penduga yang konsisten jika (| | )

.

3. Penduga dari adalah penduga yang asimtotik normal jika √ ( )

( ) dengan

disebut sebagai ragam asimtotik dari dugaan .

4. Misal dari adalah penduga tak bias dari maka dikatakan sebagai

penduga yang lebih efektif daripada jika ( ) ( ) untuk semua

.

Menurut Wanto (2016), untuk model umum ARMA( ) yang stasioner, fungsi

keadatan peluang bersama dari ( ) dinyatakan sebagai berikut:

( | ) (

) ⁄ [

∑

] (2.75)

Model ARMA dapat ditulis sebagai berikut:

, (2.76)

misal ( ) selanjutnya asumsikan kondisi atau syarat

( ) dan ( ) sudah diketahui. Fungsi log-

likelihood bersyarat dituliskan sebagai berikut:

( )

( )

, (2.77)

38

dengan

( ) ∑

( | ) (2.78)

adalah fungsi jumlah kuadrat bersyarat. Nilai dari dan yang memaksimalkan

fungsi pada persamaan (2.77) disebut penduga likelihood maksimum bersyarat

(conditional maximum likelihood estimator). Karena ( ) hanya

melibat data melalui ( ), penduga ini daat dianggap sebagai penduga kuadrat

terkecil bersyarat (conditional least square estimator) yang didapat dengan

meminimumkan jumlah kuadrat bersyarat ( ). Hal yang perlu diperhatikan

adalah penduga ini tidak mengandung . Oleh karena adalah proses yang

stasioner dan menyebar i.i.d. ( ) maka untuk nilai yang tidak

diketahui dapat diganti dengan , dengan adalah penduga tak bias untuk dan

mengganti nilai dengan nilai ekspektasinya yaitu 0. Fungsi jumlah kuadrat

bersyarat pada persamaan (2.78) menjadi

( ) ∑

( | ) (2.79)

Setelah mendapatkan estimasi parameter dan , estimasi untuk dari

dapat diperoleh dengan menggunakan persamaan berikut:

( )

∑ ( )

( ) (2.80)

2.13 Uji Normalitas

Uji kenormalan residual digunakan untuk memeriksa apakah suatu residual

mempunyai distribusi normal atau tidak. Rumusan hipotesis yang digunakan,

yaitu:

: residual berdistribusi normal

39

: residual tidak berdistribusi normal.

Uji Kolmogorov-Smirnov digunakan untuk membandingkan kesesuian dari

distribusi sampel dengan suatu distribusi pembanding. Uji Kolmogorov-Smirnov

dapat digunakan sebagai uji kenormalan jika distribusi pembanding yang diambil

adalah distribusi normal. Statistik uji yang digunakan adalah statistik uji

Kolmogorov-Smirnov dengan formula sebagai berikut:

| ( ) ( )|, (2.81)

dengan ( ) adalah fungsi distribusi kumulatif pembanding dan ( ) adalah

fungsi distribusi kumulatif observasi (Wanto, 2016).

2.14 Kriteria Pemilihan Model

Pemilihan model terbaik dari beberapa model yang sesuai dapat berdasarkan nilai

Mean Square Error (MSE), Akaike’s Information Criterion (AIC), dan Schwarz

Bayesian Criterion (SBC). Rumus ketiga kriteria tersebut, yaitu:

( ), (2.82)

( ) , (2.83)

( ) ( ), (2.84)

dengan:

∑ ( )

: jumlah parameter yang diduga

W : jumlah pengamatan

Nilai minimum pada MSE, AIC, dan BIC mengindikasikan model terbaik (Yafee

dan McGee, 2000).

40

III. METODOLOGI PENELITIAN

3.1 Waktu dan Tempat Penelitian

Penelitian ini dilakukan di Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu

Pengetahuan Alam Universitas Lampung semester genap tahun akademik

2018/2019.

3.2 Data Penelitian

Data yang digunakan dalam penelitian ini adalah data jumlah penumpang Kereta

Api Indonesia (KAI) dari bulan Januari 2006-April 2019 sebanyak 160 data yang

diperoleh dari http://www.bps.go.id/dynamictable/2015/03/10%2000:00:00/815/

jumlah-penumpang-kereta-api-2006-2018-ribu-orang-html.

3.3 Metode Penelitian

Langkah-langkah yang digunakan dalam penelitian ini, yaitu:

1. Membagi data set menjadi bagian

a. Data 1, yaitu data sebelum intervensi pertama sebanyak deret (series)

. Dinotasikan sebagai .

41

b. Data 2, yaitu data dari intervensi pertama sampai sebelum intervensi

kedua, sebanyak deret, .

Dinotasikan sebagai .

c. Data ke , yaitu data dari intervensi sampai akhir data, sebanyak

deret, , . Dinotasikan sebagai .

2. Pemodelan intervensi pertama

a. Langkah 1

Membangun model SARIMA untuk dataset deret waktu sebelum

intervensi pertama terjadi ( ), yaitu

( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) .

Memprakirakan data ke 2 ( ) menggunakan model SARIMA.

Pada langkah ini, diperoleh data perkiraan sebagai berikut:

( ) ( ) ( ).

b. Langkah 2

Hitung nilai respon intervensi pertama atau

. Ini adalah residual

data , , berdasarkan pada perkiraan

model SARIMA pada langkah pertama. Langkah ini menghasilkan

nilai respon dari intervensi pertama.

.

Identifikasi dari intervensi pertama dengan menggunakan

plot nilai respon

dengan confident interval,

yaitu (Root Mean Square Error atau MSE dari model

42

SARIMA sebelumnya). Interval ini didasarkan pada penentuan

control chart pada kendali kualitas statistik.

c. Langkah 3

Estimasi parameter dan uji signifikansi untuk model intervensi

pertama.

Pemeriksaan diagnosa dengan melakukan pemeriksaan asumsi

residual, yaitu white noise dan normalitas. Pada langkah ini,

didapatkan model intervensi input pertama, yaitu:

( )

( )

( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) .

3. Mengembangkan model intervensi secara iteratif, dimana .

a. Langkah 1

Memperkirakan data ( ), berdasarkan pada model

intervensi- . Pada langkah ini, didapatkan nilai perkiraan sebagai

berikut:

( ) ( ) ( ).

b. Langkah 2

Hitung respon intervensi ( ) , yaitu residual pada data

, berdasarkan pada perkiraan

model intervensi ( ) . Pada langkah ini, didapatkan nilai

respon dari intervensi sebagai berikut:

.

43

Identifikasi dari model intervensi dengan

menggunakan plot nilai respon

dimana

confidence interval adalah .

c. Langkah 3

Estimasi parameter dan uji signifikansi untuk model intervensi .

Pemeriksaan diagnosa dengan melakukan uji asumsi residual, yaitu

white noise dan uji normalitas. Pada langkah ini didapatkan

∑

( )

( )

( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) .

Langkah ini dilakukan secara iteratif sampai intervensi terakhir,

yaitu . Oleh karena itu, didapatkan model intervensi multi input

berikut:

∑

( )

( )

( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) .

4. Peramalan dengan menggunakan model intervensi multi input fungsi step dan

pulse dalam model SARIMA.

74

V. KESIMPULAN

Berdasarkan pembahasan pada bab sebelumnya, maka diperoleh kesimpulan

sebagai berikut:

1. Model intervensi multi input fungsi step dan pulse dalam SARIMA untuk

data jumlah penumpang KAI Januari 2006-April 2019, yaitu:

( )

( )( )

( )( ).

2. Hasil peramalan menggunakan model intervensi multi input fungsi step dan

pulse dalam model SARIMA untuk dua belas periode kedepan mulai bulan Mei

2019-April 2020, yaitu 36.516, 34.244, 37.191, 36.250, 35.544, 37.326, 36.493,

39.020, 36.670, 33.484, 37.531, dan 37.431.

75

DAFTAR PUSTAKA

Ariyani, N.D., Wuryandari, T., dan Wilandari, Y. 2015. Analisis intervensi

kenaikan harga BBM bersubsidi pada data inflasi kota Semarang. Jurnal

Gaussian. 4(3):613-620.

Assauri, S. 1984. Teknik dan Metode Peramalan. Fakultas Ekonomi UI, Jakarta.

Aswi dan Sukarna. 2006. Analisis Deret Waktu. Andira Publisher, Makassar.

Badan Pusat Statistik. 2019. Data Jumlah Penumpang Kereta Api 2006-2019.

Http://www.bps.go.id/dynamictable/2015/03/10%2000:00:00/815/jumlah-

penumpang-kereta-ap-2006-2018-ribu-orang-html. Diakses pada 27 April

2019.

Box, G.E.P. dan Tiao, G.C. 1975. Intervention analysis with applications to

economic and enviromental problems. Journal of American Statistical

Association. 7(349).

Box, G.E.P., Jenskins, G.M., dan Reinsel, G.C. 1994. Time Series Analysis

Forecasting and Control Third Edition. Prentice-Hall International, Inc.,

United States of Amerika.

Brockwell, P.J. dan Davis, R.A. 2002. Introduction to Time Series and

Forecasting Second Edition. Springer-Verlag, New York.

Budiarti, L., Tarno, dan Warsito, B. 2013. Analisis intervensi dan deteksi outlier

pada data wisatawan domestik (studi kasus di Daerah Istimewa

Yogyakarta). Jurnal Gaussian. 2(1):39-48.

76

Crystine, A., Hoyyi, A., dan Safitri, D. 2014. Analisis intervensi fungsi step

(studi kasus pada jumlah pengiriman benda pos ke Semarang pada tahun

2006-2011). Jurnal Gaussian. 3(3):293-302.

Durbin, J. 1960. The Fitting of Time Series Models. Review of the International

Statistical Institute. 28(3):233-244.

Goh, C. dan Law, R. 2002. Modeling and forecasting tourism demand for

arrivals with stochastic nonstationarity seasonality and intervention.

Journal of Tourism Management. 23:499-510.

Hasan, M.I. 2004. Pokok-pokok Materi Statistika I (Statistika Deskriptif). PT.

Bumi Aksara, Jakarta.

Makridakis, S., Wheelwright, S.C., dan McGee, V.E. 1999. Metode dan Aplikasi

Peramalan. Ed. ke-2. Terjemahan Ir. Untung S. Andriyanto dan Ir. Abdul

Basith. Erlangga, Jakarta.

Montgomery, D., Jennings, C., dan Kulachi, M. 2008. Introduction to Time

Series Analysis and Forecasting. John Wiley and Sons, Inc., New York.

Mulyana. 2004. Buku Ajar Analisis Deret Waktu. Jurusan Statistika FMIPA

Universitas Padjajaran, Bandung.

Novianti, P.W. dan Suhartono. 2009. Modeling of Indonesia Consumer Price

Index Using Multi Input Intervention Model. Bulletin of Monetary

Economic and Banking. 12(1).

Nuvitasari, E., Suhartono, dan Wibowo, H.S. 2009. Analisis Intervensi Multi

Input Fungsi Step dan Pulse untuk Peramalan Kunjungan Wisatawan ke

Indonesia. Tesis. Institut Teknologi Sepuluh November, Surabaya.

Pankratz, A. 1991. Forecasting with Dynamic Regression Models. John Wiley

and Sons, Inc., New York.

Sadeg, A. 2008. Analisis Prediksi Indeks Harga Saham Gabungan dengan

Metode ARIMA. Tesis. Pasca Sarjana Universitas Diponegoro,

Semarang.

77

Soejoeti, Z. 1987. Analisis Runtun Waktu. Karunika, Jakarta.

Suhartono. 2006. Calender variation model for forecasting time series data with

islamic calender effect. Jurnal Matematika, Sains, dan Teknologi.

7(2):85-94.

Suhartono. 2007. Teori dan aplikasi model intervensi fungsi pulse. Jurnal

Ilmiah MatStat. 7(2):191-214.

Ukhra, A.U. 2014. Pemodelan dan peramalan data deret waktu dengan metode

seasonal ARIMA. Jurnal Matematika UNAND. 3(3):59-67.

Wanto, K. 2016. Analisis Intervensi Data Deret Waktu untuk Peramalan

Pendapatan Domestik Bruto Indonesia. Skripsi. Jurusan Matematika

FMIPA UNJ, Jakarta.

Wei, W.W.S. 2006. Time Series Analysis Univariate and Multivariate Methods

Second Edition. Addison Wesley.

Yafee, R.A. dan McGee, M. 2000. Introduction to Time Series Analysis and

Forecasting with Aplications in SAS and SPSS. Academic Press, USA.