Analisis en Espacio de Estado

8/18/2019 Analisis en Espacio de Estado

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Espacio de Estados

Uso de Espacio de Estados:• Para sistemas más complejos• Sistemas Multiple Inputs Mutiple Outputs (MIMO)• Requiere uso de computadoras• Notación matricial• Dominio del Tiempo• Control Moderno


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Espacio de Estados

Representación en el espacio de estados

Formas Canónicas :• Controlable• Observable• Diagonal• Jordan

Sistema en ecuación diferencial:

u: entraday: salida

Sistema en función de transferencia:


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Espacio de EstadosForma Canónica Controlable


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Espacio de EstadosForma Canónica Observable


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Espacio de EstadosForma Canónica Diagonal

Esta forma es sólo para el caso en que el polinomio del denominador de la F. T.

contiene raíces distintas.


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Espacio de EstadosForma Canónica de Jordan

• Esta forma se usa cuando el polinomio del denominador de la función de transferencia contieneraíces múltiples.

• Supongamos que tengo 3 raíces múltiples:• En fracciones parciales:


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Espacio de EstadosValores propios de matriz A de n x n

Raíces de: Son valores propios o raícescaracterísticas de A (eigenvalues)

Por ejemplo:

Ecuación característica:

Valores propios de A: -1, -2, -3


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Espacio de EstadosDiagonalización de matriz n x n

(a) Si la matriz tiene valores propios distintos:

(forma canónica controlable)

La transformación donde:

valores propios distintos de A


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Transformará P -1

AP en una matriz diagonal:


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(b) Si la matriz tiene valores propios múltiples (diagonalización es imposible):

Valores propios de A:

Para diagonalizar A debo usar la transformación:

Donde:

(forma Canónica de Jordan)


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Espacio de EstadosInvarianza de valores Propios

Vamos a demostrar la invarianza de los valores propios bajo una transformación lineal:

Si transformamos de A a P -1 AP :

Ecuación característica de P -1 AP:

= Ecuación característica de A


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Espacio de EstadosTransformación de Modelos de Sistemas con MATLAB

(a) De Función de Transferencia a Espacio de Estados

Comando de MATLAB:

Ejemplo:

Ver MATLAB\Programa 9-1

(b) De Espacio de Estados a Función de Transferencia

Comando de MATLAB:

Ejemplo:

Ver MATLAB\Ejemplo 9-3

http://localhost/var/www/apps/conversion/tmp/MATLAB/Programa%209-1.mhttp://localhost/var/www/apps/conversion/tmp/MATLAB/Ejemplo%209-3.mhttp://localhost/var/www/apps/conversion/tmp/MATLAB/Ejemplo%209-3.mhttp://localhost/var/www/apps/conversion/tmp/MATLAB/Programa%209-1.m


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Espacio de EstadosSolución de la Ecuación de Estado invariante con el tiempo

(a) Caso Homogéneo (u = 0):

• Veamos primero la solución escalar:

= 0

Ecuación característica: = 0 =

La solución homogénea es de la forma:

= =

Condiciones iniciales: 0 =

= (0)

Serie de Taylor:

= 1 + +1

2!+ ⋯ +

1

!+ ⋯


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(a) Caso Homogéneo (u = 0):• Ahora, la ecuación matricial:

La solución es:

Donde: Exponente Matricial

Propiedades del Exponente matricial:

− = −


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Método de la Transformada de Laplace:

Caso Escalar:Laplace:

−

Caso Matricial:Laplace:

Pero:


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Matriz de Transición de Estados:

La solución de:

Se puede escribir como:

Donde: = matriz n x n

= Matriz de Transición de Estados

Propiedades:


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(b) Caso No Homogéneo (u ≠ 0):

Caso Escalar:

Integrando entre 0 y t:

Respuesta a C. I. Respuesta a u(t)


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Caso Matricial:

Integrando:

Transicióndel estadoinicial

Debido al vectorDe entradas u (t)


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Método de transformada de Laplace:

Laplace:

L-1

Integral de ConvoluciónSi el tiempo inicial es t o:


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Resultados ÚtilesTeorema de Cayley-Hamilton:

Polinomio Mínimo: Es el polinomio de mínimo grado que tiene a A como raiz:

Ecuación característica de matriz A:

Teorema : la matriz A satisface su propia ecuación característica;

Tal que:


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Cálculo de Exponente Matricial e At Resultados Útiles

Método 1:• Si A se transforma en matriz diagonal

Método 2:

Donde:D es la matriz diagonalP es la matriz de diagonalización para A

• Si A se transforma en forma canónica de Jordan:

Donde:J es la matriz en forma canónica de Jordan

S que convierte a A en su forma de Jordan


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Resultados ÚtilesIndependencia Lineal de vectores:

Implica que:

Dependencia lineal de vectores:

Se dice que los vectores son linealmente independientes si cuando:

Si x i se puede expresar como una combinación lineal de los otros vectoresdel conjunto, se dice que x i es linealmente dependientes del resto devectores, o no es un elemento independiente del conjunto:


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Controlabilidad

Controlabilidad y Observabilidad

Sistema Controlable :Si, por medio de un vector de control, es posible transferir elsistema desde un estado inicial x(t o ) a cualquier otro estado,en un intervalo finito de tiempo.

Sistema Observable :Si, con el sistema en estado x(t o ), es posible determinar esteestado a partir de la observación de las salidas, en un

intervalo finito de tiempo.


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Controlabilidad Completa de Estados

Controlabilidad

• Este sistema es controlable de estado al tiempo t = t o si es posible construir unaseñal de control que transfiera un estado inicial a cualquier estado final en unintervalo finito de tiempo:

• Si todos los estados son controlables, entonces se trata de un sistema

Completamente Controlable de Estado.

• Para derivar la condición de controlabilidad completa de estado:• Asumimos que:

t o = 0 Estado final es el origen (en t = t 1)

• La solución de la ecuación de estado es:


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Controlabilidad

•

El estado final es:

Pero:

Entonces:

Si llamamos:


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Controlabilidad

Si el sistema es completamente controlable de estado, entonces la ecuaciónanterior debe ser satisfecha. Esto requiere que:

Rango = n

n vectores linealmenteindependientes

Matriz de Controlabilidad:


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ControlabilidadCondición para Controlabilidad completa de estado en el Plano s:

Condición necesaria y suficiente :Que no ocurran cancelaciones en la función (o matriz) de transferencia.

Ejemplo: (Existe cancelación)

En espacio de estados:

Matriz de Controlabilidad:

Rango = 1

(Sistema no es completamente controlable de estado)


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ControlabilidadControlabilidad de la salida

Un sistema es completamente controlable de salida si es posible construir unvector de control u(t) que transfiera cualquier salida inicial y(t o ) a cualquier salidafinal y(t 1 ) en un intervalo finito de tiempo:

Condición para controlabilidad completa de salida:

Rango = m

Donde: m es el número de salidas del sistema


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ControlabilidadEstabilizabilidad

• Sistema no controlable: es un subsistema que está físicamente desconectadode la entrada.

• Para un sistema parcialmente controlable, si los modos no controlables sonestables y los modos inestables son controlables, se dice que el sistema esestabilizable.

Ejemplo:

Controlabilidad de estado: = 1 10 0Rango = 1 (1 modo controlable)

Matriz A es diagonal: 0

0 = 1 00 1

Vectores característicos

λ1 = 1 (Valor propio positivo: inestable)λ2 = -1 (valor propio negativo: estable)


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Observabilidad• Sistema homogéneo (entrada = 0)

El sistema es completamente observable si cada estado x(t o ) puede serdeterminado a partir de la observación de y(t) , en un intervalo finito de

tiempo:La solución de la ecuación diferencial es:

La salida del sistema es:

Pero:


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Observabilidad

Conociendo y(t) , para poder determinar x(0) se requiere que:

Rango = n

Matriz de observabilidad:

• El sistema es completamente observable si y sólo si el rango de lamatriz de observabilidad es n


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Observabilidad

• Condición para observabilidad en el plano s:• Condición necesaria y suficiente para observabilidad

completa: no deben existir cancelaciones en la función(o matriz) de transferencia.


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Principio de Dualidad

Sistema S 1:

Sistema S 2:

• El sistema S 1 es completamente controlable de estado (observable) si y sólo si el

sistema S 2 es completamente observable (controlable de estado)

Para Sistema S 1:

Controlable: Rango = n

Observable: Rango = n

Para Sistema S 2:

Controlable: Rango = n

Observable: Rango = n


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Detectabilidad

•

Si los modos inobservables son estables y los modosobservables son inestables, se dice que el sistema esdetectable.

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