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DIAGRAMAS DE ESTADO

Diagramas de Estado

Los Diagramas de Estado son una extensión de los diagramas de flujo señal y permiten describir gráficamente ecuaciones diferenciales y de estado. El diagrama de estado tiene una relación muy cercana con las ecuaciones de estado, las funciones de transferencia y las simulaciones mediante computadora. Se construyen siguiendo todas las reglas de los gráficas de flujo señal, utilizando la transformada de Laplace de las ecuaciones de estado o en el dominio del tiempo mediante operadores integrales.

Diagramas de Estado

Vamos a construir el Diagrama de Estado de un ejemplo a partir de las Ecuaciones de Estado. Esta herramienta nos ayuda a visualizar las Variables de Estado.

Posteriormente el Diagrama de Estado nos permitirá obtener representaciones alternativas de los sistemas en espacio de estado, por ejemplo, las distintas formas canónicas.

Consideremos las siguientes ecuaciones de estado y de salida.

Diagramas de Estado a partir de las Ecuaciones de Estado

(a) Dibujar los nodos

1) Se identifican los nodos de las variables de estado x1, x2, x3,

…; también se identifican los nodos a la izquierda de las variables de estado que serán las derivadas de las variables de estado (Figura a). También se identifican los nodos de entrada r y de salida y.


2) Se conectan las variables de estado con sus derivadas mediante 1/s (o el operador integral p) como se muestra en la

Figura (b).

(b) Interconectar las variables de estado y las derivadas

3) Utilizando las ecuaciones de estado, se introducen en cada nodo las señales indicadas. Por ejemplo, al nodo de sX1=>dx1/dt debe llegar 2x1 - 5x2 + 3x3+ 2r, Figura (c).

(c) Formar dx1/dt

(d) Formar dx2/dt

4) De manera similar el nodo sX2=>dx2/dt debe recibir - 6x1 - 2x2

+ 2x3 + 5r ver Figura (d).


5) De manera similar al nodo sX3=>dx3/dt debe llegar x1 - 3x2 -

4x3 + 7r ver Figura (e).

(e) Formar dx3/dt

6) Finalmente, utilizando la ecuación de salida, al nodo de la salida y debe llegar - 4x1 + 6x2 + 9x3, ver la Figura (f)

Se ha llegado a la representación final en variables de fase donde las variables de estado son las salidas de los integradores.

(f) Formar la señal de salida Y(s)

Diagramas de Estado

Ahora utilizaremos los Diagramas de Estado para desarrollar formas alternativas de los modelos de Variables de Estado a partir de la función de transferencia. Esto se conoce como DESCOMPOSICIÓN DE LAS FUNCIONES DE TRANSFERENCIA.

Como ejemplo veremos dos descomposiciones:

● Descomposición en serie o cascada.

● Descomposición en paralelo.

Descomposición de una Función de Transferencia en Serie

Consideremos la siguiente función de transferencia para ejemplificar el método.

Se descompone la función de transferencia en bloques en serie de funciones de transferencia simples como se muestra en la figura (de primer orden para polos reales distintos, de orden r para polos reales repetidos r veces y de segundo orden para polos complejos conjugados).


En este ejemplo, cada bloque simple de primer orden tiene la siguiente función de transferencia.


Ahora construimos el Diagrama de Estado de cada ecuación diferencial representativa de los bloque de funciones de transferencia de primer orden.


Ahora construimos el Diagrama de Estado total con los tres bloques de las funciones de transferencia de primer orden.


Ahora a partir del Diagrama de Estado escribimos las ecuaciones de estado y de salida.


Finalmente, rescribimos las ecuaciones escalares en forma matricial.

Descomposición de una Función de Transferencia en Paralelo

Consideremos la misma función de transferencia que en la descomposición serie para ejemplificar el método. Al desarrollar la función de transferencia en fracciones parciales y calcular los residuos se obtiene la última igualdad.

El desarrollo en fracciones parciales es equivalente a descomponer la función de transferencia original en bloques de funciones de transferencia simples en paralelo (de primer orden para polos reales distintos, de orden r, r-1,… para polos reales repetidos r veces y de segundo orden para polos complejos conjugados).

Ahora construimos el Diagrama de Estado total con los tres bloques en paralelo de funciones de transferencia de primer orden.

Descomposición de una Función de Transferencia en Paralelo

Ahora a partir del Diagrama de Estado escribimos las ecuaciones de estado y de salida y rescribimos las ecuaciones escalares en forma matricial.

MODELOS DE ESTADO

PARA

SISTEMAS INTERCONECTADOS

CONEXIÓN EN SERIE O CASCADA

CONEXIÓN EN PARALELO

CONEXIÓN EN REALIMENTACIÓN

Interconexión de Modelos en Espacio de Estado

Para construir modelos en espacio de estados de sistemas complejos, es necesario saber interco-nectar sistemas simples. Esta interconexión es usualmente la combinación de tres tipos básicos de estructuras:

Conexión en serie o cascada.

Conexión en paralelo.

Conexión en realimentación.

En cada uno de estos casos nos interesa obtener un modelo en variables de estado del sistema completo resultante.

Interconexión de Modelos en Espacio de Estado

1 1 1 1 1

1 1 1 1 1

( ) ( ) ( )1

( ) ( ) ( )

x t A x t B u tSistema

y t C x t D u t

2 2 2 2 2

2 2 2 2 2

( ) ( ) ( )2

( ) ( ) ( )

x t A x t B u tSistema

y t C x t D u t

Para el análisis que sigue consideramos dos sistemas, definidos mediante su modelo en variables de estado:

Interconexión en Serie o Cascada

Para obtener el modelo de estado deseado, observamos que:

1 2 2 1( ) ( ), ( ) ( ), ( ) ( )u t y t u t u t y t y t


2 2 2 2

1 1 1 1 1

( ) ( ) ( )

1 1 1 2 2 2

1 1 1 2 2 1 2

2 2 2 2 2 2 2 2

( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

y t C x t D u t

u t

x t A x t B u t

A x t B C x t D u t

A x t BC x t B D u t

x t A x t B u t A x t B u t

1 2 2 1( ) ( ), ( ) ( ), ( ) ( )u t y t u t u t y t y t

Escribimos la ecuación de estado para cada subsistema y reemplazamos las igualdades de arriba.


Ahora escribimos la ecuación de salida para S1 y reemplazamos variables.

1 1 1 1 2 2 1 2

2 2 2 2

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

x t A x t BC x t B D u t

x t A x t B u t

2 2 2 2

1 1 1 1 1

( ) ( ) ( )

1 1 1 2 2 2

1 1 1 2 2 1 2

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

y t C x t D u t

y t y t C x t D u t

C x t D C x t D u t

C x t DC x t D D u t


Reescribiendo en forma matricial:

1 1 1 2 1 1 2

2 2 2 2

11 1 2 1 2

2

( ) ( )( )

( ) 0 ( )

( )( ) ( )

( )

x t A BC x t B Du t

x t A x t B

x ty t C DC D D u t

x t

1 1 2 1 2

2 2

1 1 2 1 2

,0

,

s s

s s

A BC B DA B

A B

C C DC D D D

clear, clc, close all

S1=ss([0 1;-4 -3],[0; 1],[1.5 1],[0])

S2=ss([-2],[1],[3],[1])

A1=S1.a; B1=S1.b; C1=S1.c; D1=S1.d;

A2=S2.a; B2=S2.b; C2=S2.c; D2=S2.d;

As=[A1 B1*C2;0 0 A2];

Bs=[B1*D2;B2]; Cs=[C1 D1*C2]; Ds=D1*D2;

serie=ss(As,Bs,Cs,Ds); serie2=series(S1,S2);

[y,t]=step(serie,4); [y2,t2]=step(serie2,4);

plot(t,y,'b','LineWidth',2)

hold on

plot(t2,y2,'or','LineWidth',2,'MarkerSize',4)

hold off

Se compara la interconexión serie que genera el comando de Matlab serie2=series(S1,S2) con el modelo teórico serie=ss(As,Bs,Cs,Ds).

Ejemplo de interconexión serie:

Ejemplo de interconexión serie:

Interconexión en Paralelo

Para obtener el modelo equivalente de la interconexión paralelo observamos que:

1 2 1 2( ) ( ) ( ), ( ) ( ) ( )u t u t u t y t y t y t


1 2 1 2( ) ( ) ( ), ( ) ( ) ( )u t u t u t y t y t y tEscribimos las ecuaciones de estado para cada subsistema y la ecuación de salida utilizando las igualdades de arriba.

1 1 1 1

2 2 2 2

1 2

1 1 2 2 1 2

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

x t A x t B u t

x t A x t B u t

y t y t y t

C x t C x t D D u t


Reescribimos en forma matricial.

1 1 1 1

2 2 2 2

11 2 1 2

2

( ) 0 ( )( )

( ) 0 ( )

( )( ) ( )

( )

x t A x t Bu t

x t A x t B

x ty t C C D D u t

x t

1 1

2 2

1 2 1 2

0,

0

,

p p

p p

A BA B

A B

C C C D D D

clear, clc, close all

S1=ss([0 1;-4 -3],[0; 1],[1.5 1],[0])

S2=ss([-2],[1],[3],[1])

A1=S1.a; B1=S1.b; C1=S1.c; D1=S1.d;

A2=S2.a; B2=S2.b; C2=S2.c; D2=S2.d;

Ap=[A1 zeros(2,1);zeros(1,2) A2];Bp=[B1;B2];

Cp=[C1 C2]; Dp=D1+D2;

paralelo=ss(Ap,Bp,Cp,Dp);

paralelo2=parallel(S1,S2);

[y,t]=step(paralelo,2);

[y2,t2]=step(paralelo2,2);

plot(t,y,'b','LineWidth',2);hold on

plot(t2,y2,'or','LineWidth',2,'MarkerSize',4)

hold off

Se compara la interconexión paralelo que genera el comando de Matlab paralelo2=parallel(S1,S2) con el modelo teórico paralelo=ss(Ap,Bp,Cp,Dp).

Ejemplo de interconexión paralelo:

Ejemplo de interconexión paralelo:

Interconexión en Realimentación o Feedback

La interconexión de sistemas en realimentación o feedback (con realimentación negativa unitaria) aparece normalmente asociada a la estructura básica del lazo de control realimentado, donde S1 es el sistema a controlar y S2 es el controlador. Se observan las siguientes relaciones:

2 1 1( ) ( ) ( ) , ( ) ( )u t u t y t y t y t y se asume que D1=0

Interconexión en Realimentación o Feedback

1 1 1 2 1 1 2 1 1 2

2 2 1 2 2 2

11

2

( ) ( )( )

( ) ( )

( )( ) 0

( )

x t A B DC BC x t B Du t

x t B C A x t B

x ty t C

x t

1 1 2 1 1 2 1 2

2 1 2 2

1

,

0 , 0

f f

f f

A B DC BC B DA B

B C A B

C C D

Se llega a :

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