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signatura Algebra Lineal
Unidad: 5
Trabajo: Investigación
Tema: Transformaciones Lineales
Docente: M.G.T.I Erick Alberto Cupul Burgos
Alumnos: José Ignacio Chí Chuc
José Artemio Couoh Pech
Fausto Oliverio Noh Dzul
Carrera: Ingeniería Civil
Grado y grupo: 2º Semestre “B”
Fecha: Viernes 12 De Junio del 2015
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5.1 INTRODUCCIÓN A LAS TRANSFORMACIONES LINEALES
Las transformaciones lineales son las funciones y tratan sobre K-espacios
vectoriales que son compatibles con la estructura (esdecir, con la operación y la acción) de estos espacios. Aquí se presentan las
funciones entre espacios vectoriales que preservan las cualidades de los
espacios vectoriales. Es decir, de funciones que preservan la suma y la
multiplicación por escalares.
Nosotros usaremos el concepto de la función para darle un tratamiento a los
sistemas de ecuaciones lineales. La restricción que haremos sera sobre el tipo de
funciones: solo estaremos interesados en funciones que preserven las operaciones
en el espacio vectorial. Este tipo de funciones serán llamadas funciones lineales.
Primeramente las definiremos, veremos algunas propiedades generales y después
veremos cómo se aplican estos resultados a sistemas de ecuaciones.
Sean V y W dos espacios vectoriales posiblemente iguales.
Una transformación lineal o mapeo lineal de V a W es una función
T: V → W tal que para todos los vectores u y v de V y cualquier escalar c: a) T (u + v) = T (u) + T (v)
b) T (c u) = c T (u)
Demuestre que la transformación T: R2 →R2 definida por
es lineal.
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Teniendo en cuenta que las transformaciones lineales son funciones entre
conjuntos, tiene sentido estudiar la validez de las propiedades usuales de funciones:
inyectividad, suryectividad y biyectividad.
Las transformaciones lineales que verifican alguna de estas propiedades reciben
nombres particulares:
Definición 3.6 Sean V y W dos K-espacios vectoriales, y sea f: V → W una
transformación lineal. Se dice que:
f es un monomorfismo si f es inyectiva.
f es un epimorfismo si f es suryectiva.
f es un isomorfismo si f es biyectiva.
En algunos casos, consideraremos transformaciones lineales de un K-espacio
vectorial en s ́ı mismo:
Sea V un K-espacio vectorial. Una transformación lineal f: V → V se llama unendomorfismo de V. Si f es un endomorfismo que es además un isomorfismo,
entonces se dice que es un automorfismo.
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En términos generales, una transformación es una función que permite transformar
un vector que pertenece a un espacio vectorial (dominio) en otro vector que
pertenece a otro espacio vectorial (codominio). Por esta razón, dicha función es una
función vectorial de variable vectorial, es decir, depende de vectores, y es del tipo
w fv = ( ).
Una transformación se representa como T: V→W, donde V es el “dominio” y W el
“codominio” de la transformación T.
Una aplicación T: R n → R m es llamada transformación lineal si preserva la
estructura lineal (suma y producto por escalar): 1 Si ~x, ~y ∈ R n, entonces T (~x +
~y) = T (~x) + T (~y). 2 Si ~x ∈ R n y α ∈ R, entonces T (α~x) = αT (~x).
Como consecuencia de esta definición es fácil observar que una transformación
lineal toma combinaciones lineales α1~x1 + α2~x2 + · · · +αk~xk de vectores en R
n y las lleva a transformaciones lineales de vectores en R m: T (α1~x1 + α2~x2 + ·
· · + αk~xk) = α1T (~x1) + α2T (~x2) + · · · + αkT (~xk).
En particular, por ejemplo, podemos probar que la imagen del cero ~0 ∈ R n bajo
una transformación lineal debe ser el cero ~0 ∈ R m: T (~0) = T (~x + (−~x)) = T (~x)
− T (~x) = ~0.
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1). Si V1 = (1,-1), V2 = (2,-1), V3= (-3,2) y W1= (1,0), W2= (0,-1), W3= (1,1). ¿Existe
una transformación lineal T: R2à R, tal que T (vi) = Wi para i = 1, 2,3?
Solución: Si { v1, v2 , v3 }es base de R 2 , entonces existe una única transformación
lineal T: R2 à R Pero: (-3,2) = -(1,-1) – ( 2,-1) Þ { v1, v2 , v3 } no es linealmenteIndependiente Þ { v1, v2 , v3 }no es base de R 2 Þ no existe tal transformación lineal
2). Sea T: R3 à R3 , transformación lineal , tal que : T (1,1,1) = (1,0,2) ; T ( 1,0,1) =
( 0,1,1) ; T ( 0,1,1) = ( 1,0,1) Encontrar T (x,y,z) Solución: Por demostrar que el
conjunto {(1,1,1), (1,0,1),(0,1,1)} es base de R 3 Sea a.b.c Î R, tal que . a(1,1,1) +
b(1,0,1) + c(0,1,1) = (0,0,0) a + b = 0 a + c = 0 Þ a = b = c = 0 a + b + c = 0 Luego
{(1,1,1),(1,0,1),(0,1,1)} es linealmente Independiente Sea (x,y,z) Î R 3 , entonces
existen escalares a,b,c Î R tal que: a(1,1,1) + b( 1,0,1) + c(0,1,1) =(x,y,z) a + b = x a
+ c = y Þ a = x + y - z ; b = z - y ; c = z - x a + b + c = z
Ejemplos:
1.
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2.
5.2 NÚCLEO E IMAGEN DE UNA TRANSFORMACIÓN LINEAL
En esta sección se desarrollan algunas propiedades básicas de las
transformaciones lineales.
Teorema 1. Sea T: V W una transformación lineal. Entonces para todos los vectores
u, v, v1, v2,….vn en V y todos los escalares
Nota en la parte i el 0 de la izquierda es el vector cero en v; mientras que el cero
de la derecha es el vector cero en W.
i. T (0) = T (0 + 0)= T (0) + T (0). Así 0= T (0) – T (0) = T (0) + t (0) – T (0) = T (0)
ii.T (u-v) = T [u + (-1) v] = Tu + T [(-1) v] = Tu + (-1) Tv = Tu – Tv.
iii.Esta parte se prueba por inducción (vea el apéndice 1). Para n = 2 se tiene T
(α1v1 + α2v2) = T (α1v1) + T (α2v2) = α1Tv1 + α2Tv2. Así, la ecuación (1) se cumple
para n = 2. Se supone que se cumple para n = k y se prueba para n=k + 1: T (α1v1 +
α2v2+….+ αkvk+αk+1vk-1) = T (α1v1 + α2v2+….+αkvk) + T (αk+1vk+1), y usando
la ecuación en la parte iii para n= k, esto es igual a (α1Tv1 + α2Tv2+….αkTvk) +
αk+1Tvk+1, que es lo que se quería demostrar. Esto completa la prueba.
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Observación. Los incisos i) y ii) del teorema 1 son casos especiales del inciso
iii). Un dato importante sobre las transformaciones lineales es que están
completamente determinadas por el efecto sobre los vectores de la base.
Teorema 2 Sea v un espacio vectorial de dimensión finita con base B= {v1,
v2,….vn}. Sean w1, w2,….en vectores en W. Suponga que T1y T2 son dos
transformaciones lineales de V en W tales que T1vi = T2vi = wi para i = 1, 2,…, n.
Entonces para cualquier vector v ϵ v, T 1v = T2v; es decir T1 = T2.
Como B es una base para V, existe un conjunto único de escalares α1, α2,…., αn.
Tales que v = α1v1 + α2v2 +…+ αn vn.
Entonces, del inciso iii) del teorema 1, T1v = T1 (α1 v1 + α2v2 +…+ αnvn)
= α1T2v1 + α2T2v2 +… + αnTnvn= α1w1 + α2w2 +…+ αnTnvn
De manera similar T2v = T2(α1v1 + α2v2 +…+ αnvn) = α1T2v1 + α2T2v2 +…+ αnTnvn =
α1w1 + α2w2 +…+ αnvn
Por lo tanto, T1v =T2v.
El teorema 2 indica que si T: v W y V tiene dimensión finita, entonces sólo esnecesario conocer el efecto que tiene T sobre los vectores de la base en V. Esto es,
si se conoce la imagen de cada vector básico, se puede determinar la imagen de
cualquier vector en V. Esto determina T por completo. Para ver esto, sean v1,
v2,….vn una base en V y sea v otro vector en V. Entonces, igual que en l aprueba
del teorema 2, Tv = α1Tv1 + α2Tv2 +…+ αnTvn
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Así, se puede calcular Tv para cualquier vector vϵ V si se conocen Tv1, Tv2,….Tvn
Ejemplo 1 Si se conoce el efecto de una transformación lineal sobre los vectores
de la base, se conoce el efecto sobre cualquier otro vector.
Sea T una transformación lineal de R3 en R2 y suponga que
Solución. Se tiene
Entonces
Surge otra pregunta; si w1, w2,…., wn son n vectores en W, ¿existe una
transformación lineal T tal que Tv1 = w1 para i = 1,2,…, n? La respuesta es sí. Como
lo muestra el siguiente teorema.
http://1.bp.blogspot.com/-y8gx2t0cwXk/T9f5Ecy2e9I/AAAAAAAAAf8/a9ooIVssInw/s1600/Imagen4.jpghttp://3.bp.blogspot.com/-tYayZUI-_9U/T9f45j5VY5I/AAAAAAAAAf0/mecOYSDjMA0/s1600/Imagen3.jpghttp://3.bp.blogspot.com/-KzGbaBU7gzs/T9f4qzKKuoI/AAAAAAAAAfs/Yx620-vIN-s/s1600/Imagen2.jpg
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Teorema 4 Si T: V W es una transformación lineal, entonces
i.Un T es un subespacio de V.
ii.Im T es un subespacio de W.
Demostracion
i.Sean u y v en un T; Entonces T (u + v) = Tu + Tv =0 + 0 =0 y T ( ) = = 0 = 0 de
forma que u + v y ∝u están en un T.
ii. Sean w y x en Im T. Entonces w = Tu y x = Tv para dos vestores u y v en V. Esto
significa que T (u + v)= Tu + Tv = w + x y T (∝u) = ∝Tu =∝w. Por lo tanto, w + x y
∝w están en Im T.
Ejemplo 3. Núcleo e imagen de la transformación cero
Sea Tv = 0 para todo vϵ V (T es la transformación cero). Entonces un T = v e Im T
= {0}.
Ejemplo 4 Núcleo e imagen de la transformación identidad
Sea Tv = v para vϵ V (T es la transformación identidad). Entonces un T= {0} e Im T
= V.
Las transformaciones cero e identidad proporcionan dos extremos. En la primera
todo se encuentra en el núcleo. En la segunda sólo el vector cero se encuentra enel núcleo. Los casos intermedios son más interesantes.
Ejemplo 5 Núcleo e imagen de un operador de proyección
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Sea T: R3 R3 definida por
T es el operador de proyección de R3 en el plano xy.
Entonces x = y = 0. Así, nu T = {(x, y, z): x = y = 0, zϵR}, es decir, el eje z, e Im T ={(x, y, z): z = 0}, es decir el plano xy. Observe que dim un T = 1 y dim Im T = 2.
Definición 2 Nulidad y rango de una transformación lineal
Si T es una transformación lineal de v en w, entonces se define.
Observación. En la sección 4.7 se definieron el rango, la imagen, el espacio nulo y
la nulidad de una matriz. Según el ejemplo 5.1.7, Toda matriz A de m*n da lugar a
una transformación lineal T: R´´ R´´´ definida por Tx = Ax. Es evidente que un T =
NA, Im T = Im A = CA, v (T) = v(A) y p (T) = p(A). Entonces se ve que las definiciones
de núcleo, imagen, nulidad y rango de una transformación lineal son extensiones
del espacio nulo, la imagen, la nulidad y el rango de una matriz.
Ejemplo 6. Núcleo y nulidad de un operador de proyección
http://3.bp.blogspot.com/-6W0Pyic53N0/T9f-5JY7CkI/AAAAAAAAAgo/1LtPw8a1cGk/s1600/Imagen9.jpghttp://1.bp.blogspot.com/-WuQfWFCFIw4/T9f-phwgzuI/AAAAAAAAAgg/0t2Kb8f7Gi8/s1600/Imagen8.jpghttp://2.bp.blogspot.com/-5mqbYT2vxFk/T9f-XZF9nhI/AAAAAAAAAgY/8is-jNUrH1s/s1600/Imagen7.jpg
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Sea H un subespacio de R´´ y sea Tv = proyH v. Es obvio que la Im T = H. Se tiene
que toda vϵ V si v=h + proyH v + proyHv. Si Tv = 0, entonces h=0, lo que significa498
Definición (la imagen de una transformación lineal). Sean V, W espacios vectoriales
sobre un campo F y sea T ∈ L(V, W). La imagen de T se define como el conjunto de
todos los valores de la aplicación T: im(T) := w ∈ W : ∃v ∈ V tal que w = T(v) . 2.
Definición (el núcleo de una transformación lineal). Sean V, W espacios vectoriales
sobre un campo F y sea T ∈ L(V, W). El núcleo (kernel, espacio nulo) de T se define
como la pre imagen completa del vector nulo: ker (T):= x ∈ V: T(x) = 0W.
Proposición (el núcleo de una transformación lineal es un subespacio vectorial del
dominio). Sean V, W espacios vectoriales sobre un campo F y sea T ∈ L (V, W).
Entonces ker (T) es un subespacio de V. 4. Proposición (la imagen de una
transformación lineal es un subespacio vectorial del codominio). Sean V, W
espacios vectoriales sobre un campo F y sea T ∈ L (V, W). Entonces im (T) es un
subespacio de W. Parte de demostración. Se aplica el criterio de subespacio. Se
demuestra que el conjunto im (T) es cerrado bajo la adición y bajo la multiplicación
por escalares, además contiene al vector cero. Mostremos que el conjunto im (T) escerrado bajo la adición. Sean w1, w2 ∈ im (T). Por la definición de la imagen, existen
v1, v2 ∈ V tales que w1 = T (v1), w2 = T (v2). Por la linealidad de T, T (v1 + v2) = T
(v1) + T (v2) = w1 + w2. Logramos encontrar un vector x = v1 + v2 tal que T(x) = w1
+ w2. Por la definición de la imagen, esto implica que w1 + w2 ∈ im (T). Núcleo e
imagen de una transformación lineal, pagina 1 de 3 Inyectividad y suprayectividad
de una transformación lineal en términos de su núcleo e imagen 5. Definición de
función suprayectiva (repaso). Una función f: X → Y se llama suprayectiva o
sobreyectiva si para cualquier y ∈ Y existe un x ∈ X tal que f(x) = y. 6. Observación
(criterio de la suprayectividad de una función en términos de su imagen). Según la
definición, f se llama suprayectiva si Y ⊂ im (f). Pero la contención im (f) ⊂ Y es
válida cualquier función f: X → Y. Por lo tanto, f es suprayectiva ⇐⇒ im (f) = Y. 7.
Definición de función inyectiva (repaso). Una función f: X → Y se llama inyectiva si
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para cualesquiera x1, x2 ∈ X tales que f(x1) = f(x2), se cumple la igualdad x1 = x2.
8. Proposición (criterio de la inyectividad de una transformación lineal en términos
de su núcleo). Sean V, W espacios vectoriales sobre un campo F y sea T ∈ L (V,
W). Entonces: T es inyectiva ⇐⇒ ker (T) = {0V}. Demostración. =⇒. Supongamos
que T es inyectiva. Tenemos por demostrar la igualdad ker (T) = {0V}. Sabemos que
la contención {0V} ⊂ ker (T) se cumple para cualquier transformación lineal. Vamos
a demostrar que ker (T) ⊂ {0V}. Para ello, consideremos un vector arbitrario v ∈ ker
(T) y demostremos que v = 0V. Por la definición del núcleo tenemos que T (v) = 0W.
Por otro lado, sabemos que T (0V) = 0W. De las ´últimas dos igualdades sigue que
T (v) = T (0V). Como T es inyectiva, podemos concluir que v = 0V. ⇐=. Supongamos
que ker (T) = {0}. Sean u, v ∈ V tales que T (u) = T (v), demostremos que u = v. Por
la linealidad de T, T (u − v) = T (u + (−1) v) = T (u) + (−1) T (v) = T (u) − T (v) = 0.
Esto significa que T (u − v) ∈ ker (T). Luego u − v = 0 y u = v.
Ejemplo 9. Ejemplo (el núcleo y la imagen de la transformación nula). La
transformación nula 0V →W: V → W está definida mediante la fórmula ∀v ∈ V 0V
→W (v):= 0W. Es fácil ver que ker (0V →W) = V, im (0V →W) = {0W}.
10. Ejercicio (el núcleo y la imagen de la transformación identidad). Determine ker
(I) y im (I) de la transformación identidad I: V → V definida mediante la fórmula ∀v ∈
V I (v):= v.
11. Ejemplo (el núcleo y la imagen de la transformación D). Consideremos el
operador D: Pan(R) → Pan(R), De = f 0. Entonces im(A) = Pn−1 (F), ker(A) = P0 (F).
12. Ejemplo (el núcleo y la imagen de una proyección en V 2 (O)). Sea P el operador
de proyección sobre `1 paralelamente a `2. Entonces ker (P) = `2, im (P) = `1.
14. Problema adicional. Sean V, W, X espacios vectoriales sobre un campo F y sean
T ∈ L (V, W), U ∈ L (W, X). Demuestre que im (UT) ⊂ im (U), ker (T) ⊂ ker (UT).
15. Problema adicional. En este problema se trata de funciones generales, no
necesariamente de transformaciones lineales. Sean f: X → Y, g: Y → Z. Demuestre
que: 1. Si la composición ge es suprayectiva, entonces g es suprayectiva. 2. Si la
composición ge es inyectiva, entonces f es inyectiva.
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5.3
LA MATRIZ DE UNA TRANSFORMACIÓN LINEAL.
Si A es una matriz de m*n y T: Rn-Rm está definida por Tx = Ax, entonces, T es una
transformación lineal. Ahora se verá que para toda transformación lineal de Rn en
Rm existe una matriz A de m*n tal que Tx = Ax para todo x ϵ Rn. Este hecho es de
gran utilidad. Si Tx = Ax. Entonces un T = NA e Im T = RA. Más aun, v(T) = dim un
T = v(A) y p(T) = dim Im T = p(A). Así se puede determinar el núcleo, la imagen, la
nulidad y el rango de una transformación lineal de Rn-Rm determinando el espacio
nulo y la imagen de la matriz correspondiente. Adicionalmente, una vez que se sabe
que Tx = Ax. Se puede evaluar Tx para cualquier x en Rn mediante una simple
multiplicación de matrices.
Pero esto no es todo. Como se verá, cualquier transformación lineal entre espacios
vectoriales de dimensión finita se puede representar mediante una matriz.
Teorema 1
Sea T:Rn -Rm una transformación lineal. Existe entonces una matriz única de m*n,
AT tal que
Demostración
Sea w1 = Te1,w2 = Te2,….,wn = Ten. Sea AT la matriz cuyas columnas son w1,
w2,…., wn y hagamos que AT denote también ala transformación de Rn-Rm, que
multiplica un vector en Rn por AT. si
http://4.bp.blogspot.com/-XnHI8W6EQRY/T9gCz0T-BuI/AAAAAAAAAg8/Xsnoad3c7X4/s1600/Imagen2.jpghttp://3.bp.blogspot.com/-B6ovTinYABA/T9gCo9zm7yI/AAAAAAAAAg0/n5tVrkD_lOo/s1600/Imagen1.jpg
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Entonces
De esta forma, ATei = wi para i = 1,2,….n., T y la transformación AT son las mismas
porque coinciden en los vectores básicos.
Ahora se puede demostrar que AT es única. Suponga que Tx = ATx y que Tx = BTx
para todo x ϵ Rn. Entonces ATx = BTx, o estableciendo CT= AT – BT, se tiene queCTx = 0 para todo x ϵ Rn. En particular, CTei es la columna i de CT. Así, cada una
de las n columnas de CT es el m-vector cero, la matriz cero de m*n. Esto muestra
que AT = BT y el teorema queda demostrado.
Definición: Matriz de transformación
La matriz AT en el teorema 1 se denomina matriz de transformación correspondiente
a T o representación matricial de T.
NOTA. La matriz de transformación AT está definida usando las bases estándar
tanto en Rn como en R3. Si se utilizan otras bases, se obtendrá una matriz de
transformación diferente.
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TEOREMA 2: sea AT la matriz de transformación correspondiente a la
transformación lineal T. entonces.
i. Im T = Im A = CAT
ii. P(T) = p(AT)
iii. Un T = NAT
iv. v(T) = v(AT
Ejemplo 1 Representación matricial de una transformación de proyección
Encuentre la matriz de transformación AT correspondiente a la proyección de un
vector en R3 sobre el plano xy.
Solución
Teorema 4
Sean V y W espacios vectoriales de dimensión finita con dim V = n. sea T:V-W una
transformación lineal y sea AT una representación matricial de T respecto a las
bases B1 en V y B2 en W. entonces
i.p(T) =p(AT) ii. V(A) = v(AT) iii. V(a) + p(T) = n
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Teorema 5 Sea T:Rn-Rm una transformación lineal. Suponga que C es la matriz de
transformación de T respecto a las bases estándar Sn y Sm en Rn y Rm,
respectivamente. Sea A1 la matriz de transición de B2 a base Sm en Rm. Si
AT denota la matriz de transformación de T respecto a las bases B1 y B2, entonces.
Geometría de las transformaciones lineales de R2 en R2.
Sea T:R2-R2 una transformación lineal con representación matricial AT Ahora de
demostrará que si AT es invertible, entonces T se puede escribir como una sucesión
de una o más transformaciones especiales, denominadas expansiones,
compresiones, reflexiones y cortes.
Expansiones a lo largo de los ejes x o y
Una expansión a lo largo del eje x es una transformación lineal que multiplica a la
coordenada x de un vector en R2 por una constante C >1. Esto es
De manera similar, una expansión a lo largo del eje y es una transformación lineal
http://3.bp.blogspot.com/-4FwbPKfmIPk/T9gFqexEUJI/AAAAAAAAAhk/nFV827TLEFA/s1600/Imagen7.jpghttp://3.bp.blogspot.com/-wMDUn1UAvBc/T9gFjO9ohlI/AAAAAAAAAhc/THk55q55Neo/s1600/Imagen6.jpghttp://1.bp.blogspot.com/-BX_SLeLEVBM/T9gFL42b7jI/AAAAAAAAAhU/0sZNsqdEsGs/s1600/Imagen5.jpg
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que multiplica la coordenada y de todo vector en R2 por una constante C>1. Como
antes,
Entonces la representación matricial de T es de manera que
a) se comienza con este rectángulo.
b) Expansión en la dirección de x c = 2.
c) Expansión en la dirección de y con c = 4.
http://2.bp.blogspot.com/-5wyf9kCfayE/T9gF9WYNBTI/AAAAAAAAAhs/uLbm-CE9dBQ/s1600/Imagen8.jpghttp://3.bp.blogspot.com/-tF9Gi_AfdMM/T9gGeP0mVXI/AAAAAAAAAiE/tgpA9vG6SGk/s1600/Imagen11.jpghttp://3.bp.blogspot.com/-Dbdhu03PND4/T9gGSv-R5qI/AAAAAAAAAh8/MhYvukJHz5Y/s1600/Imagen10.jpghttp://4.bp.blogspot.com/-RqGwFFyPL_U/T9gGGrj8YAI/AAAAAAAAAh0/wKU197FsRZ4/s1600/Imagen9.jpg
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Compresión a lo largo de los ejes x o y.
Una compresión a lo largo de los ejes x o y es una transformación lineal que
multiplica ala coordenada x o y de un vector en R2 por una constante positiva 0
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Definiciones
1. Reflexión: Cuando un conjunto de puntos dados es graficado desde el espacio
euclidiano de entrada a otro de manera tal que este es isométrico al espacio
euclidiano de entrada, llamamos a la operación realizada la reflexión del conjunto
de puntos dado. Esto puede realizarse también con respecto a la matriz, en tal
situación la matriz de salida es llamada la matriz de reflexión. La reflexión es
realizada siempre con respecto a uno de los ejes, sea el eje x o el eje y. Esto es
como producir la imagen espejo de la matriz actual.
2. Expansión: Al igual que en la reflexión, también es posible expandir los puntos
dados en una dirección particular. La expansión se realiza habitualmente para un
cierto grado. Es como realizar una operación de multiplicación de los elementos del
conjunto de puntos dado con un término escalar hacia la dirección donde tiene que
ser expandido. Sea para un punto (2, 3) si el grado de expansión 2 es la dirección
de y, entonces el nuevo punto obtenido es (2, 6).
3. Contracción: La contracción es el procedimiento inverso de la expansión. Aquí
el punto es contraído en un determinado grado hacia una dirección dada. Sea el
punto de entrada (4, 8) y este debe ser contraído para el grado dos en la dirección
de x entonces el nuevo punto resulta ser (2, 8).
4. Rotación: El término rotación tiene dos significados, ya la rotación de un objeto
puede ser realizada con respecto al eje dado o al eje mismo. La rotación se realiza
para un cierto grado el cual es expresado en forma de un ángulo. Asimismo, la
rotación puede realizarse en la dirección de las manecillas del reloj, o inverso a las
manecillas del reloj.
Ejemplos
Reflexión sobre el eje xEn este caso, queremos averiguar cómo está definida la transformación T de R2 en
R2 que cada vector lo refleja sobre el eje x,
para obtener un vector
http://4.bp.blogspot.com/-LFIg9Lq2rqY/T9wOXXtfClI/AAAAAAAAAlY/DkMTe8asao8/s1600/Imagen4.pnghttp://3.bp.blogspot.com/-EGnSLdL9OJU/T9wO4sKP3nI/AAAAAAAAAlg/DRnZxyIl2-E/s1600/Imagen5.png
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En una gráfica, vemos la situación como sigue:
En este caso, la situación es más sencilla ya que claramente tenemos dos triángulos
rectángulos que son congruentes, de donde T queda definida como sigue:
Esta transformación se llama la reflexión sobre el eje x, y es lineal, ya que:
Ejemplo dilatación o expansión
Una dilatación es una transformación que incrementa distancias.
Sea V= (2 4) encontrara la expansión vertical cuando K=2
Expansión horizontal (k71) o contracción (0
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Ejemplo contracción
Una contracción es una transformación que decrece distancias. Bajo una
contracción, cualquier par de puntos es enviado a otro par a distancia estrictamente
menor que la original.
Sea V= (2 4) encontrara la contracción horizontal cuando K=1/2
Haciendo la gráfica el punto disminuye en el eje horizontal.
Rotación por un ángulo
Sea un ángulo medido en radianes. Queremos averiguar cuál
es la transformación T de R2 en R2 que gira cada vector
un ángulo , para obtener un vector
En una gráfica, vemos la situación como sigue:
Si usamos las funciones trigonométricas, tenemos que:
Distribuyendo y usando el hecho de que
y tenemos que:
http://1.bp.blogspot.com/-LOnGaUZdEjk/T9wPsJCB1rI/AAAAAAAAAmA/AupaSIyD7II/s1600/Imagen8.pnghttp://3.bp.blogspot.com/-4GbmVa820Iw/T9wP1wX0TYI/AAAAAAAAAmI/OVpP1ewesDo/s1600/Imagen9.pnghttp://4.bp.blogspot.com/-ShqTJOqWoRM/T9wPHqdQ0PI/AAAAAAAAAlo/0X1X7BvRyDM/s1600/Imagen6.pnghttp://4.bp.blogspot.com/-fsQvR8_uzjU/T9wPfdqgF6I/AAAAAAAAAl4/9pchr8_xp1o/s1600/Imagen7.pnghttp://3.bp.blogspot.com/-EGnSLdL9OJU/T9wO4sKP3nI/AAAAAAAAAlg/DRnZxyIl2-E/s1600/Imagen5.pnghttp://3.bp.blogspot.com/-gl0Ci71Tg9g/T9wN2zbskmI/AAAAAAAAAlI/qr29h3XHwsc/s1600/Imagen2.pnghttp://1.bp.blogspot.com/-7VdR6fS3ojk/T9wNqW_Mg7I/AAAAAAAAAlA/3VQoeYMVdW8/s1600/Imagen1.pnghttp://4.bp.blogspot.com/-LFIg9Lq2rqY/T9wOXXtfClI/AAAAAAAAAlY/DkMTe8asao8/s1600/Imagen4.pnghttp://3.bp.blogspot.com/-CXiQhiHFrAs/T9wOAdzxN5I/AAAAAAAAAlQ/WQlYKwLi1Xs/s1600/Imagen3.pnghttp://1.bp.blogspot.com/-7VdR6fS3ojk/T9wNqW_Mg7I/AAAAAAAAAlA/3VQoeYMVdW8/s1600/Imagen1.png
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Por lo tanto, ya descubrimos cómo debe estar definida la transformación
Tal que
Esta transformación se llama la rotación por un ángulo y es lineal, ya que:
Bibliografías
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http://itsavbasicas.blogspot.mx/2012/05/54-aplicacion-de-las transformaciones.html
https://sites.google.com/site/sistemasalgebralineal/unidad-5---transformaciones-lineales/5-
1-introduccion-a-las-transformaciones-lineales
http://profe-alexz.blogspot.mx/2011/02/transformacion-lineal-problemas.html
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