ระบบสมการเชิงเส้นbencha/886204_58/ch2LinearEquation.pdf ·...
Transcript of ระบบสมการเชิงเส้นbencha/886204_58/ch2LinearEquation.pdf ·...
ระบบสมการเชงเสน Computer Science, Burapha University
1
Elementary operation
การด าเนนการขนมลฐานใชส าหรบแปลง Matrix ใหอยในรปทงายขน เชนในเรองการแปลง Matrix ใหอยในรป Normal form หรอเรองการหา Inverse matrix โดยการแปลง [A : In] ใหเปน [In : A-1] Elementary operation มใหเลอกมากมายหลายอยาง เชน •การสลบแถวใดๆ •การคณสเกลารเขาไปในสมาชกทงแถว •บวกหรอลบสมาชกแตละตวของแถวหนงกบอกแถวหนง
: i jR R
: i iR kR
: i i jR R kR
2
การใช Elementary row operation ในการหา Inverse matrix
ตวอยาง จงหา Inverse matrix ของ Matrix ตอไปนโดยใช Elementary row operation
1. ตงเปาหมายการแปลง Matrix
5 5 0 10
1 0 4 8
2 3 4 0
0 4 2 10.5
A
1:: AIIA nn
3
เราม Matrix ตงตนคอ
5 5 0 10 1 0 0 0
1 0 4 8 0 1 0 0:
2 3 4 0 0 0 1 0
0 4 2 10.5 0 0 0 1
A I
เปาหมายคอเราจะตองใช Elementary row operation แปลง Matrix ใหเปน
11 12 13 14
21 22 23 24
31 32 33 34
41 42 43 44
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
b b b b
b b b b
b b b b
b b b b
)(Ainverse
4
2. แปลง Matrix [A : I ] ใหเปนตามเปาหมาย 2.1 ท าให a11 เปน 1 ในทนเรามสามารถท าไดหลายวธเชนหารแถวท 1 ดวย a11 หรอ สลบแถว 1 กบ แถว 2 ในทนเราเลอกการหาร แถว 1 ดวย 5 จะได
5 5 0 10 1 0 0 0
1 0 4 8 0 1 0 0
2 3 4 0 0 0 1 0
0 4 2 10.5 0 0 0 1
1 1 0 2 0.2 0 0 0
1 0 4 8 0 1 0 0
2 3 4 0 0 0 1 0
0 4 2 10.5 0 0 0 1
5/1R
2.2. ท าให a21, a31, และ a41 เปน 0 โดยการ 2.2.1 แถว 2 – (แถว 1)*a21 แลวเกบไวในแถว 2 2.2.2 แถว 3 – (แถว 1)*a31 แลวเกบไวในแถว 3 2.2.3 แถว 4 – (แถว 1)*a41 แลวเกบไวในแถว 4
5
1 1 0 2 0.2 0 0 0
0 1 4 6 0.2 1 0 0
0 1 4 4 0.4 0 1 0
0 4 2 10.5 0 0 0 1
1 1 0 2 0.2 0 0 0
1 0 4 8 0 1 0 0
2 3 4 0 0 0 1 0
0 4 2 10.5 0 0 0 1
12 RR
13 2RR
6
2.3 ท าให a22 เปน 1 โดยการหารแถวท 2 ดวย a22 ซงเทากบ -1
1 1 0 2 0.2 0 0 0
0 1 4 6 0.2 1 0 0
0 1 4 4 0.4 0 1 0
0 4 2 10.5 0 0 0 1
1 1 0 2 0.2 0 0 0
0 1 4 6 0.2 1 0 0
0 1 4 4 0.4 0 1 0
0 4 2 10.5 0 0 0 1
2R
7
2.4 ท าให a12, a32, และ a42 เปน 0 โดยการ 2.4.1 แถว 1 – (แถว 2)*a12 แลวเกบไวในแถว 1 2.4.2 แถว 3 – (แถว 2)*a32 แลวเกบไวในแถว 3 2.4.3 แถว 4 – (แถว 2)*a42 แลวเกบไวในแถว 4
1 1 0 2 0.2 0 0 0
0 1 4 6 0.2 1 0 0
0 1 4 4 0.4 0 1 0
0 4 2 10.5 0 0 0 1
1 0 4 8 0 1 0 0
0 1 4 6 0.2 1 0 0
0 0 8 2 0.6 1 1 0
0 0 14 13.5 0.8 4 0 1
21 RR
23 RR
24 4RR
8
2.5 ท าให a33 เปน 1 โดยการหารแถวท 3 ดวย a33 ซงเทากบ 8
1 0 4 8 0 1 0 0
0 1 4 6 0.2 1 0 0
0 0 8 2 0.6 1 1 0
0 0 14 13.5 0.8 4 0 1
1 0 4 8 0 1 0 0
0 1 4 6 0.2 1 0 0
0 0 1 0.25 0.075 0.125 0.125 0
0 0 14 13.5 0.8 4 0 1
8/3R
9
2.6 ท าให a13, a23, และ a43 เปน 0 โดยการ 2.6.1 แถว 1 – (แถว 3)*a13 แลวเกบไวในแถว 1 2.6.2 แถว 2 – (แถว 3)*a23 แลวเกบไวในแถว 2 2.6.3 แถว 4 – (แถว 3)*a43 แลวเกบไวในแถว 4
1 0 0 7 0.3 0.5 0.5 0
0 1 0 5 0.1 0.5 0.5 0
0 0 1 0.25 0.075 0.125 0.125 0
0 0 0 10 0.25 2.25 1.75 1
1 0 4 8 0 1 0 0
0 1 4 6 0.2 1 0 0
0 0 1 0.25 0.075 0.125 0.125 0
0 0 14 13.5 0.8 4 0 1
31 4RR
32 4RR
34 14RR
10
2.7 ท าให a44 เปน 1 โดยการหารแถวท 4 ดวย a44 ซงเทากบ 10
1 0 0 7 0.3 0.5 0.5 0
0 1 0 5 0.1 0.5 0.5 0
0 0 1 0.25 0.075 0.125 0.125 0
0 0 0 10 0.25 2.25 1.75 1
10/4R
1 0 0 7 0.3 0.5 0.5 0
0 1 0 5 0.1 0.5 0.5 0
0 0 1 0.25 0.075 0.125 0.125 0
0 0 0 1 0.025 0.225 0.175 0.1
11
2.8 ท าให a14, a24, และ a34 เปน 0 โดยการ 2.8.1 แถว 1 – (แถว 4)*a14 แลวเกบไวในแถว 1 2.8.2 แถว 2 – (แถว 4)*a24 แลวเกบไวในแถว 2 2.8.3 แถว 3 – (แถว 4)*a34 แลวเกบไวในแถว 3
1 0 0 7 0.3 0.5 0.5 0
0 1 0 5 0.1 0.5 0.5 0
0 0 1 0.25 0.075 0.125 0.125 0
0 0 0 1 0.025 0.225 0.175 0.1
41 7RR
42 5RR
43 25.0 RR
1 0 0 0 0.125 1.075 0.725 0.7
0 1 0 0 0.025 0.625 0.375 0.5
0 0 1 0 0.08125 0.06875 0.16875 0.025
0 0 0 1 0.025 0.225 0.175 0.1
12
1
0.125 1.075 0.725 0.7
0.025 0.625 0.375 0.5
0.08125 0.06875 0.16875 0.025
0.025 0.225 0.175 0.1
A
ไดค าตอบเปน
ทดสอบค าตอบโดย IAA 1
1000
0100
0010
0001
1.0175.0225.0025.0
025.016875.006875.008125.0
5.0375.0625.0025.0
7.0725.0075.1125.0
5.10240
0432
8401
10055
หรอไม
ถกตอง
13
รปแบบทวไปของสมการเชงเสนทไมทราบคา 2 ตว
ผลเฉลยของระบบสมการเชงเสนคอคอนดบ ทท าใหสมการ (1) และ (2) เปนจรง โดยผลเฉลยสามารถมไดหนงชด หรอหลายชด หรอไมมผลเฉลยกได เชน มผลเฉลยคอ
2222121
1212111
bxaxa
bxaxa
),( 21 xx
--------------------------(1)
--------------------------(2)
242
12
21
21
xx
xx
)2,3(),1,1(
ระบบสมการเชงเสน
เมอ aij คอ สมประสทธของตวแปร i = 1, 2, …, m j = 1, 2, …, n bi คอ คาคงตวของสมการท i และ x1, x2, …, xn คอตวแปร
14
นยาม ระบบสมการเชงเสนในรปของเมทรกซ
11 1 12 2 1 1
21 1 22 2 2 2
1 1 2 2
n n
n n
m m mn n m
a x a x a x b
a x a x a x b
a x a x a x b
11 12 1 1 1
21 22 2 2 2
1 2
n
n
m m mn n m
a a a x b
a a a x b
a a a x b
ถาใหระบบสมการประกอบดวย m สมการ และ n ตวแปร จะเขยนเปนสมการเมทรกซได คอ AX = B นนคอ
เรยกวาเมทรกซของสมประสทธตวแปร 11 12 1
21 22 2
1 2
n
n
m m mn
a a a
a a aA
a a a
1
2
n
x
xX
x
1
2
m
b
bB
b
เรยกวาเมทรกซตวแปร เรยกวาเมทรกซคาคงตว 15
นยาม ระดบชน(Rank)ของเมทรกซ คอขนาดของเมทรกซจตรสยอยทใหญสดของเมทรกซ ทมคาดเทอรมแนนทไมเทากบศนย ตวอยาง
93
31A ม Rank เทากบ 1
001
200
032
B ม Rank เทากบ 3
6det B
5591
2308C ม Rank เทากบ 2
555
23,27
59
30,72
91
08
99det,33det,11det,0det A
17
0000
0000
0100
5310
4031
1000
4100
3211
Reduced Echelon Matrix
เมทรกซเอซลอนลดรปแบบแถว คอเอซลอนแบบแถวทหนงตวแรกของแถวใดอยทหลกใดสมาชกตวอน ๆ ในหลกนนตองเปนศนย เชน
00000
41000
60010
80401
,
1000
0100
0011
เมทรกซเอซลอนแบบแถว คอเมทรกซทสมาชกตวแรกทไมเปนศนยของแตละแถวตองเปนหนง โดยหนงตวแรกในแถวลางจะตองอยในหลกดานขวาของแถวบนและแถวทมสมาชกเปนศนยหมดจะอยแถวลางสด เชน
Rank ของเมทรกซ จะเทากบจ านวนแถวทไมเปนศนยทงหมดของเมทรกซเอซลอนลดรปแบบแถวของเมทรกซ
18
วธท า
ตวอยาง จงหา Rank ของเมทรกซทก าหนด โดยใชวธหาเมทรกซเอซลอนลดรปแบบแถว
1101
1312
1101
1312
1101
1312
1312
1101
21 RR
0000
0000
1312
1101
144 RRR
R3 R3 – R2
0000
0000
1110
1101
2 122 RRR
ดงนน Rank ของเมทรกซเทากบ 2 หมายเหต พจารณาเอซลอนแบบแถวกได
นยาม System of Non-Homogeneous Equations
ระบบสมการไมเอกพนธ คอระบบสมการทเมทรกซคาคงตวของสมการบางคาไมเทากบศนย นนคอ AX = B โดยจะเปนระบบสมการสอดคลองเมอ Rank เมทรกซสมประสทธ(A)เทากบ Rank เมทรกซแตงเตม(A:B) และเทากบหรอนอยกวาจ านวนตวแปร ถาเทากบจะมค าตอบชดเดยว และถานอยกวาจะมค าตอบหลายชดไมจ ากด แตถา Rank ของเมทรกซสมประสทธ(A)นอยกวา Rank ของเมทรกซแตงเตม(A:B) แลวจะเปนระบบสมการไมสอดคลอง
หมายเหต เมทรกซแตงเตม(Augmented Matrix) คอการแปลงเมทรกซเดมโดยการน าอกเมทรกซหนงมาตอเตมทางดานแถวหรอหลก เชน เมทรกซ A เมอน าเมทรกซ B มาตอดานแถวจะได (A:B) เปนเมทรกซแตงเตม
นยาม System of Homogeneous Equations
ระบบสมการเอกพนธ คอระบบสมการทเมทรกซคาคงตวของสมการเทากบศนย นนคอ AX = 0 โดยจะเปนระบบสมการสอดคลองเสมอ คออยางนอยสดจะม X = 0 เปนค าตอบหนงชดเรยกวาค าตอบสามญ(trivial solution) และค าตอบชดอนๆ เรยกวาค าตอบวสามญ(nontrivial solution) โดยพจารณาจากคาดเทอรมแนนทของเมทรกซสมประสทธของตวแปร(A)
ถา det(A) = 0 จะมชดค าตอบหลายค าตอบไมจ ากด
แตถาไมเทากบศนยจะมค าตอบสามญค าตอบเดยว คอ ศนย
การหาค าตอบของระบบสมการเชงเสนดวยเมทรกซ
วธการหาค าตอบของระบบสมการเชงเสนม 3 วธคอ 1. ใช Inverse matrix เหมาะกบระบบทมสมการจ านวนไมมาก (2 - 3 สมการ) 2. ใช Cramer’s rule เหมาะกบระบบทมสมการจ านวนไมมาก 3. ใชวธการของ Gaussian Elimination ซงเหมาะกบระบบทมสมการจ านวนมาก
21
ทฤษฎบท ถาระบบสมการเชงเสนในรปของสมการเมทรกซ คอ AX = B และ A เปน Non-singular Matrix ซงม A-1 เปนเมทรกซผกผนแลว
BAX 1หมายเหตระบบสมการเชงเสนทหาค าตอบโดยวธเมทรกซผกผน จะเปนระบบสมการทมค าตอบเพยงชดเดยว นนคอ Rank ของเมทรกซ A เทากบ [A:B] และเทากบจ านวนตวแปร ตวอยาง จงค าตอบของระบบสมการโดยใช Inverse matrix
1252
12
833
321
321
321
xxx
xxx
xxx
22
สมการเมทรกซ คอ AX = B เปนสมการไมเอกพนธม det(A) = 26 โดย Rank ของ A = 3 เทากบจ านวนตวแปร ดงนนจงเปนสมการสอดคลองทมค าตอบเดยว เลอกหาค าตอบโดยวธเมทรกซผกผน
วธท า หา det(A) = 26 และหา A-1 จาก
1
1
8
3
2
1
x
x
x3 1 3
1 2 1
2 5 2
ซง
adjAA
Adet
11
T
adjA
765
13013
941
ดงนน 1
1 13 51
4 0 626
9 13 7
A
ค าตอบ 1
1 13 5 8 26 11 1
4 0 6 1 26 126 26
9 13 7 1 52 2
X A B
จากโจทยจะไดวา A = , X = , B =
23 2,1,1 321 xxxนนคอ
Cramer’s Rule ระบบสมการเชงเสนในรปสมการเมทรกซ AX = B ทม n สมการและ n ตวแปร ซง A เปน Nonsingular matrix แลวระบบสมการเปนระบบสมการสอดคลองทมค าตอบเพยงชดเดยว หาไดจาก
เมอ Ai คอเมทรกซทแปลงมาจากเมทรกซ A ทแทนหลกท i ดวย เมทรกซคาคงตว B
niA
Ax i
i ,...,2,1;det
det
ตวอยาง จงหาค าตอบของระบบสมการ
423
24654
18642
321
321
321
xxx
xxx
xxx
วธท า สมการเมทรกซ คอ AX = B เปนสมการไมเอกพนธม det(A) = 6 โดย Rank ของ A = 3 เทากบจ านวนตวแปร ดงนนจงเปนสมการสอดคลองทมค าตอบเดยว เลอกหาค าตอบโดยวธ Cramer’s rule
หา
niA
Ax i
i ,...,2,1;det
det
18
413
2454
1842
det,12
243
6244
6182
det,24
214
6524
6418
det 321
AAA
ดงนนค าตอบของระบบสมการ คอ
36
18
det
det,2
6
12
det
det,4
6
24
det
det 3
32
21
1
A
Ax
A
Ax
A
Ax
ตวอยาง จงหาค าตอบของระบบสมการ โดยวธการ Gaussian Elimination
2 2 3 8
2 3 4 7
4 2 11
4 5 2 4 28
x y z w
x y z w
x y z w
x y z w
วธท ำ 1. เขยนโจทยใหอยในรป Matrix
1 2 2 3 8
2 3 4 1 7
1 4 1 2 11
4 5 2 4 28
x
y
z
w
26
Gaussian Elimination คอการหาค าตอบของระบบสมการ โดยการด าเนนการขนมลฐานกบเมทรกซแตงเตมสมประสทธของตวแปรดวยคาคงตวของระบบสมการ ใหเปนเอซลอนเมทรกซแบบแถว ซงสมมลกบเมทรกซเดม ความสมพนธของสมประสทธตวแปรในแตละแถวยงเหมอนเดม ดงนนค าตอบจากระบบสมการของเมทรกซเอซลอนทคดดวยการแทนคายอนกลบ(Back – Substitution) จงเปนค าตอบของระบบสมการ
2. สรำง Augmented matrix โดยน ำเมทรกซสมประสทธมำตอกบเวกเตอรคำคงตว
1 2 2 3 8
2 3 4 1 7
1 4 1 2 11
4 5 2 4 28
3. ตงเปำหมำยของกำรแปลง Matrix ใหอยในรป
1 ... ... ... ...
0 1 ... ... ...
0 0 1 ... ...
0 0 0 1 ...
27
โดย … ใน Matrix นหมำยถงเลขอะไรกได
4. ท ำ Elementary row operation เพอแปลงให Augmented matrix กลำยเปนเมทรกซเปำหมำยโดยใช Row operation
4.1 ท ำให a11 เปน 1 โดยกำรหำรแถว 1 ดวย a11 (ในทนไมตองท ำเพรำะ a11
เปน 1 อยแลว)
4.2 ท ำให a21, a31, และ a41 เปน 0 โดย
1 2 2 3 8
0 7 0 5 23
0 6 3 5 19
0 3 6 8 4
1 2 2 3 8
2 3 4 1 7
1 4 1 2 11
4 5 2 4 28
12 2RR
13 RR
14 4RR
28
4.3 ท ำให a22 เปน 1 โดยกำรหำรแถว 2 ดวย a22
1 2 2 3 8
0 1 0 5 / 7 23/ 7
0 6 3 5 19
0 3 6 8 4
1 2 2 3 8
0 7 0 5 23
0 6 3 5 19
0 3 6 8 4
7/2 R
4.4 ท ำให a32, a42 เปน 0 โดยกำร
1 2 2 3 8
0 1 0 5 / 7 23/ 7
0 6 3 5 19
0 3 6 8 4
1 2 2 3 8
0 1 0 5 / 7 23/ 7
0 0 3 5 / 7 5 / 7
0 0 6 41/ 7 41/ 7
23 6RR
24 3RR
29
4.5 ท ำให a33 เปน 1 โดยกำรหำรแถว 3 ดวย a33
1 2 2 3 8
0 1 0 5 / 7 23/ 7
0 0 3 5 / 7 5 / 7
0 0 6 41/ 7 41/ 7
3/3 R
1 2 2 3 8
0 1 0 5 / 7 23/ 7
0 0 1 5 / 21 5 / 21
0 0 6 41/ 7 41/ 7
4.6 ท ำให a43 เปน 0 โดยกำร
1 2 2 3 8
0 1 0 5 / 7 23/ 7
0 0 1 5 / 21 5 / 21
0 0 6 41/ 7 41/ 7
1 2 2 3 8
0 1 0 5 / 7 23/ 7
0 0 1 5 / 21 5 / 21
0 0 0 31/ 7 31/ 7
34 6RR
30
5. ค ำนวณค ำตอบจำก Matrix ทไดโดยวธแทนคำกลบ (Back substitution)
5.1 จำกสมกำรท 4 เรำจะได w = -1
5.2 จำกสมกำรท 3 เรำจะได
5 5
21 21z w z = 0
5.3 จำกสมกำรท 2 เรำจะได
5 23
7 7y w y = 4
5.4 จำกสมกำรท 1 เรำจะได
2 2 3 8x y z w x = 3
ดงนนเรำไดค ำตอบเปน x = 3, y = 4, z = 0, w = -1
31
ตวอยาง จงหาค าตอบของระบบสมการโดยวธการ Gaussian Elimination
1 2 3 4
2 4
1 2 3 4
1 2 3 4
3 0
2 2 5
2 2 4
2 4 2 8 5
x x x x
x x
x x x x
x x x x
วธท า สมการเมทรกซ คอ AX = B เปนสมการไมเอกพนธม det(A) = 0
หา Rank ของ A และ [A:B] พจารณาจากเมทรกซเอซลอนแบบแถว
3 3 1
4 4 1
3 322
4 4 2
1 1 1 3 0 1 1 1 3 0
0 2 0 2 5 0 2 0 2 5:
21 1 2 2 4 0 0 1 1 4
2 4 2 8 5 0 2 0 2 5
1 1 1 3 0 1 1 1 3 0
5 50 1 0 1 0 1 0 1
2 222
0 0 1 1 4 0 0 1 1 4
0 2 0 2 5 0 0 0 0 0
R R RA B
R R R
R RRR Echclo
R R R
n Matrix
จะได Rank ของ A เทากบ [A:B] เทากบ 3 ซงนอยกวาจ านวนตวแปร ดงนนระบบสมการเปนแบบไมขดแยง(สอดคลอง) ทมค าตอบจ านวนหลายชดไมจ ากด เลอกหาค าตอบโดยวธขจดแบบเกาส คอท าให [A:B] เปนเอซลอนลดรปแบบแถว
จากเอซลอนเมทรกซแบบแถวของ[A:B]ด าเนนการขนมลฐานตอใหเปนแบบลดรป
1 1 2
1 1 3
51 1 1 3 0 1 0 1 2
25
50 1 0 10 1 0 12
20 0 1 1 4
0 0 1 1 40 0 0 0 0
0 0 0 0 0
131 0 0 3
2
50 1 0 1 Re
2
0 0 1 1 4
0 0 0 0 0
Echclon Matrix R R R
R R R duced Echclon Matrix
35
ระบบสมการทสมมลกบเอซลอนแบบลดรป คอ 1 4
2 4
3 4
133
2
5
2
4
x x
x x
x x
ให x4= k จะไดค าตอบทงหมดของระบบสมการ คอ
4 3
2 1
, 4
2.5 , 6.5 3
x k x k
x k x k
หรอเขยนเปน vector form
6.5 3 6.5 3
2.5 2.5 1
4 4 1
0 1
k
kX k
k
k
เมอ k เปนคาคงตว
ตวอยาง จงหาค าตอบของระบบสมการ 2 5 3 0
4 4 0
4 2 0
x y z
x y z
x y
วธท า ระบบสมการเปนระบบสมการเอกพนธทม det(A) = 0 ดงนนค าตอบสามญ(trivial solution) คอ ศนย หาค าตอบชดอน ๆ โดยวธขจดแบบเกาส
2 2 111
3 3 1
5 3 5 31 0 1 0
2 5 3 0 2 2 2 24
: 4 4 1 0 4 4 1 0 0 14 7 042
4 2 0 0 4 2 0 0 0 12 6 0
R R RRA B R
R R R
22 3 3 2
5 3 5 31 0 1 0
2 2 2 2
1 10 1 0 12 0 1 0
14 2 2
0 12 6 0 0 0 0 0
RR R R R
เปนระบบสมการทสมมลกบระบบสมการเดม ดงนนค าตอบของระบบสมการคอ
5 30
2 2
10
2
x y z
y z
, ,2 4
k kz k y x เมอ k เปนคาคงตว
ตวอยาง จงหาค าตอบของระบบสมการ 1 2 4
1 2 3 4
1 2 3 4
2 3 4
2 0
4 0
2 3 0
4 4 0
x x x
x x x x
x x x x
x x x
วธท า เปนระบบสมการเอกพนธ หาค าตอบโดยวธขจดแบบเกาส
2 2 1
2 4
3 3 1
1 2 0 1 0 1 2 0 1 0 1 2 0 1 0
44 1 1 1 0 0 9 1 5 0 0 1 4 4 0:
1 2 1 3 0 0 0 1 4 0 0 0 1 4 0
0 1 4 4 0 0 1 4 4 0 0 9 1 5 0
R R RA B R R
R R R
2 2 4 4 2 4 3
1 2 0 1 0 1 2 0 1 0 1 2 0 1 0
0 1 4 4 0 0 1 4 4 0 0 1 4 4 09 37
0 0 1 4 0 0 0 1 4 0 0 0 1 4 0
0 9 1 5 0 0 0 37 41 0 0 0 0 107 0
R R R R R R R
เปนระบบสมการทมคา Rank ของ A เทากบ 4 และ Rank [A:B] เทากบ 4 แสดงวาระบบสมการมเพยงค าตอบเดยว คอ ศนย(trivial solution)