Francisco A. Sandoval

Análisis Estadístico y

Probabilístico

2013 fralbe

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AGENDA

CAP. 6: Vectores Gaussianos

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CAP. 6: Vectores Gaussianos

• Función Característica de un Vector Aleatorio

• Función Densidad de Probabilidad de un

Vector Gaussiano.

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Objetivos

• Extender la noción de variable aleatoria

gaussiana al caso multivariable.

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Vector Gaussiano

Definición 1: Vector Gaussiano Se dice que un vector aleatorio 𝒙 es gaussiano o, en otras palabras, que sus componentes son variables aleatorias conjuntamente gaussianas, cuando la variable aleatoria real

𝑧 = 𝒂𝑇𝒙 es gaussiana para cualquier vector 𝑛-dimensional 𝒂 ∈ ℝ𝑛

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FUNCIÓN CARACTERÍSTICA DE UN VECTOR GAUSSIANO

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Función característica de un vector gaussiano

La v.a. 𝑧 es gaussiana con media

𝑚𝑧 = 𝒂𝑇𝒎𝒙

y varianza

𝜎𝑧2 = 𝐸 𝑧 − 𝑚𝑧

2 = 𝐸 𝒂𝑇 𝒙 − 𝒎𝒙 𝒙 − 𝒎𝒙𝑇𝒂

= 𝒂𝑇𝑲𝒙𝒂

donde 𝒎𝒙 y 𝑲𝒙 representan, respectivamente, el vector media y la matriz covariancia del vector 𝒙. fra

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Función característica de un vector gaussiano

Entonces a partir de la definición de función característica

𝑀𝑧 𝑣 = 𝑒𝑗𝑣𝑚𝑧𝑒−𝑣2𝜎𝑧

2

2 = 𝑒𝑗𝑣𝒂𝑇𝒎𝒙𝑒−12𝑣𝒂𝑇𝑲𝒙𝒂𝑣

por otro lado

𝑀𝑧 𝑣 = 𝑀𝑥(𝒂𝑣)

comparando las ecuaciones anteriores, considerando 𝒗 = 𝒂𝑣 se llega finalmente a

𝑀𝑥 𝒗 = 𝑒𝑗𝒗𝑇𝒎𝒙𝑒−12𝒗𝑇𝑲𝒙𝒗

que corresponde a la expresión de la función característica de un vector gaussiano de media 𝒎𝒙 y matriz covariancia 𝑲𝒙. fra

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Vectores Gaussianos

Propiedad 1: Si 𝒙 es un vector gaussiano, entonces el vector 𝒚 definido por

𝒚 = 𝑨𝒙 + 𝒃 es también gaussiano.

Propiedad 2: Si las componentes de un vector gaussiano 𝒙 son descorrelacionadas dos a dos, entonces ellas son también estadísticamente independientes.

Propiedad 3: Dado un vector aleatorio gaussiano, es posible hacer que sus componentes sean estadísticamente independientes a través de una transformación lineal. fra

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FUNCIÓN DENSIDAD DE PROBABILIDAD DE UN VECTOR GAUSSIANO

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fdp de un vector gaussiano

• Considere un vector aleatorio 𝒙, gaussiano, con

media 𝒎𝒙 y matriz covarianza 𝑲𝒌.

• Se desea determinar la expresión de la función

densidad de probabilidad 𝑝𝒙(𝑿) del vector 𝒙.

𝒚 = 𝑷𝒙

donde la matriz 𝑷, corresponde a la transformación

lineal (definida en el cap. anterior). Este vector es

también gaussiano, y posee componentes

estadísticamente independientes. fralbe

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fdp de un vector gaussiano

𝑚𝑦 = 𝑃𝑚𝑥 =

𝒆1𝑇𝒎𝒙

𝒆2𝑇𝒎𝒙

⋮𝒆𝑛

𝑇𝒎𝒙

donde 𝒆𝑖 ; (𝑖 = 1, 2, … , 𝑛) son autovectores ortogonales de 𝑲𝒙.

La matriz covariancia de 𝒚 es dada por

𝑲𝒚 =

𝜆1 0 ⋯ 00 𝜆2 ⋯ 0⋮0

⋱0

⋮⋯

⋮𝜆𝑛

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fdp de un vector gaussiano

donde 𝜆𝑖 ; 𝑖 = 1, 2, … , 𝑛 son autovalores de 𝑲𝒙 asociados a los autovectores 𝒆𝑖 ; 𝑖 = 1, 2, … , 𝑛

De este modo, las componentes 𝑦1, 𝑦2, … , 𝑦𝑛 del vector 𝒚 son todas gaussianas, estadísticamente independientes, con función densidad de probabilidad dada por

𝑝𝑦𝑖𝑌𝑖 =

1

2𝜋 𝜆𝑖

𝑒−

12𝜆𝑖

𝒀𝑖−𝒆𝑖𝑇𝒎𝒙

2

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fdp de un vector gaussiano

En este caso, la función densidad de probabilidad

del vector 𝒚 es por tanto

𝑝𝒚 𝒀 = 𝑝𝑦𝑖(𝑌𝑖)

𝑛

𝑖=1

=1

2𝜋𝑛2 𝜆𝑖

𝑛𝑖=1

𝑒−

12

1𝜆𝑖

𝒀𝑖−𝒆𝑖𝑇𝒎𝑥

2𝑛𝑖=1

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fdp de un vector gaussiano

Observe que

𝜆𝑖 = det 𝑲𝒚

𝑖=1𝑛

y

1

𝜆𝑖𝑌𝑖 − 𝑒𝑖

𝑇𝑚𝑥2

= 𝒀 − 𝑷𝒎𝒙𝑇𝑲𝒚

−1(𝒀 − 𝑷𝒎𝒙)

𝑛

𝑖=1

Es posible escribir la fdp del vector 𝒚 en notación matricial

𝑝𝒚 𝒀 =1

2𝜋𝑛2 det 𝑲𝒚

𝑒−12 𝒀−𝑷𝒎𝒙

𝑇𝐾𝑦−1 𝒀−𝑷𝒎𝒙 fra

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fdp de un vector gaussiano

Algunas observaciones

• a partir de la definición de la matriz 𝑷

𝑷𝑇𝑷 = 𝑰

• y por tanto

det 𝑷 det 𝑷𝑇 = 1

• como det 𝑷 = det 𝑷𝑇, se tiene aún

det 𝑷 = ±1

• observe que, en el caso de la transformación lineal

𝒙 = 𝒈 𝒚 = 𝑷−1𝒚 fralbe

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fdp de un vector gaussiano

el jacobiano de la transformación es igual a

𝐽𝒈 𝒀 = det

𝛿𝑔1

𝛿𝑌1

𝛿𝑔1

𝛿𝑌2…

𝛿𝑔1

𝛿𝑌𝑛

𝛿𝑔2

𝛿𝑌1

𝛿𝑔2

𝛿𝑌2…

𝛿𝑔2

𝛿𝑌𝑛

⋮ ⋮ ⋱ ⋮𝛿𝑔𝑛

𝛿𝑌1

𝛿𝑔𝑛

𝛿𝑌2…

𝛿𝑔𝑛

𝛿𝑌𝑛

= det 𝑷

por tanto

𝐽𝑔 𝒀 = 1 fralbe

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fdp de un vector gaussiano

La fdp del vector 𝒙 es dada por

𝑝𝒙 𝑿 = 𝑝𝒚 𝒀 𝒀=𝑷𝑇𝑿

= 𝑝𝒚(𝑷𝑇𝑿)

o sea

𝑝𝒙 𝑿 =1

2𝜋𝑛2 det 𝑲𝒚

𝑒−12 𝑿−𝒎𝒙

𝑇𝑷𝑇𝑲𝒚−1𝑷(𝑿−𝒎𝒙)

si se observa que

𝐾𝑦 = 𝑷𝑲𝒚𝑷𝑇

se tiene que

det 𝑲𝒚 = det 𝑷 det 𝑲𝒙 det 𝑷𝑻 = det 𝑲𝒙 fralbe

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fdp de un vector gaussiano

por otro lado, permite escribir

𝑲𝒚−1 = 𝑷𝑇−1

𝑲𝒙−1𝑷−1

en esta ecuación. pre-multiplicando por 𝑷𝑇 y pós-multiplicada por 𝑷, se escribe

𝑷𝑇𝑲𝒚−1𝑷 = 𝑷𝑇𝑷𝑇−1

𝑲𝒙−1𝑷−1𝑷 = 𝑲𝒙

−1

finalmente, substituyendo se obtiene

𝑝𝒙 𝑿 =1

2𝜋𝑛2 det 𝑲𝒙

𝑒−12

𝑿−𝒎𝒙𝑇𝑲𝒙

−1(𝑿−𝒎𝒙) fra

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fdp de un vector gaussiano

• Observe que la fdp depende apenas de la

media 𝒎𝒙 y de la matriz covariancia 𝑲𝒙 del

vector aleatorio 𝒙.

• Este aspecto característico de los vectores

gaussianos, introduce simplificaciones

significativas en las aplicaciones que utilizan

modelos gaussianos.

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Ejemplo 1

Sea 𝒙 = 𝑥 𝑦 𝑧 𝑇 un vector gaussiano de media nula y matriz covarianza

𝑲𝒙 =5 2 12 4 21 2 3

Se desea comparar la fdp de la v.a. 𝑧 con una fdp condicional de 𝑧 dado por 𝑥 = 𝑋 y 𝑦 = 𝑌.

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Ejemplo 2

Sean 𝑥 y 𝑦 dos v.a. conjuntamente gaussianas, estadísticamente independientes, con media 𝑚𝑥 = 100 y 𝑚𝑦 = 50 y variancia 𝜎𝑥

2 = 48 y 𝜎𝑦2 = 27. Se desea determinar la

probabilidad de la suma 𝑥 + 𝑦 excede el valor 160.

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REFERENCIAS

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Referencias

• ALBUQUERQUE, J. P. A.; FORTES, J. M.; FINAMORE, W. A.

(1993) Modelos Probabilísticos em Engenharia Elétrica;

Rio de Janeiro: Publicação CETUC.

• Marco Grivet, Procesos Estocásticos I, Centro de Estudios

em Telecomunicaciones – CETUC, 2006. [Slide]

• Universidad de Cantabria, Teoría de la Probabilidad, Teoría

de la Comunicación, Curso 2007-2008. [Slide]

• ALBERTO LEON-GARCIA, Probability, Statistics, and

Random Processes For Electrical

Engineering, Third Edition, Pearson – Prentice Hall,

University of Toronto, 2008.

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