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UPAOUNIVERSIDAD PRIVADA ANTENOR ORREGO02/09/2014 07:06 a.m.DEPARTAMENTO ACADMICO DE CIENCIASAutor: Segundo Lizardo Gallardo ZamoraTrujillo-2014

FSICA GENERAL

ESCALARES Y VECTORES

02/09/2014 07:06 a.m.Segundo L. Gallardo Zamora2ESCALARES Y VECTORES ESCALARES Y VECTORESEn la fsica siempre vamos a estar usando dos tipos de cantidades fundamentales denominadas: Escalares y Vectores, mediante las cuales describiremos y relacionaremos las leyes que gobiernan los fenmenos fsicos. Cada una de estas cantidades tienen sus propias reglas matemticas que debemos aprender a usarlas para expresar correctamente el valor de una cantidad fsica en las operaciones que realicemos con ellas.Cantidades Escalares. Son las cantidades que estn completamente definidas cuando se especifica su magnitud (mdulo, intensidad o valor) y una unidad bsica. La magnitud o mdulo de una cantidad escalar es un nmero real.Son ejemplos tpicos de escalares:

La longitud de una calle: 100 metros,La masa de una roca: 25 kilogramos,El tiempo de vida de una persona: 70 aos,

02/09/2014 07:06 a.m.Segundo L. Gallardo Zamora3ESCALARES Y VECTORES El rea de una superficie: 45 m2,El trabajo que realiza una persona de peso 65 kgf para subir un edificio de 30 m de altura (10 pisos): 19500 JoulesLa temperatura de una persona enferma: 39 Celsius,Los nmeros reales : - ;. . . ; -1 ; . . . ; 0 ; . . . ; 8, 5 ; . . . + Tambin son escalares: volumen, energa, potencia y otras ms que iremos conociendo en el desarrollo del curso.Cantidades Vectoriales o vectores. Son las cantidades que estn com-pletamente definidas cuando se especifica su mdulo y direccin.El mdulo (intensidad o valor) es el nmero real que expresa la magnitud de la cantidad vectorial que representa. La direccin es el ngulo u orientacin que forma la recta que con-tiene a la cantidad vectorial con un determinado sistema de refe-rencia.Como ejemplos tpicos de vectores tenemos:Desplazamiento de automvil: 3,0 km. Velocidad de un avin: 600 km/h

02/09/2014 07:06 a.m.Segundo L. Gallardo Zamora4ESCALARES Y VECTORES Representacin grfica de una cantidad vectorial.Una cantidad vectorial se representa grficamente mediante un segmento de recta orientada (rayo o flecha), como los que se muestran en la Fig.1.Mdulo: A = 4 unidDireccin: = 45oSentido: de O hacia AMdulo: B = 7 unidDireccin: = 60oFigura 1. Sentido: de M hacia NHorizontalAAOVerticalBMNFuerza sobre un cuerpo: 150 Newtons = 150 N. Momento lineal: 15 kg.m/s.Torque o momento de una fuerza: 75 mN

02/09/2014 07:06 a.m.Segundo L. Gallardo Zamora5ESCALARES Y VECTORES En adelante, para representar un vector solamente usaremos una letra con una lnea sobre ella y la misma letra pero sin lnea para represen-tar su mdulo.Smbolo del mdulo d = 55 kmSmbolo del vectorFigura 2. Ejemplo 1.- El desplazamiento d = 55 km en direccin E20N es un vector que se representa en la forma que se muestra en la Fig.2.Ejemplo 2. La aceleracin de 4 m/s2 en direccin Este, es un vector que se representa en la forma que se muestra en la Fig.3.ENaGrficamenteFigura 3. Smbolo de mdulo Smbolo de vectorE(Este)N(Norte)20Grficamente

02/09/2014 07:06 a.m.Segundo L. Gallardo Zamora6ESCALARES Y VECTORES O(Oeste)S(Sur)50GrficamenteSmbolo del mdulo V = 35 [km/h]Figura 4. Ejemplo 3.- La velocidad de 35 km/h en direccin S50O es un vector que se representa en la forma que se muestra en la Fig.4Ejemplo 4. La fuerza de 500 [N] que hace un ngulo de 140 con el eje +X es un vector que se representa en la forma que se muestra en la Fig.5.Smbolo de mdulo F = 500 [N]Smbolo del vectorFigura 5. YX140GrficamenteSmbolo de vector

02/09/2014 07:06 a.m.Segundo L. Gallardo Zamora7ESCALARES Y VECTORES Vectores Paralelos. Son vectores que tienen la misma direccin y estn sobre rectas directrices paralelas. Vectores Antiparalelos u opuestos. Son los vectores que tiene direcciones opuestas, an cuando estn sobre rectas paralelas. HFigura 6. Vectores iguales. Son los vectores que tiene igual mdulo y direccin.

02/09/2014 07:06 a.m.Segundo L. Gallardo Zamora8ESCALARES Y VECTORES Estos vectores son:Ejemplo 6. Los vectores de las Fig.7 tienen los siguientes mdulos m = 4, n = 7, p = 4, q = 4 y s = 5 unidades. Cul es la relacin entre ellos? = 45 = 90H = 145Figura 7.

02/09/2014 07:06 a.m.Segundo L. Gallardo Zamora9ESCALARES Y VECTORES PRODUCTO DE UN ESCALAR POR UN VECTOR. El producto de un escalar m positivo por un vector es el vector (m ) de igual di-reccin pero de un mdulo m veces el vector .Ejemplo 7.Ha = 1 = 4 b = 4Figura 8. Ejemplo 8.Hp = 6= n = 2Figura 9.

02/09/2014 07:06 a.m.Segundo L. Gallardo Zamora10ESCALARES Y VECTORES Ejemplo 9. Si el vector es multiplicado por el escalar m = -1, se obtiene el vector - , que es de igual mdulo pero de sentido opuesto al anterior, como se muestra en la Fig.10.( - 1 ) = - HFigura 10 Ejemplo 10. Si el vector es multiplicado por el escalar m = - 2 se obtiene el vector = - 2 que es de doble magnitud y sentido opuesto al anterior, como se muestra en la Fig. 11. = - 2 HFigura 11

02/09/2014 07:06 a.m.Segundo L. Gallardo Zamora11ESCALARES Y VECTORES Vector Unitario o Versor. Es el vector cuyo mdulo es la unidad. Simblicamente, el vector unitario se define como el seudocociente de un vector entre su mduloHFigura 12. 5de donde = 5(1)Usando el mdulo del vector se tiene:(2)

02/09/2014 07:06 a.m.Segundo L. Gallardo Zamora12ESCALARES Y VECTORES o X YXYFigura 13. Tambin se usan los smbolos Tambin se usan los smbolosoX YXYZZFigura 14.

02/09/2014 07:06 a.m.Segundo L. Gallardo Zamora13ESCALARES Y VECTORESI.- Suma de dos vectores por el Mtodo Grfico (o geomtrico) del Paralelogramo.El mdulo y direccin del vector suma se puede obtener mediante el mtodo grfico o el mtodo analtico.(3)Este mtodo consiste en dibujar los dos vectores a partir de un origen comn sin variar su direccin y luego con ellos se forma un paralelogramo cuya diagonal representa el vector suma. Para sumar los vectores y obtener la suma o resultante por ste mtodo utilizamos: regla, transportador y una escala adecuada que transforme los mdulos de los vectores en magnitudes expresadas en centmetros. La regla se utiliza para dibujar los vectores sumando y suma, el transportador para determinar su respectiva direccin.

02/09/2014 07:06 a.m.Segundo L. Gallardo Zamora14ESCALARES Y VECTORESH2745HFigura 15 1) Elegimos la escala: 1 cm 100 km para transformar los mdulos de los vectores en segmentos de recta de longitudes: A = 4,7 cm y B = 6,4 cm, que puedan dibujarse en el espacio asignado.2) Utilizando la regla y el transportador dibujamos estos segmentos de rec-ta a partir de un origen comn "O" SolucinHOFigura 16. 4527

02/09/2014 07:06 a.m.Segundo L. Gallardo Zamora15ESCALARES Y VECTORES4) Medimos la diagonal, obteniendo: S 6,7 cm, pero segn la escala el mdulo del vector suma es entonces: S (6,70)(100) 670 km. II.- Suma de dos vectores por el mtodo analtico de paralelogramoFormamos el paralelogramo y trazamos la diagonal que representa el vector sumaEl mtodo analtico, para calcular el mdulo y direccin del vector suma, consiste en aplicar las siguientes frmulas matemticas.Para calcular el mdulo del vector suma, que es la diagonal del paralelogramo de la Fig. 16, se aplica la frmula:Donde A y B son los mdulos de los vectores y es el ngulo que ambos vectores forman en el origen comn "O"Usando los vectores del Ejemplo 11 (Diap.14) se obtiene:S = A2 + B2 + 2 A B cos (4)

02/09/2014 07:06 a.m.Segundo L. Gallardo Zamora16ESCALARES Y VECTORES S = 4702 + 6402 + 2 (470)(640) cos 108 = 666,7 km En el tringulo vemos que: = 180-108 = 72Por lo tanto: = sen -1 ( 640 sen 72 / 666,7) = 65,9 B sen S sen =De donde : = sen -1 ( B sen / S )(5)Para calcular este ngulo aplicamos la Regla del Seno en el tringulo som-breado de la Fig.16.HO4527(Figura 16). = 108

02/09/2014 07:06 a.m.Segundo L. Gallardo Zamora17ESCALARES Y VECTORES III.-Suma de dos vectores por el mtodo grfico del tringulo.Este mtodo consiste en dibujar los vectores uno a continuacin del otro sin variar su direccin y luego se completa el tringulo trazando el vector suma desde el punto inicial del primer sumando al punto final del ltimo sumando. En este caso tambin se utiliza una regla y una escala que trans-forme los mdulos de los vectores en magnitudes expresadas en centmetros. La direccin de los vectores sumando y del vector suma lo trazamos utilizando el transportador.H2745H(Figura 15)

02/09/2014 07:06 a.m.Segundo L. Gallardo Zamora18ESCALARES Y VECTORES Solucin:HO4527Figura 17. 1) Como es el problema es el mismo, elegimos la escala: 1 cm 100 km y entonces los mdulos de los vectores estarn representados por segmentos de recta cuyas longitudes sern: A = 4,7 cm, B = 6,4 cm.4) Medimos el vector suma obteniendo: S 6,6 cm y que al multiplicarlo por la escala obtenemos el mdulo del vector suma. S 660 km. 5) Medimos la direccin del vector suma con la horizontal y obtenemos: -70

02/09/2014 07:06 a.m.Segundo L. Gallardo Zamora19ESCALARES Y VECTORES IV. Suma de dos vectores por el mtodo analtico del tringulo. Si en el tringulo de la Fig. 17, aplicamos la regla del coseno, el mdulo del vector suma es.S = A2 + B2 - 2 A B cos (6)En este caso tambin se aplican frmulas matemticas de la trigonometra. La regla del coseno para calcular el mdulo del vector suma y la regla del seno para su correspondiente direccin.Ho45(Figura 17) S = 4702 + 6402 - 2 (470)(640) cos 72 = 667 kmUsando datos obtenemos:La direccin de S, se puede definir me-diante el ngulo que forma con el vec-tor A. Este ngulo se obtiene aplicando la regla del seno en el tringulo ( Fig.17) = sen -1 ( B sen / S )Con: = 180-108 = 72 = sen -1 ( 640 sen 72 / 667) = 65,9

02/09/2014 07:06 a.m.Segundo L. Gallardo Zamora20Vectorial ESCALARES Y VECTORES RESTA O SUSTRACCIN DE VECTORES. (7)(8)

02/09/2014 07:06 a.m.Segundo L. Gallardo Zamora21ESCALARES Y VECTORES oFigura 18 Resta de vectores por el mtodo grfico del tringulo Resta de vectores por el mtodo grfico del paralelogramoFigura 19H

02/09/2014 07:06 a.m.Segundo L. Gallardo Zamora22ESCALARES Y VECTORES oFigura 21 Ejemplo 13. Aplicar los mtodos grfico y analtico para restar los vectores desplazamiento de la Fig.20, considerando que: A = 138 km, B = 171 km y = 30 HFigura 20 Solucina) Aplicando el mtodo grfico del tringulo. Primero elegimos la escala 1 cm = 30 km y representamos los vectores con los segmentos de recta: A = 4,6 cm y B = 5,7 cm.Luego dibujamos los vectores como en la Fig. 21 y medimos el vector diferencia obteniendo: D = 2,9 cm y usando la escala: D = 87 km

02/09/2014 07:06 a.m.Segundo L. Gallardo Zamora23ESCALARES Y VECTORES c) Aplicando el mtodo grfico del paralelogramo. Dibujamos los vectores formando un paralelogramo usando la misma escala de 1 cm = 30 km, obteniendo los segmentos de recta: A = 4,6 cm y B = 5,7 cm.

b) Aplicando el mtodo analtico del tringulo. Para calcular el mdulo del vector diferencia se aplica la regla del coseno al tringulo vectorial. = sen -1 ( 171 sen 30 ) / 86,1) 96,8 y para calcular la direccin se aplica la regla del seno en el tringulo.Figura 22HD = 1382 + 1712 -2 (138)(171) cos 30 86,1 km Luego trazamos la diago-nal del paralelogramo de la Fig.22 y medimos, obte-niendo: D = 2,9 cm, que se-gn la escala el mdulo se-ra: D = 87 km. Su direccin es el ngulo: = 97.

02/09/2014 07:06 a.m.Segundo L. Gallardo Zamora24ESCALARES Y VECTORES d) Aplicando el mtodo analtico del paralelogramo.D = 1382 + 1712 + 2 (138)(171) cos (180 30) = 86,1 kmD = A2 + B2 + 2 A B cos Esto significa que el mdulo se obtiene mediante la frmula: = sen -1 ( B sen ) / D ) = sen -1 (171 sen 30 / 86,1 ) = 96,8y para la direccin usamos la regla del seno en el tringulo som-breado de la Fig.45.Figura 23H

02/09/2014 07:06 a.m.Segundo L. Gallardo Zamora25ESCALARES Y VECTORES V. Mtodo grfico del polgono para sumar tres o ms vectores. El mtodo grfico a usar para sumar tres o ms vectores es el mtodo del polgono que tambin se construye utilizando regla, transportador y una escala a fin de determinar la longitud de los segmentos de recta que representarn a los vectores. Ejemplo 14. Calcular grficamente la resultante de las fuerzas concu-rrentes de la Fig. 24 cuyos mdulos son: F1 = 320 kgf, F2 = 600 kgf, F3 = 860 kgf, F4 = 320 kgf.Los sumandos se dibujan unos a continuacin de otros segn el orden que indica la representacin simblica de la suma.Solucin. El smbolo del vector suma o resultante es:(7)90o30o15oFigura 24. HHV

02/09/2014 07:06 a.m.Segundo L. Gallardo Zamora26ESCALARES Y VECTORES 1) Elegimos la escala: 1 cm 100 kgf y con ello obtenemos los segmen-tos de recta que representarn a los vectores: F1 = 3,2 cm , F2 = 6,0 cm, F3 = 8,6 cm y F4 = 3,2 cm. Solucin.Figura 25. HO90o30o15o4) Medimos el vector resultante obteniendo R 13,3 cm y que al multipli-carlo por la escala obtenemos R 1330 kgf.

02/09/2014 07:06 a.m.Segundo L. Gallardo Zamora27ESCALARES Y VECTORES Ejemplo 15. Un avin vuela desplazndose entre los siguientes aero-puertos: De A-B, d1 = 1700 [km] en direccin E40N; de B-C, d2 = 900 [km] en direccin N65O; de C-D, d3 = 800 [km] en direccin O70S y de D-F, d4 = 1500 [km] en direccin E15S. Hallar grficamente el desplazamiento resultante del avin.3) Estos desplazamientos tienen direcciones respecto al sistema de coordenadas geogrficas Este-Oeste y Norte-Sur, que se muestran en la Fig.26 que sigue a continuacin.2) Usando la escala: 1 cm 250 km, se tiene que: El desplazamiento AB es: d1 = 6,8 cm, en direccin E40N; El desplazamiento BC es. d2 = 3,6 cm, en direccin N65O; El desplazamiento CD es: d3 3,2 cm, en direccin O70S y El desplazamiento DE es: d4 6,0 cm, en direccin: E15S

02/09/2014 07:06 a.m.Segundo L. Gallardo Zamora28ESCALARES Y VECTORES E40NN65OO70SE15SEONSLas direcciones se miden a partir del origen del sistema de coordenadas geogrficas y luego dibujamos los vectores desplazamiento en forma paralela a estas direcciones, ubicando el aeropuerto A en cualquier punto sobre el plano. Figura 26. ABCDE6) Medimos el vector suma o resultante obteniendo D 6,8 cm, que al multiplicarlo por la escala obtenemos el mdulo: D 1700 km. NOTA: Cuando se aplica el mtodo grfico se debe tomar en cuenta lo siguiente: Primero.- La escala a utilizar debe ser tal que nos permita obtener segmentos de recta de un tamao acorde con el medio (papel, pizarra, papelote diapositiva, etc) donde vamos a dibujar los vectores.

02/09/2014 07:06 a.m.Segundo L. Gallardo Zamora29ESCALARES Y VECTORES Algunas propiedades fundamentales de la suma de vectores.Segundo.- La escala tambin debe ser tal que, nos reproduzca segmentos de recta cuyas longitudes sean nmeros enteros o un nmero entero seguido de un decimal exacto, porque la regla a usar mide slo hasta milmetros, que son los dcimos de centmetro.1.- (Propiedad Conmutativa)Ejemplo 16.- Demostrar la propiedad conmutativa con los vectores del Ejemplo 14 (Diap. 25). SolucinSi aplicamos la propiedad conmutativa a los mencionados vecto-res de la Fig. 24 el smbolo de la suma puede expresarse en la forma: Que es una suma diferente a la propuesta en la Ec.(7) de la Diap. 25.

02/09/2014 07:06 a.m.Segundo L. Gallardo Zamora30ESCALARES Y VECTORES Figura 21. 90o15o3) Midiendo el vector resultante obtenemos: R = 13,3 cm y segn la esca-la obtenemos R = 1330 N. Midiendo el ngulo de R con horizontal obtenemos: = 14. 4) Estos resultados son iguales a los obtenidos en la Fig.19 de la Diap.25, lo que demuestra la validez de la propiedad conmutativa.o30oHHFigura 22. 90oHH45oHV2) Dibujando los vectores en el orden indica-do en la suma se obtiene la Fig.21

02/09/2014 07:06 a.m.Segundo L. Gallardo Zamora31ESCALARES Y VECTORES SolucinPrimer pasoSegundo paso1.- Ahora aplicamos a la propiedad distributiva del escalar m = 2 en la suma anterior, obteniendo: Figura 23. H

02/09/2014 07:06 a.m.Segundo L. Gallardo Zamora32ESCALARES Y VECTORES4.- Este resultado nos demuestra que el escalar 2, adems de duplicar cada uno de los vectores sumando, tambin duplica el mdulo del vector suma, sin variar la direccin.Figura 24. H 32

02/09/2014 07:06 a.m.Segundo L. Gallardo Zamora33ESCALARES Y VECTORES Ejercicio EV-01. Un barco navega entre los siguientes puertos. De A hacia B, d1 = 3600 [km] en direccin Este; de B hacia C, d2 = 1800 [km] en direccin N35O; de C hacia D, d3 = 1500 [km] en direccin O46S y de D hacia F, d4 = 3000 [km] en direccin E56S. Hallar grficamente el desplaza-miento resultante del barco.Demostrar la propiedad conmutativa de la suma de los vectores desplazamiento definidos en el problema anterior.Demostrar cmo se obtiene la frmula: S = A2 + B2 + 2 A B cos que permite obtener el mdulo de la suma de dos vectores por el mtodo del paralelogramo.Demostrar cmo se obtiene la frmula: S = A2 + B2-2 A B cos que permite obtener el mdulo de la suma de dos vectores por el mtodo del tringulo.Usando los vectores del ejercicio 1, aplicar la propiedad distributiva del escalar 3 en la suma de tales vectores.

02/09/2014 07:06 a.m.Segundo L. Gallardo Zamora34ESCALARES Y VECTORES VECTOR POSICIN DE UN PUNTO EN EL SISTEMA DE COORDENADAS CARTESIANAS Vector posicin de un punto en el sistema unidimensional (+X,-X)El vector posicin de un punto respecto al origen del sistema de coordenadas cartesianas es el vector trazado desde el origen (O) del sistema de coordenadas hasta el punto que se quiere ubicar.En la Fig.25, el vector posicin del punto P(x) respecto al origen O esDe igual forma el vector posicin del punto Q(-x) es:Donde la coordenada del punto es igual al mdulo del vector posicin. Con direccin de 2 = 180. Q (-x) -X+X0Figura 25 P (x) 1 = 02 = 18034

02/09/2014 07:06 a.m.Segundo L. Gallardo Zamora35ESCALARES Y VECTORESEjemplo 18. Definir los vectores posicin de los puntos P(4) y Q(-5) en la Fig.26. P (4) Q (-5) Solucin.

Los vectores posicin de los pun-tos son respectivamente:-X+X0Figura 26 2 = 1801 = 0Vector posicin de un punto en el sistema unidimensional (+Y,-Y)En la Fig.27, el vector posicin del punto M(y) respecto al origen O est definido por:y el vector posicin del punto N(y) es: M (-y) N (y) Con direccin de 2 = 0.-Y+YFigura 27 01 = 1802 = 0y35

02/09/2014 07:06 a.m.Segundo L. Gallardo Zamora36ESCALARES Y VECTORESEjemplo 19. Definir los vectores posicin de los puntos M(-5) y N(7) de la Fig.28.-Y+Y M (-5) N (7) Figura 28 Vector posicin de un punto en el sistema unidimensional (+Z,-Z)Segn la Fig.29, el vector posicin del punto R(z) respecto al origen O est definido por: S(-z) R(z) 0+Z-ZFigura 29.El vector posicin del punto S(-z) es:Solucin. Los vectores posicin de los puntos son respectivamente:0y su direccin es el ngulo 1 = 0 que forma el vector posicin con el semieje +Z. 2 = 01 = 1801 = 02 = 180y su direccin es el ngulo 2 = 180 que forma el vector posicin con el semieje +Z. 36

02/09/2014 07:06 a.m.Segundo L. Gallardo Zamora37ESCALARES Y VECTORES Ejemplo 20. definir los vectores posicin de los puntos R(4) y N(-5) de la Fig.30.y S(-5) R(4) 0+Z-ZFigura 30Vector posicin de un punto en el sistema bidimensional (X,Y) R(x,y)YXFigura 31 OEl vector posicin del punto R(x,y), de la Fig.31, respecto al origen O est definido por:(11)Donde, nuevamente usamos las coor-denadas del punto como mdulos de las componentes del vector posicin.Solucin. Los vectores posicin de los puntos son respectivamente:1 = 02 = 18037

02/09/2014 07:06 a.m.Segundo L. Gallardo Zamora38ESCALARES Y VECTORESPor lo tanto, el vector posicin se puede escribir en la forma:(14)(12)y su direccin, con respecto al eje +X, es el ngulo:(13)38

02/09/2014 07:06 a.m.Segundo L. Gallardo Zamora39ESCALARES Y VECTORESEjemplo 21. Determinar el mdulo y direccin del vector posicin del punto A(8, 5).A( 8, 5)oYXFigura 32 Soluciny = ay = 5 x = ax = 8Segn la Fig. 32, los mdulos de las componentes son:Entonces el vector posicin es:y su direccin, con respecto al eje +X, es el ngulo:Con mdulo: = (180-32) 148 39

02/09/2014 07:06 a.m.Segundo L. Gallardo Zamora40ESCALARES Y VECTORESEjemplo 22.- En el plano (X,Y) se tiene una fuerza de mdulo F = 950 N y direccin = 228, calcular sus componentes y expresarla en funcin de estas.228oo-X-YFigura 33. 48.Los mdulos de las componentes son: Fx = 950 cos 228 = - 635,67 NFy = 950 sen 228 = - 705,99 N

02/09/2014 07:06 a.m.Segundo L. Gallardo Zamora41ESCALARES Y VECTORES Ejemplo 23. Calcular analticamente la resultante de las fuerzas con-currentes del Ejemplo 14 (Diap.25) cuyos mdulos son: F1 = 320 kgf, F2 = 600 kgf, F3 = 860 kgf, F4 = 320 kgf.90o30o15o(Figura 24) HHV15o30oFigura 34. XYSolucin. 1.- El vector suma o resultante est definido por el vector:2.- Para calcular analticamen-te el mdulo de esta suma di-bujamos, en la Fig.34, las fuer-zas a partir el origen de coor-denadas (X,Y) y luego determi-namos sus componentes.

02/09/2014 07:06 a.m.Segundo L. Gallardo Zamora42ESCALARES Y VECTORES 3.- Descomponemos cada fuerza en sus componentes paralelas a los ejes (X,Y), tal como se ilustran en las Fig.35.(a), (b), (c) y (d).F2x = F2 cos 30 F2y = F2 sen 30 -F4y = -F4 sen 15 F1 = F1y XY(a)30oXY(b)XYF3 = F3x(c)15oXY(d)Figura 35. Componentes de las fuerzas mostradas en la Fig.35-F4y = -F4 cos 15

02/09/2014 07:06 a.m.Segundo L. Gallardo Zamora43ESCALARES Y VECTORES

02/09/2014 07:06 a.m.Segundo L. Gallardo Zamora44ESCALARES Y VECTORES y direccin: = Tan-1 (310,9/1296,8) = 13,5Donde vemos que los coeficientes de los vectores unitarios son:Finalmente, la resultante es el vector de la Fig. 36, definido como:Rx = Fx = (519,6 +860 82,8) = 1296,8 [kgf], que es la suma de las com- ponentes de los vectores sobre el eje X. Comparando estos resultados con los obtenidos grficamente son aproximadamente iguales.Figura 36[Kgf]De mdulo: R = = 1333,5 [Kgf]44

02/09/2014 07:06 a.m.Segundo L. Gallardo Zamora45ESCALARES Y VECTORESEl vector posicin del punto R(x,y,z) tambin se define usando las coordenadas del punto como mdulos de las componentes sobre cada uno de los ejes, tal como se ilustra en la Fig.37.Vector posicin de un punto en el sistema tridimensional (X,Y,Z)Ejercicio EV-02(15) R (x, y, z)oYXZFigura 37R(16). Calcular la resultante de las siguientes fuerzas concurrentes: F1 = 1700 [N] en direccin = 40 con el semieje +X; F2 = 900 [N] en direccin = 65 con el semieje +Y, F3 = 800 [N] en direccin =70 con el semieje -X y F4 = 1500 [N] en direccin = 15 con el semieje Y. Todas la direcciones estn medidas en sentido antihorario.

02/09/2014 07:06 a.m.Segundo L. Gallardo Zamora46ESCALARES Y VECTORESXYZFigura 38. RR Con este trazado formamos tres tringulos rectngulos, donde cada componente es el lado adyacente del respectivo ngulo director

02/09/2014 07:06 a.m.Segundo L. Gallardo Zamora47ESCALARES Y VECTORESPor similitud, en los otros dos tringulos rectngulos, las otras dos componentes podemos calcularlas usando las expresiones:(17)(18)(19)YXZ Figura 39 180RRO(20)De forma tal que el vector posicin se puede escribir en la forma:

02/09/2014 07:06 a.m.Segundo L. Gallardo Zamora48ESCALARES Y VECTORES Ejemplo 24. Determinar el vector posicin del punto A ( 4, 5, 8).x = ax = 4Por lo tanto, el vector posicin es:oYXZFigura 40 A( 4, 5, 8 )SolucinDe mdulo:y direccin determinada por los ngulos directores: = cos-1 (-4/10,25) 113,0, y = ay = 5 z = az = 8 = cos-1 (5/10,25) 60,8, = cos-1 (-8/10,25) 141,3

02/09/2014 07:06 a.m.Segundo L. Gallardo Zamora49ESCALARES Y VECTORESEjemplo 25. Una fuerza F = 106 N forma los ngulos = 59o, = 65o y = 45 con los semiejes positivos del sistema (X,Y,Z). Expresar la fuerza en funcin de sus componentes rectangulares.

SolucinCalculamos el mdulo de cada compo-nente y lo dibujamos sobre el respec-tivo semieje del sistema (X,Y,Z), como se ilustra en la Fig.41.XYZFigura 41 45o59o65oFx = 106 cos 59 = 54,59 N, compo-nente paralela al semieje +XFy = 106 cos 65 = 44,80 N, compo-nente paralela al semieje +Y.Fz = 106 cos 45 = 74,95 N, compo-nente paralela al semieje +Z.Dibujamos el vector fuerza y lo expresamos en funcin de sus com-ponentes.

02/09/2014 07:06 a.m.Segundo L. Gallardo Zamora50ESCALARES Y VECTORESEjemplo 26. Un avin vuela con una rapidez de V = 550 Km/h y direccin definida por los ngulos = 119o, = 50o y = 135 con respecto a un sistema (X,Y,Z) ubicado en Tierra. Expresar la velocidad funcin de sus componentes rectangulares.XYZFigura 42Vx = 550 cos 119 = -266,65 Km/h, para- lela al semieje X negativoVy = 550 cos 50 = 353,53 Km/h, para-lela al semieje Y positivoVz = 550 cos 135 = - 388,91 Km/h, para-lela al semieje Z positivo135o119o50o50

02/09/2014 07:06 a.m.Segundo L. Gallardo Zamora51ESCALARES Y VECTORES Ejemplo 27. Las componentes de una fuerza son: Fx = 300 N, Fy =-250 N y Fz = -450 N. Expresar el vector fuerza en funcin de sus compo-nentes y calcular su mdulo y direccin.Solucin: En la Fig.43 dibujamos las componentes y con ellas formamos un paralelepdo cuya diagonal principal es el vector fuerza.YZXFigura 43 de mdulo:y direccin definida mediante los ngulos directores: = cos-1 (300/595,82) = 59,8 = cos-1 (-250/595,82) = 114,8 = cos-1 (-450/595,82) = 139,0 Este vector se expresa en la forma:51

02/09/2014 07:06 a.m.Segundo L. Gallardo Zamora52ESCALARES Y VECTORESSolucin,Simblicamente la resultante de estas fuerzas est definida por la expresin:Escribimos los vectores en filas, de manera tal que sus componentes se muestren en columnas con vectores unitarios como referencia (si faltara una componente se deja en blanco o coloca cero). Luego sumamos algebraicamente los coeficientes de cada vector unitario.52

02/09/2014 07:06 a.m.Segundo L. Gallardo Zamora53ESCALARES Y VECTORESEste vector y sus respectivas compo-nentes se muestran en la Fig.44. y su direccin esta definida por los ngulos directores: = cos-1 ( 2 / 11,4 ) 79,9 = cos-1 ( 5 / 11,4) 64 = cos-1( 10 / 11,4) 151,3oEl mdulo de la resultante es:R = (2)2 + (5)2 + (-10)2 = 189 11,4 NLa suma de componentes sobre el eje X es: Fx = (5-8 + 5) = 2 La suma de componentes sobre el eje Y es: Fy = (-6+ 9 + 2) = 5, La suma de componentes sobre el eje Z es: Fz = (-3-4-5 + 2) = -10Figura 44 ZXY

02/09/2014 07:06 a.m.Segundo L. Gallardo Zamora54ESCALARES Y VECTORESSolucin: Escribimos los vectores en filas y columnas y luego suma-mos algebraicamente los coeficientes de los vectores unitarios.a)De mdulo:y direccin: = cos-1(11/99,6)=83,7; = cos-1 (-69/99,6)=133,8; = cos-1 (-71/99,6) = 135,5

02/09/2014 07:06 a.m.Segundo L. Gallardo Zamora55ESCALARES Y VECTORES b) Lo hacemos por partes, calculando el primer trmino El segundo trmino:(i)(ii)Ahora restamos (ii) de (i)

02/09/2014 07:06 a.m.Segundo L. Gallardo Zamora56ESCALARES Y VECTORES de mdulo: y direccin: = cos-1(-26/90,5)=106,7; = cos-1 (55/90,5)=52,6; = cos-1 (-67/90,5) = 137,8 Nota. Esta pregunta tambin se puede resolver eliminando los sig-nos de agrupacin y tener simplemente:Queda como tarea para el alumno verificar esta propuesta.Vector posicin relativo entre dos puntos. Es el vector que ubica un punto respecto a otro, cuando ambos estn ubicados con respecto al mismo sistema de coordenadas. Por ejemplo, en la Fig.45, el vector posicin del punto R2 (x2,y2,z2), respe-to al punto R1 (x1,y1,z1 ), es el vector que va desde R1 (punto de referencia o punto inicial) hasta R2 (punto que se quiere ubicar o punto final).R2(x2,y2,z2)R1(x1,y1,z1)oXZYFigura 45

02/09/2014 07:06 a.m.Segundo L. Gallardo Zamora57ESCALARES Y VECTORES Segn la Fig.50, el vector posicin relativo del punto R2 respecto al punto R1 es el vector diferenciaEsta expresin indica que debemos ejecutar la resta de los vecto-res posicin de los puntos.(21)(x2 x1) = (r21)x es la componente del vector posicin relativo parale-la al eje X.(y2 y1) = (r21)y es la componente del vector posicin relativo parale-la al eje Y.(z2 z1) = (r21)z es la componente del vector posicin relativo parale-la al eje Z.(22)

02/09/2014 07:06 a.m.Segundo L. Gallardo Zamora58ESCALARES Y VECTORESEl mdulo del vector posicin relativo es: r21 = (x2 x1)2 + (y2 y1)2 + (z2 z1)2(23)y direccin: = cos-1 [(x2 x1) / r21 )]; = cos-1 [(y2 y1) / r21 )]; = cos-1 [(z2 z1) / r21 )](24)De igual forma, en la Fig.46, podemos graficar y definir el vector posicin relativa del punto R1 respecto al punto R2 mediante la expresin:R2(x2,y2,z2)R1(x1,y1,z1)oXZYFigura 46(25)De mdulo: r12 = (x1 x2)2 + (y1 y2)2 + (z1 z2)2(26)y direccin: = cos-1 [(x1 x2) / r12)]; = cos-1 [(y1 y2) / r12 )]; = cos-1 [(z1 z2) / r12 )](27)

02/09/2014 07:06 a.m.Segundo L. Gallardo Zamora59ESCALARES Y VECTORESEjemplo 30. Hallar el vector posicin del punto R2 (-5, 5, 2) respecto al punto R1 (4,-5, 6).

El vector posicin de R1 es:4-5P1 (4,-5,6)6oXYZFigura 47El vector posicin de R2 es:de mdulo: r12 14,0 y direccin: = 130,0o, = 44,4o, = 106,6y el vector posicin de R2 respecto a R1, esta dado por el vector diferencia:Solucin. Dibujamos y definimos el vector posicin de cada punto respecto al sistema (X,Y,Z), como se muestra en la Fig.47Restando:P2 (-5,5,2)-552

02/09/2014 07:06 a.m.Segundo L. Gallardo Zamora60ESCALARES Y VECTORES a) Dibujar y definir los vectores posicin de cada uno de los puntos de la Fig. 48 y luego sumarlos. b) Dibujar y definir el vector po- sicin del punto B respecto al punto A. c) Dibujar y definir el vector posicin del punto D respecto al pnto C.ZFigura 48YXA(-6,-5,8)C( 7,-9,0)B(-12,9,-12)D(9,8,-9)Ejercicio EV-0260

02/09/2014 07:06 a.m.Segundo L. Gallardo Zamora61ESCALARES Y VECTORES Producto escalar o producto punto de dos vectores.oFigura 49A , es el mdulo del primer factorDonde:, es el ngulo entre los vectores con origen comn y debe ser tal que: 0 180oB , es el mdulo del segundo factorPara los vectores de la Fig.49, el produc-to escalar se define mediante la identidad:El punto entre los vectores es el smbolo de esta operacin.Propiedades fundamentales:(28)

02/09/2014 07:06 a.m.Segundo L. Gallardo Zamora62ESCALARES Y VECTORES Si los vectores se expresan en funcin de sus componentes rectan-gulares Forma cannicaSe demuestra que el producto escalar se calcula mediante la expresin:Algunas aplicaciones. De la definicin del producto escalar se obtiene la expresin(30)(29)

02/09/2014 07:06 a.m.Segundo L. Gallardo Zamora63ESCALARES Y VECTORESEn la definicin del producto escalar podemos agrupar trminos y escribir:BA = B cos oBAFigura 50Por lo tanto:(31)(32)Ejemplo 31. Hallar el trabajo que realiza la fuerza F = 450 N, al desplazar el bloque de la Fig.51 una distancia x = 3 m. = 300Figura 51

02/09/2014 07:06 a.m.Segundo L. Gallardo Zamora64ESCALARES Y VECTORES SolucinPor lo tanto, segn la definicin:

W = (450)(3) cos 30

W = 1169,13 J = 300oFigura 52El trabajo se define como el producto escalar del vector fuerza por el vector desplazamiento.

02/09/2014 07:06 a.m.Segundo L. Gallardo Zamora65ESCALARES Y VECTORES Solucina) Para ejecutar el producto escalar ordenamos los vectores en filas y columnas en base a los vectores unitarios b) Esta pregunta queda como ejercicio para el estudiante.c) El ngulo entre los vectores se obtiene del producto escalar, que lue-go de despejar obtenemos la frmula:y en el denominador tenemos los mdulos de los vectores.Donde, el numerador es el producto escalar: A = 186 13,64 y B = 117 10,82 = cos-1 ( 75/ (186)(117)) 120,6oPor lo tanto, reemplazando valores obtenemos:

02/09/2014 07:06 a.m.Segundo L. Gallardo Zamora66ESCALARES Y VECTORES B = 117 10,82 121OAB = 6.93Reemplazando valores se obtiene:AB ( 75 ) / 10.82 6.93El signo negativo en la respuesta significa que la componente AB es opuesta al vector B, como se muestra en la Fig.53.Figura 53Las preguntas: e), f) y g) de este ejemplo quedan como ejercicios para el estudiante

02/09/2014 07:06 a.m.Segundo L. Gallardo Zamora67ESCALARES Y VECTORES Producto Vectorial o producto aspa de dos vectores. Figura 54o- Donde aspa x entre los vectores es el smbolo de esta operacin.El producto vectorial tambin se define mediante la expresin:(33)(34)

02/09/2014 07:06 a.m.Segundo L. Gallardo Zamora68ESCALARES Y VECTORES Es importante indicar que en la definicin del mdulo del producto vectorial A y B son los mdulos de los vectores y es el ngulo que ambos vectores forman en el origen comn, tal que: 0o 180oFigura 55h = B sen Por lo tanto, el rea del paralelogramo es:

S = A h = rea del paralelogramo = C (35)

02/09/2014 07:06 a.m.Segundo L. Gallardo Zamora69ESCALARES Y VECTORESEl producto vectorial se obtiene desarrollando un determinante for-mado por los vectores unitarios y las componentes de los vectores.

Ay Az By BzAx Az Bx BzAx Ay Bx By(+)(-)(+)(-)(+)(-)= Ax Ay AzBx By BzPara desarrollar este determinante aplicamos el mtodo de los me-nores complementarios, que consiste en obtener un determinante de menor rango anulando fila y columna donde se ubica cada vec-tor unitario. Luego desarrollamos cada menor sumando el produc-to diagonal hacia abajo menos el producto diagonal hacia arriba.

02/09/2014 07:06 a.m.Segundo L. Gallardo Zamora70ESCALARES Y VECTORES Reordenando obtenemos: Propiedades fundamentales del producto vectorial:XYZEje de rotacinrFigura 56FSolucin. (36)

02/09/2014 07:06 a.m.Segundo L. Gallardo Zamora71ESCALARES Y VECTORES 49oFigura 57En la Fig.57 se dibujan los vectores en un origen comn y se muestra mejor el vector torque.Usando valores, el mdulo del momento o torque es entonces: = r F sen = (350)(1,50)(sen 49) = 396,2 m.NComo el torque es un vector perpendicular al plano (X,Y), su forma vectorial es:o

02/09/2014 07:06 a.m.Segundo L. Gallardo Zamora72ESCALARES Y VECTORES Solucin: Para obtener el producto vectorial formamos el determinante con los vectores unitarios y las componentes de los factores y luego resolvemos por el mtodo de los menores complementarios. 3 -6-7 2(-)(+) 4 -6-5 2 4 3-5 - 7(-)(+)(-)(+)4 3 -6-5 -7 2[(3)(2) [(4)(2)+ [(4)( 7)b) El rea del paralelogramo es igual al mdulo del vector producto. Esto es: Area = C = 44,15 unidades de superficiey direccin: 144,6 ; 60,1 ; 107,1oa)

02/09/2014 07:06 a.m.Segundo L. Gallardo Zamora73ESCALARES Y VECTORES Ejemplo 35. Los puntos A(4,-6,8), B(-5,6,4), C(3,3,-3), son los vrtices de un tringulo en el espacio (X,Y,Z). Calcular el rea del tringulo usando el producto vectorial.Solucin:En la Fig.58 ubicamos los puntos y los unimos para formar el tringulo.ABCXYZFigura 58Si en la Fig.59 al tra-zar la diagonal del paralelogramo obte-tenemos dos trin-gulos, cada uno con rea igual a la mitad del paralelogramo.Figura 59rea Tringulo = (rea paralelogramo)Por lo tanto:

02/09/2014 07:06 a.m.Segundo L. Gallardo Zamora74ESCALARES Y VECTORES En la Fig.60 definimos los vectores con origen comn en el punto A:A(4,-6,8)B (-5,6,4)C(3,3,-3)XYZFigura 60[unidades de superficie]T = (48,0)2 + (47,5)2 + (34,5)2 = 75,83 Por lo tanto, el mdulo de este vector es el rea del tringulo:

02/09/2014 07:06 a.m.Segundo L. Gallardo Zamora75ESCALARES Y VECTORES oFigura 61El parntesis indica que primero debemos ejecutar el producto vec-torial (x) y luego el producto escalar ()Triple Producto Escalar(37)

02/09/2014 07:06 a.m.Segundo L. Gallardo Zamora76ESCALARES Y VECTORES El vector producto es:Donde: A cos = h, es la altura del paraleleppedo y= A (B C sen ) cos Cuyo mdulo es igual al rea de la base del paraleleppedohB x CACoBFigura 62SB C sen = SB C sen = S, es el rea del paralelogramo basePor lo tanto:(38)

02/09/2014 07:06 a.m.Segundo L. Gallardo Zamora77ESCALARES Y VECTORES Si los vectores se dan en funcin de sus componentes cartesianas.El triple producto escalar se obtiene desarrollando el determinante formado con las componentes de los vectores en el siguiente ordenAx Ay Az Bx By Bz Cx Cy Cz= V = Volumen del paraleleppedo formado por vectores no coplanariosDesarrollando el determinante por menores complementarios se tiene:(39)

02/09/2014 07:06 a.m.Segundo L. Gallardo Zamora78ESCALARES Y VECTORES Ejemplo 36. Sean M(5,3,1); N(-3,4,0) y P(2,-3,7) los vrtices de un paraleleppedo. Dibujar el paraleleppedo y calcular su volumen.SolucinUbicamos los puntos, luego trazamos y definimos los vectores posicin de cada uno de los vrtices, como en se muestra en la Fig.63.MPNYZXFigura 63o

02/09/2014 07:06 a.m.Segundo L. Gallardo Zamora79ESCALARES Y VECTORES 2 -3 7 5 3 1 -3 4 0V = 2[(3)(0) (4)(1)] + 3[(5)(0) (3)(1)] + 7[(5)(4) (3)(3)] V = 204 [unidades de volumen]3 14 0V = 2 5 1-3 0 -(-3) 5 3-3 4+ 7Para calcular este volumen formamos un determinante con las componentes de los vectores y luego lo resolvemos usando el mtodo de menores complementarios( o cualquier otro mtodo)

02/09/2014 07:06 a.m.Segundo L. Gallardo Zamora80ESCALARES Y VECTORES Ejercicio UV-03Continuamos con cinemtica unidimensional