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................... .

I

. " _. 'C~+l6 . Se define f{x; y+ 1) :~"C" ~x J donde

v ;

C , a , ~ N · · · · '. , :· , ·· : ,, · ' d " , .- . ' ': ': , nbi - '- ' -"~-' ., "b iO .u :m ero ,·,:e ,c o m , unacrones

Entonces el mlmero de soluciones reales de la

ecuaclon J2 ~ :~'g(x:~ es

V~'::Numero de variaciones

A} 0

D)2

B}4 ell

E) ,8

ar.

~a, _ '.

b - (' ~' ') 1' 1 . : : . ." 1'. ~~-·lllr_..~ =s:

c " ' d : ' · : ' ' ,: - - ," . :Q, :emas

' " Si se cumple que f e n ~ ' 1!

e de mas , ff7n)·~n + , f ( 7 n , - 7 ' l : ; ' 'Tin 'E : , z . + - . '

: R es ue lv a , e n x fpo) +,2x '>,60.

IC ' > 1 " . . . 1, . U O · , · 1 } ' . + ' ' f " ( ' 2 · - " · 2 ' . ' ) ' '+'f ( . ' , 4 ' i 3 ' · } + f ( ' 6 · ~ " · · ' 4 - : ) ' ·+ '. , , a . cu,~,e , W ~ " ' , ' , ' , , - " ~ , I ", ~ " ': ' " ' i ! . , ~ • ~

( ' ),

.,

A ) ' " ' 2 " ' ; +00 .','l J. ' • .

, ", .

/ 5 ) "D} \-=;2 .•••

{5 } 1

B) " 2 ' C) {3}

A) 2e-l

: D ' } €:+1

' B ' · , - - ' , ) ' · ., e + 1. . - C) eE) e'+2,

E) (5; + ' e q ' ) 7 ~ Sea f : ,A ~ J R , una. Iuncion t a l que ~:~:~, e1 1 x l

:

donde A;;;; { x ER/ - 4 < _x2

< -I} Y

( )"

- , . , m 1 1 1 " , , '

Ranf ,~ e ; ,e-":: calcule m+n,_.", . . " _ ': '! ' '. '. _,_., " , ,', _T

, .

A), :[1~+ c o ) ' . ." "1 ,.

D } (1; 2 ]

- ( 'O 1 )B },',~ ',; , " C)' {'l' + , 0 0 ) . ' . ', . l ., .

E, } J R , ,~ , )~3,D}l

B J ~l C , ) 0E ) 3

4 ~ Sea '¥ el numaro de pares (x';y) de componentes '..

8 , . Calcula x enenteros que verifican la ecuacto n

x1o,+'30r ,+,_y2+240=,y4"

E n t o n ces '¥ es i.g ua l a

loga ' x J og : a...,x .109a x...loq, x 1" - ' 1 , _ - ' . ~ - - ; : 3 , ,_:__,n,~

, -- --- - - - ,_. - .:

~: ." ... JO gajx.

£.i '1 t ~l.-'~l ' ; '~1'" og x ' , ,~-'_, ~-', '. ,aj ','

. .

A)4.: ..: '._

D)O

B .) 8 C) 2

E ) 1

: S ' . Siendo ll i x 'D el mayor de, lo s enteros pero manor 0

. , 1 A ' 1 " d + d f · . ' + '" 'II]I . g : u , a a )C " . " " p : Ican' . 0 ' e S IL :a . . :e,,~nlCl0n r e :s u ,e ~ v a :,Q.

n

~ ' L ' .

7tb; ,- b b'-. b ~ .'., a: : ' ;; ; ;: :1+ , a2 , + . ". ~+ , an

K- '1 ' K -·1'-2· '···n ,', '" :11 t .; ; ; ; ; 1 I~

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6toC,ancursD ,de Mat1amati,ca C.,sa:r Val::lejo 2003Q. • I A~:; : . I . " .. i' . ,'. ,Uln0 .no

9 ~ Sea

! .

r xI"X' -= 10

1 3 S ;' ]- " '&.~ 'I '.,'" b d ~,;r_ , ~ . ~ .e ' g u n . e gradeo, "a, region som rea a. es una region

pol igonal regular C,= (10;, 6J" Halle la ecuacion de

la recta trazada par C y que- div ide a dicha 'region

en partes cuyas areas estan en Ia razon de Ires a cinco,

' Y ' ~ - '

-

f f ' - ) . 10'.X··'

x + 1 ; x;t 10

Si ao=2003 A an+l,=f{anLhalle e:1m anor n ENtal que a n = ' 1 .

A ) 3 6

0)39

B)37 C) 38

E } 4,0

A , D x

B ) 3 ,Y = 2 x~ := 'O '1 0 ; " Sea. la funcion

f(x) ;,..,~ ax2 + by2 ' + C Z2 '.

Si 8, b, C E, [1; 27]" edemas

A) 4;x~5y=7='O

C) 4x ~3y =8~O

D) 3x+4y--4,=O E) 3x-4y--6=O

.! , c l ~+1 . ~ 1x y z

• ~= 'by3= C23.

Calcule e] mavor elemento del range de L

l 4 . . La reeta que pasa por P(2: 3) interseca a los

semlejes coordenados-posltlvos , X ' e Y en los 'puntas

,A y B respectivamente, slendo 0 e:]oriqen y e] area

d e: la reglon A , O B es 1 0 . C a lc ule 2 ( :B O ' )+ ,3 (O A ) ,

A) 3

0)6

C)I,2

E ) ,8

,A)116

D}32

B) 18 C) 2 '0

, E ) 3O

1 1 ~ En un segmento AS se ublca el 'punta M.

51 M:B , :=3{AM) ", A,(l:; 3)y 8(9 ; I5}, hel le la ecuac ion

de la recta perpendicular a A 'B en el punto M ,.

' 1 5 - ----+,_'.•~ Seqiin la fi.gU1ra~ ONPQ es un cuadrado y AC, l f OX

'. - - t·

PQ=a y AP,=b. , Calcule la pendlente de 'Ne.

A) 3y~2x+24~O

B) 3y~,2x+12-0

C) 3y~2x+44='O

: D } 31 , - 2 ,x+S4=O ';Y

E) 3y~,2x+56,~O

y

A---------_ C

.'

1 2 " , , S e , g u n el grcif ico, calcule la pendiente de' Ia recta: ., o 'Q B x

- ie co ntie ·'·Ie ·,.··l

! o { ran u el centro de la ctrcunferenciaue co 1 n. J _ 1 9 y _____ _ _______ _______ __

inscrita en el t ri anqu lo m ix ti hneo ABC~

y.

A

2 '2a - b

e) 2a

a+bE ' , )

b- ~'.

~

-.."

.. . .. .'..

. . . . -_. . . . .~ TI ~ ~

,r r.I ....

1 6 ~ En un triangulo rectanqulo A BC (recto en ,B} seinscribe la clrcunfe rencia de centro 0 y radio, ' f . "

~ -tanqente a. Be : y A C en T, M respectivamente la .

' l ~ .. . d A O '" - M T P . S · · 'rotonqacron ue . interseca a ~,~_ en _I ~ J

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' .. ~ ~" ~ -" --.- . ""I~--,--

- - -

Q .' t • = .: I, n - - 0 Mi:I-O-61• C'o'n'cu:rs'o· de, Matem,atlea Ce',sar Vall,ejo ,2 ,003,

; 7 ' . Indique que' alternativa tlene mayor valor. 2 1 . En el grafico~se m u estra un cuadrado A S'C,D . 5:1 la

,A} sec(-600)

D ) t an 4,5 °

B) ta:n60o C) sec45°

E ) , c o t3 7 °

~

recta Sl es rotada alrededor del punto '0 {centro del

cuedrado) en sentido horario un ,angulo agudo (I~el

punta p se despleza 1 u, ~I.e- ]3 ta n [11s~ ,e tangente del

B . , Con un alarnbre de longUud L se cerca un terreneque tiene la forma de un tria nqul a tectangulo, con

el m:ismo alambre se cerce otro terrene que tiene la

'forma de' un sector circular cuyo radio es igual a la

hipotenusa del tr ia nq ulo r ec ta ng ulo , Halle eJ area

de !! a re:gion trianqular, 5 1 e l a,ng ,'u[o central de[ sector

circular tom a su maximo valor,

angulo que formaba la recta S f con AD~ micialmente

era igUal '0 ~; ademas AB~6 u. (Pi E al lado AD)~~~-

A } 3/11

,6) 1 1/3

C) , 2

D) 1

E} 11I

i

D

A } L2(3 - ; / . . { 2 )

. " ( . J 3 + 1 L 2C) - 4

(r;; . ) ' - 2

D) , " 1 1 3 -IL

4

J2L 2-

' B - ) - - ,' -

' - 4 -. . . .

t: 2-c_ (3"r~ -IlL

E , } - - - - - - - - - - 1 2

2 2 . . En e l g ta fi .c o ,~se muestra dos teodolitos de altura h. .

51 de sde D'se observe ,eI punta B;con un cingula deelevacion ex y desde B se observe el punta C con

un a'ngulo de depresion : J 3 , . Halle el ,desnivel entre el

puntas A y C. (E l teodolito es un instrumento que

se u ttliza 'p ara medir an'gu~os ve rticales)

B

A . ) . sen(_n~, x] ~ =sen x

B) seclx - n) = sec x

D' 9 " lndique la alternativa correcta.

(1t )-; ' ) , tan ,_'+ x ' : : ~ cot X

- 2 - - , ' -, ,

- (.-31t J : _ - '

D) esc 2 -x .•:; secx

E} cost x=21t ) =cosx

Del g'rafico rnostrado, halle la diferencia de!

perime tro de la re g i.6 n sombreada y . la 1 0 ngitud del

erco AB. , Siendo r== 7 m y A OB un sector circular,- 2 : 2 -

Consldere It~=~,.,". 7

A ,) h se,n(ct+, ~)cscf~'= (x )

B ,) hsec f3co sa ,sen (J3 ~ a )

,C ) hsec(a + ~)C O I S (t J - 0 : )

D) hsanf sen a sen-(~=a.)

'E ) h s ec (e t - ~)cos(a+ 1 3 )

2 3

', . 1 ~ D~l

gt.iiJico, se:rnuestran 2' t d ian',e'nas ! Ie- -

A

telecornunicaclon rnovil cuyo radio de accion le n un

plano horizontal es de . 5 km, un au tomovil viaja en.

U ne a recta, (V=:;60 km/h ] perdiendo la serial durante

2 m in .. Determine el sene ,',siendo A B el tramo de

no recepclon; adernas ,001 ,= = 10 km y L11 1 L 2.

B: : ; . . : ~ - - , . - - . -

• .j."

iI iiii - - _ ... - I I II I !I ~ _I::;' I( =- =.JIOIIII"_,

I-'... __ ..... 01"

A) (49,J2 +121}m

B) (35,,J2 +,139}m

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• • • g

6ta Concurso de M a .t em , a :t ic a. C · e sa .r Vaillejo 2003

• • •• :0=: -- - - - - • .~-W . ------ - - • -

. - _ . _ --

4 ~ Ordene de menor a mayor

·U ·~ tan20 'o N = cot800 ' 1 - . .- · · · · · 3 · 8 °=ranoe

- . { k ~ } ·9 . Sl se rumple tan3 9-1,- seeS ; Eh~ i; , kE Z

HaUe el valor ide (sec2 e - csc2' 8;tan9.

A . ) U · -N '- I:

D) U·-I.-N·

C . ) N · - U - J

' E ) l---U-N.A)-1

D) . 2

B)O C . ) 1

E) 3

5 . Siendo C Y ' R.10s mirneros de grados. centesirnales

di +;.(. Iy ra lanes para un rmsmo anguio, se tienen os

sectores c ir cu la te s A C B y POQ~ Hall e el valor de la

• iii M - - 1t. Yexpreslon ;': -:-. - _.200 x

3 0 ~ Las coordenadas de los vertic·es de un trianqulo

equilatero ABC son A . ( 1;3,Jj).~ B(,-8sen6;O·) y '

. C ( _ 116sen 9; O ) ~ Halle ·cos 2 e ; si e E II' C .

A·.

A) 1/8

D J 1 /5

B) 7/8 C) 3/4

E) 4/7

RI

3 1 . Siendo sen(KeK) = ._ _1 _ ,K+3

helle el valor de la expresion

M=sen 181",en 9 3.( 4 cos2 83 ~ ·1 ) .

A) 1/17

D ,) 1 /2 4

:B ) 1 /1 5 C) 1/18

E} 1/19A) 1

D)4

C) 3,

E---)i ~ .

3 2 . , Indique la alternativa correcta

6 . Siendo sen a + tan a ~ 3 ~

E'._".sec2r8.-sen2~

halle el valor de Ia expresion 5 3 .... _.'-. sena

.A ) sen21° - ·coSJl o~cos2°

A . ) . 1 .

D}4

B)2 C ) 3

E , ) 5

.. .2 ' ( 1t)B ), tanx' co tx ~ tanx ~. x E· .' 0 ;':"" ·' . 4 ' ' ' :

'. .

( J

'lf2

. '.' . m . . ." ' .tan x = - , m <O 1\ n -c f) , c alc ule el valorn·

de ~~m + n I' cos . x . Considere x E ' llle +

_ .2 n : _ _ . ' . . . . 2 1t: E ) sen " 1 1 -1-cos 11.

A} Fn

Dj . ~ . r : m

C ) ~-.2 _L 2. ·-m: iF n3 3 . Un paste de 10 m de altura esta sostenido por dos

cables desde dos puntas fiios en el suelo (ambos

lados del poste) que forman con 1a horizontel un

,angul0 de ·46 °'", Lueqo de un cierto tiernpo este se

hunde una pequefia lonqitud por problemas de:~

sue [0. Halle este desplazamiento vertical del 'paste,

si al tenser nuevamente los cables ]'05 an'gulos que

forman con la horizontal disminuveron en 10.

( 46° o 96' )o t _ I . · . · =: ': t. I: "

( J

9,

' B . S!] s e cumple . x g x · · ·1

~

.Y " ' 1 :

· _. 2 I. '. ' •. '

h ll ]. 1 d '9 -1na e e. vaorl€ 6 1 yx .

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