4. interes simple y compuesto 2015 1

Interés Simple

Valiente P. Ramírez HuertaDocente

• ¿Qué es interés simple?• ¿Cuáles son las fórmulas para hallar las distintas

variables?• ¿Cuál es la fórmula en caso de que la tasa sea

variable en el tiempo?• ¿Cómo se halla el tiempo aproximado y exacto?• ¿Qué son las ecuaciones de valor a interés

simple?

El interés o rédito por el dinero prestado, aparece, ilegalmente, antes de la Edad Media para facilitar el comercio de bienes.

El cobro de intereses, hasta los siglos XV y XVII estuvo prohibido (y penado) por la iglesia Católica porque se consideraba usura.

Origen del Interés

InterésPrestatario

Gasto Prestamista

Ingreso

Cantidad a pagar –

cantidad recibidaINTERES

===========

InterésBanco, etc.Ahorrista

Importe ganado por un capital, por unidad de tiempo durante el plazo que dure la inversión o préstamo.

Sin la variable tiempo no hay generación de intereses

Cantidad a cobrar – cantidad

entregadaINTERES

===========

Monto – Capital

Interés simpleEl interés, es pagado sobre el capital inicial que permanece invariable. En consecuencia, el interés obtenido en cada intervalo de tiempo es el mismo.

Es decir, la retribución económica causada y pagada no es reinvertida, por cuanto, el monto del interés es calculado sobre la misma base.

Desventajas

• Falta de capitalización de los intereses que implica pérdida de poder adquisitivo.

• Al final de la operación financiera se obtendría una suma total no equivalente a la original

• El valor acumulado no será representativo del capital principal o inicial.

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Es la razón geométrica del interés devengado al capital en una unidad de tiempo convencionalmente un año, salvo que se establezca otro periodo.

Tasa de interés

interes acumulado por unidad de tiempo Tasa de interes (%) = 100%suma original x

Ejemplo: si el interés devengado es S/.100,00 por un capital de S/.1 000,00 durante un año, la tasa de interés es:j = I/C = 100/1000 = 0,10 por lo tanto 10% anual

Formas de expresar la tasa de Interés simple

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Tasa de interés simple

Tasa nominal

Tasa proporcional

Expresada en un periodo mayor

Expresada en un periodo menor

Tasa nominal: es una tasa referencial de interés que está asociada a un periodo determinado: diario, mensual, semestral, anual.

Tasa Proporcional: es la tasa nominal expresada a un periodo mayor o menor.

Tasas vencida: la tasa de interés vencida es la que corresponde al monto de intereses pagados al vencimiento de la deuda ú obligación.

Tasas adelantada: la tasa de interés adelantada, en cambio es la que corresponde al monto de intereses descontados al producirse el desembolso inicial.

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Tasa de Interés simple según el momento

Interés simple fórmulas

I = M - C

j = I / C

... (1)

... (2)

I = Intereses generados en la operación.

j = Tasa de interés por unidad de tiempo.


M = C + I

... (3)

... (4)

Si asumimos varios períodos y despejamos I de la expresión (2), y M de la expresión (1), tendremos que:

I = C x j x n


Reemplazando (3) en (4) :

M = C x ( 1 + j x n )

Elementos• M = Monto a interés simple (valor futuro).• C = Capital (valor presente).• n = Plazo en número de años.• j = Tasa de interés por período, % por año.


)1( jnMCapital

nCM

Tasa1

jCM

Tiempo1

Despejando obtenemos


Monto cuando la tasa es variable

M = C(1 +((j1 x n1)+(j2 x n2)+…+(jn x nn))

Aplicación de interés simple (a)

¿Cuánto se recibirá al cabo de cinco años si se deposita la

cantidad de S/. 1,000 en una cuenta de ahorro que paga el

15% anual?

Datos:• C = 1,000• n = 5 años• M = ?

Solución:

M = C (1 + j*n)

M = 1,000 x (1 + 0.15 x 5)

M = 1,750.00

I = 1,000*0.15*5 = 750

Aplicación de interés simple (b)

¿Cuánto se recibirá al cabo de dos trimestres si se deposita la cantidad de S/.1,000 en una cuenta de ahorro que paga el 40% anual?

• Datos:• C = 1,000• n = 2 trimestres = 0.50 años• M = ?

Solución:M = C (1 + j*n)M = 1,000 x (1 + 0.40x (2/4))M = 1,200.00 I = 1,000*0.4*0.5= 200

Solución:M = C (1 + j*n)M = 1,000 x (1 + (0.40/4) x 2)M = 1,200.00 I = 1,000*0.10*2= 200

Aplicación de interés simple (c)

¿Cuánto se recibirá al cabo de dos años si se deposita la

cantidad de US$ 1,000 en una cuenta de ahorro que paga el 4%

mensual?

Datos:

C = 1,000

n = 2 años

j = 4% mensual = 4% * 12 =48% anual

• Solución:

M = C (1 + j*n)

M = 1,000 x (1 + (0.48x 2))

M = 1,960.00

I = 1,000 * 0.48 * 2 = 960

Interés simple tasa variable (d)

¿Cuánto es el monto que retiraríamos el 31 de diciembre, sí el 01/01 invertimos S/.15,000.00 al 2% para los dos primeros bimestres y un plus de 1% en cada dos bimestres sucesivos.

Datos:C = 15,000n = 1 año = 6 bimestrej = 2% bimestre 1 y 2j = 3% bimestre 3 y 4j = 4% bimestre 5 y 6

Solución:M = 15 000 (1 + ((0.02*2) + (0.03*2) + (0.04*2))M = 15 000 (1 + (0.04 + 0.06 + 0.08))M = 17,700.00

I = 15,000 * 0.18 = 2 700

M = C(1 +((j1 x n1)+(j2 x n2)+ … +(jn x nn))

Interés simple: calculo del tiempo

• Interés Simple Ordinario:Se considera el año de 360 días y meses de 30 días. A falta de fecha de operación, esta base debe ser utilizada. (Tiempo aproximado).

• Interés Simple Exacto:Se toma años de 365 días y días por mes de acuerdo al mes de referencia. (Tiempo exacto).

Tabla días del añobisiesto

ENE D/A FEB D/A MAR D/A ABR D/A MAY D/A JUN D/A JUL D/A AGO D/A SET D/A OCT D/A NOV D/A DIC D/A1 1 1 32 1 61 1 92 1 122 1 153 1 183 1 214 1 245 1 275 1 306 1 3362 2 2 33 2 62 2 93 2 123 2 154 2 184 2 215 2 246 2 276 2 307 2 3373 3 3 34 3 63 3 94 3 124 3 155 3 185 3 216 3 247 3 277 3 308 3 3384 4 4 35 4 64 4 95 4 125 4 156 4 186 4 217 4 248 4 278 4 309 4 3395 5 5 36 5 65 5 96 5 126 5 157 5 187 5 218 5 249 5 279 5 310 5 3406 6 6 37 6 66 6 97 6 127 6 158 6 188 6 219 6 250 6 280 6 311 6 3417 7 7 38 7 67 7 98 7 128 7 159 7 189 7 220 7 251 7 281 7 312 7 3428 8 8 39 8 68 8 99 8 129 8 160 8 190 8 221 8 252 8 282 8 313 8 3439 9 9 40 9 69 9 100 9 130 9 161 9 191 9 222 9 253 9 283 9 314 9 344

10 10 10 41 10 70 10 101 10 131 10 162 10 192 10 223 10 254 10 284 10 315 10 34511 11 11 42 11 71 11 102 11 132 11 163 11 193 11 224 11 255 11 285 11 316 11 34612 12 12 43 12 72 12 103 12 133 12 164 12 194 12 225 12 256 12 286 12 317 12 34713 13 13 44 13 73 13 104 13 134 13 165 13 195 13 226 13 257 13 287 13 318 13 34814 14 14 45 14 74 14 105 14 135 14 166 14 196 14 227 14 258 14 288 14 319 14 34915 15 15 46 15 75 15 106 15 136 15 167 15 197 15 228 15 259 15 289 15 320 15 35016 16 16 47 16 76 16 107 16 137 16 168 16 198 16 229 16 260 16 290 16 321 16 35117 17 17 48 17 77 17 108 17 138 17 169 17 199 17 230 17 261 17 291 17 322 17 35218 18 18 49 18 78 18 109 18 139 18 170 18 200 18 231 18 262 18 292 18 323 18 35319 19 19 50 19 79 19 110 19 140 19 171 19 201 19 232 19 263 19 293 19 324 19 35420 20 20 51 20 80 20 111 20 141 20 172 20 202 20 233 20 264 20 294 20 325 20 35521 21 21 52 21 81 21 112 21 142 21 173 21 203 21 234 21 265 21 295 21 326 21 35622 22 22 53 22 82 22 113 22 143 22 174 22 204 22 235 22 266 22 296 22 327 22 35723 23 23 54 23 83 23 114 23 144 23 175 23 205 23 236 23 267 23 297 23 328 23 35824 24 24 55 24 84 24 115 24 145 24 176 24 206 24 237 24 268 24 298 24 329 24 35925 25 25 56 25 85 25 116 25 146 25 177 25 207 25 238 25 269 25 299 25 330 25 36026 26 26 57 26 86 26 117 26 147 26 178 26 208 26 239 26 270 26 300 26 331 26 36127 27 27 58 27 87 27 118 27 148 27 179 27 209 27 240 27 271 27 301 27 332 27 36228 28 28 59 28 88 28 119 28 149 28 180 28 210 28 241 28 272 28 302 28 333 28 36329 29 29 60 29 89 29 120 29 150 29 181 29 211 29 242 29 273 29 303 29 334 29 36430 30 30 90 30 121 30 151 30 182 30 212 30 243 30 274 30 304 30 335 30 36531 31 31 91 31 152 31 213 31 244 31 305 31 366

Tabla días del año

ENE D/A FEB D/A MAR D/A ABR D/A MAY D/A JUN D/A JUL D/A AGO D/A SET D/A OCT D/A NOV D/A DIC D/A1 1 1 32 1 60 1 91 1 121 1 152 1 182 1 213 1 244 1 274 1 305 1 3352 2 2 33 2 61 2 92 2 122 2 153 2 183 2 214 2 245 2 275 2 306 2 3363 3 3 34 3 62 3 93 3 123 3 154 3 184 3 215 3 246 3 276 3 307 3 3374 4 4 35 4 63 4 94 4 124 4 155 4 185 4 216 4 247 4 277 4 308 4 3385 5 5 36 5 64 5 95 5 125 5 156 5 186 5 217 5 248 5 278 5 309 5 3396 6 6 37 6 65 6 96 6 126 6 157 6 187 6 218 6 249 6 279 6 310 6 3407 7 7 38 7 66 7 97 7 127 7 158 7 188 7 219 7 250 7 280 7 311 7 3418 8 8 39 8 67 8 98 8 128 8 159 8 189 8 220 8 251 8 281 8 312 8 3429 9 9 40 9 68 9 99 9 129 9 160 9 190 9 221 9 252 9 282 9 313 9 343

10 10 10 41 10 69 10 100 10 130 10 161 10 191 10 222 10 253 10 283 10 314 10 34411 11 11 42 11 70 11 101 11 131 11 162 11 192 11 223 11 254 11 284 11 315 11 34512 12 12 43 12 71 12 102 12 132 12 163 12 193 12 224 12 255 12 285 12 316 12 34613 13 13 44 13 72 13 103 13 133 13 164 13 194 13 225 13 256 13 286 13 317 13 34714 14 14 45 14 73 14 104 14 134 14 165 14 195 14 226 14 257 14 287 14 318 14 34815 15 15 46 15 74 15 105 15 135 15 166 15 196 15 227 15 258 15 288 15 319 15 34916 16 16 47 16 75 16 106 16 136 16 167 16 197 16 228 16 259 16 289 16 320 16 35017 17 17 48 17 76 17 107 17 137 17 168 17 198 17 229 17 260 17 290 17 321 17 35118 18 18 49 18 77 18 108 18 138 18 169 18 199 18 230 18 261 18 291 18 322 18 35219 19 19 50 19 78 19 109 19 139 19 170 19 200 19 231 19 262 19 292 19 323 19 35320 20 20 51 20 79 20 110 20 140 20 171 20 201 20 232 20 263 20 293 20 324 20 35421 21 21 52 21 80 21 111 21 141 21 172 21 202 21 233 21 264 21 294 21 325 21 35522 22 22 53 22 81 22 112 22 142 22 173 22 203 22 234 22 265 22 295 22 326 22 35623 23 23 54 23 82 23 113 23 143 23 174 23 204 23 235 23 266 23 296 23 327 23 35724 24 24 55 24 83 24 114 24 144 24 175 24 205 24 236 24 267 24 297 24 328 24 35825 25 25 56 25 84 25 115 25 145 25 176 25 206 25 237 25 268 25 298 25 329 25 35926 26 26 57 26 85 26 116 26 146 26 177 26 207 26 238 26 269 26 299 26 330 26 36027 27 27 58 27 86 27 117 27 147 27 178 27 208 27 239 27 270 27 300 27 331 27 36128 28 28 59 28 87 28 118 28 148 28 179 28 209 28 240 28 271 28 301 28 332 28 36229 29 29 88 29 119 29 149 29 180 29 210 29 241 29 272 29 302 29 333 29 36330 30 30 89 30 120 30 150 30 181 30 211 30 242 30 273 30 303 30 334 30 36431 31 31 90 31 151 31 212 31 243 31 304 31 365

22

Interés simpleTiempo exacto y aproximado

Ejemplo 01:Hallar el tiempo exacto y aproximado entre el 5 de marzo y el 28 de setiembre del año en curso.

Año normal Año bisiesto28 setiembre 271 días 272 días5 marzo (64) días (65) díasTiempo exacto 207 días 207 días

1. Uso de la tabla

23

2. Sin usar la tabla:

marzo (31- 5) = 26 días

abril = 30 días

mayo = 31 días

junio = 30 días

julio = 31 días

agosto = 31 días

setiembre = 28 días

tiempo exacto 207 días


24

3. método aproximado:

6 meses x 30 días 180 días

5 al 28 setiembre 23 días

tiempo aproximado 203 días


Año Mes Día Fecha destino X 09 28(-) Fecha inicial X 03 05tiempo aprox. 0 06 23


Ejemplo 02:Hallar el tiempo exacto y aproximado entre el 28 de junio de X y el 28 de abril de X+1.

Año n. Año b.31/12/X 365 36628/06/X (179) (180)Al 31/12/X 186 18628/04/X+1 118 118Tiempo exacto 304 304

Fecha Año Mes DíaDestino X+1 04 28(-) Inicial X 06 28Tiempo aprox. 01 -02 0

(12-2) 10 meses * 30 = 300 días

Si el tiempo esta expresado en meses, la fecha de vencimiento o de pago, se halla utilizando la tabla anteriorEjemplo 03:Cuál es la fecha de vencimiento, si el 11 de agosto se recibe un préstamo por S/. 15 360,00 y se debe cancelar dentro de 45 días.

11 agosto 223 díasPlazo 45 díasTotal días del año 268 díasLocalizar 268 días en la tabla fecha de vcto: 25 setiembre


Ejemplo 04:

Cuál es la fecha de vencimiento, si el 21 de octubre del año “X” se recibe un préstamo por S/. 12 000,00 y se debe cancelar dentro de 90 días.

Interés simple estableciendo fecha de vencimiento

Año normal Año bisiesto31 diciembre 365 días 366 días21 octubre (294) días (295) díasTiempo al 31/12/X 71 días 71 díasFalta 90 -71 19 días 19 díasVencimiento 19/01/X+1 19/01/X+1

Interés simple : ecuaciones de valor

Se trata de reemplazar un conjunto de obligaciones de pagos por otro «equivalente» en otro momento. Surgen cuando las condiciones iniciales de tasas y/o tiempos no pueden ser cumplidas teniéndose que negociar nuevas alternativas de pago, operación que recibe el nombre de refinanciación de deudas

Los valores de la situación inicial son llevados a un mismo punto en el tiempo (fecha focal) y son igualados a los valores a la nueva situación de pago en ese momento del tiempo. Permite despejar el valor de las incógnitas (tiempo o monto por pagar).

Ejemplo

Ud. tiene dos obligaciones en la siguientes condiciones.a) 2000 al 2% mensual para ser pagado dentro de 30 días.b) 3000 al 3% mensual para ser pagado dentro de 120 días

Al ver la imposibilidad de cumplir con la primera obligación, decide proponerle al acreedor pagarle las dos deudas a los 30 días del vencimiento de la primera deuda.

El acreedor acepta efectuar la operación al 2.5% de interés mensual.

¿Cuánto es el importe de la nueva obligación si la fecha focal es el de pago?

2,040 3,360

Solución

0 2 3 41

j = 2.5% mensual

2040 (1 + 0.025) + 3360/(1+0.025*2) = X

fecha focal

Importe a pagar en la ff = 5 291

Aplicación combinada de fórmulas de valor

futuro y valor presente

X S Deudas = S Pagos (en la ff 2)

2091 + 3200 = X

Ejercicios… 1) Hallar el interés generado por un capital S/.10 000.00

depositado al 1.5% de interés trimestral durante tres años.2) ¿Cuál es el capital, impuesto al 3% trimestral durante 10

meses, produce un monto de S/.13 200.00?3) ¿Cuál es el capital que impuesto al 4% anual durante un año,

dos meses y 5 días ha producido un interés de S/.3 725.00?4) ¿A qué tasa de interés anual ha sido colocado S/.5 000.00 que

se ha convertido en S/.5 725.00 al cabo de tres años?5) ¿Qué tiempo fue depositado un capital de S/.17 500.00

que al finalizar el periodo se convirtió en S/.19 000.00 a una tasa de 4.285% anual?

• ¿Qué es interés simple?• ¿Cuáles son las fórmulas para

hallar las distintas variables?• ¿Cuál es la fórmula en caso de

que la tasa sea variable en el tiempo?

• ¿Cómo se halla el tiempo aproximado y exacto?

• ¿Qué son las ecuaciones de valor a interés simple?

6. ¿Cuál es la tasa de interés a la que se ha contratado una operación financiera de S/.10 000.00 que ha producido un interés de S/.825.00 en 18 meses?

7. Cuál es el interés simple y el monto total, si se recibe un préstamo por S/. 1000,00 a una tasa nominal del 18%, pagaderos en dos años.

8. Gladys entrega S/.“Y” a Tino para ser devuelto al cabo de 2.5 años, a Y/50 de intereses semestral. Si el interés total es 253:

Capital (C) = Prestamista: Tiempo (t) = ……………………………. Tasa (j) = Interés (I) = Prestatario: Cuota (R) = Monto (M) = …………………………….

Tarea…

… Tarea … 9. ¿Cuál fue nuestra inversión inicial, si hemos obtenido beneficios

de S/. 500, después de 8 meses, a interés simple y con el 24% de tasa anual?

10. ¿Cuánto es el monto que retiraríamos dentro de 4 años, sí hoy invertimos S/.5,000 al 7% para el primer año con incrementos del 1% para los próximos tres años.

11. Calcular el interés a tiempo exacto y aproximado de un préstamo de S/. 6 000 por un año, tasa de interés 15% por año exacto.

12. En la fecha otorgamos un préstamo por S/. 5,000 para ser cobrado después de 3 años a S/. 7,880. Deseamos saber: a) El interés y b) La tasa de interés periódica y global del préstamo.

… Tarea … 13. ¿Ud. Prestamista cuanto invirtió si cobró S/.8 500, después de

18 meses y 15 días al 24% de tasa anual?14. ¿Cuánto es el monto que retiraríamos dentro de 31 meses, sí

hoy invertimos S/.5,000 al 5% para el primer semestre con incrementos del 0.5% en cada sucesivo semestre.

15. Calcular el interés a tiempo exacto y aproximado de un préstamo de S/. 6 000 por un año, si la tasa de interés es 15% por año comercial.

16. Halle el tiempo en años, si un capital de S/.20 000.00 una vez transcurrido el periodo se convirtió en S/.21 900.00 a una tasa de 2.375% mensual.

… Tarea … 17. ¿Cuál es la tasa de interés anual, si un comerciante ofrece un televisor

3D de 42” a S/.10 000.00 al contado y al crédito 40% de inicial y una cuota de S/.6 900.00 dentro de 18 meses?

18. ¿Cuánto es el monto que retiraríamos el 31 de diciembre, sí hoy invertimos S/.15,000.00 al 5% para el primer semestre y un plus de 1% en cada sucesivo semestre que permanezca.

19. Calcular el interés a tiempo exacto y aproximado de un préstamo de S/. 45 000 otorgado hoy, pagadero dentro de cinco meses, a la tasa de interés de 2% por mes comercial, sobre el capital inicial.

20. Halle el tiempo en semestres, si un capital de S/.30 000.00 una vez transcurrido el periodo se convirtió en S/.36 000.00 a una tasa de 2% mensual.

… Tarea … 21. ¿Cuál es la tasa de interés mensual, si un comerciante ofrece un

automóvil a S/.50 000.00 al contado y al crédito 20% de inicial y una cuota de S/.45 000.00 en 60 días?

22. ¿Cuánto es el monto que retiraríamos el 13 de diciembre, sí hoy invertimos S/.15,000.00 al 4% para el primer semestre y un plus de 2% en cada sucesivo semestre que permanezca.

23. Calcular el interés a tiempo exacto y aproximado de un préstamo de S/. 95 000 otorgado hoy, pagadero en dos cuotas bimensuales iguales, a la tasa de interés de 2% por mes comercial, sobre el capital inicial.

24. Halle el tiempo, si un capital de S/.60 000.00 una vez transcurrido el periodo se convirtió en S/.66 666.00 a una tasa de 2.5% mensual.

… Tarea … 25. Ud. Adeuda S/.3500 pagado dentro de 30 días y 5000 pagadero

dentro de 120 días. Decide proponerle al acreedor pagarle las dos deudas dentro de 60 días. El acreedor acepta, con la condición de que 1ra. deuda genera 2.5% de interés mensual y la 2da. deuda el 2% de interés mensual, y una penalidad por pago anticipado de 2%. ¿Cuánto es el importe de la nueva obligación?

26. Halle el monto que retiraríamos el 31 de diciembre, sí el 01/07 invertimos S/.15,000.00 al 1% mensual para los dos primeros meses y un plus de 0.5% en cada dos meses sucesivos.

Interés compuesto

Valiente P. Ramírez HuertaDocente

•¿Qué es interés compuesto?•¿Cuáles son las fórmulas para hallar las distintas variables?

•¿Cuál es la fórmula en caso de que la tasa sea variable en el tiempo?

•¿Qué son las ecuaciones de valor a interés compuesto?

Interés compuestoEs el interés ganado por un capital “C” en un plazo de “n” períodos considerando que los intereses por cada período se añaden automáticamente al capital de tal forma que también ganan intereses en el período siguiente.

C1

C2

Cn

…1 2 n

EjemploSi un capital de S/.10 000.00 se invierte al 5%

por periodo, durante diez periodos

Periodo Capital Interés Monto1 10,000.00 500.00 10,500.002 10,000.00 500.00 11,000.003 10,000.00 500.00 11,500.004 10,000.00 500.00 12,000.005 10,000.00 500.00 12,500.006 10,000.00 500.00 13,000.007 10,000.00 500.00 13,500.008 10,000.00 500.00 14,000.009 10,000.00 500.00 14,500.00

10 10,000.00 500.00 15,000.00Total 5,000.00

Periodo Capital Interés Monto1 10,000.00 500.00 10,500.002 10,500.00 525.00 11,025.003 11,025.00 551.25 11,576.254 11,576.25 578.81 12,155.065 12,155.06 607.75 12,762.826 12,762.82 638.14 13,400.967 13,400.96 670.05 14,071.008 14,071.00 703.55 14,774.559 14,774.55 738.73 15,513.28

10 15,513.28 775.66 16,288.95Total 6,288.95

Interés compuestoInterés simple

Interés compuestoFórmulas

I = M - C ... (1)

... (2)

... (3)

M = C + I

C = M - IComo se puede observar los elementos de despejan


Si asumimos varios períodos para hallar el interés, tendremos la siguiente fórmula:

I = C [(1 + i )n -1] ... (4)

I = Intereses generados por unidad de tiempo.C = Capital i = Tasa de interés por cada periodon = número de periodos de capitalización


... (5)M = C(1 + i )n

Donde:• M = Monto a interés compuesto (valor futuro).• C = Capital (valor presente).• n = Plazo en número de años.• i = Tasa de interés por período, % por año.

Mientras que para calcular el monto (valor futuro) se hallará con la siguiente fórmula:


C =... (6)

De la ecuación 5 despejamos el capital “C” (valor presente)


Tomando logaritmos:

(7)…n =

De la ecuación 5 despejamos el número de periodos de capitalización “n” o llamado simplemente tiempo

(1 + i)n = nLog (1+i) = Log( )

nLog (1 + i) = LogM - LogC


i x 100 = %

… (8)

De la ecuación 5 despejamos la tasa de interés “i” por cada periodo de capitalización

(1 + i)n =

Tomando logaritmos:nLog (1+i) = Log( )

nLog (1 + i) = LogM - LogCLog (1 + i) =

i = Antilog(

i = - 1

Interés compuesto fórmulas

Monto cuando la tasa es variable

M = C((1 + i1 )n1(1 + i2 )n2 (1 + i3 )n3 … (1 + nn) n3)

aplicación de interés compuesto (a)

¿Cuánto se recibirá al cabo de dos años si se deposita la cantidad de US$ 1,000 en una cuenta de ahorro que paga el 9% anual?

• Datos:• C = 1,000• n = 2• M = ?

• Solución:M = C (1 + i) n

M = 1,000 x (1 + 0.09) 2 M = 1,188.10

Interés compuesto (b)

M = C (1 + ) t.mElementos• M = Monto a interés compuesto (Valor Futuro).• C = Capital (Valor Presente)• t = tiempo total que permanece el capital proporcional al periodo de

“j”• m = Número de períodos de capitalización contenidos en “j”• j = Tasa de interés nominal periodo mayor

Dada una tasa nominal “j” en un periodo mayor al periodo de capitalización se divide entre el número de dichos periodos contenidas en ella “m”. Mientras que el exponente “t” se multiplica por “m”

𝒊= 𝒋𝒎

𝒏=𝒕𝒎

Aplicación de interés compuesto(b)

¿Cuánto se recibirá al cabo de dos años si se deposita la cantidad

de US $ 1,000 en una cuenta de ahorro que paga el 9% anual

capitalizable mensualmente?

• Datos:• C = 1,000• t = 2• m = 12• M = ?

• Solución:M = C(1 + j/m) t x m

M = 1,000 x (1 + (0.09/12)) 2 x 12

M = 1,196.41

Interés compuesto (c)

M = C (1 + jm) t/m

Elementos• M = Monto a interés compuesto (Valor Futuro).• C = Capital (Valor Presente)• t = tiempo total que permanece el capital proporcional al periodo de “j”• m = Número de períodos “t” en el periodo de capitalización• j = Tasa de interés nominal periodo menor

Dada una tasa nominal “j” en un periodo menor al periodo de capitalización se multiplica por el número de dichos periodos contenidas en “m”. Mientras que el exponente “t” se divide entre “m”

jm

𝒏=𝒕 /𝒎

Aplicación de interés compuesto(c)

¿Cuánto se recibirá al cabo de dos años si se deposita la cantidad

de US $ 1,000 en una cuenta de ahorro que paga el 1% mensual

capitalizable trimestralmente?

• Datos:• C = 1,000• t = 24• m = 3• M = ?

• Solución:

M = C(1 + j*m) t/m

M = 1,000 x (1 + (0.01*3)) 24/3

M = 1,266.77

Interés compuesto tasa variable (d)

¿Cuánto es el monto que retiraríamos el 31 de diciembre, sí el 01/01 invertimos S/.15,000.00 al 2% efectivo bimestral para los dos primeros bimestres y un plus de 1% en cada dos bimestres sucesivos.

Datos:C = 15,000n = 1 año = 6 bimestrei = 2% bimestre 1 y 2i = 3% bimestre 3 y 4i = 4% bimestre 5 y 6

Solución:M = 15 000 ((1+ 0.02)2 (1+0.03)2 (1+0.04)2)M = 15 000 ((1.0404 )(1.0609)(1.0816))M = 15 000 (1.193827205376)M = 17 907.41

I = 15,000 * 0.193827205376 = 2 907.41

M = C((1 + i1 )n1(1 + i2 )n2 (1 + i3 )n3 … (1 + nn) n3)

Interés compuesto: ecuaciones de valor

• Se trata de reemplazar un conjunto de obligaciones de pagos por otro equivalente en otro momento, debido a que las condiciones iniciales de tasas y/o tiempos no pueden ser cumplidas y por lo tanto negociar nuevas alternativas de pago.

• Los valores de la situación inicial son llevados a un mismo punto en el tiempo (fecha focal) y son igualados a los valores a la nueva situación de pago.

Ejemplo ecuaciones de valor

Ud. tiene dos obligaciones en la siguientes condiciones.a) 2000 al 2% efectivo mensual para ser pagado dentro de 30 días.b) 3000 al 3% efectivo mensual para ser pagado dentro de 120 días

Al ver la imposibilidad de cumplir con la primera obligación, decide proponerle al acreedor pagarle las dos deudas a los 30 días del vencimiento de la primera deuda.

El acreedor acepta efectuar la operación al 2.5% efectivo mensual de interés.

¿Cuánto es el importe de la nueva obligación si la fecha focal es el de pago? ¿ y si la fecha focal es el vencimiento de deuda 1?

2,040 3,376.53

Solución

0 2 3 41

i = 2.5% mensual

2040 (1.025)+ 3376.53/(1+0.025)2 = X

fecha focal

Importe a pagar en la ff = 5 304.83




(2091 + 3213.83) = X

2,040 3,376.53

Solución si la ff es 1

0 2 3 41

i = 2.5% mensual

2040 + 3376.53/(1+0.025)3 = X/(1.025)

ff

Importe a pagar en 2 = 5 304.83




2040 + 3135.44 = X/1.025

Ejemplo ecuaciones de valor

Flor Dennís tiene dos obligaciones en la siguientes condiciones.a) 2500 para ser pagado dentro de 30 días.b) 3500 pagado dentro de 120 días

Al ver la imposibilidad de cumplir con la primera obligación, decide proponerle al acreedor pagarle S/.2000 al vencimiento de la primera deuda y cancelarle en 60 días.

El acreedor acepta efectuar la operación al 2% efectivo mensual de interés.

¿Cuánto es el importe para cancelar la deuda? Considere como fecha focal hoy.

2 500 3 500


0 2 3 41

i = 2% mensual

2500 /(1.02) + 3500/(1.02)4 = 2000/1.02 + X/(1.02)2

ff




X S Deudas = S Pagos (en la ff)

2450.98 + 3233.46 = 1 960.78 + X/1.0404

2 000

2 500 3 500


0 2 3 41

i = 2% mensual

2500 (1.02)3 + 3500 = 2000(1.02)3 + X(1.02)2

ff




X S Deudas = S Pagos (en la ff)

2653.02 + 3500 = 2 122.42 + X1.0404

2 000

Ejemplo ecuaciones de valor hallar tiempo

Noemí tiene 3 obligaciones: S/.25 000, S/.30 000 y S/ 35 000 con vencimiento en 180, 360 y 540 días respectivamente.

Si desea hace un único pago 80 000. El acreedor efectúa la operación al 3% efectivo mensual de interés.

Halle la fecha en que debe hacerse el pago.

25 000 30 000 35 000


0 12 18 246

i = 3% mensual

25 000 (1.03)-6 + 30 000(1.03)-12 + 35 000(1.03)-18= 80 000(1.03)-n

ff

0.7817165 = 1.03-n

80 000

S Deudas = S Pagos (en la ff)

20 937.11 + 21 041.40 + 20 558.81 = 80 000 (1.03)-n

n

Log 0.7817165 = -n log1.03Log 0.7817165/log 1.03 = -n

-8.33 = -n

Ejercicios1) Hallar el interés generado por un capital S/.10 000 depositado al 6% de interés

anual convertible trimestral durante tres años.2) ¿Cuál es el capital, impuesto al 3% efectivo trimestral durante 10 meses, produce

un monto de S/.13 200?3) ¿cuál es el capital que impuesto al 4% efectivo anual durante un año, dos meses y

5 días ha producido un interés de S/.3 725?4) ¿A qué tasa de interés capitalizable anualmente ha sido impuesto un capital de

S/.5 000.00 que se ha convertido en S/.5 725 al cabo de tres años?5) ¿Cuál es la tasa de interés convertible anualmente a la que se ha contratado una

operación financiera de S/.10 000 que ha producido un interés de S/.825 en 18 meses?

6) ¿Qué tiempo fue depositado un capital de S/.17 500 que al finalizar el periodo se convirtió en S/.19 000 a una tasa de 4.285% capitalizable anualmente?

•¿Qué es interés compuesto?•¿Cuáles son las fórmulas para

hallar las distintas variables?•¿Cuál es la fórmula en caso de

que la tasa sea variable en el tiempo?

•¿Qué son las ecuaciones de valor a interés compuesto?

7. ¿Qué tiempo se depositó S/.27 500 que al finalizar el periodo se convirtió en S/.39 000.00 a una tasa de 5% efectivo anual?

8. Cuál es el interés compuesto y el monto, si se recibe un préstamo por S/. 1000,00 a una tasa nominal del 18%, capitalizable semestralmente, pagaderos en dos años.

9. Tinito entrega S/. “Z” a Silvia para ser devuelto al cabo de 2.5años, al 12% de intereses anual capitalizable semestralmente. Si el interés total es 253:

Capital (C) = Prestamista: Tiempo (t) = ……………………………. Tasa (i) = Interés (I) = Prestatario: Cuota (R) = Monto (M) = …………………………….

Tarea…

… Tarea … 10.¿Cuál fue nuestra inversión inicial, si hemos obtenido beneficios de S/.

500, después de 8 meses, a interés compuesto y con el 24% de tasa anual, capitalizable mensualmente?

11.¿Cuánto es el monto que retiraríamos dentro de 4 años, sí hoy invertimos S/.5,000 al 7% para el primer año con incrementos del 1% para los próximos tres años, capitalizable anualmente.

12.Calcular el interés a tiempo exacto y aproximado de un préstamo de S/. 6 000 por un año, tasa de interés 15% por año exacto.

13.En la fecha otorgamos un préstamo por S/. 5,000 para ser cobrado después de 3 años a S/. 7,880. Deseamos saber: a) El interés y b) La tasa de interés periódica y global del préstamo, si se capitaliza mensualmente.

… Tarea … 14. ¿Ud. Prestamista cuanto invirtió si cobró S/.8 500, después de 18

meses y 15 días al 24% efectivo anual?15. ¿Cuánto es el monto que retiraríamos dentro de 31 meses, sí hoy

invertimos S/.5,000 al 5% para el primer semestre con incrementos del 0.5% en cada sucesivo semestre, capitalizable semestralmente.

16. Calcular el interés a tiempo exacto y aproximado de un préstamo de S/. 6 000 por un año, si la tasa de interés es 15% por año comercial.

17. Halle el tiempo en años, si un capital de S/.20 000.00 una vez transcurrido el periodo se convirtió en S/.21 900.00 a una tasa efectiva de 2.375% mensual.

… Tarea … 18.¿Cuál es la tasa de interés efectivo anual, si un comerciante ofrece un

televisor 3D de 42” a S/.10 000 al contado y al crédito 40% de inicial y una cuota de S/.6 900 dentro de 18 meses?

19.¿Cuánto es el monto que retiraríamos el 31 de diciembre, sí hoy invertimos S/.15,000 al 5% para el primer semestre y un plus de 1% en cada sucesivo semestre que permanezca.

20.Calcular el interés a tiempo exacto y aproximado de un préstamo de S/. 45 000 otorgado hoy, pagadero en cinco cuotas mensuales iguales, a la tasa de interés de 2% efectivo por mes comercial, sobre el capital inicial.

21.Halle el tiempo en semestres, si un capital de S/.30 000 una vez transcurrido el periodo se convirtió en S/.36 000 a una tasa de 2% mensual, capitalizable semestralmente.

… Tarea … 22.¿Cuál es la tasa de interés mensual, si un comerciante ofrece un

automóvil a S/.50 000 al contado y al crédito 20% de inicial y dos cuotas de S/.22 500 en 30 y 60 días respectivamente.?

23.¿Cuánto es el monto que retiraríamos el 13 de diciembre, sí hoy invertimos S/.15,000 al 4% efectivo para el primer semestre y un plus de 2% en cada sucesivo semestre que permanezca.

24.Calcular el interés a tiempo exacto y aproximado de un préstamo de S/. 95 000 otorgado hoy, pagadero en dos cuotas bimensuales iguales, a la tasa de interés de 2% efectivo por mes comercial, sobre el capital inicial.

25.Halle el tiempo, si un capital de S/.60 000 una vez transcurrido el periodo se convirtió en S/.66 666 a una tasa de 2.5% mensual. Capitalizable trimestralmente.

… Tarea … 26. Ud. Adeuda S/.3500 pagado dentro de 30 días y 5000 pagadero

dentro de 120 días. Decide proponerle al acreedor pagarle las dos deudas dentro de 60 días. El acreedor acepta, con la condición de que 1ra. deuda genera 2.5% de interés efectivo mensual y la 2da. deuda el 2% de descuento efectivo mensual, y una penalidad por pago anticipado de 2%. ¿Cuánto es el importe de la nueva obligación?

27. Halle el monto que retiraríamos el 31 de diciembre, sí el 01/07 invertimos S/.15,000.00 al 1% efectivo mensual para los dos primeros meses y un plus de 0.5% efectivo mensual en cada dos meses sucesivos.

¡Gracias!

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