158 - Smith

Guillaume VILLEMAUD - Cours de Propagation et Lignes

1- Smith

II.8. L’abaque de Smith

Outil de calcul graphique permettant la représentation des grandeurs complexes

vues sur une ligne de transmission


2- Smith

II.8. L’abaque de SmithII.8.a. Rappels

Im

Re

T

O

rvrv

1

T’riri

Ro

rzZcZr

rirvrirv

ririrvrv

OTOT

'

Impédance réduite


3- Smith


10 RIm

O1 Re

Im

O1 Re

Onde progressiveOP

Tout est concentré sur 1

Onde stationnaireOS

Cercle maximum

Onde pseudo stationnaireOPS

Valeurs intermédiaires


4- Smith


r

rj

r

r

ii

eRoVV

Rγy2γy2

r

rx eeR

Rvv

)2(2R

yjy

x eeRo

RxRxZcZx

11

RRZcZr

11

Impédance réduite :RxRxzx

11

RRzr

11


5- Smith


11

x

xx zzR

Sans pertes :)2(

Ryj

x eRo

jeRoxzxz

1

1

Représentation possible en polaire du coefficient de réflexion en un

point de la ligne

II.8.b. Construction en impédance


6- Smith


Ox

MjeRo

xzxz

1

1

Ro

Représentation polaire


7- Smith


O

M

jqpjeRo

Représentation cartésienne

Im

Re

q

p


8- Smith


jqpjeRo Im

O

M

Re

q

p

Ro

sin

cos

Roq

Rop

On pose l’impédance réduite sous la forme :

jurzx

jeRoxzxz

1

1 jur

jurjqp

11


9- Smith


22

2

11

1

rq

rrp

On arrive à :

Cercles de centre (r/(1+r),0) et de rayon 1/(1+r)

Cercle r=0 correspond à une impédance purement imaginaire

Cercle r=1 correspond à Zx=Zc

Cercle r=infini correspond au point de partie réelle 1


10- Smith


5

21

0,6

0,3

- 0,6

- 0,3

- 1- 2

- 5

0Axe des réels

Axe p=1

0,2 0,5 1 2

Valeur de r

Valeur de u


11- Smith


5

210,6

0,3

- 0,6

- 0,3

- 1- 2

- 5

0 0,2 0,5 1 2

II.8.c. Utilisation de l’abaqueSi on connaît l’impédance

Calcul de l’impédance réduite

Exemple : zx=0.5-j0.6

zx


12- Smith


5

210,6

0,3

- 0,6

- 0,3

- 1- 2

- 5

0 0,2 0,5 1 2

zx

Déduction du coefficient de

réflexion

Ro


13- Smith


On trouve alors :

Rx = 0.48 e-j108°

11

x

xx zzR

On peut vérifier :

Rx = -0.15 - j.0.46


14- Smith

II.8. L’abaque de SmithSi la ligne est à pertes négligeables

csteRoRx

Les impédances réduites le long de la ligne décrivent un

cercle de rayon |Ro|


15- Smith


Le déplacement autour de l’abaque est gradué en

fraction de longueur d’onde

Tour complet : /2

Demi-tour : /4


16- Smith

II.8. L’abaque de SmithII.8.d. Exemple d’exploitation de l’abaque

Zi

ei

ZrRZc=50

Ligne 50 fermée sur une impédance Zr=25 +j75


17- Smith

II.8. L’abaque de SmithCalcul de l ’impédance réduite

(normalisation par rapport à Zc) :

zr=25/50+j.75/50zr=0.5+1.5j

r=0.5

u=1.5


18- Smith

II.8. L’abaque de SmithDétermination directe du

coefficient de réflexion au niveau de la charge :

R=0.75 ej64°

r=0.5

u=1.5

Lecture de

Lecture de |Ro|


19- Smith


Zi

ei

ZrRx1Zc=50

On va maintenant chercher à déterminer le coefficient de réflexion et l ’impédance ramenée en un point à /4 de la charge

Zx1 /4


20- Smith


Impédance de la chargePour déterminer le nouveau point sur l’abaque, on part du

point de la charge, et on parcourt 0.25 vers le

générateur (revient ici à prendre l’opposé par rapport

au centre)


21- Smith

II.8. L’abaque de SmithOn trouve alors directement

le nouveau coefficient de réflexion :

Rx1=0.75 e-j116°

De même on trouve la nouvelle impédance réduite :

zx1 = 0.2 - 0.6j

D’où une impédance ramenée:

Zx1 = 10 - 30j


22- Smith


Zi

ei

ZrRx2Zc=50

Si maintenant on cherche à déterminer le coefficient de réflexion et l ’impédance ramenée d’un point en revenant de

0.1vers la charge

Zx2 /4


23- Smith


Point précédent à 0.088 vers la charge

déplacement jusqu’au point à 0.188 vers la charge

Rq : on est toujours sur un cercle de rayon |Ro|

Impédance de la charge

Impédance à /4 de la charge

Déplacement de 0.1 vers la charge


24- Smith

II.8. L’abaque de SmithOn trouve alors directement

le nouveau coefficient de réflexion :

Rx2=0.75 e-j45°

De même on trouve la nouvelle impédance réduite :

zx2 = 0.9 - 2.1j

D’où une impédance ramenée:

Zx2 = 45 - 105j


25- Smith


On va détailler les autres données que l’on peut

extraire de la représentation sur l’abaque

II.8.e. Autres grandeurs


26- Smith


Zi

ei

ZrZc=50 R

Représentation des tensions et courants :

y

xvxv 2jeRo1

xRxvxvxvxv 1Tension :


27- Smith

II.8. L’abaque de SmithImpédance de la charge

rvrv

Si on connaît l’impédance de la charge, on place son point

sur l’abaque

On parcourt alors la ligne en décrivant le cercle à |R|=cste


28- Smith

II.8. L’abaque de SmithImpédance de la chargeOn peut suivre alors le long

de la ligne l’évolution de

passant par des valeurs min et max

xvxv

xvxv

maxmin

xvxv

1+|R|

1-|R|


29- Smith


On connaît l’impédance de la charge, on place son point sur l’abaque et on prend le

point diamétralement opposé

On parcourt alors la ligne en décrivant le cercle à |R|=cste

Détermination du courant

riri


30- Smith


xixi

On peut suivre alors le long de la ligne l’évolution de

passant par des valeurs min et max

xixi

1+|R|

1-|R|

xixi

v et i toujours en quadrature


31- Smith

II.8. L’abaque de SmithReprésentation des admittances :

Si on veut travailler en admittance et non plus en impédance

ZxxY1

xYZccYxY

xy .

admittance normalisée

RxRx

xy

11

On a alors


32- Smith


jeRo

jeRoxz

1

1

jeRo

jeRoxy

1

1

Si on compare :

Ajout de à

yx est le symétrique de zx par rapport au centre de l ’abaque


33- Smith


Admittance de la charge


34- Smith

II.8. L’abaque de SmithAutres grandeurs :

R.O.S. : Le rapport d’ondes stationnaires ou VSWR ou SWR

RR

i

i

11

min

max

minvmaxv

ρ

Erreur de traduction sur l’abaque en français correspondant à un abus de langage désignant

par T.O.S. (taux d’ondes stationnaires) ce qui est en réalité le R.O.S.

À l’origine, TOS=100Vr/Vi


35- Smith


ROS

ROS dB=20 log ROS

Coefficient de réflexion en dB : Return loss

valeur négative correspondant au rapport entre la puissance envoyée sur une charge et la

puissance réfléchie

RxPxPx log20log10


36- Smith

II.8. L’abaque de SmithPertes d’adaptation en dB : Reflected loss

valeur négative correspondant au rapport entre la puissance arrivant au niveau de la charge et la puissance transmise

21log10log10 RxPxPx

Coefficient de réflexion en puissance :

PxPx

Atténuation en dB : y


37- Smith

II.8. L’abaque de SmithA avoir en tête, les ordres de grandeurs :

ROS Return loss (dB)

Puissance transmise (%)

Puissance réfléchie (%)

|R|

1

1.5

2

3

0

0.2

0.33

0.5

- infini

-14

-10

-6

100

96

90

75

0

4

10

25

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