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8/16/2019 Enum Era Bili Dad
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Conjuntos infinitos, conjuntosenumerables
Gonzalo Medinagmedinaar@unal.edu.co
Universidad Nacional de Colombia
Segundo semestre de 2014
(UN) Conjuntos infinitos, conjuntos enumerables 1 / 19
mailto:gmedinaar@unal.edu.comailto:gmedinaar@unal.edu.co
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Resumen
Resultados preliminares
Conjuntos infinitos
Conjuntos enumerables
(UN) Conjuntos infinitos, conjuntos enumerables 2 / 19
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Resultados preliminares
DefiniciónSea ( A ,) un orden parcial y sea a ∈ A ; el segmento inicial de A determinado por a es el conjunto S a definido por
S a = {x ∈ A | x ≺ a }.
(UN) Conjuntos infinitos, conjuntos enumerables 3 / 19
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Resultados preliminares
DefiniciónSea ( A ,) un orden parcial y sea a ∈ A ; el segmento inicial de A determinado por a es el conjunto S a definido por
S a = {x ∈ A | x ≺ a }.
Ejemplo
Si n ∈N, entonces S n =n .
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Resultados preliminares
Teorema 1Sean ( A , A ) y (B ,B ) dos conjuntos bien ordenados; entonces, se tiene
exactamente uno de los tres casos siguientes:
1. A es isomorfo a B .
2. A es isomorfo a un segmento inicial de B .
3. B es isomorfo a un segmento inicial de A .
Demostración.
Exposición
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Resultados preliminares
Corolario 2Sea ( A , A ) un conjunto bien ordenado; entonces, todo subconjunto de A
es isomorfo a A o a un segmento inicial de A .
Demostración.Exposición
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Resultados preliminares
Teorema 3 (Teorema de la recursión)
Sean A un conjunto y c ∈ A , fijo. Sea f una función de A en A . Entonces,
existe una única función γ : N→ A tal que
1. γ(0)= c y 2. γ(n +)= f (γ(n )), para todo n ∈N.
Demostración.Exposición
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Resultados preliminares
Corolario 4Sean A , f , c y γ como en el teorema anterior. Si f es inyectiva y c ∉Ran f ,
entonces γ es inyectiva.
Demostración.Debemos ver que
γ(m )= γ(n ) implica m =n , para todos m ,n ∈N.
Procedemos por inducción sobre n :
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Resultados preliminares
Demostración (Cont.)i) Sea n = 0. Si m = 0, tenemos el resultado deseado; si m = 0, entonces
existe k ∈N tal que m = k + y así,
c = γ(0)= γ(n )= γ(m )= γ(k +)= f (γ(k ))
y esto es contradice el que c ∉Ran f . Tenemos así que m = 0=n .
ii) Supongamos cierto el resultado para n y supongamos γ(n +)= γ(m ).Necesariamente debe ser entonces m = 0 (en caso contrario tendríamosc ∈Ran f que es absurdo).
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R l d li i
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Resultados preliminares
Demostración (Cont.)
Supongamos cierto el resultado para n y supongamos γ(n +)= γ(m ).Necesariamente debe ser entonces m = 0 (en caso contrario tendríamosc ∈Ran f que es absurdo) y así, m = k +, para algún k ∈N. Tenemosentonces
γ(n +)= γ(k +) .
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R l d li i
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Resultados preliminares
Demostración (Cont.)
Supongamos cierto el resultado para n y supongamos γ(n +)= γ(m ).Necesariamente debe ser entonces m = 0 (en caso contrario tendríamosc ∈Ran f que es absurdo) y así, m = k +, para algún k ∈N. Tenemosentonces
f (γ(n ))= γ(n +)= γ(k +)= f (γ(k )).
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R lt d li i
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Resultados preliminares
Demostración (Cont.)
Supongamos cierto el resultado para n y supongamos γ(n +)= γ(m ).Necesariamente debe ser entonces m = 0 (en caso contrario tendríamosc ∈Ran f que es absurdo) y así, m = k +, para algún k ∈N. Tenemosentonces
f (γ(n ))= γ(n +)= γ(k +)= f (γ(k )).
Como f es inyectiva, tenemos γ(n )=γ(k ) y la hipótesis de inducciónimplica entonces que n = k con lo que finalmente obtenemos
n + = k + =m .
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C j t i fi it
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Conjuntos infinitos
Teorema 5Un conjunto A es infinito si y solo si A contiene un subconjunto
enumerable.Demostración.Exposición.
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Conjuntos infinitos
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Corolario 6Un conjunto A es infinito si y solo si existe una inyección de N en A .
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Conjuntos infinitos
Corolario 6Un conjunto A es infinito si y solo si existe una inyección de N en A .
Demostración.Inmediata.
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Conjuntos infinitos
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Corolario 7Si A y B son conjuntos tales que A ⊆B y A es infinito, entonces B es
infinito.
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Conjuntos infinitos
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Conjuntos infinitos
Corolario 7Si A y B son conjuntos tales que A ⊆B y A es infinito, entonces B es
infinito.
Demostración.Como B es infinito, existe un conjunto enumerable C tal que C ⊆B y así,C ⊆ A , con C enumerable; es decir, A es infinito.
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Conjuntos infinitos
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Conjuntos infinitos
Corolario 8Si A y B son conjuntos tales que A ⊆B y B es finito, entonces A es finito.
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Conjuntos infinitos
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Conjuntos infinitos
Corolario 8Si A y B son conjuntos tales que A ⊆B y B es finito, entonces A es finito.
Demostración.Supongamos, por reducción al absurdo, que A es infinito, existe unconjunto enumerable C tal que C ⊆ A y así, C ⊆B , con C enumerable; esdecir, B es infinito y esto es absurdo.
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Conjuntos infinitos
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C j
Corolario 9Si A es un conjunto infinito y B =, entonces A ×B y B × A son conjuntos
infinitos.
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Conjuntos infinitos
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j
Corolario 9Si A es un conjunto infinito y B =, entonces A ×B y B × A son conjuntos
infinitos.
Demostración.Existe C ⊆ A que es enumerable; tenemos entonces una biyección θ : N→C .Tomando ahora b ∈B , fijo y definiendo
λ : A → A ×B
x →λ(x )= (x ,b ), para todo x ∈ A ,
tenemos la inyección λιθ (en donde ι es la inyección (inclusión) canónica
ι : C → A )
N θ−→C
ι−→ A
λ−→ A ×B
de N en A ×B ; con esto, A ×B es infinito. Similarmente se prueba queB × A es infinito.
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Conjuntos infinitos
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Teorema 10
Un conjunto A es infinito si y solo si A es equipotente con alguno de sus subconjuntos propios.
Demostración.
⇒) Como A es infinito, existe una biyección g : N→B , en donde B ⊆ A .Definimos ahora una función δ de A en A − {g (0)} mediante
δ(x )=
x , si x ∈ A −B .
g (n +1), si x ∈B y x = g (n ).
δ así definida es una biyección (ejercicio).
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Conjuntos infinitos
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Demostración (Cont.)
⇐) Supongamos ahora que existe una biyección µ : A →B , en donde B ⊂ A .Sea c ∈ A −B , fijo; por el teorema de la recursión (ver teorema 3), existeuna (única) función γ de N en A que satisface
i) γ(0)= c yii) γ(n +)=µ(γ(n )), para todo n ∈N.
Como c ∉B =Ranµ y µ es inyectiva, el corolario 4 implica que γ esinyectiva y así A es infinito.
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Conjuntos enumerables
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Teorema 11Si A es un conjunto enumerable y B ⊆ A , entonces B es finito o enumerable.
Demostración.Si C ⊆N, el corolario 2 implica que C =∼N o C =∼ S n =n , para algún n ∈N.Sea ahora B ⊆ A , en donce A es enumerable. Existe una biyecciónν : A →N; pero ν(B )⊆N, con lo que ν(B ) es finito o enumerable y, como νes biyectiva, B =∼ ν(B ) y así, B es finito o enumerable.
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Teorema 12N=∼N
×N
.
Demostración.Exposición.
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Teorema 12N=
∼N×N
.
Demostración.Exposición.
Corolario 13Si A y B son conjuntos enumerables, entonces A ×B es enumerable.
Demostración.Como A =∼N y B =∼N, entonces
A ×B =∼N×N
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Conjuntos enumerables
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Teorema 12N=
∼N×N
.Demostración.Exposición.
Corolario 13Si A y B son conjuntos enumerables, entonces A ×B es enumerable.
Demostración.Como A =∼N y B =∼N, entonces
A ×B =∼N×N=∼N.
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Conjuntos enumerables
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Teorema 14 (Unión enumerable de conjuntos enumerables esenumerable)
Sea { A n }n ∈N una familia enumerable de conjuntos enumerables y sea
A =n ∈N
A n ;
entonces, A es un conjunto enumerable.
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