Enum Era Bili Dad

8/16/2019 Enum Era Bili Dad

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Conjuntos infinitos, conjuntosenumerables

Gonzalo [email protected]

Universidad Nacional de Colombia

Segundo semestre de 2014

(UN) Conjuntos infinitos, conjuntos enumerables 1 / 19

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Resumen

Resultados preliminares

Conjuntos infinitos

Conjuntos enumerables



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DefiniciónSea ( A ,) un orden parcial y sea a ∈ A ; el segmento inicial de A determinado por a es el conjunto S a definido por

S a = {x ∈ A | x ≺ a }.



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DefiniciónSea ( A ,) un orden parcial y sea a ∈ A ; el segmento inicial de A determinado por a es el conjunto S a definido por

S a = {x ∈ A | x ≺ a }.

Ejemplo

Si n ∈N, entonces S n =n .



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Teorema 1Sean ( A , A ) y (B ,B ) dos conjuntos bien ordenados; entonces, se tiene

exactamente uno de los tres casos siguientes:

1. A es isomorfo a B .

2. A es isomorfo a un segmento inicial de B .

3. B es isomorfo a un segmento inicial de A .

Demostración.

Exposición



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Corolario 2Sea ( A , A ) un conjunto bien ordenado; entonces, todo subconjunto de A

es isomorfo a A o a un segmento inicial de A .

Demostración.Exposición



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Teorema 3 (Teorema de la recursión)

Sean A un conjunto y c ∈ A , fijo. Sea f una función de A en A . Entonces,

existe una única función γ : N→ A tal que

1. γ(0)= c y 2. γ(n +)= f (γ(n )), para todo n ∈N.

Demostración.Exposición



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Corolario 4Sean A , f , c y γ como en el teorema anterior. Si f es inyectiva y c ∉Ran f ,

entonces γ es inyectiva.

Demostración.Debemos ver que

γ(m )= γ(n ) implica m =n , para todos m ,n ∈N.

Procedemos por inducción sobre n :



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Demostración (Cont.)i) Sea n = 0. Si m = 0, tenemos el resultado deseado; si m = 0, entonces

existe k ∈N tal que m = k + y así,

c = γ(0)= γ(n )= γ(m )= γ(k +)= f (γ(k ))

y esto es contradice el que c ∉Ran f . Tenemos así que m = 0=n .

ii) Supongamos cierto el resultado para n y supongamos γ(n +)= γ(m ).Necesariamente debe ser entonces m = 0 (en caso contrario tendríamosc ∈Ran f que es absurdo).


R l d li i


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Demostración (Cont.)

Supongamos cierto el resultado para n y supongamos γ(n +)= γ(m ).Necesariamente debe ser entonces m = 0 (en caso contrario tendríamosc ∈Ran f que es absurdo) y así, m = k +, para algún k ∈N. Tenemosentonces

γ(n +)= γ(k +) .


R l d li i


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f (γ(n ))= γ(n +)= γ(k +)= f (γ(k )).


R lt d li i


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f (γ(n ))= γ(n +)= γ(k +)= f (γ(k )).

Como f es inyectiva, tenemos γ(n )=γ(k ) y la hipótesis de inducciónimplica entonces que n = k con lo que finalmente obtenemos

n + = k + =m .


C j t i fi it


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Conjuntos infinitos

Teorema 5Un conjunto A es infinito si y solo si A contiene un subconjunto

enumerable.Demostración.Exposición.


Conjuntos infinitos


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Conjuntos infinitos

Corolario 6Un conjunto A es infinito si y solo si existe una inyección de N en A .


Conjuntos infinitos


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Conjuntos infinitos

Corolario 6Un conjunto A es infinito si y solo si existe una inyección de N en A .

Demostración.Inmediata.


Conjuntos infinitos


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Conjuntos infinitos

Corolario 7Si A y B son conjuntos tales que A ⊆B y A es infinito, entonces B es

infinito.


Conjuntos infinitos


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Conjuntos infinitos

Corolario 7Si A y B son conjuntos tales que A ⊆B y A es infinito, entonces B es

infinito.

Demostración.Como B es infinito, existe un conjunto enumerable C tal que C ⊆B y así,C ⊆ A , con C enumerable; es decir, A es infinito.


Conjuntos infinitos


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Conjuntos infinitos

Corolario 8Si A y B son conjuntos tales que A ⊆B y B es finito, entonces A es finito.


Conjuntos infinitos


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Conjuntos infinitos

Corolario 8Si A y B son conjuntos tales que A ⊆B y B es finito, entonces A es finito.

Demostración.Supongamos, por reducción al absurdo, que A es infinito, existe unconjunto enumerable C tal que C ⊆ A y así, C ⊆B , con C enumerable; esdecir, B es infinito y esto es absurdo.


Conjuntos infinitos


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C j

Corolario 9Si A es un conjunto infinito y B =, entonces A ×B y B × A son conjuntos

infinitos.


Conjuntos infinitos


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j

Corolario 9Si A es un conjunto infinito y B =, entonces A ×B y B × A son conjuntos

infinitos.

Demostración.Existe C ⊆ A que es enumerable; tenemos entonces una biyección θ : N→C .Tomando ahora b ∈B , fijo y definiendo

λ : A → A ×B

x →λ(x )= (x ,b ), para todo x ∈ A ,

tenemos la inyección λιθ (en donde ι es la inyección (inclusión) canónica

ι : C → A )

N θ−→C

ι−→ A

λ−→ A ×B

de N en A ×B ; con esto, A ×B es infinito. Similarmente se prueba queB × A es infinito.



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Conjuntos infinitos


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Teorema 10

Un conjunto A es infinito si y solo si A es equipotente con alguno de sus subconjuntos propios.

Demostración.

⇒) Como A es infinito, existe una biyección g : N→B , en donde B ⊆ A .Definimos ahora una función δ de A en A − {g (0)} mediante

δ(x )=

x , si x ∈ A −B .

g (n +1), si x ∈B y x = g (n ).

δ así definida es una biyección (ejercicio).


Conjuntos infinitos


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⇐) Supongamos ahora que existe una biyección µ : A →B , en donde B ⊂ A .Sea c ∈ A −B , fijo; por el teorema de la recursión (ver teorema 3), existeuna (única) función γ de N en A que satisface

i) γ(0)= c yii) γ(n +)=µ(γ(n )), para todo n ∈N.

Como c ∉B =Ranµ y µ es inyectiva, el corolario 4 implica que γ esinyectiva y así A es infinito.




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Teorema 11Si A es un conjunto enumerable y B ⊆ A , entonces B es finito o enumerable.

Demostración.Si C ⊆N, el corolario 2 implica que C =∼N o C =∼ S n =n , para algún n ∈N.Sea ahora B ⊆ A , en donce A es enumerable. Existe una biyecciónν : A →N; pero ν(B )⊆N, con lo que ν(B ) es finito o enumerable y, como νes biyectiva, B =∼ ν(B ) y así, B es finito o enumerable.




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Teorema 12N=∼N

×N

.

Demostración.Exposición.




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Teorema 12N=

∼N×N

.

Demostración.Exposición.

Corolario 13Si A y B son conjuntos enumerables, entonces A ×B es enumerable.

Demostración.Como A =∼N y B =∼N, entonces

A ×B =∼N×N




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Teorema 12N=

∼N×N

.Demostración.Exposición.

Corolario 13Si A y B son conjuntos enumerables, entonces A ×B es enumerable.

Demostración.Como A =∼N y B =∼N, entonces

A ×B =∼N×N=∼N.




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Teorema 14 (Unión enumerable de conjuntos enumerables esenumerable)

Sea { A n }n ∈N una familia enumerable de conjuntos enumerables y sea

A =n ∈N

A n ;

entonces, A es un conjunto enumerable.


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