Enum Era Bili Dade

Conjuntos enumeraveis e nao enumeraveis.

Rodrigo Carlos Silva de Lima ‡

Universidade Federal Fluminense - UFF-RJ

[email protected]

‡

Sumario

1 Conjuntos enumeraveis e nao enumeraveis 3

1.1 Conjuntos finitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2 Conjuntos infinitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.3 Conjuntos enumeraveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.4 Conjuntos nao enumeraveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.5 Cardinalidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

1.6 Teorema de Cantor-Schroeder-Bernstein e aplicacoes . . . . . . . . . . . . . 32

1.7 O Hotel de Hilbert -Brincando com o conceito de infinito . . . . . . . . . . 33

2

Capıtulo 1

Conjuntos enumeraveis e nao

enumeraveis

1.1 Conjuntos finitos

Definicao 1 (Conjunto finito). Um conjunto A e dito finito, quando ele e vazio ou existe

uma bijecao f : In → A para algum n. Se o conjunto e vazio dizemos que ele possui zero

elementos e no segundo caso A possui n elementos. No caso de A finito com n elementos,

podemos denotar por |A| = n ou ♯A = n, n e chamada de cardinalidade de A e a funcao

f e dita ser uma contagem dos elementos de A.

Em geral se A esta em bijecao com B, denotaremos tal fato por A ∼ B.

Propriedade 1. A relacao ∼ e de equivalencia.

Demonstracao.

1. A relacao e reflexiva, pois A esta em bijecao com A pela funcao identidade f que

associa x em x.

2. Se A esta em bijecao com B entao B esta em bijecao com A, pois basta tomar a

funcao inversa.

3

CAPITULO 1. CONJUNTOS ENUMERAVEIS E NAO ENUMERAVEIS 4

3. Se A esta em bijecao com B e B esta com bijecao com C, entao A esta em bijecao

com C. Existe funcao bijetora f : A → B e funcao bijetora g : B → C, entao a

funcao g ◦ f e uma bijecao entre A e C.

Propriedade 2. Se Ak ∼ Bk entao

∞∏k=1

Ak ∼∞∏k=1

Bk.

Demonstracao. Consideramos a bijecao fk : Ak → Bk e definimos a funcao f :∞∏k=1

Ak →∞∏k=1

Bk com f((xk)) = (fk(xk)). A funcao e injetora, pois dados dois elementos

(xk) = (yk) supondo que f(xk) = f(yk) vale (fk(xk)) = (fk(yk)) o que implica fk(xk) =

fk(yk) ⇒ xk = yk o que e absurdo, entao a funcao e injetora. Da mesma forma ela e

sobrejetora, pois um elemento (yk) de∞∏k=1

Bk, existe xk tal que fk(xk) = yk, daı f(xk) =

(fk(xk)) = (yk) e a funcao e sobrejetora.

Corolario 1. Existe bijecao entre In e In, por exemplo f(x) = x. Logo In possui n

elementos.

Propriedade 3. Seja f : A→ B uma bijecao. Se um dos conjuntos e finito entao o outro

tambem e finito.

Demonstracao. Sem perda de generalidade, se A e finito, existe uma bijecao de

g : In → A (para algum n natural), daı a composicao f ◦ g : In → B e uma bijecao entre

In e B, daı B e enumeravel e possui n elementos.

Propriedade 4. Sejam a ∈ A e b ∈ B. Se existe uma bijecao f : A → B entao existe

uma bijecao g : A→ B tal que g(a) = b.

Demonstracao. Vale que f(a) = y para algum y em B, como f e sobrejetiva, existe

x em A tal que f(x) = b, definimos uma funcao g : A→ B tal que g(a) = b , g(x) = y e

g(t) = f(t) para todo t = x, a, essa funcao e uma bijecao.

Propriedade 5. Se A esta contido propriamente em In entao nao existe bijecao de A em

In. Nao existe bijecao de um conjunto finito com um conjunto proprio.


Demonstracao. Seja D = {n ∈ N | ∃A ( In, f : A → In seja bijecao}, vamos

mostrar que tal conjunto e vazio por inducao sobre n. Tal conjunto nao possui o elemento

1, pois nao existe bijecao do vazio em I1 = {1}, que e o unico subconjunto proprio nesse

caso. Suponha que n nao pertenca a esse conjunto vamos mostrar que n+1 = n0 tambem

nao pertence. Suponha por absurdo que n0 ∈ D logo existe bijecao entre A e In0 . Se

n0 ∈ A entao existe bijecao g : A→ In0 tal que g(n0) = n0 logo a restricao g|A\{n0} → In0−1

e uma bijecao o que contraria o fato de n0 − 1 /∈ D. Se n0 /∈ A entao existe b ∈ A tal

que f(b) = n0 daı a restricao f |A\{b} → In0−1 e uma bijecao, valendo A ⊂ In0−1 daı

A \ {b} ⊂ In0−1, o que novamente contraria o fato de n0 − 1 /∈ D .

Corolario 2. Se A ⊂ In e existe bijecao entre A e In entao A = In pois A nao pode ser

subconjunto proprio de In.

Propriedade 6. Seja A finito. Existe uma bijecao g : In → A para algum n, pois A e

finito, a funcao f : A→ A e injetiva ou sobrejetiva ⇔ g−1 ◦ f ◦ g : In → In e injetiva ou

sobrejetiva, respectivamente.

Demonstracao.

⇒). Se f e injetiva ou sobrejetiva entao g−1 ◦ f ◦ g : In → In e injetiva ou sobrejetiva,

por ser composicao de funcoes com essas propriedades.

⇐). Seja g−1 ◦ f ◦ g : In → In sobrejetiva vamos mostrar que f tambem e sobrejetiva.

Dado y ∈ A vamos mostrar que existe x ∈ A tal que f(x) = y. Como g : In → A e

sobrejetiva entao existe x1 ∈ In tal que g(x1) = y e pelo fato de g−1 ◦ f ◦ g ser sobrejetiva

entao existe x2 ∈ In tal que g−1(f(g(x2))) = x1 = g−1(y) como g−1 e injetiva segue que

f(g(x2)) = y logo f e sobrejetiva.

Se g−1 ◦ f ◦ g e injetiva entao f e injetiva. Sejam x, y quaisquer em A, existem

x1, x2 ∈ In tais que g(x1) = x, g(x2) = y. Vamos mostrar que se f(x) = f(y) entao x = y.

Se f(x) = f(y) entao f(g(x1)) = f(g(x2)) e g−1(f(g(x1))) = g−1(f(g(x2))) com

g−1 ◦ f ◦ g segue que x1 = x2 que implica g(x1) = g(x2), isto e, x = y.

Propriedade 7. Seja A um conjunto finito. f : A→ A e injetiva ⇔ e sobrejetiva.

Demonstracao.

⇒).


Consideramos o caso f : In → In, se f for injetiva entao f : In → f(In) e uma bijecao

com f(In) ⊂ In. fn nao pode ser parte propria de In pois se nao f−1(In) → In seria

bijecao de um conjunto com sua parte propria, logo f(In) = In e f : In → In e bijecao.

⇐). Se f for sobrejetiva entao para cada y ∈ In (imagem) podemos escolher x ∈ In

(domınio) tal que f(x) = y e daı definir g : In → In tal que g(y) = x, g e injetiva, pois f

e funcao, logo pelo resultado ja mostrado g e bijetora, implicando que f tambem e.

Propriedade 8. Seja A ⊂ In . Se existir f uma funcao injetora f : In → A entao A = In.

Demonstracao.f : In → f(In) e bijecao, como f(In) ⊂ A ⊂ In e f(In) nao pode ser

subconjunto proprio entao f(In) = In implicando A = In.

Propriedade 9. Se existir bijecao f : Im → In entao m = n.

Demonstracao. Se n ≥ m entao como Im ⊂ In e f e injetiva, segue da proposicao

anterior que Im = In, logo m = n. No caso de m ≥ n temos que f−1 : In → Im e injetora

e como In ⊂ Im, pela propriedade anterior segue que In = Im, daı n = m em qualquer

dos casos.

Demonstracao.[2] Se um deles fosse o menor, digamos n, entao haveria bijecao com

um conjunto proprio, absurdo.

Corolario 3 (Unicidade da cardinalidade). Se existem duas bijecoes f : In → A e

g : Im → A entao m = n. Pois a funcao g ◦ f : In → Im e uma bijecao entre In e

Im.

Esse resultado garante que a cardinalidade associada a um conjunto e unica.

Propriedade 10. Se existem bijecoes f : In → A e g : In → B, com B ⊂ A entao A = B.

Demonstracao.Existe bijecao h : A → B, sendo h = g ◦ f−1 e ambos conjuntos sao

finitos, se B nao fosse A haveria bijecao de um conjunto finito com sua parte propria, o

que seria absurdo.

Nao existe bijecao de um conjunto finito A sobre uma parte propria B ⊂ A.

Propriedade 11. Todo subconjunto de um conjunto finito e finito.

Demonstracao. Vamos provar primeiro que se A e finito e a ∈ A entao A \ {a} e

finito.


Existe uma bijecao f : In → A tal que f(n) = a. Se n = 1 entao A \ {a} = ∅ logo o

conjunto e vazio (entao finito). Se n > 1 entao existe a bijecao f |In−1 → A \ {a} , logoA \ {a} e finito.

Provaremos agora o caso geral por inducao. Se A = ∅ ou A = {a} entao seus sub-

conjuntos sao finitos. Suponha entao que vale para um conjunto com n elementos, vamos

provar que vale para um conjunto qualquer com n+ 1 elementos B .

Tome um subconjunto qualquer X ∈ B, se X = B nada temos a demonstrar, porem

se X = B, entao existe a ∈ B tal que a /∈ X, logo X ⊂ B \ {a}, X e subconjunto de um

conjunto com n elementos, entao ele e finito .

Propriedade 12. Se B e finito e A ⊂ B entao |A| ≤ |B|.

Demonstracao. Faremos o caso de B = In. Como A e subconjunto de um conjunto

finito entao ele e finito, seja entao |A| = m, supondo por absurdo que m > n vale In ( Im

e de A ⊂ In ( Im segue que A ( Im, isto e, A e subconjunto proprio de Im, porem como

|A| = m, existe bijecao entre Im e A, absurdo! pois nao pode existir bijecao entre um

conjunto finito e sua parte propria.

Seja f : A→ B.

Propriedade 13. Se A e finito e f e sobrejetora entao B e finito.

Demonstracao. Para cada y ∈ B escolhemos x ∈ A tal que f(x) = y, daı definimos

g : B → A tal que f(g(y)) = y. g e injetora g(B) ⊂ A, logo g(B) e finito e g : B → g(B)

bijecao, implicando que B e finito.

Propriedade 14. Se B e finito e f e injetora, entao A e finito.

Demonstracao. Temos que a imagem de f por A e subconjunto de B ,f(A) ⊂ B,

como B e finito, entao f(A) tambem e finito, por ser subconjunto de um conjunto finito,

tem tambem que f : A→ f(A) e uma bijecao, logo A e finito.

Propriedade 15. Um subconjunto A de N e finito ⇔ e limitado.

Demonstracao. Se A e finito, entao∑k∈A

k = p e um numero natural, logo vale x ≤ p

para qualquer x ∈ A. Se A e limitado, entao todos seus elementos sao menores que um

certo p, entao A ⊂ Ip, como Ip e finito segue que A e finito.


Propriedade 16. Se A e B sao finitos e disjuntos com |A| = n e |B| = m entao A∪B e

finito com |A ∪B| = m+ n.

Demonstracao. Existem bijecoes f : In → A, g : Im → B. Definimos h : Im+n →A ∪ B como h(x) = f(x) se 1 ≤ x ≤ n e h(x) = g(x − n) se 1 + n ≤ x ≤ m + n

(1 ≤ x− n ≤ m), como h e bijecao segue o resultado.

Propriedade 17. Se A e B sao conjuntos finitos nao necessariamente disjuntos vale a

relacao

|A ∪B| = |A|+ |B| − |A ∩B|.

Demonstracao. Escrevemos A como a uniao disjunta A = (A \ B) ∪ (A ∩ B), daı

|A| − |A ∩B| = |A \B| agora escrevemos A ∪B = (A \B) ∪B, uniao disjunta logo

|A ∪B| = |A \B|+ |B|

usando a primeira expressao segue que

|A ∪B| = |A|+ |B| − |A ∩B|.

Corolario 4. Podemos deduzir a identidade para tres conjuntos

|A ∪B ∪ C|,

tomamos B′ = B ∪ C e aplicamos o resultado para dois conjuntos

|A ∪B ∪ C| = |A|+ |B ∪ C| − |A ∩ [B ∪ C]| =

= |A|+|B|+|C|−|B∩C|−|[A∩B]∪[A∩C]| = |A|+|B|+|C|−|B∩C|−|A∩B|−|A∩C|+|A∩B∩C|

logo

|A ∪B ∪ C| = |A|+ |B|+ |C| − |B ∩ C| − |A ∩B| − |A ∩ C|+ |A ∩B ∩ C|

Propriedade 18 (Princıpio da inclusao- exclusao). Sejam n conjuntos finitos (Ak)n1 , seja

I o multiconjunto das combinacoes das intersecoes desses n conjuntos, entao

|n∪

k=1

Ak| =∑K∈I

|K|(−1)nk

onde onde nk e o numero de intersecoes em K.


Demonstracao.

Propriedade 19. Sejam (Ak)n1 conjunto finitos dois a dois disjuntos, onde |Ak| = mk

entao |n∪

k=1

Ak| =n∑

k=1

|Ak| =n∑

k=1

mk.

Demonstracao. Inducao sobre n.

Propriedade 20. Se A e B sao finitos e disjuntos com |A| = m e |B| = n entao A× B

e finito com |A×B| = m.n.

Demonstracao. Podemos escrever A×B =n∪

k=1

Ak onde Ak = A× {Bk} com |Ak| =

m, logo

|A×B| = |n∪

k=1

Ak| =n∑

k=1

|Ak| = m.n.

Propriedade 21. Sejam (Ak)n1 com |Ak| = mk entao |

n∏k=1

Ak| =n∏

k=1

|Ak| =n∏

k=1

mk.

Demonstracao. Por inducao sobre n.

Propriedade 22. Se |A| = m e |B| = n entao |F (A;B)| = nm.

Demonstracao.[1] Faremos o caso em que A = Im. As funcoes de F (Im;B) sao m

uplas, sendo que em cada coordenada existem n possibilidades de elementos

F (Im;B) =m∏k=1

B

daı

|F (Im;B)| = |m∏k=1

B| =m∏k=1

|B| = nm.

No caso geral mostramos que existe uma bijecao entre F (Im;B) e F (A;B) logo tais

conjuntos possuem a mesma quantidade de elementos.

Demonstracao.[2] Por inducao sobre m. Para m = 1. A = {a1} e B = {b1, · · · , bn},temos n funcoes fk(a1) = bk, ∀k ∈ In. Suponha a validade para um conjunto A′ qualquer

comm elementos, vamos provar para A com |A| = m+1. Tomamos a ∈ A, daı A\{a} = A′

possui m elementos, logo |F (A′, B)| = nm, podemos estender cada f ′t : A′ → B para

f : A → B de n maneiras diferentes, tomando f(a) = bk, k ∈ In, logo temos no total

nnm = nm+1 funcoes .


Propriedade 23. Seja |A| = n entao |P (A)| = 2n.

Demonstracao. Por inducao sobre n, se n = 1, entao A = {a1} possui dois subcon-juntos que sao ∅ e {α1}. Suponha que qualquer conjunto qualquer B com n elementos

tenha |P (B)| = 2n, vamos provar que um conjunto C com n + 1 elementos implica

|P (C)| = 2n+1. Tomamos um elemento a ∈ C, C \ {a} possui 2n subconjuntos (por

hipotese da inducao), sk de k = 1 ate k = 2n, que tambem sao subconjuntos de C, porem

podemos formar mais 2n subconjuntos de C com a uniao do elemento {a}, logo no total

temos 2n + 2n = 2n+1 subconjuntos de C e mais nenhum subconjunto, pois nao temos

nenhum outro elemento para unir aos subconjuntos dados.

1.2 Conjuntos infinitos

Definicao 2 (Conjunto infinito). Um conjunto A, nao vazio, e infinito quando para

qualquer n natural nao existe bijecao de A com In , isto e, um conjunto e infinito quando

ele nao e finito.

Corolario 5. N e infinito, pois e ilimitado.

Propriedade 24. Se A e infinito entao existe funcao injetiva f : N → A.

Demonstracao. Podemos definir f indutivamente. Tomamos inicialmente x1 ∈ A e

definimos f(1) = x1 e para n ∈ N escolhemos xn+1 ∈ A\n∪

k=1

{xk} definido f(n+1) = xn+1.

A \n∪

k=1

{xk} nunca e vazio pois A e infinito. f e injetora pois tomando m > n tem-se

f(n) ∈m−1∪k=1

{xk} e f(m) ∈ A \m−1∪k=1

{xk}.

Corolario 6. Existe funcao injetiva de um conjunto finito B num conjunto infinito A,

usamos o mesmo processo do exemplo anterior, mas o processo para depois de definir a

funcao |B| pontos.

Propriedade 25. Sendo A infinito e B finito existe funcao sobrejetiva g : A→ B.


Demonstracao. Existe funcao injetiva f : B → A, logo f : B → f(B) ⊂ A e

bijecao, possuindo inversa g−1 : f(B)→ B. Considere a funcao f : A→ B definida como

f(x) = g−1(x) se x ∈ f(B) e f(x) = x1 ∈ B se x /∈ f(B), f e funcao sobrejetiva.

Propriedade 26. Um conjunto A e infinito ⇔ possui bijecao sobre uma parte propria.

Demonstracao.

⇐).Se existe uma bijecao sobre uma parte propria entao o conjunto nao pode ser

finito, entao ele e infinito.

⇒). Supondo agora que A seja infinito vamos mostrar que existe uma bijecao sobre

um das suas partes proprias . Sejam f : N → A injetiva com f(n) = xn e o conjunto

B = A \ {x1}. Definimos g : A → B por g(x) = x se x = xn ∀n ∈ N e g(xn) = xn+1,

com isso cada xn+1 e x ∈ A \ {x1} pertencem a imagem da funcao, alem disso a funcao e

injetiva, logo temos uma bijecao do conjunto por uma das suas partes proprias.

Corolario 7. O resultado anterior nos garante que um conjunto e finito ⇔ nao possui

bijecao com sua parte propria.

Propriedade 27. Se A e infinito e f : A→ B e injetiva entao B e infinito.

Demonstracao. f : A→ f(A) e bijecao e f(A) ⊂ B e infinito, logo B e infinito , B

nao pode ser finito, pois todo subconjunto de um conjunto finito e finito. f(A) nao pode

ser finito, pois se fosse A estaria em bijecao com um conjunto finito logo seria finito.

Propriedade 28. Se B e infinito e f : A→ B e sobrejetiva entao A e infinito.

Demonstracao. Dado y ∈ B escolhemos x ∈ A tal que f(x) = y e com isso definimos

a funcao g : B → A tal que g(y) = x, g e injetiva entao pelo resultado anterior segue que

A e infinito.

Exemplo 1. Existe g : N → N sobrejetiva tal que g−1(n) e infinito para cada n ∈ N .

Seja f : N → N definida como f(n) = k se n e da forma n = pαkk onde pk e o k-esimo

numero primo e f(n) = n caso contrario, f e sobrejetiva e existem infinitos n ∈ N tais

que f(n) = k para cada k natural.

Propriedade 29. Se A ⊂ B e A e infinito entao B e infinito.


Demonstracao. Se B fosse finito entao A seria finito.

Exemplo 2. Exprimir N =∞∪k=1

Nk onde os conjuntos sao infinitos e dois a dois disjuntos.

Tome Nk+1 = {pαkk , αk ∈ N onde pk o k-esimo primo} e N1 = N \

∞∪k=2

Nk, cada um

deles e infinito, sao disjuntos e sua uniao da N .

1.3 Conjuntos enumeraveis

Definicao 3 (Conjunto enumeravel). Um conjunto A e dito enumeravel quando ele for

finito ou existir uma bijecao de N em A. Nessas condicoes podemos dizer tambem que o

conjunto e contavel ou numeravel.

Propriedade 30. Todo conjunto A ⊂ N e enumeravel.

Demonstracao. Se A e finito entao A e enumeravel. Se A e infinito podemos enu-

merar seus elementos da seguinte maneira x1 = minA, xn+1 = minA \n∪

k=1

{xk}, daı

A =∞∪k=1

{xk}

pois se existisse x ∈ A tal que x = xk daı terıamos x > xk para todo k que e absurdo,

pois nenhum conjunto infinito de numeros naturais e limitado superiormente. A funcao x

definida e injetora e sobrejetora. Vamos mostrar agora que ela e a unica bijecao crescente

entre A e N . Suponha outra bijecao crescente f : N → A. Deve valer f(1) = x1, pois se

fosse f(1) > x1 entao f nao seria crescente. Supondo que vale f(k) = xk ∀ k ≤ n ∈ N

vamos mostrar que f(n + 1) = xn+1, nao pode valer f(n + 1) < xn+1 com f(n + 1) ∈ A

pois a funcao e injetora e os possıveis termos ja foram usados em f(k) com k < n + 1,

nao pode valer f(n + 1) > xn+1 pois se nao a funcao nao seria crescente, ela teria que

assumir para algum valor x > n + 1 o valor de xn+1, a unica possibilidade restante e

f(n+ 1) = xn+1 o que implica por inducao que xn = f(n) ∀n ∈ N.

Propriedade 31. 1. Se f : A → B e injetiva com B enumeravel entao A tambem e

enumeravel.


2. Todo subconjunto de um conjunto enumeravel e enumeravel.

Demonstracao.

1. Como B e enumeravel existe uma bijecao g : B → N , daı g ◦ f : A→ N e injetiva,

logo bijecao com sua imagem que e um subconjunto de N , portanto enumeravel,

disto segue que A e enumeravel.

2. Se B e enumeravel e A ⊂ B, podemos definir f : A→ B com f(x) = x ∀x ∈ A, f e

injetora, como B e enumeravel, entao A tambem e enumeravel pelo primeiro item .

Corolario 8. Se f : A→ B e sobrejetiva e A e enumeravel entao B tambem e enumeravel.

Pois, para qualquer y ∈ B escolhemos x ∈ A tal que f(x) = y e definimos g : B → A,

g(y) = x, g e injetiva e A e enumeravel, entao pelo resultado anterior B e enumeravel.

Exemplo 3. O conjunto A dos subconjuntos (nao incluindo vazio) de N disjuntos dois a

dois e enumeravel. Definimos f : A→ N com f(B) = min{B} onde B e um subconjunto

de N nao vazio, tal funcao e injetora, pois B e disjunto com qualquer elemento de A,

como f e injetora A e enumeravel.

Exemplo 4. f : N × N → N definida como f(m,n) = 2m−1(2n − 1) e uma bijecao.

Dado um numero natural n qualquer, podemos escrever esse numero como produto dos

seus fatores primos

n =n∏

k=1

pαkk = 2α1 .

n∏k=2

pαkk

como os primos maiores que 2 sao ımpares e o produto de ımpares e um numero ımpar

entao n = 2m(2n−1). Agora vamos mostrar que a funcao e injetora seja f(m,n) = f(p, q)

2m(2n− 1) = 2p(2q − 1)

se m = p os numeros serao diferentes pela unicidade de fatoracao (2s − 1 nao possui

fatores 2 pois sempre e ımpar), entao devemos ter m = p, daı segue que n = q e termina

a demonstracao.

Corolario 9. N ×N e enumeravel. Outra maneira de mostrar que N ×N e enumeravel

e mostrar uma funcao injetora como f(m,n) = 2m3n.


Propriedade 32. O produto cartesiano de dois conjuntos enumeraveis e um conjunto

enumeravel.

Demonstracao. Se A e B sao enumeraveis entao existem sobrejecoes f : N → A,

g : N → B daı h : N ×N → A×B dada por h(m,n) = (f(m), g(m)) e sobrejetiva, como

N ×N e enumeravel segue que A×B e enumeravel.

Teorema 1. Todo conjunto infinito A, contem um subconjunto infinito enumeravel.

Demonstracao. Definimos A = A0 e tomamos um elemento qualquer x ∈ A, defi-

nindo x1 = x e A1 = A0\{x1} , a seguir definimos recursivamente xn+1 como um elemento

em An e An+1 = An \ {xn+1}.

x1 ∈ A0, A1 = A0 \ {x1}

xn+1 ∈ An, An+1 = An \ {xn+1}, n ∈ N

o conjunto dos elementos xn definidos dessa maneira, e um conjunto infinito enu-

meravel, de elementos contidos em A.

Propriedade 33. Se cada conjunto Ak e enumeravel entao A =∞∪k=1

Ak e enumeravel.

Demonstracao. Para cada k ∈ N existe sobrejecao fk : N → Ak, definimos a

sobrejecao f : N ×N → A definindo f(n,m) = fn(m), a primeira coordenada n localiza

o conjunto An na reuniao e daı fn : N → An e sobrejetiva, logo para qualquer y ∈ An

existe m ∈ N tal que fn(m) = y entao f e sobrejetiva.

Propriedade 34. A uniao de dois conjuntos enumeraveis e enumeravel, em geral a uniao

de um numero finito de conjuntos enumeraveis e enumeravel.

Demonstracao. Dados os conjuntos enumeraveis A1 e A2, sabemos que existem

funcoes f1 : N → A1 e f2 : N → A2 sobrejetivas, entao definimos a funcao f : {1, 2}×N →A1 ∪ A2 por f(n,m) = fn(m) tal funcao e sobrejetiva, como {1, 2} × N e enumeravel

segue que A1 ∪ A2 e enumeravel. Para o caso geral da uniao de n conjuntos enumeraveis

(Ak)n1 , podemos proceder por inducao ou tomar a funcao g : In × N →

n∪k=1

Ak com

g(n,m) = fn(m) que e sobrejecao daın∪

k=1

Ak e enumeravel.


Corolario 10. Q e enumeravel, pois podemos definir An = {xn, x ∈ N} (para n ∈ N

fixo) que e enumeravel, daı os racionais positivos podem ser escritos como a uniao

Q+ =∞∪k=1

Ak

da mesma forma Bn = {−xn

, x ∈ N}, logo os racionais negativos sao enumeraveis pois

Q− =∞∪k=1

Bk

e os racionais sao enumeraveis pois Q = Q− ∪ {0} ∪Q+.

Podemos enumerar os racionais positivos com a seguinte funcao f : N → Q com

f(1 + k +

(n

2

)) =

n− k

1 + k

com k = 0 ate k = n− 1. Em especial tomando n− k = p e k + 1 = q temos

f(q +(p+ q − 1)(p+ q − 2)

2) =

p

q.

Podemos enumerar todos racionais, com a seguinte funcao g : N → Q dada por

g(1) = 0,

g(2 + 2

(n

2

)+ k) =

n− k

k + 1k = 0 atek = n− 1 e

g(2 + 2

(n

2

)+ k + n) = −n− k

k + 1k = 0 atek = n− 1.

Tais funcoes nao sao injetivas, porem sao sobrejetivas, logo temos bijecao de um sub-

conjunto de N em Q, o que implica Q ser enumeravel.

Para deduzir as expressoes, podemos fazer o seguinte: Primeiro, interpolamos a posicao

dos numeros inteiros que aparecem na sequencia.

Segundo, a partir desse inteiro va formando as fracoes somando 1 no denominador e

retirando um do denominador ate chegar ao inverso do numero da primeira fileira, quando

chegar nele , pule para o proximo inteiro.

Corolario 11. Z e enumeravel, pois podemos escrever Z = N ∪{0}∪ (−N) onde −N =

{−x |x ∈ N}, e os conjuntos em que Z foi decomposto sao enumeraveis.


Figura 1.1: Uma enumeracao dos racionais positivos. No esquema da direita, podemos

perceber melhor um padrao da sequencia.

Propriedade 35. Sejam B enumeravel e f : A→ B tal que ∀y ∈ B, f−1(y) e enumeravel,

entao A e enumeravel.

Demonstracao.

A =∪y∈B

f−1(y)

entao A e uniao enumeravel de conjuntos enumeraveis, daı A e enumeravel.

Propriedade 36. N s =s∏

k=1

N = N × · · · ×N e enumeravel.

Demonstracao. Consideramos a funcao f : N s → N dada por f(xk)s1 = f(x1, · · · , xs) =

s∏k=1

pxkk tal funcao e injetiva pela unicidade de fatoracao com fatores primos.

Propriedade 37. O produto cartesiano finito de conjuntos enumeraveis e enumeravel.

Demonstracao. Sejas∏

k=1

Ak o produto cartesiano dos conjuntos Ak enumeraveis,

entao para cada k existe uma funcao fk : N → Ak que e sobrejetiva, entao definimos a

funcao f : N s →s∏

k=1

Ak dada por

f(xk)s1 = (fk(xk))

s1


Figura 1.2: Uma enumeracao dos racionais.

,isto e,

f(x1, · · · , xs) = (f1(x1), · · · , fs(xs))

como tal funcao e sobrejetiva e N s e enumeravel segue ques∏

k=1

Ak e enumeravel.

Corolario 12. Se X e finito e Y e enumeravel, entao F (X,Y ) e enumeravel. Basta

considerar o caso de X = In, entao F (X, Y ) =n∏

k=1

Y = Y n, que e enumeravel.

Exemplo 5. O conjunto A = {a+ b√p| a, b ∈ Q, p ∈ N} e enumeravel.

Se√p e inteiro, entao o conjunto e o conjunto dos racionais , que e enumeravel, caso

contrario segue uma demonstracao.

A funcao Q × Q → A dada por f(a, b) = a + b√p e uma bijecao. Se a = a′ entao

f(a, b) = f(a′, b′), pois

a+ b√p = a′ + b′

√p⇔ a− a′ = (b′ − b)

√p

se b′ = b vale pois a− a′ = 0, se b′− b = 0 tambem vale poisa− a′

b′ − b= √p por de um lado

ser numero racional e do outro um numero irracional. Se b = b′ tem-se

a+ b√p = a′ + b′

√p⇔ a− a′ = (b′ − b)

√p


vale pois da mesma maneiraa− a′

b′ − bnao pode ser irracional. Logo e injetiva. Temos

tambem que a funcao e sobrejetora, logo e uma bijecao.

Exemplo 6. Z e enumeravel, podemos dar a seguinte enumeracao para Z, f : N → Z

tal que f(n) =n− 2

2se n e par e f(n) = −n+ 1

2caso n seja ımpar.

Corolario 13. O conjunto dos numeros racionaisQ e enumeravel pois Z×Z∗ e enumeravel

e a funcao f : Z × Z∗ → Q dada por f(m,n) =m

ne sobrejetiva.

Propriedade 38. Toda colecao de intervalos nao degenerados dois a dois disjuntos e

enumeravel.

Demonstracao. Seja A o conjunto dos intervalos nao degenerados dois a dois dis-

juntos. Para cada intervalo I ∈ A escolhemos um numero racional q e com isso definimos

a funcao f : A → Q, definida como f(I) = q, tal funcao e injetiva pois os elementos

I = J de A sao disjuntos , logo nao ha possibilidade de escolha de um mesmo racional q

em pontos diferentes do domınio, logo a funcao nesses pontos assume valores distintos .

Alem disso Podemos tomar um racional em cada um desses conjuntos pois os intervalos

sao nao degenerados e Q e denso. Como f : A→ Q e injetiva e Q e enumeravel entao A

e enumeravel.

Propriedade 39. Pn = {A ⊂ N | |A| = n} e enumeravel.

Demonstracao. Definimos a funcao f : Pn → Nn da seguinte maneira: Dado A =

{x1 < x2 < · · · < xn}, f(A) = (x1, · · · , xn). Tal funcao e injetiva pois dados A = {xk, k ∈In} e B = {yk, k ∈ In} nao pode valer xk = yk para todo k, pois se nao os conjuntos

seriam iguais.

Se trocamos N por outro conjunto X enumeravel o resultado tambem vale, basta

definir uma funcao f : Pn → Xn e g : X → N injetiva, enumeramos um subconjunto

finito qualquer com n elementos A ⊂ X como A = {x1, · · · , xn} onde g(x1) < g(x2) <

· · · < g(xn) e definimos f(A) = (x1, · · · , xn).

Corolario 14. o conjunto Pf dos subconjuntos finitos de N e enumeravel pois

Pf =∞∪k=1

Pk


e uniao enumeravel de conjuntos enumeraveis. O mesmo vale trocando N por um conjunto

enumeravel qualquer A.

Propriedade 40. O conjunto dos polinomios com coeficientes racionais e enumeravel.

Demonstracao. Seja Pn o conjunto dos polinomios com coeficientes racionais de grau

≤ n a funcao f : Pn → Qn+1 tal que

P (n∑

k=0

akxk) = (ak)

n1

e uma bijecao. Como Qn+1 e enumeravel por ser produto cartesiano finito de conjuntos

enumeraveis, segue que Pn e enumeravel.

Sendo A o conjunto dos polinomios de coeficientes racionais, vale que

A =∞∪k=1

Pk

portanto A e uniao enumeravel de conjuntos enumeraveis , sendo assim A e enumeravel.

Definicao 4 (Numero algebrico). Um numero real (complexo) x e dito algebrico quando

e raiz de um polinomio com coeficientes inteiros.

Propriedade 41. O conjunto dos numeros algebricos e enumeravel.

Demonstracao.[1] EnumeramosA = {P1, P2, · · · , Pn, · · · }, o conjunto dos polinomios

com coeficientes inteiros, definimos Bk como conjunto das raızes reais de Pk, entao vale

que

A =∞∪k=1

Bk

como cada Bk e finito A fica sendo uniao enumeravel de conjuntos finitos, entao A e

enumeravel.

Demonstracao.[2] Seja B o conjunto dos algebricos e A o conjunto dos polinomios

com coeficientes inteiros. Para cada algebrico x escolhemos um polinomio Px tal que

Px(x) = 0.

Definimos a funcao f : B → A tal que F (x) = Px. Dado Px ∈ F (B), temos que o

conjunto g−1(Px) dos valores x ∈ B tal que f(x) = Px e finito pois Px︸︷︷︸=y

possui um numero

finito de raızes e daı tem-se

B =∪

y∈f(B)

g−1(y)


logo B e uniao enumeravel de conjuntos enumeraveis ( no caso finitos), entao B e enu-

meravel.

Corolario 15. Existem numeros reais que nao sao algebricos, pois se todos fossem

algebricos R seria enumeravel. Todo elemento de R e raiz de um polinomio de coefi-

cientes reais. P (x) =x

c− 1 com c = 0 em R, tem raiz x = c. Em especial 0 e raiz de

G(x) = x.

Definicao 5 (Numeros transcendentes). Os numeros reais que nao sao algebricos sao

ditos transcendentais

Propriedade 42. O conjunto dos numeros algebricos e denso em R, pois todo racional

e algebrico, o racionalb

ae raiz do polinomio com coeficientes inteiros

ax− b = P (x)

ax− b = 0⇔ ax = b⇔ x =b

a. E Q e denso em R.

Propriedade 43. Seja A enumeravel e B = R \ A, entao para cada intervalo (a, b),

(a, b) ∩B e nao enumeravel, em especial B e denso em R.

Com esse resultado garantimos que o complementar de um conjunto enumeravel e

denso em R.

Demonstracao. Sabemos que (a, b) e nao enumeravel, escrevemos

(a, b) = [(a, b) ∩ A] ∪ [(a, b) ∩ (R \ A)] = [(a, b) ∩ A] ∪ [(a, b) ∩B],

sabemos que (a, b)∩A e enumeravel se (a, b)∩B tambem o fosse, chegarıamos no absurdo

de (a, b) ser enumeravel, por ser uniao finita de conjuntos enumeraveis , portanto (a, b)∩Be nao enumeravel e B e denso em R.

Exemplo 7. Um conjunto pode nao ser enumeravel e tambem nao ser denso em R, como

(a, b).

Corolario 16. O conjunto T dos numeros transcedentais e nao enumeravel e denso em R.

Pois A o conjunto dos numeros algebricos e enumeravel, T = R \A, como complementar

dos numeros algebricos T e nao enumeravel e denso em R.


Propriedade 44. Para cada f : N → N seja Af = {n ∈ N | f(n) = 1}. O conjunto M

das funcoes, f : N → N tais que Af e finito e um conjunto enumeravel.

Demonstracao. Seja Bn o conjunto das f : N → N , tais que |Af | = n, va-

mos mostrar inicialmente que Bn e enumeravel. Cada f : N → N e uma sequencia

(f(1), f(2), f(3), · · · , f(n), · · · ), os elementos de Bn sao as sequencias que diferem da uni-

dade em exatamente n valores. Para cada elemento f de Bn temos n termos diferentes

de 1, que serao simbolizados por

f(k1), f(k2), · · · , f(kn) onde k1 < k2 < · · · < kn

definimos g : Bn → Nn como

g(f) = (pf(k1)k1

, pf(k2)k2

, · · · , pf(kn)kn)

onde cada pt e o t-esimo primo. A funcao definida dessa forma e injetora, pois se vale

g(f) = g(h) entao

(pf(k1)k1

, pf(k2)k2

, · · · , pf(kn)kn) = (q

f(k′1)

k′1, q

f(k′2)

k′2, · · · , qf(k

′n)

k′n)

por unicidade de fatoracao em primos segue que qt = pt e kt = k′t ∀ t.

Agora escrevemos M =∞∪k=1

Bk e uma uniao enumeravel de conjuntos enumeraveis,

portanto o conjunto das funcoes f : N → N tais que Af e finito e enumeravel.

Propriedade 45. Todo conjunto infinito se decompoe como uniao de uma infinidade

enumeravel de conjuntos infinitos, dois a dois disjuntos.

Demonstracao. Todo conjuntoX infinito possui um subconjunto infinito enumeravel

E = {b1, b2, · · · , bn, · · · }, tomamos b2k = xk e formamos o conjuntoA = {x1, x2, · · · , xn, · · · }.

Definimos Bk = {xαkpk, αk ∈ N}, onde pk e o k-esimo primo e B0 = A \

∞∪k=1

Bk, cada um

desses conjuntos B0, B1, · · · e infinito e todos sao disjuntos, vale A =∞∪k=0

Bk , definimos

B−1 = (E ∪ X) \ A que e infinito e nao possui elemento e disjunto com todo outro Bk,

com isso temos

X =∞∪

k=−1

Bk

que e uma uniao enumeravel de conjuntos infinitos disjuntos.


1.4 Conjuntos nao enumeraveis

Nem todo conjunto e enumeravel. Vamos mostrar que existe um conjunto que nao

pode ser enumerado.

Propriedade 46. O conjunto X das sequencias (xn) tais que dado n, xn = 0 ou xn = 1

e nao enumeravel.

Demonstracao.

Vamos supor por absurdo que tal conjunto seja enumeravel com a enumeracao s : N →X , tal que dado v natural associamos a sequencia sv = (xv (n)). Podemos entao tomar

o elemento y = (yn), definido da seguinte maneira: yn = xn (n), podemos tomar yn dessa

maneira pois se para n fixo vale xn (n) = 0 escolhemos yn = 1, se xn (n) = 1 escolhemos

yn = 0, daı tem-se que y = sv para todo v natural, logo y nao pertence a enumeracao, o

que e absurdo. Logo a sequencia e nao enumeravel.

Propriedade 47. P (N) e nao enumeravel.

Demonstracao. Definimos a funcao f : X → P (N) (onde X e o conjunto de

sequencias de elementos 0 ou1 ) da seguinte maneira para cada sequencia (xk), defini-

mos f(xk) = V = {k | xk = 0}. Tal funcao e bijecao pois dadas duas sequencias distintas

(xk) e (yk) entao existe k tal que xk = yk , sem perda de generalidade, yk = 0 entao

k /∈ f(yk) e k ∈ f(xk) logo as imagens sao distintas. A funcao tambem e sobrejetiva pois

dado um subconjunto V ⊂ N a ele esta associado a sequencia (xk) onde xk = 0 se k /∈ V

e xk = 1 se k ∈ V .

Como tal funcao e bijecao e X e nao enumeravel, segue que P (N) tambem e nao

enumeravel.

Propriedade 48. Existe bijecao entre intervalos fechados. Seja um intervalo A = [a, b] e

um intervalo B = [c, d] (supondo d = c e b = a) entao a funcao f(x) = c+ (d− c)(x− a)

b− ae uma bijecao entre os conjuntos A e B. Primeiro vamos mostrar que e injetiva f(x) =

f(y)⇒ x = y

c+ (d− c)(x− a)

b− a= c+ (d− c)

(y − a)

b− a⇒ (d− c)

(x− a)

b− a= (d− c)

(y − a)

b− a⇒ x = y


agora que e sobrejetora, dado y em [c, d] encontrar x tal que f(x) = y

c+ (d− c)(x− a)

b− a= y ⇔ (y − c)(b− a)

d− c+ a = x .

O mesmo vale para intervalos abertos.

Definicao 6. Sejam A e B dois conjuntos, simbolizaremos por F (A,B) o conjunto de

todas as funcoes f : A→ B.

Teorema 2 (Cantor). Sejam A um conjunto arbitrario e B um conjunto contendo pelo

menos dois elementos, entao nenhuma funcao f : A→ F (A,B) e sobrejetiva.

Demonstracao. A funcao f : A → F (A,B) associa a um elemento de x de A a

um elemento y de F (A,B), que por sua vez e uma funcao de A em B, y : A → B, que

denotaremos por fx = y. Para mostrar que f nao e sobrejetiva, temos que mostrar que

existe z em F (A,B) tal que para nenhum x ∈ A vale fx = z.

Definiremos z : A → B da seguinte maneira, para todo x ∈ A fixo temos que fx(x) e

um elemento de B, como B possui no mınimo dois elementos, entao associamos z(x) a um

elemento diferente de fx(x), assim as funcoes(imagens da funcao) z e fx sao distintas para

todo x (pois diferem em um elemento) , logo f : A→ F (A,B) nao pode ser sobrejetiva.

Corolario 17. Nao existe Bijecao entre A e F (A,B), onde A e um conjunto arbitrario

e B possui pelo menos dois elementos. Pois uma bijecao e uma funcao que e ao mesmo

tempo injetiva e sobrejetiva, porem nao existe funcao sobrejetiva entre esses conjuntos.

Tomando A = N e B como acima concluımos que nao existe bijecao entreN e F (N,B),

logo F (N,B) e nao enumeravel. F (N,B) =∞∏k=1

B e o produto cartesiano infinito , pois

F (N,B) e o conjunto das funcoes de N em B (sequencias de elementos em B),∞∏k=1

B

e o conjunto das sequencias de elementos em B tambem. Entao se B possui mais de 1

elementos o produto cartesiano infinito e nao enumeravel. Se B e enumeravel infinito

segue tambem que o produto cartesiano infinito e nao enumeravel.

Propriedade 49. Existe bijecao entre P (A) e F (A, {0, 1}). Os elementos de P (A) sao

subconjuntos de A.


Demonstracao. Seja a funcao C : P (A) → F (A, {0, 1}), chamada de funcao ca-

racterıstica, definida como: Dado V ∈ P (A), CV deve ser uma funcao de A em {0, 1},definimos entao CV (x) = 1 se x ∈ V e CV (x) = 0 se x /∈ V .

Tal funcao e injetiva, pois sejam V = H elementos de P (A) entao CV e diferente de

CH , pois existe, por exemplo, x1 ∈ H tal que x1 /∈ V e x1 ∈ A e vale CV (x1) = 0 e

CH(x1) = 1, logo as funcoes sao distintas.

A funcao e sobrejetiva, pois dado um elemento y de F (A, {0, 1}), ele deve ser uma

funcao de A em {0, 1}, entao existe um subconjunto V que contem todos x ∈ A tal que

y(x) = 1 e para todo x ∈ L = A \V tem-se y(x) = 0, tal funcao e a mesma que CV . Logo

a funcao e bijetora.

Corolario 18. Nao existe bijecao entre os conjuntos A e P (A), pois nao existe funcao

sobrejetiva entre A e F (A, (0, 1)) essa ultima que esta em bijecao com P (A). Em especial

nao existe bijecao entre N e P (N).

Propriedade 50. O intervalo [0, 1] nao e numeravel.

Demonstracao. Ha infinitos racionais no intervalo [0, 1], entao tal conjunto nao e

finito. Usaremos tambem que todo real x ∈ [0, 1] admite uma representacao da forma

x =∞∑k=1

ak10−k

com ak ∈ A = {0 ≤ s ≤ 9, s ∈ N.}Suponha uma numeracao x : N → [0, 1], onde

xn =∞∑k=1

a(n,k)10−k

agora seja bk, com bk = 0, 9, a(k,k), definimos

y =∞∑k=1

bk10−k

y nao possui duas representacoes decimais e y = xn para todo n, pois possuem repre-

sentacoes decimais distintas. Logo qualquer numeracao omite um numero real no inter-

valo, assim [0, 1] nao e enumeravel.


Corolario 19. Qualquer intervalo [a, b] e nao enumeravel, pois existe bijecao entre [a, b] e

[0, 1]. E da mesma maneira (a, b) nao e enumeravel, pois se fosse [a, b] = (a, b)∪{a}∪ {b}

seria enumeravel.

Da mesma maneira [a, b) e (a, b] sao nao enumeraveis.

Propriedade 51. Se A e nao enumeravel e A ⊂ B entao B e nao enumeravel.

Demonstracao. Se B fosse enumeravel entao A ⊂ B deveria ser enumeravel.

Corolario 20. R e nao enumeravel, pois (0, 1) ∈ R e (0, 1) e nao enumeravel.

Exemplo 8. Mostrar uma bijecao entre os conjuntos [0, 1] e (0, 1). Definimos o conjunto

A = { 1

n+ 1| n ∈ N} e B = A ∪ {0} ∪ {1}. Definiremos com isso uma funcao f : [0, 1]→

(0, 1) que seja bijetora . Definimos f |B como f(0) =1

2, f(1) =

1

3e f(

1

n+ 1) =

1

n+ 3para n ∈ N , sua imagem e o conjunto A. Tal restricao e injetora. Definimos tambem

f |[0,1] \B com f(x) = x, essa restricao tambem e injetora, como as restricoes sao disjuntas

e sua uniao da [0, 1] tem-se que a funcao f e injetora. Agora, dado x ∈ (0, 1), se x ∈ A

entao existe y ∈ B tal f(y) = x, se x ∈ (0, 1) \ A, entao f(x) = x o que mostra que a

funcao e sobrejetora, logo bijetora.

Como existe bijecao entre [0, 1] e (0, 1) entao (0, 1) e nao enumeravel, pois pelo que

mostramos [0, 1] nao e enumeravel.

Generalizamos o exemplo anterior

Exemplo 9. Seja C um conjunto infinito, construir uma bijecao entre C e C\{a1, a2, a3, a4, · · · , ap}︸︷︷︸=T

,

isto e, construir uma bijecao entre C e C menos um numero finito de pontos. Toma-

mos A = {ap+1, ap+2, · · · } ⊂ C conjunto formado por elementos distintos de C e tal que

T∩A = ∅, podemos tomar A dessa maneira pois C infinito possui subconjunto enumeravel.

Definimos B = {a1, a2, · · · , ap} ∪ {ap+1, ap+2, · · · } = {a1, a2, · · · , ap, ap+1, ap+2, · · · }.

Definimos f restrita a B como

f(a1) = ap+1, f(a2) = ap+2, f(a3) = ap+3, · · · , f(at) = ap+t


como A e T sao disjuntos, tal aplicacao e funcao, sua imagem e A e a funcao e tal que

sua restricao e injetiva.

Definimos agora f restrita a C \B como f(x) = x, ela e injetiva e tem imagem C \B.

Logo fica definida f de (C \B) ∪B = C com imagem (C \B) ∪A = C \ {a1, a2, · · · , ap}

sendo injetiva e sobrejetiva, logo bijetiva.

Com isso conseguimos bijecao entre C e C \ {a1, a2, · · · , ap} onde C e infinito. E

necessario que C seja infinito, pois se C fosse finito nao terıamos bijecao do conjunto com

sua parte propria.

Por exemplo, bijecao entre [0, 1] e (0, 1) nesse caso tiramos 0 e 1. Bijecao entre [0, 1]

e (0, 1], tiramos o 0. Bijecao entre [0, 1] e (0,1

2) ∪ (

1

2, 1) tiramos tres pontos 0,

1

2e 1.

Exemplo 10. Vamos dar um exemplo de bijecao entre C um conjunto infinito e C \

{b1, b2, b3, · · · , bn, · · · }︸︷︷︸=T

onde esse ultimo conjunto e infinito, se tal conjunto fosse finito nao

seria possıvel construir bijecao, pois terıamos bijecao entre conjunto infinito e finito, o

que e absurdo. Definimos A = {a1, a2, a3, · · · , an, · · · } ⊂ C A ∩ T = ∅, B = A ∪ T =

{a1, a2, a3, · · · , an, · · · , b1, b2, · · · , bn, · · · }, a restricao de f a B como

f(b1) = a1, f(b2) = a3, f(b3) = a5, · · · , f(bt) = a2t−1

f(a1) = a2, f(a2) = a4, f(a3) = a6, · · · , f(ak) = a2k

a funcao definida assim e injetiva e sua imagem e A.

Definimos agora f restrita a C \ B como a identidade, f(x) = x, ela e injetiva e sua

imagem e C\B. Tal funcao e definida em (C\B)∪B = C tem imagem (C\B)∪A = C\T ,

sendo injetiva e sobrejetiva logo bijecao.

Com isso conseguimos construir uma bijecao entre C um conjunto infinito e C \ T

conjunto infinito onde T e enumeravel (finito ou infinito).

Por exemplo, construımos bijecao entre R e R \ Q o conjunto dos irracionais, R em

R \Z, etc. Em geral o conjunto retirado T nao pode ser nao enumeravel, pois C pode ser

infinito enumeravel.


Daremos outra demonstracao de que o conjunto dos numeros reais e nao enumeravel.

Demonstracao. Existe funcao injetiva f : N → R, por exemplo a de lei f(n) = n .

Iremos mostrar agora que nao existe funcao sobrejetora de N em R, logo nenhuma dessas

funcoes pode ser bijetora. Construiremos uma sequencia (Ak) decrescente de intervalos

limitados e fechados tais que f(n) /∈ An ,∀N , logo dado um numero real c ∈∞∩k=1

(que

tem existencia garantida pelo teorema de intervalos encaixados), vale que f(n) = c para

qualquer n, pois se fosse f(n) = c ∈ In, implicaria f(n) ∈ In que e absurdo. Nesse caso

f nao pode ser sobrejetora. Dado f(1) fixo tomamos A1 tal que f(1) /∈ A1. Supondo

que f(k) /∈ Ak, ∀k ∈ In, temos dois casos a considerar, f(n + 1) /∈ An, daı tomamos

An = An+1, caso contrario, f(n + 1) ∈ An = [an, bn], daı um dos extremos do intervalo

deve ser diferente de f(n + 1), digamos an, nesse caso podemos tomar an = an+1 e

an < bn+1 < f(n+ 1), logo f(n+ 1) /∈ An+1 = [an+1, bn+1] que concluı a demonstracao.

Podemos provar de outra maneira que (0, 1) e nao enumeravel, pois se fosse (n, n+1)

seria enumeravel e daı (n, n+ 1] tambem, porem

R =∪x∈Z

(x, x+ 1]

seria uniao enumeravel de enumeraveis, logo R seria enumeravel, o que e absurdo, portanto

(0, 1) e nao enumeravel e qualquer outro intervalo tambem.

Corolario 21. Existem numeros que nao sao racionais. Dado um intervalo (a, b) ele

nao pode possuir apenas numeros racionais, pois se nao seria enumeravel, portanto tal

conjunto possui uma quantidade nao enumeravel de numeros nao racionais.

Definicao 7 (Numeros irracionais). Um numero real e dito irracional se ele nao e racional.

Corolario 22. Existem numeros irracionais.

Definicao 8 (Subconjunto estavel). Seja f : X → X uma funcao. Um conjunto Y ⊂ X

chama-se estavel relativamente a f quando f(Y ) ⊂ Y.

Corolario 23. X e sempre estavel em f : X → X pois f(X) ⊂ X.

Propriedade 52. X e finito ⇔ existe f : X → X que so admite subconjuntos estaveis ∅

e X.


Demonstracao. Iremos considerar sempre conjuntos nao vazios.

⇒). Suponha X finito, entao X = {a1, · · · , an}, definimos f : X → X como f(a1) =

a2, f(a2) = a3, em geral f(ak) = ak+1 se k < n e f(an) = a1. f nao possui subconjunto

estavel diferente de X, pois, suponha um conjunto Y = X estavel, a1 nao pode pertencer

ao conjunto, pois se nao f(a1) = a2 ∈ Y , f(a2) = a3 ∈ Y ate f(an−1) = an ∈ Y entao

terıamos Y = X o que e absurdo, da mesma maneira se at ∈ Y entao f(at) = at+1 ∈ Y ,

f(at+1) = at+2 ∈ Y , em menos de n aplicacoes da funcao teremos f(an−1) = an ∈ Y e daı

f(an) = a1 ∈ Y o que implica Y = X, logo nao podemos ter outro subconjunto estavel

alem de X com a funcao f definida acima.

⇐).

Suponha X infinito, vamos mostrar que qualquer funcao f : X → X possui subcon-

junto estavel Y = X.

Tomamos a1 ∈ X, consideramos f(a1) := a2 se a1 = a2 paramos e temos o conjunto

Y = {a1} = X pois X e infinito, se nao continuamos a aplica a funcao f(a2) := a3, se a3 =

a2 ou a1 entao paramos e tomamos Y = {a1, a2}, continuamos o processo recursivamente

f(ak) : ak+1 se ak+1 e igual a algum dos elementos de {a1, · · · , ak}, entao paramos o

processo e tomamos Y = {a1, · · · , ak}, se para todo k ∈ N os elementos ak+1 = f(ak) nao

pertencem ao conjunto {a1, · · · , ak}, entao temos um conjunto

= {a2 = f(a1), f(a2) = a3, f(a3) = a4, · · · , f(an) = an+1, · · · }

tomamos tal conjunto como Y e temos

f(Y ) = {f(a2) = a3, f(a3) = a4, · · · , } ⊂ Y

podemos observar que Y = X pois a1 /∈ Y. Assim concluımos nossa demonstracao.

Propriedade 53. Seja f : A→ A injetiva, tal que f(A) = A, tomando x ∈ A\f(A) entao

os elementos fk(x) de O(x) = {fk(x), k ∈ N} sao todos distintos. Estamos denotando

fk(x) pela k-esima composicao de f com ela mesma.

Demonstracao. Para todo t vale que f t e injetiva, pois a composicao de funcoes

injetivas e injetiva.

Se existisse k = t tal que fk(x) = f t(x), t > k , entao existe p > 0 ∈ N tal que

t = k + p

fk+p(x) = fk(fp(x)) = fk(x)


por injetividade de fk segue que fp(x) = x, logo x ∈ f(A) o que contraria a hipotese de

x ∈ A \ f(A). Portanto os elementos sao distintos.

Propriedade 54. O conjunto das sequencias crescentes de numeros naturais nao e enu-

meravel.

Demonstracao. Seja A o conjunto das sequencias crescentes de numeros naturais.

Suponha que seja enumeravel, entao existe uma bijecao x : N → A

x1 = (y(1,1), y(2,1), y(3,1), y(4,1), · · · )

x2 = (y(1,2), y(2,2), y(3,2), y(4,2), · · · )...

xn = (y(1,n), y(2,n), y(3,n), y(4,n), · · · )

vamos mostrar que existe uma sequencia crescente que sempre escapa a essa enu-

meracao, tomamos a sequencia s como

s = (y(1,1)+1 , y(2,2)+y(1,1)+1 , y(3,3)+y(2,2)+y(1,1)+1, y(4,4)+y(3,3)+y(2,2)+y(1,1)+1 , · · · )

denotando y(0,0) = 1 o t-esimo termo da sequencia acima e st =t∑

k=0

y(k,k), tal sequencia

e crescente e ela difere de cada xt na t-esima coordenada, portanto ela nao pertence

a enumeracao, o que e absurdo, portanto o conjunto das sequencias crescentes e nao

enumeravel.

Exemplo 11. A funcao f : R→ (−1, 1) com f(x) =x√

1 + x2e bijetora.

Ela esta bem definida em R, pois o unico problema possıvel seria o termo dentro da

raız no denominador ser nao positivo, o que nao acontece pois x2 + 1 ≥ 1, ela e injetora

poisx1√1 + x2

1

=x2√1 + x2

2

⇒ x1 = x2, sua imagem esta contida no intervalo (−1, 1)

pois√1 + x2 >

√x2 = |x| logo | x√

1 + x2| < 1 sendo tambem sobrejetora, pois dado

y ∈ (−1, 1) temos |y| < 1⇒ y2 < 1⇒ 0 < 1− y2, podemos tomar x =

√y2

1− y2se x ≥ 0

e x = −

√y2

1− y2caso x < 0 e daı vale f(x) = y (Podemos perceber pela definicao que

x ≥ 0⇔ y ≥ 0 e x ≤ 0⇔ y ≤ 0 ).


1.5 Cardinalidade

Definicao 9 (Conjuntos de mesma cardinalidade). Dois conjuntos A e B sao ditos ter a

mesma cardinalidade, quando existe uma bijecao f : A→ B, neste caso dizemos tambem

que a cardinalidade de A e igual a de B, nesse caso denotamos card(A) = card(B) ou

|A| = |B|.

Definicao 10. Dizemos que card(A) < card(B) ( que e dito, a cardinalidade de A e

menor que a cardinalidade de B) quando existe funcao injetiva f(A) → B, porem nao

existe funcao sobrejetiva f : A→ B.

Propriedade 55. Sejam A enumeravel e B nao enumeravel, entao card(A) < card(B).

Demonstracao. Suponha que exista f : A → B sobrejetiva. Para cad y ∈ B

escolhemos x ∈ A tal que f(x) = y e com isso definimos g(y) = x, g : B → A, como

g : B → G(B) ⊂ A entao existe bijecao de um conjunto nao enumeravel A com um

conjunto enumeravel G(B), o que e absurdo, entao nao existe funcao sobrejetiva e vale

card(A) < card(B).

Propriedade 56. Seja X um conjunto nao enumeravel e Y um conjunto enumeravel,

entao vale

|X| = |X ∪ Y | = |X \ Y |.

Demonstracao. A propriedade |X| = |X \ Y | foi provada na secao anterior. Vamos

provar que |X| = |X∪Y | usando esse resultado. Definimos A = X∪Y , tal conjunto e nao

enumeravel, podemos considerar Y disjunto com X para todos os efeitos, daı A \ Y = X

e nao enumeravel, pelo primeiro resultado temos que |A \ Y | = |A| daı |X| = |X ∪ y|.

Definicao 11 (Funcao caracterıstica). Sejam um conjunto A e V um subconjunto qual-

quer de A, definimos

Cv(t) = 0 se x /∈ V

Cv(t) = 1 se x ∈ V

Propriedade 57. Sejam X, Y ⊂ A. Valem as propriedades.


• Cx∩y = CxCy

• Cx∪y = Cx + Cy − Cx∩y e Cx∩y = 0⇔ X ∩ Y = ∅.

• Se X ⊂ Y ⇔ Cx ≤ Cy.

• CA\X = 1− Cx.

Demonstracao.

• Cx∩y = CxCy. Temos dois casos a analisar, se t ∈ X ∩ Y entao

Cx∩y(t) = 1 = Cx(t)︸︷︷︸1

Cy(t)︸︷︷︸1

,

se t /∈ X ∩ Y podemos supor t /∈ Y entao

Cx∩y(t) = 0 = Cx(t)Cy(t)︸︷︷︸0

.

• Cx∪y = Cx + Cy − Cx∩y e Cx∩y = 0⇔ X ∩ Y = ∅.

Analisamos tres casos.

1. Se t ∈ X ∩ Y entao Cx∪y(t) = 1, Cx(t) +Cy(t)−Cx∩y(t) = 1 + 1− 1 = 1, logo

vale a igualdade.

2. Se t /∈ X ∩ Y e t ∈ X ( sem perda de generalidade), entao Cx∪y(t) = 1,

Cx(t) + Cy(t)− Cx∩y(t) = 1 + 0− 0 = 1, logo vale a igualdade.

3. Agora o ultimo caso, se t /∈ X, Y , Cx∪y(t) = 0 e Cx(t) + Cy(t) − Cx∩y(t) =

0 + 0− 0 = 0, valendo novamente a igualdade.

Cx∪y = Cx + Cy ⇔ Cx∩y = 0 ⇔ Cx∩y(t) = 0 ∀t ∈ A, isso significa que X e Y sao

disjuntos.

• Se X ⊂ Y ⇔ Cx ≤ Cy. ⇒). Analisamos tres casos

1. t /∈ Y e t /∈ Y daı t /∈ x e vale Cx(t) = 0Cy(t).

2. Se t ∈ Y e t /∈ x entao Cx(t) = 0 ≤ Cy(t) = 1.

3. Se t ∈ Y tem-se t ∈ Y daı Cx(t) = 1 ≤ 1 = Cy(t).


Em qualquer caso vale a desigualdade.

⇐). Suponha que X nao esteja contido em Y , entao existe t tal que t ∈ X, t /∈ Y

portanto vale cx(t) = 1 e cy(t) = 0 e nao se verifica a desigualdade.

• CA\X = 1− Cx.

Analisamos dois casos

1. Se t /∈ X entao CA\X(t) = 1 = 1− Cx(t)︸︷︷︸0

.

2. Se t ∈ X CA\X(t) = 0 = 1− Cx(t)︸︷︷︸1

.

1.6 Teorema de Cantor-Schroeder-Bernstein e aplicacoes

Teorema 3 (Teorema de Cantor-Schroeder-Bernstein). Sejam A e B conjuntos tais que

existem funcoes injetoras f : A → B e g : B → A. Nessas condicoes existe bijecao entre

A e B.

Propriedade 58. Existe bijecao entre (0, 1)n em (0, 1).

Demonstracao.

Primeiro mostramos uma funcao injetora de (0, 1)n em (0, 1) um elemento de (0, 1)n

tem coordenadas

x1 = 0, x11x12x13 · · ·

x2 = 0, x21x22x23 · · ·

x3 = 0, x31x32x33 · · ·...

xn = 0, xn1xn2xn3 · · ·

vamos tomar essas representacoes sem que possuam infinitos noves consecutivos. Associ-

amos a cada uma dessas n-uplas o numero real

f(xk)n1 = 0, x11x21x31 · · · xn1x12x22x32 · · ·

percorrendo os algarismos de x1 depois os de de x2 etc.


f e bem definida. f e injetora: suponha que (xk)n1 = (yk)

n1 e f(xk)

n1 = f(yk)

n1 daı

xk = yk ∀k o que e absurdo! portanto a funcao e injetora.

Agora construımos funcao g injetora entre (0, 1) e (0, 1)n com g(x) = (x, 0, · · · , 0), real-mente tal funcao e injetora pois se tivessemos x = y e g(x) = g(y) terıamos (x, 0, · · · , 0) =(y, 0, · · · , 0), daı x = y , absurdo!

Pelo teorema de Cantor-Schroeder-Bernstein existe bijecao entre (0, 1) e (0, 1)n.

Corolario 24. Como existe bijecao entre (0, 1) e R, entao tambem existe bijecao entre

(0, 1)n e Rn, portanto bijecao entre R e Rn.

1.7 O Hotel de Hilbert -Brincando com o conceito de

infinito

O Hotel de Hilbert possui infinitos quartos, em quantidade enumeravel (1◦ quarto , 2◦

quarto, etc.)

Certa vez, o hotel estava com 500 quartos ocupados quando chegou um onibus contendo

uma infinidade enumeravel de turistas. O responsavel pela excursao se dirigiu a recepcao

do Hotel e logo foi atendido pelo recepcionista. O recepcionista informou que haviam

500 quartos ocupados, logo achou que dos infinitos turistas 500 ficariam sem quarto. Por

sorte o gerente do Hotel, David Hilbert, estava por perto no momento , ao ouvir sobre

a situacao foi a recepcao e disse que nao era necessario nenhuma preocupacao, haveria

quarto para todos. O esquema que Hilbert elaborou foi o seguinte:

Primeira famılia Quarto 501

Segunda famılia Quarto 502...

...

n-esima famılia Quarto 500 + n...

...

e assim todos turistas poderiam ser hospedados.

Mal Hilbert acabara de pensar na divisao dos quartos quando chegou outro onibus no

Hotel, tambem contendo uma quantidade infinita enumeravel de Turistas. O recepcionista

do Hotel, que nao sabia matematica, se desesperou, achava que teriam que mandar todos

aqueles turistas embora. Hilbert acalmou o recepcionista dizendo que ainda assim haveria


quarto para todos. Para solucionar o problema ele fez uma nova divisao de quartos da

seguinte maneira:

Primeiro onibus Segundo onibus

Primeira famılia → Quarto 501

Quarto 502 ← Primeira famılia

Segunda famılia → Quarto 503...

......

com isso ele consegui que todos fossem hospedados e portanto Hilbert salvou o dia e

todos viveram felizes para sempre. . . Na verdade Hilbert foi um pouco mais precavido, ele

supos que poderiam chegar outros onibus lotados de passageiros e decidiu deixar ainda

uma quantidade infinita de quartos vagos, caso chegassem novos hospedes, assim sua

divisao final ficou como

Primeiro onibus Segundo onibus

Primeira famılia → Quarto 501

Vazio Quarto 502 Vazio

Quarto 503 ← Primeira famılia

Segunda famılia → Quarto 504

Vazio Quarto 505 Vazio

Quarto 506 ← Segunda famılia...

......

Naquele Verao ainda chegariam outros onibus totalmente lotados de infinitos passagei-

ros e todos conseguiram um quarto e sempre sobravavam infinitos quartos para possıveis

novos passageiros.

Enum Era Bili Dade

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