Campo eléctrico: Distribuciones de CargaClase 4 01/31/14

Calculo del campo eléctrico E mediante la ley de Coulomb

La figura siguiente muestra un elemento de carga suficientemente pequeño para que podamos considerarle como una carga puntual. El campo eléctrico en un punto del campo debido a este elemento de caga viene dado por la ley de Coulomb:

En donde es un vector unitario que apunta desde el elemento a dicho punto.

𝑑𝐸=𝑘𝑑𝑞𝑟2

𝑟

Calculo del campo eléctrico E mediante la ley de Coulomb

Un elemento de carga produce produce un campo en el punto . El campo en debido a la carga total se obtiene integrando esta expresión para toda la distribución de carga.

𝑑𝐸=𝑘𝑑𝑞𝑟2

𝑟

𝑃𝑑𝑞=𝜌𝑑𝑉

𝑟

Calculo del campo electrico E mediante la ley de Coulomb

El campo total en se determina integrando esta expresión para la distribución de la carga completa. Es decir,

En donde . Si la carga esta distribuida sobre una superficie o línea, utilizaremos e integramos para toda la superficie o línea.

Campo electrico debido a una distribución continua de carga

Problemas

Problema 1

Una barra de 14cm de largo esta cargada uniformemente y tiene una

carga total de . Determine la magnitud y dirección del campo eléctrico a

lo largo del eje de la barra en un punto a 36cm de su centro.

Problemas Solucion

Datos

14𝑐𝑚

𝑑𝑥

(29 ;0 ) (36 ; 0 ) (43 ;0 )

𝑥

𝑥

0

Problemas

Solucion

Nos piden:

donde

Problemas

Solucion

Problemas

Problema 2

Tres cilindros plásticos sólidos tienen radio d 2.50 cm y longitude de

6cm. Uno a) transporta carga con densidad uniforme de por toda su

superficie. Otro b) conduce carga con la misma densidad uniforme solo

su cara lateral curva. El tercero c) tiene una carga de densidad uniforme

de en todo plástico. Encuentre la carga de cada cilindro.

Problemas

Solución6𝑐𝑚 6𝑐𝑚 6𝑐𝑚

𝜎 𝐴=15𝑛𝐶 /𝑚2 𝜎 𝐵=15𝑛𝐶 /𝑚2 𝜎𝐶=500𝑛𝐶 /𝑚2

𝐴 𝐵 𝐶𝑅𝐴=2.50 𝑐𝑚 𝑅𝐵=2.50𝑐𝑚 𝑅𝐶=2.50𝑐𝑚

Problemas

Solución

Nos piden de cada cilindro = ?

Problemas

Problema 3

Ocho cubos plástico solidos, cada uno con 3cm por lado, se unen par

formar cada uno de los objetos siguientes mostrados en la figura .

A) Si cada objeto transporta carga con densidad uniforme de a través

de su volumen, ¿Cuál es la carga de cada objeto?

B)Si a cada objeto se ;e da una carga con densidad uniforme de en

todas las partes de la superficie expuesta, ¿Cuál es la carga en cada

objeto?

Problemas

Problema 3

𝑎 𝑏 𝑐 𝑑

3𝑐𝑚

3𝑐𝑚

3𝑐𝑚

3𝑐𝑚

3𝑐𝑚3𝑐𝑚

3𝑐𝑚

3𝑐𝑚

3𝑐𝑚

3𝑐𝑚

3𝑐𝑚

3𝑐𝑚

Problemas

Solución

Inciso a

Donde

Problemas

Solución

Como ambas figuras tienen las mismas

dimensiones y la misma densidad de

carga volumetrica se concluye que

==

Problemas

Solución

Inciso b, figura a

Donde

Problemas

Solución

Inciso b, figura b

Donde

Problemas

Solución

Inciso b, figura c

Donde

Problemas

Solución

Inciso b, figura d

Donde

Carga de línea infinita

Si la carga está distribuida con densidad uniforme a lo largo de una línea recta infinita que escogeremos como eje

Este campo tiene simetría cilíndrica y es inversamente proporcional a la primera potencia de la distancia desde la línea de carga. Para una derivación de en la siguiente figura.

Coordenadas cilíndricas

Carga de línea infinita

𝐸

𝜌𝐿𝑥

𝑦

∞

−∞

Problemas

Problema 0

Sobre una línea descrita por se distribuyen uniformemente una carga de densidad . Determine el campo eléctrico en .

Problemas

Problema 0

𝑃 (−2 ,−1,4)

𝑅 ′

𝜌 ℓ

𝑃 (2 ,−4 , 𝑧)

𝑥

𝑦

𝑧

Problemas

Solución

Calculamos primero el vector dirección el cual es el siguiente:

Debido a esto tenemos:

𝐸=𝜌 ℓ

2𝜋 𝜖0𝑟𝑎𝑟=

20×10− 9

2𝜋𝜖0(5) (−4 𝑖+3 𝑗

5 )

Problemas

Solución

𝐸= 20×10−9

2𝜋 (8,8541878176×10−12 )(5)(−4 𝑖+3 𝑗

5 )

𝐸=−57.6 𝑖+43.2 𝑗𝑉 /𝑚

Problemas

Problema 1

Una carga lineal uniforme de densidad se distribuye desde (a) Cual es la carga total. Determinar el campo eléctrico que se genera sobre el eje en . (e) Determinar el campo en usando la aproximación de que se trata de una carga puntual en el origen y comparar el resultado con el obtenido exactamente. En (d).

Problemas

Solución

Podemos utilizar la definición de para encontrar la carga total de la carga lineal y la expresión para el campo eléctrico en el eje de una carga lineal finita para evaluar en las localizaciones dadas a lo largo del eje . En la parte (d) se puede aplicar la ley de Coulomb para el campo eléctrico debido a una carga puntual para aproximar el campo eléctrico en x = 250 m

Problemas

Solución

Utilizamos la definición de una densidad de carga lineal para expresar la carga en terminos de , por lo tanto tenemos:

𝑄=𝜆𝐿⇒𝑄=(3.5𝑛𝐶 /𝑚 ) (5𝑚 )=17.5𝑛𝐶

Problemas

Solución

Expresamos el campo electrico en el eje de una carga lineal finita como:

𝐸𝑥 (𝑥0 )= 𝑘𝑄𝑥𝑜 (𝑥0−𝐿)

Problemas

Solución Inciso b

Substituimos y evaluamos en la ecuación anterior para :

𝐸𝑥 (6𝑚 )=(8.99×109𝑁 ∙𝑚2/𝐶2 ) (17.5𝑛𝐶 )

(6𝑚 ) (6𝑚−5𝑚 )

𝐸𝑥 (6𝑚)=26.2𝑁 /𝐶

Problemas

Solución Inciso c

Substituimos y evaluamos en la ecuación anterior para :

𝐸𝑥 (6𝑚 )=(8.99×109𝑁 ∙𝑚2/𝐶2 ) (17.5𝑛𝐶 )

(9𝑚 ) (9𝑚−5𝑚 )

𝐸𝑥 (6𝑚)=4.37𝑁 /𝐶

Problemas

Solución Inciso d

Substituimos y evaluamos en la ecuación anterior para :

𝐸𝑥 (6𝑚 )=(8.99×109𝑁 ∙𝑚2/𝐶2 ) (17.5𝑛𝐶 )

(250𝑚 ) (250𝑚−5𝑚 )

𝐸𝑥 (6𝑚)=2.57𝑚𝑁 /𝐶

Problemas

Solución Inciso e

Utilizamos la ley de Coulomb para hallar el campo eléctrico debido a una carga puntual por lo tanto tenemos la siguiente aseveración:

Sustituimos valores y evaluamos

𝐸𝑥 (𝑥 )=𝑘𝑄𝑥2

𝐸𝑥 (250𝑚 )=(8.99×109𝑁 ∙𝑚2

𝐶2 ) (17.5𝑛𝐶 )

(250𝑚 )2=2.52𝑚𝑁 /𝐶

Problemas

Problema 2

Una carga de esta unifomemente distribuida sobre un anillo de radio 8.5cm. Determinar el campo eléctrico generado sobre el eje (a) 1.2cm, (b) 3.6cm y (c) 4m del centro del anillo. (d) Determinar el campo a 4m con la aproximación de que el anillo es una carga puntual en el origen y comparar el resultado con el obtenido en el (c).

Problemas

Solución

La magnitud del campo electrico la cual esta dada por:

, donde es la carga del anillo y es el radio del anillo. Nosotros usamos esta relación para encontrar el campo eléctrico en el eje dada la distancia al anillo.

Expresamos el campo electric del anillo como:

𝐸𝑥=𝑘𝑄𝑥

(𝑥2+𝑎2 )3 /2

Problemas

Solución Inciso a

De esta ultima expresion evaluamos para

𝐸𝑥 (1.2𝑐𝑚 )=(8.99×109𝑁 ∙𝑚2/𝐶2 ) (2.75𝜇𝐶 ) (1.2𝑐𝑚 )

((1.2𝑐𝑚 )2+(8.5𝑐𝑚 )2 )3 /2=4.69×105𝑁 /𝐶

Problemas

Solución Inciso b

De esta ultima expresion evaluamos para

𝐸𝑥 (1.2𝑐𝑚 )=(8.99×109𝑁 ∙𝑚2/𝐶2 ) (2.75𝜇𝐶 ) (3.6 𝑐𝑚 )

((3.6 𝑐𝑚 )2+(8.5𝑐𝑚 )2)3 /2=1.13×106𝑁 /𝐶

Problemas

Solución Inciso c

De esta ultima expresion evaluamos para

𝐸𝑥 (4𝑚)=(8.99×109𝑁 ∙𝑚2/𝐶2 ) (2.75𝜇𝐶 ) (4𝑚 )

((4𝑚)2+(0.085𝑚 )2 )3 /2=1.54×103𝑁 /𝐶

Problemas

Solución Inciso d

Usando la ley de coulomb para calcular el campo electrico tenemos:

Sustituimos y evaluamos en

𝐸𝑥=𝑘𝑄𝑥2

𝐸𝑥 (4𝑚 )=(8.99×109𝑁 ∙𝑚2/𝐶2 ) (275𝜇𝐶 ) (4𝑚 )

(4𝑚 )2=1.55×103𝑁 /𝐶

Problemas

Problema 3

Una carga lineal uniforme se extiende desde y posee una densidad de carga lineal (a) Determinar la carga total. Hallar el campo eléctrico generado sobre el eje en (b) , (e)Determinar el campo en suponiendo que la carga es puntual y comparar el resultado con el obtenido (d).

Problemas

Nosotros podemos usar la definición de para encontrar la carga en un segmento de carga lineal uniforme

Problemas

Solución

++++++++++++++++++++++++

𝜃1 𝜃2

𝑦

𝐸𝑦

𝐿 /2 𝐿 /2

L

Problemas

Si usamos la ecuación que nos describe la component debida a un segmento de carga lineal uniforme.

Por lo tanto tenemos

𝐸𝑥=𝑘 𝜆𝑦 (𝑐𝑜𝑠𝜃2−𝑐𝑜𝑠𝜃1 )

𝐸𝑥=𝑘 𝜆𝑦

(𝑐𝑜𝑠𝜃−𝑐𝑜𝑠 (−𝜃 ) )⟹𝐸𝑥=(𝑐𝑜𝑠 𝜃−𝑐𝑜𝑠𝜃 )=0

Problemas

Si usamos la ecuación que nos describe la component debida a un segmento de carga lineal uniforme.

Por lo tanto tenemos

𝐸𝑦=𝑘 𝜆𝑦 (𝑠𝑒𝑛𝜃2−𝑠𝑒𝑛𝜃1 )

𝐸𝑦=𝑘 𝜆𝑦

(𝑠𝑒𝑛𝜃−𝑠𝑒𝑛 (−𝜃 ) )⟹𝐸 𝑦=2𝑘 𝜆𝑦

𝑠𝑒𝑛 𝜃

Problemas

Sustituyendo la función en función de e , de acuerdo a la figura anterior tenemos lo siguiente

Por lo tanto tenemos

𝑠𝑒𝑛𝜃=𝐶 .𝑂𝐻

=

12𝐿

√( 12 𝐿)2

+𝑦2

𝐸𝑦=2𝑘𝜆𝑦

12𝐿

√( 12 𝐿)2

+𝑦2

Problemas

El vector E viene dado por:

𝐸=𝐸𝑥 𝑖+𝐸𝑦 𝑗=

2𝑘 𝜆𝑦

12𝐿

√( 12 𝐿)2

+𝑦 2𝑗

Problemas

Solución Inciso a

De acuerdo a la definición para la distribución de una carga sobre una linea tenemos que:

La densidad de carga la expresamos en terminus de en terminos de y tenemos que:

𝑄=𝜆𝐿= (6𝑛𝐶 /𝑚 ) (5 𝑐𝑚 )=0.300𝑛𝐶

𝐸𝑦=2𝑘𝜆𝑦

12𝐿

√( 12 𝐿)2

+ 𝑦2

Problemas

Solución Inciso b

Esto implica que podamos evaluar :

𝐸𝑦 (4𝑐𝑚 )=2 (8.99×109𝑁 ∙𝑚2/𝐶2 )

0.04𝑚

12

(6𝑛𝐶 /𝑚) (0.05𝑚)

√(0.025𝑚 )2+ (0.04𝑚 )2=1.43𝑘𝑁 /𝐶

Problemas

Solución Inciso c

Esto implica que podamos evaluar :

𝐸𝑦 (12𝑐𝑚 )=2 (8.99×109𝑁 ∙𝑚2/𝐶2 )

0.12𝑚

12

(6𝑛𝐶 /𝑚 ) (0.05𝑚 )

√ (0.025𝑚)2+ (0.12𝑚 )2=183𝑘𝑁 /𝐶

Problemas

Solución Inciso d

Esto implica que podamos evaluar :

𝐸𝑦 (4.5𝑚 )=2 (8.99×109𝑁 ∙𝑚2/𝐶2 )

4.5𝑚

12

(6𝑛𝐶 /𝑚 ) (0.05𝑚 )

√ (0.025𝑚 )2+(4.5𝑚)2=0.133𝑁 /𝐶

Problemas

Solución Inciso e

Usamos la ley de Coulomb para encontrar el campo electric

𝐸𝑦 ( 𝑦 )=𝑘𝑄𝑦 2

Problemas

Solución Inciso e

𝐸𝑦 (4.5𝑚 )=𝑘𝑄𝑦2

=(8.99×109𝑁 ∙𝑚2/𝐶2 ) (0.3𝑛𝐶 )

(4.5𝑚)2=0.133N /C

Problemas 4

Problema 4

Un pedazo de poliestireno de masa tiene una carga neta de y flota sobre el centro de una lámina de plástico horizontal muy larga, que tiene una densidad de carga uniforme en su superficie. ¿Cuál es la carga por unidad de área de la lámina de plástico?

Problemas 4

Solución

Sea la figura

Nos piden:

𝑚 −𝑞𝑑

𝐸

𝐿á𝑚𝑖𝑛𝑎𝑑𝑒𝑝𝑙á 𝑠𝑡𝑖𝑐𝑜𝑚𝑢𝑦 𝑙𝑎𝑟𝑔𝑎

Problemas 4

Haciendo Diagrama de cuerpo libre

𝑞 ∙𝐸

𝑚𝑔

𝐹𝑙𝑜𝑡𝑎

Problemas 4

Solución

Suponiendo que la carga flota a una distancia ; entonces

Luego:

𝑄á𝑟𝑒𝑎

=𝑄𝑑2⏟

𝑃𝑜𝑙𝑖𝑒𝑠𝑡𝑖𝑟𝑒𝑛𝑜

=𝜎