1 Catana Ponce Abraham 3RO B

CARPETA DE EVIDENCIAS

“MATEMATICAS”

PERIODO: 2013 – 2014

SEMESTRE “A”

CATEDRATICA: Lic. Mat. Ofelia Mercedes Izquierdo

Valladares

ALUMNO: CATANA PONCE ABRAHAM

GRADO: 3 GRUPO: B

2 Catana Ponce Abraham 3RO B

Calculo

SEMESTRE

“A”

3 Catana Ponce Abraham 3RO B

Primer parcial

Relaciones y

funciones

4 Catana Ponce Abraham 3RO B

INDICE

EVALUACIÓN DE FUNCIONES

OPERACIONES CON FUNCIONES

TIPOS DE FUNCIONES

RELACIONES Y FUNCIONES

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6 Catana Ponce Abraham 3RO B

7 Catana Ponce Abraham 3RO B

8 Catana Ponce Abraham 3RO B

Límites

SEGUNDO

PARCIAL

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INDICE

FUNCIÓN POR PARTES

CASOS DE LÍMITES

APLICACIÓN DE LA DEFINICIÓN DE LÍMITE

DE UNA FUNCIÓN Y SUS PROPIEDADES

LIMITES EN EL INFINITO

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11 Catana Ponce Abraham 3RO B

12 Catana Ponce Abraham 3RO B

13 Catana Ponce Abraham 3RO B

14 Catana Ponce Abraham 3RO B

Introducción al cálculo

diferencial

Tercer parcial

15 Catana Ponce Abraham 3RO B

INDICE

LIMITES DE FUNCIONES EXPONENCIALES

RAZÓN DE CAMBIO PROMEDIO

RAZÓN DE CAMBIO INSTANTÁNEA

DERIVADA DE FUNCIONES

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17 Catana Ponce Abraham 3RO B

18 Catana Ponce Abraham 3RO B

19 Catana Ponce Abraham 3RO B

20 Catana Ponce Abraham 3RO B

Cuarto parcial

cálculo

Diferencial

21 Catana Ponce Abraham 3RO B

INSTITUTO DE INVESTIGACION Y ENSEÑANZA

IBEROAMERICANO A.C

CATANA PONE ABRAHAM

TRABAJO ESPECIAL

MTRA. OFELIA MERCEDES IZQUIERDO

VALLADARES

3 “B”

2013-2013

22 Catana Ponce Abraham 3RO B

INTRODUCCION Bueno a través de los mecanismos del calculo diferencial es

fácil encontrar la respuesta a estos problemas claro con una

cierta y concreta explicación el cual ayude a resolver, en el

tema de máximo y mínimos puede ocurrir que entre los valores

uno sea el más grande y el otro pequeño como lo dice máximo

y mínimo así pues a estos valores se les llama respectivamente

punto máximo y punto mínimo absolutos.

También veremos los puntos de inflexión y concavidad de la

curva los cuales se caracterizan por ser puntos, la curva

cambia de creciente a decreciente o viceversa, los llamados

puntos de inflexión de una curva, los dos temas que se darán a

conocer en este trabajo vendrán más explicados con ayuda de

ejemplos y definiciones

23 Catana Ponce Abraham 3RO B

INDICE

MAXIMOS Y MINIMOS DE UNA FUNCIÓN

EJEMPLOS ANALITICOS DE COMO HALLAR

PUNTOS MÁXIMOS Y MINIMOS DE UNA

FUNCIÓN

PUNTOS DE INFLEXIÓN Y CONCAVIDAD DE

LA CURVA

24 Catana Ponce Abraham 3RO B

MÁXIMO Y MÍNIMO DE UNA FUNCIÓN

Dada una función f(x), se dice que tiene un máximo relativo en un punto de abscisa a, si existe un intervalo (a - a + f(x) < f(a) para cualquier punto x perteneciente a (a - a + ximo es entonces el punto (a, f(a)) de la curva. La función f(x) tiene un mínimo relativo en un punto b si hay un intervalo (b - b + que f(x) > f(b) para cualquier punto x perteneciente a (b - b + punto (b, f(b)) de la curva. A los máximos y mínimos de una función se les da el nombre común de extremos relativos o simplemente extremos. Es claro, como se ve en la gráfica, que una función puede tener más de un máximo y más de un mínimo. Consecuencias

1. La tangente a una curva en cualquiera de sus extremos es paralela al eje de abscisas, por lo que el ángulo que forma con dicho eje es de cero grados. En consecuencia, la pendiente de dichas tangentes (tg 0º) es cero. Como estas pendientes coinciden con las derivadas de la función en los puntos de abscisa correspondientes, se deduce inmediatamente que f'(a) = 0 y f'(b) = 0, si en a y b existe un máximo o un mínimo. 2. De lo anterior se desprende que los extremos relativos de una función deben buscarse

entre los valores que hacen cierta la igualdad f'(x) = 0. No obstante, aún no se dispone de ningún método que permita determinar si las soluciones de la ecuación f'(x) = 0 son máximos, mínimos, o ni lo uno ni lo otro. Todas estas consideraciones tienen sentido si la función es derivable en los extremos relativos, condición que, como ya se sabe y muestra la figura, no siempre se da. Así, en el punto (a,f(a)) hay un mínimo relativo pero la función no es derivable en el punto a; por tanto, no existe f'(a).

Máximos y mínimos

Si f es derivable en a, a es un extremo relativo o local si:

1. Si f'(a) = 0.

2. Si f''(a) ≠ 0.

25 Catana Ponce Abraham 3RO B

Máximos locales

Si f y f' son derivables en a, a es un máximo relativo o local si se cumple:

1. f'(a) = 0

2. f''(a) < 0

Mínimos locales

Si f y f' son derivables en a, a es un mínimo relativo o local si se cumple:

1. f'(a) = 0

2. f''(a) > 0

Cálculo de máximos y mínimos

Estudiar los máximos y mínimos de:

f(x) = x3 − 3x + 2

Para hallar sus extremos locales, seguiremos los siguientes pasos:

1. Hallamos la derivada primera y calculamos sus raíces.

f'(x) = 3x2 − 3 = 0

x = −1 x = 1.

2. Realizamos la 2ª derivada, y calculamos el signo que toman en ella los ceros de

derivada primera y si:

f''(x) > 0 Tenemos un mínimo.

f''(x) < 0 Tenemos un máximo.

f''(x) = 6x

26 Catana Ponce Abraham 3RO B

f''(−1) = −6 Máximo

f'' (1) = 6 Mínimo

3. Calculamos la imagen (en la función) de los extremos relativos.

f(−1) = (−1)3 − 3(−1) + 2 = 4

f(1) = (1)3 − 3(1) + 2 = 0

Máximo(−1, 4) Mínimo(1, 0)

Máximo absoluto

Una función tiene su máximo absoluto en el x = a si la ordenada es mayor o igual que

en cualquier otro punto del dominio de la función.

a = 0

Mínimo absoluto

Una función tiene su mínimo absoluto en el x = b si la ordenada es menor o igual que en

cualquier otro punto del dominio de la función.

27 Catana Ponce Abraham 3RO B

b = 0

Máximo y mínimo relativo

Una función f tiene un máximo relativo en el punto a, si f(a) es mayor o igual que los puntos

próximos al punto a.

Una función f tiene un mínimo relativo en el punto b, si f(b) es menor o igual que los puntos

próximos al punto b.

a = 3.08 b = -3.08

28 Catana Ponce Abraham 3RO B

Ejemplos analíticos de cómo hallar puntos máximos y minimos de una función

EJEMPLO 1

f(x) = x3 − 3x + 2

f'(x) = 3x2 − 3 = 0

f''(x) = 6x

f''(−1) = −6 Máximo

f''(1) = 6 Mínimo

f(−1) = (−1)3 − 3(−1) + 2 = 4

f(1) = (1)3 − 3(1) + 2 = 0

Máximo(−1, 4) Mínimo(1, 0)

EJEMPLO 2

Hallar los máximos y mínimos de:

29 Catana Ponce Abraham 3RO B

Tenemos un mínimo en x = 3

Mínimo(3, 27/4)

En x = 1 no hay un máximo porque x = 1 no pertenece al dominio de la función.

EJEMPLO 3

Candidatos a extremos: − 1 y 1 .

f"( − 1) = 6 > 0 Mínimo

f"(1) = − 6 < 0 Máximo

f(−1) = 3 · (−1) − (−1)³ = − 2

f(1) = 3 · 1 − 1³ = 2

Máximo ( − 1, − 2) Mínimo(1, 2)

30 Catana Ponce Abraham 3RO B

EJEMPLO 4

Candidatos a extremos: − 2, 0 y 2 .

f(−2) = (−2)4 − 8 · ( − 2)² + 3 = − 13

f(0) = 04 − 8 · 0² + 3 = 3

f(2) = 2 4 − 8 · 2² + 3 = − 13

Máximos: ( − 1, − 13) , ( 2, − 13) Mínimo(0, 3)

31 Catana Ponce Abraham 3RO B

EJEMPLO 5

Encontrar el valor máximo o mínimo de la función y = 4x – x2

Siguiendo los tres pasos anteriores, tenemos

Tomar dos valores, uno ligeramente mayor y otro ligeramente menor que x = 2 Para x = 1.9 dy/dx = 4 – 2 (1.9) = 0.2 es positivo Para x = 2.1 dy/dx = 4 – 2 (2.1) = -0. 2 es negativo

Se observa que hay un cambio en la pendiente de la recta de (+) a (-) entonces la curva pasa de

creciente a decreciente por lo que se deduce que la curva presenta un punto máximo.

Concavidad y puntos de Inflexión de una curva.

Así como los puntos máximos y mínimos de una curva se caracterizan por ser puntos en los

cuales la curva cambia de creciente a decreciente o viceversa, los llamados puntos de

inflexión de una curva (cuando existen), se caracterizan por determinar un cambio en la

concavidad de la curva.

Antes de presentar la definición precisa de concavidad, se harán algunas observaciones de

tipo intuitivo.

Una función es cóncava en un intervalo cuando para cualquier par de puntos de la curva (dentro del

intervalo), el segmento que los une queda por debajo de la gráfica. Cuando el segmento queda por encima de la gráfica, la función es convexa en dicho intervalo.

32 Catana Ponce Abraham 3RO B

Puntos de inflexión son los puntos del dominio donde la función pasa de cóncava a convexa (o de convexa a cóncava)

Teorema

es convexa en

es cóncava en

posible punto de inflexión en [Será punto de inflexión

cuando ]

Calcular los intervalos de concavidad y convexidad

1) Calculamos y

2) Resolvemos la ecuación 3) Dibujamos en la recta real las soluciones de la ecuación anterior y los posibles puntos de

discontinuidad de la función. Ello dejará la recta real dividida en intervalos.

33 Catana Ponce Abraham 3RO B

4) Estudiamos el signo de en cada uno de los intervalos anteriores. Para ello tomamos un

punto del intervalo y comprobamos si es positivo o negativo.

Si es positivo, la función es convexa en ese intervalo Si es negativo, la función es cóncava en ese intervalo

Calcular puntos de inflexión

Las soluciones de la ecuación son los candidatos a puntos de inflexión. A cada candidato "c" le aplicamos la 3ª derivada:

Si es punto de inflexión

Si no podemos asegurar nada.

EJEMPLOS DE PUNTOS DE INFLEXION:

1.

34 Catana Ponce Abraham 3RO B

2.

3.

Punto de inflexión(0, 0)

4. f(x) = x3 − 3x + 2

f ' ' (x) = 6x 6x = 0 x = 0.

f ' ' '(x) = 6 f ' ' ' (0) = 6 ≠0 .

Por tanto, en x = 0 hay un punto de inflexión.

f(0) = (0)3 − 3(0) + 2 = 2

Punto de inflexión(2)

CONCAVIDAD

35 Catana Ponce Abraham 3RO B

1.

2.

3.

36 Catana Ponce Abraham 3RO B

4.

37 Catana Ponce Abraham 3RO B

CONCLUSION:

BUENO ESTE TEMA SE ME HIZO MUY RARO AL PRINCIPIO NO ENTENDI MUCHAS COSAS

QUELA VERDAD ME CONFUNDIERON PERO AHORA ME DOY CUENTA QUE VA DE LA MANO

CON EL TEMA QUE AHORITA ESTAMOS RETOMANDO Y PUES ESPERO Y APRENDER A

HACERLO YA QUE CREEO QUE SOY UNA PERSONA QUE QUIERE SUPERARSE EN TODOS LOS

ASPECTOS DE EDUCACION COMO YA LO ABRAN NOTADO.

BIBLIOGRAFIAS (POR ORDEN DE INVESTIGACION)

http://www.vitutor.com/fun/5/a_3.html

http://www.sectormatematica.cl/contenidos/maxymin.htmL

http://www.vitutor.com/fun/2/a_9.html

www.vitutor.com/fun/5/x_e.htm

www.dervor.com/derivadas/maximos_mimimos.html

www.ditutor.com/funciones_1/maximos_minimos.html

http://www.slideshare.net/LuisDanielMoralesCastao/ejemplos-de-concavidad

http://docencia.udea.edu.co/ingenieria/calculo/pdf/4_7_1.pdf

www.dervor.com/derivadas/punto_inflexion.html

www.tec-digital.itcr.ac.cr/revistamatematica/cursos-linea/.../node5.html

http://matematicasies.com/Curvatura-concavidad-y-convexidad