Calculo portafolio semestre a miss ofe
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1 Catana Ponce Abraham 3RO B
CARPETA DE EVIDENCIAS
“MATEMATICAS”
PERIODO: 2013 – 2014
SEMESTRE “A”
CATEDRATICA: Lic. Mat. Ofelia Mercedes Izquierdo
Valladares
ALUMNO: CATANA PONCE ABRAHAM
GRADO: 3 GRUPO: B
2 Catana Ponce Abraham 3RO B
Calculo
SEMESTRE
“A”
3 Catana Ponce Abraham 3RO B
Primer parcial
Relaciones y
funciones
4 Catana Ponce Abraham 3RO B
INDICE
EVALUACIÓN DE FUNCIONES
OPERACIONES CON FUNCIONES
TIPOS DE FUNCIONES
RELACIONES Y FUNCIONES
5 Catana Ponce Abraham 3RO B
6 Catana Ponce Abraham 3RO B
7 Catana Ponce Abraham 3RO B
8 Catana Ponce Abraham 3RO B
Límites
SEGUNDO
PARCIAL
9 Catana Ponce Abraham 3RO B
INDICE
FUNCIÓN POR PARTES
CASOS DE LÍMITES
APLICACIÓN DE LA DEFINICIÓN DE LÍMITE
DE UNA FUNCIÓN Y SUS PROPIEDADES
LIMITES EN EL INFINITO
10 Catana Ponce Abraham 3RO B
11 Catana Ponce Abraham 3RO B
12 Catana Ponce Abraham 3RO B
13 Catana Ponce Abraham 3RO B
14 Catana Ponce Abraham 3RO B
Introducción al cálculo
diferencial
Tercer parcial
15 Catana Ponce Abraham 3RO B
INDICE
LIMITES DE FUNCIONES EXPONENCIALES
RAZÓN DE CAMBIO PROMEDIO
RAZÓN DE CAMBIO INSTANTÁNEA
DERIVADA DE FUNCIONES
16 Catana Ponce Abraham 3RO B
17 Catana Ponce Abraham 3RO B
18 Catana Ponce Abraham 3RO B
19 Catana Ponce Abraham 3RO B
20 Catana Ponce Abraham 3RO B
Cuarto parcial
cálculo
Diferencial
21 Catana Ponce Abraham 3RO B
INSTITUTO DE INVESTIGACION Y ENSEÑANZA
IBEROAMERICANO A.C
CATANA PONE ABRAHAM
TRABAJO ESPECIAL
MTRA. OFELIA MERCEDES IZQUIERDO
VALLADARES
3 “B”
2013-2013
22 Catana Ponce Abraham 3RO B
INTRODUCCION Bueno a través de los mecanismos del calculo diferencial es
fácil encontrar la respuesta a estos problemas claro con una
cierta y concreta explicación el cual ayude a resolver, en el
tema de máximo y mínimos puede ocurrir que entre los valores
uno sea el más grande y el otro pequeño como lo dice máximo
y mínimo así pues a estos valores se les llama respectivamente
punto máximo y punto mínimo absolutos.
También veremos los puntos de inflexión y concavidad de la
curva los cuales se caracterizan por ser puntos, la curva
cambia de creciente a decreciente o viceversa, los llamados
puntos de inflexión de una curva, los dos temas que se darán a
conocer en este trabajo vendrán más explicados con ayuda de
ejemplos y definiciones
23 Catana Ponce Abraham 3RO B
INDICE
MAXIMOS Y MINIMOS DE UNA FUNCIÓN
EJEMPLOS ANALITICOS DE COMO HALLAR
PUNTOS MÁXIMOS Y MINIMOS DE UNA
FUNCIÓN
PUNTOS DE INFLEXIÓN Y CONCAVIDAD DE
LA CURVA
24 Catana Ponce Abraham 3RO B
MÁXIMO Y MÍNIMO DE UNA FUNCIÓN
Dada una función f(x), se dice que tiene un máximo relativo en un punto de abscisa a, si existe un intervalo (a - a + f(x) < f(a) para cualquier punto x perteneciente a (a - a + ximo es entonces el punto (a, f(a)) de la curva. La función f(x) tiene un mínimo relativo en un punto b si hay un intervalo (b - b + que f(x) > f(b) para cualquier punto x perteneciente a (b - b + punto (b, f(b)) de la curva. A los máximos y mínimos de una función se les da el nombre común de extremos relativos o simplemente extremos. Es claro, como se ve en la gráfica, que una función puede tener más de un máximo y más de un mínimo. Consecuencias
1. La tangente a una curva en cualquiera de sus extremos es paralela al eje de abscisas, por lo que el ángulo que forma con dicho eje es de cero grados. En consecuencia, la pendiente de dichas tangentes (tg 0º) es cero. Como estas pendientes coinciden con las derivadas de la función en los puntos de abscisa correspondientes, se deduce inmediatamente que f'(a) = 0 y f'(b) = 0, si en a y b existe un máximo o un mínimo. 2. De lo anterior se desprende que los extremos relativos de una función deben buscarse
entre los valores que hacen cierta la igualdad f'(x) = 0. No obstante, aún no se dispone de ningún método que permita determinar si las soluciones de la ecuación f'(x) = 0 son máximos, mínimos, o ni lo uno ni lo otro. Todas estas consideraciones tienen sentido si la función es derivable en los extremos relativos, condición que, como ya se sabe y muestra la figura, no siempre se da. Así, en el punto (a,f(a)) hay un mínimo relativo pero la función no es derivable en el punto a; por tanto, no existe f'(a).
Máximos y mínimos
Si f es derivable en a, a es un extremo relativo o local si:
1. Si f'(a) = 0.
2. Si f''(a) ≠ 0.
25 Catana Ponce Abraham 3RO B
Máximos locales
Si f y f' son derivables en a, a es un máximo relativo o local si se cumple:
1. f'(a) = 0
2. f''(a) < 0
Mínimos locales
Si f y f' son derivables en a, a es un mínimo relativo o local si se cumple:
1. f'(a) = 0
2. f''(a) > 0
Cálculo de máximos y mínimos
Estudiar los máximos y mínimos de:
f(x) = x3 − 3x + 2
Para hallar sus extremos locales, seguiremos los siguientes pasos:
1. Hallamos la derivada primera y calculamos sus raíces.
f'(x) = 3x2 − 3 = 0
x = −1 x = 1.
2. Realizamos la 2ª derivada, y calculamos el signo que toman en ella los ceros de
derivada primera y si:
f''(x) > 0 Tenemos un mínimo.
f''(x) < 0 Tenemos un máximo.
f''(x) = 6x
26 Catana Ponce Abraham 3RO B
f''(−1) = −6 Máximo
f'' (1) = 6 Mínimo
3. Calculamos la imagen (en la función) de los extremos relativos.
f(−1) = (−1)3 − 3(−1) + 2 = 4
f(1) = (1)3 − 3(1) + 2 = 0
Máximo(−1, 4) Mínimo(1, 0)
Máximo absoluto
Una función tiene su máximo absoluto en el x = a si la ordenada es mayor o igual que
en cualquier otro punto del dominio de la función.
a = 0
Mínimo absoluto
Una función tiene su mínimo absoluto en el x = b si la ordenada es menor o igual que en
cualquier otro punto del dominio de la función.
27 Catana Ponce Abraham 3RO B
b = 0
Máximo y mínimo relativo
Una función f tiene un máximo relativo en el punto a, si f(a) es mayor o igual que los puntos
próximos al punto a.
Una función f tiene un mínimo relativo en el punto b, si f(b) es menor o igual que los puntos
próximos al punto b.
a = 3.08 b = -3.08
28 Catana Ponce Abraham 3RO B
Ejemplos analíticos de cómo hallar puntos máximos y minimos de una función
EJEMPLO 1
f(x) = x3 − 3x + 2
f'(x) = 3x2 − 3 = 0
f''(x) = 6x
f''(−1) = −6 Máximo
f''(1) = 6 Mínimo
f(−1) = (−1)3 − 3(−1) + 2 = 4
f(1) = (1)3 − 3(1) + 2 = 0
Máximo(−1, 4) Mínimo(1, 0)
EJEMPLO 2
Hallar los máximos y mínimos de:
29 Catana Ponce Abraham 3RO B
Tenemos un mínimo en x = 3
Mínimo(3, 27/4)
En x = 1 no hay un máximo porque x = 1 no pertenece al dominio de la función.
EJEMPLO 3
Candidatos a extremos: − 1 y 1 .
f"( − 1) = 6 > 0 Mínimo
f"(1) = − 6 < 0 Máximo
f(−1) = 3 · (−1) − (−1)³ = − 2
f(1) = 3 · 1 − 1³ = 2
Máximo ( − 1, − 2) Mínimo(1, 2)
30 Catana Ponce Abraham 3RO B
EJEMPLO 4
Candidatos a extremos: − 2, 0 y 2 .
f(−2) = (−2)4 − 8 · ( − 2)² + 3 = − 13
f(0) = 04 − 8 · 0² + 3 = 3
f(2) = 2 4 − 8 · 2² + 3 = − 13
Máximos: ( − 1, − 13) , ( 2, − 13) Mínimo(0, 3)
31 Catana Ponce Abraham 3RO B
EJEMPLO 5
Encontrar el valor máximo o mínimo de la función y = 4x – x2
Siguiendo los tres pasos anteriores, tenemos
Tomar dos valores, uno ligeramente mayor y otro ligeramente menor que x = 2 Para x = 1.9 dy/dx = 4 – 2 (1.9) = 0.2 es positivo Para x = 2.1 dy/dx = 4 – 2 (2.1) = -0. 2 es negativo
Se observa que hay un cambio en la pendiente de la recta de (+) a (-) entonces la curva pasa de
creciente a decreciente por lo que se deduce que la curva presenta un punto máximo.
Concavidad y puntos de Inflexión de una curva.
Así como los puntos máximos y mínimos de una curva se caracterizan por ser puntos en los
cuales la curva cambia de creciente a decreciente o viceversa, los llamados puntos de
inflexión de una curva (cuando existen), se caracterizan por determinar un cambio en la
concavidad de la curva.
Antes de presentar la definición precisa de concavidad, se harán algunas observaciones de
tipo intuitivo.
Una función es cóncava en un intervalo cuando para cualquier par de puntos de la curva (dentro del
intervalo), el segmento que los une queda por debajo de la gráfica. Cuando el segmento queda por encima de la gráfica, la función es convexa en dicho intervalo.
32 Catana Ponce Abraham 3RO B
Puntos de inflexión son los puntos del dominio donde la función pasa de cóncava a convexa (o de convexa a cóncava)
Teorema
es convexa en
es cóncava en
posible punto de inflexión en [Será punto de inflexión
cuando ]
Calcular los intervalos de concavidad y convexidad
1) Calculamos y
2) Resolvemos la ecuación 3) Dibujamos en la recta real las soluciones de la ecuación anterior y los posibles puntos de
discontinuidad de la función. Ello dejará la recta real dividida en intervalos.
33 Catana Ponce Abraham 3RO B
4) Estudiamos el signo de en cada uno de los intervalos anteriores. Para ello tomamos un
punto del intervalo y comprobamos si es positivo o negativo.
Si es positivo, la función es convexa en ese intervalo Si es negativo, la función es cóncava en ese intervalo
Calcular puntos de inflexión
Las soluciones de la ecuación son los candidatos a puntos de inflexión. A cada candidato "c" le aplicamos la 3ª derivada:
Si es punto de inflexión
Si no podemos asegurar nada.
EJEMPLOS DE PUNTOS DE INFLEXION:
1.
34 Catana Ponce Abraham 3RO B
2.
3.
Punto de inflexión(0, 0)
4. f(x) = x3 − 3x + 2
f ' ' (x) = 6x 6x = 0 x = 0.
f ' ' '(x) = 6 f ' ' ' (0) = 6 ≠0 .
Por tanto, en x = 0 hay un punto de inflexión.
f(0) = (0)3 − 3(0) + 2 = 2
Punto de inflexión(2)
CONCAVIDAD
35 Catana Ponce Abraham 3RO B
1.
2.
3.
36 Catana Ponce Abraham 3RO B
4.
37 Catana Ponce Abraham 3RO B
CONCLUSION:
BUENO ESTE TEMA SE ME HIZO MUY RARO AL PRINCIPIO NO ENTENDI MUCHAS COSAS
QUELA VERDAD ME CONFUNDIERON PERO AHORA ME DOY CUENTA QUE VA DE LA MANO
CON EL TEMA QUE AHORITA ESTAMOS RETOMANDO Y PUES ESPERO Y APRENDER A
HACERLO YA QUE CREEO QUE SOY UNA PERSONA QUE QUIERE SUPERARSE EN TODOS LOS
ASPECTOS DE EDUCACION COMO YA LO ABRAN NOTADO.
BIBLIOGRAFIAS (POR ORDEN DE INVESTIGACION)
http://www.vitutor.com/fun/5/a_3.html
http://www.sectormatematica.cl/contenidos/maxymin.htmL
http://www.vitutor.com/fun/2/a_9.html
www.vitutor.com/fun/5/x_e.htm
www.dervor.com/derivadas/maximos_mimimos.html
www.ditutor.com/funciones_1/maximos_minimos.html
http://www.slideshare.net/LuisDanielMoralesCastao/ejemplos-de-concavidad
http://docencia.udea.edu.co/ingenieria/calculo/pdf/4_7_1.pdf
www.dervor.com/derivadas/punto_inflexion.html
www.tec-digital.itcr.ac.cr/revistamatematica/cursos-linea/.../node5.html
http://matematicasies.com/Curvatura-concavidad-y-convexidad