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11/03/2020
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RECONOCIMIENTO DE PATRONES
LABORATORIO AVANZADO DE PROCESAMIENTO DE IMÁGENESFACULTAD DE INGENIERÍA
RECONOCIMIENTO DE PATRONES
LABORATORIO AVANZADO DE PROCESAMIENTO DE IMÁGENESFACULTAD DE INGENIERÍA
2020
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“ Given a number of features, how can one select the most important of them so as to reduce their number and at the same time retain as much as possible of their class discriminatory information? “
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Datos
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Vectores??
f: X Y
X,Y pueden ser vectores, matrices, tensor, grafo.
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Ecuación de la recta• f: X Y
y=mx+b reescribiendo f(x)=mx+b
La línea como un modelo𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏
• Problema: estimar la línea a partir de los datos• Relación entre 𝑥 y 𝑦• Dada una 𝑥 identifico la 𝑦 resultante
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• Algo mas generaly=w0x0+w1x1
• m=w1
• b=w0
• x=x1
• 1=x0
más general …
Regresión lineal y, sub y sobre ajuste• La metodología
argmin 𝔼(𝑓 𝑥 , 𝑦 )
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Elementos de la línea𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏
• 𝑥 variable independiente• 𝑦 variable dependiente• 𝑚 pendiente• 𝑏 intersección
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Como modelo
𝑓(𝑥) = 𝑚𝑥 + 𝑏
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Espacio de hipótesis
ℍ = 𝑚𝑥 + 𝑏, ∀𝑚 ∈ ℝ, 𝑏 ∈ ℝ
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Reformulando... (expandiendo x)𝑦 = 𝑤 𝑥 + 𝑤 𝑥
• 𝑚 = 𝑤
• 𝑏 = 𝑤
• 𝑥 = 𝑥
• 1 = 𝑥¿…pero por qué…?
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Como operación de matrices
• Pero podemos hacerlo mejor
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𝑓 𝑥 = 𝑊 𝑋 =𝑤𝑤 𝑥 𝑥 =
𝑤𝑤 1 𝑥
Pasado a dimensiones
𝑓 𝑥 = 𝑊 𝑋 =𝑤𝑤 𝑥 𝑥 =
𝑤𝑤 1 𝑥
𝑓 𝑥 = 𝑊 𝑋 =
𝑤𝑤 . . 𝑤
𝑥 𝑥 . . 𝑥 =
𝑤𝑤 . . 𝑤
1 𝑥 . . 𝑥
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Redefiniendo regresión lineal
Para un conjunto 𝑿 de n datos en ℝ , de la forma 𝒙 , 𝑖 = 1, … , 𝑛
para el cual agregamos un vector constante 𝑥 = 1
Y para un conjunto de 𝑦 con 𝑛 puntos relacionados con 𝑿 en posición.Suponemos:
𝑓 𝑥 = 𝑾 𝒙
¿Qué dimensiones tiene 𝑾?15
Evaluación: Error cuadrado
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𝑬(𝒇 𝑿 , 𝒚) = (𝒚𝒊
− 𝒇 𝒙𝒊𝟐
𝒏
𝒊 𝟎
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Más específico
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𝑬 𝒇𝑾 𝑿 , 𝒚 = 𝒚𝒊 − 𝑾𝑻𝒙𝒊𝟐
𝒏
𝒊 𝟎
Mucho más específicos
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Optimización: búsqueda
Descenso por gradiente 19
Descenso por Gradiente
• Método general de minimización• Busca identificar un mínimo dentro de una
función
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Algunas funciones son fáciles
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Algunas funciones son difíciles
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Nuestras opciones
• Analítica: 1ª derivada, igualar a cero, deducir valores
• Métodos numéricos: GD (1ª derivada), Newton’sGD (1ª y 2ª derivada)
• Aproximativos: LBFS, PSO, AP
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Imaginemos
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El escenario naïve
• En algún punto de la montaña• En cada dirección (S,N,O,P) medimos cuanto
bajamos al dar un paso• Dar un paso en la dirección que bajamos más
Avanzamos sólo un paso y en una dirección
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¿Si sólo hubiera una forma de saber hacia donde decrece la montaña?
• Supongamos que estamos en algún punto de 𝑓 𝜃
• La pendiente en cada dimensión 𝛻 = , … ,
• La pendiente indica cuanto crece la montaña• Entonces, vayamos en dirección contraria (…)• ¿Qué tan grande el paso? Entre más grande la
pendiente un paso más grande, y viceversa• Seamos inteligentes y pongamos un parámetro 𝒌, i.e
Al final se tiene: - 𝒌𝛻26
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Formulación
• Dado un punto, podemos encontrar un nuevo punto más bajo
𝛉 = 𝛉 − 𝒌𝛻𝑓(𝜃)
Método iterativo
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Para identificar nuevos pesos que minimicen el error
𝛉 = 𝛉 − 𝒌𝛻𝔼(𝑓 𝑥 , 𝑦)
• Método iterativo
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Algoritmo
Se ve fácil; la parte difícil es calcular 𝛻𝑓
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p1
Regresando
• La derivada parcial me la da la cantidad por la dimensión
• 𝜃 , … , 𝜃 = 𝜃 , … , 𝜃 − 𝑘 , … ,
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Slide 29
p1 personal, 1/28/2020
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Regresando a nuestro problemaBuscando minimizar
𝔼(𝑓 𝑥 , 𝑦)
𝑤 , … , 𝑤 = 𝑤 , … , 𝑤 − 𝑘𝜕
𝜕𝑤, … ,
𝜕
𝜕𝑤
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Recordemos
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Derivando para dimensión
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Derivadas de las sumas
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Derivada de potencias
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Expandiendo sumatoria
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Expandiendo sumatoria
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Derivando elementos
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Simplificado
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Resultado
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¿Qué hay de ?
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¿Pero con qué pesos comenzamos?
• Aleatorio• Uniforme al número de pesos
Como es aproximativo, no siempre tenemos el mismo modelo
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¿Qué tipo de errores tenemos?
• Podemos pensar que nuestro espacio de hipótesis ℍ es un espacio de expertos
• Cada experto se desarrolló con una experiencia propia del problema, entonces difieren en como resolver el problema
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¿Qué tipo de errores cometen?
• Se equivocan siempre de igual forma
• Se equivocan por todos lados
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Es decir
• El experto tiene sesgo (Bias)
• El experto tiene varianza (Var)
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Tomado de WTF is the Bias-Variance Tradeoff?
Los errores son una combinación de ambos factores
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Falta un tipo de error
Intrínsecos del problema (𝜖)
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¿Quién tiene la culpa del error?
¿El algoritmo o la hipótesis?
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Valores esperados
Para variable discreta
𝔼[𝑋] = 𝑥 𝑝(𝑥 )
Para una distribución uniforme
𝔼[𝑋] =1
𝑛𝑥
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Predicción esperada
𝔼[𝑓 (𝑥)] =1
𝑛𝑓 (𝑥 )
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Error cuadrático esperado
𝔼[ 𝑓 𝑥 − 𝑦 ] =1
𝑛𝑓 𝑥 − 𝑦
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Sesgo• Es la diferencia entre la predicción esperada y
el valor verdadero
𝐵𝑖𝑎𝑠 𝑓 𝑥 = 𝑦 − 𝔼[𝑓 𝑿 ]
• ¿Por qué son mala noticias para nosotros?
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Varianza• Es la diferencia entre la predicción al cuadrado
esperada y el cuadrado de la predicción esperada
𝑉𝑎𝑟 𝑓 𝑥 = 𝔼 𝑓 𝑿 − 𝔼 𝑓 (𝑿)
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Error cuadrático esperado
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O en otras palabras
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Tomado de Single estimator versus bagging: bias-variance decomposition59
Compromiso entre sesgo y varianza
• Modelos más sencillos, producen alto sesgo• Modelos más complejos, producen bajo sesgo• Modelos más sencillos, producen una baja
varianza en un espacio ℍ más grande• Modelos más complejos, producen una mayor
varianza en un espacio ℍ más grande
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Tomado de WTF is the Bias-Variance Tradeoff61
Sub ajuste• Es cuando el modelo es tan simple que no es
suficiente para modelar las relaciones de los datos de entrenamiento
• Imaginen el modelo y = 𝑐
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Sobre ajuste• Es cuando el modelo es muy complejo, de tal
forma que memoriza los datos de entrenamiento, lo único que modela es el ruido
• Imaginen el modelo 𝑓 = 𝑔 + 𝜖
• Ante nuevos datos falla más
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Tomado de Underfitting vs. Overfitting64
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