Estadística Nº 08 Regresion Lineal

7/17/2019 Estadstica N 08 Regresion Lineal

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ESTADISTICA

GENERALUnidad IV: Regresin lineal y

Correlacin

Mg. Guillero An!onioMas A"a#uanc#e


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Es!udio con1un!o de dos $aria%les A la derec#a !eneos una (osi%le anera de recoger los

da!os o%!enido o%ser$ando dos $aria%les en $arios

indi$iduos de una ues!ra.

En cada 'ila!eneos los da!os de un indi$iduo

Cada colunare(resen!a los $alores ue !oa una $aria%leso%re los isos.

Las indi$iduos no se ues!ran en ning?n orden(ar!icular.

Dic#as o%ser$aciones (ueden ser re(resen!adas en undiagrama de dispersin+@sca!!er(lo!/. En ellos0 cadaindi$iduos es un (un!o cuyas coordenadas son los $aloresde las $aria%les.

Nues!ro o%1e!i$o ser4 in!en!ar reconocera (ar!ir deliso si #ay relacinen!re las $aria%les0 de u& !i(o0 y sies (osi%le (redecirel $alor de una de ellas en 'uncin dela o!ra.

Alturaen cm.

Pesoen Kg.

,B B,

,7 B5

,-5 -

,7- B

,, BB

,B B5

,BB 7

,B -

,BF B-

... ...


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Diagraas de dis(ersin o nu%e de (un!os

Mide187cm.

Mide 161 cm.

Pesa 76 kg.

Pesa 50 kg.

Teneos las al!uras y los (esos de F5 indi$iduos re(resen!ados en un diagraa dedis(ersin.


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E1e(lo

Los da!os corres(onde a la es!a!ura del (adre +/ y la es!a!uradel su #i1o ayor +H/ (ara una ues!ra de (adres e #i1os son

los siguien!es:

AlturaPadre

AlturaHio

,.B7 ,.F

,.B5 ,.B-

,.5 ,.F,.BF ,.B7

,.F ,.7

,.7 ,.B-

,.- ,.F

,.B- ,.B7

,.F ,.-5

,.5 ,.5

,.7 ,.F

,.-5 ,.-


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Relacin en!re $aria%les.

Teneos las al!uras y los (esos de F5 indi$iduos re(resen!ados en un diagraa dedis(ersin.

3arec

e:ue

el(esoa

uen!

acon

laal!ur

a


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!ncorrelacin

F5

-5

,F5

,-5

F5

-5

FF5

,5 ,75 ,B5 ,5 ,-5 ,5 55

Co reconocer relacin direc!a e in$ersa.

3ara $alores de (or encia de la edia!eneos $alores de H (or encia y (or de%a1oen (ro(orciones siilares. Incorrelacin.

3ara los $alores de ayores ue la ediale corres(onden $alores de H enores. Es!oes relacin in$ersao decrecien!e.

=3ara los $alores de ayores ue la

edia le corres(onden $alores de Hayores !a%i&n.

=3ara los $alores de enores ue laedia le corres(onden $alores de Henores !a%i&n.

=Es!o se llaa relacin direc!ao

crecien!e en!re e H.


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Co reconocer %uena o ala relacin

Dado un $alor de no (odeos decir grancosa so%re H. Mala relacin. Inde(endencia.

=Conocido sa%eos ue H se ue$e (oruna #oruilla es!rec#a. Juena relacin.

=Lo de )#oruilla es!rec#a* #ay ue en!enderlocon res(ec!o a la dis(ersin ue !iene la$aria%le H (or si sola0 cuando no se considera.

o

o

o

oo


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La co$arian"aen!re dos $aria%les0 "#$0 nos indica si

la (osi%le relacin en!re dos $aria%les es direc!a oin$ersa. Direc!a: S9y K5

In$ersa: S9y5

Incorreladas: S9y65

El signo de la co$arian"a nos dice si el as(ec!o de lanu%e de (un!os es crecien!e o no0 (ero no nos dice

nada so%re el grado de relacinen!re las $aria%les.

Co$arian"a de dos $aria%les e H

))((1

yyxxn

Si

i

ixy =


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M&!odo de M2nios Cuadrados

C4lculo de los coe'icien!es de regresin lineal:

x

xy

SC

SCB =

1 xByB

10 =

n

x

xSCx =2

2

)(

n

yx

xySCxy

= )()(


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E1e(lo

Los da!os corres(onde a la es!a!ura del (adre +/ y la es!a!ura del su #i1o ayor +H/ (arauna ues!ra de (adres e #i1os son los siguien!es:

Es!ud. Cali'icacin ena!e4!ica 3re

Uni$. +/

Cali'icacin en a!e4!icaUni$ersidad +H/

, 7F B

F7 7

F B

7 - 5

B 7- F

B7 -F- 7F

,5 5 BB


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Coe'. de correlacin lineal de 3earson

La coe'icien!e de correlacin lineal de 3earsondedos $aria%les0 r0 nos indica si los (un!os !ienen una!endencia a dis(onerse alineadaen!e+e9cluyendo rec!as #ori"on!ales y $er!icales/.

!iene el iso signo ue S9y(or !an!o de su signoo%!eneos el ue la (osi%le relacin sea direc!a oin$ersa.

r es ?!il (ara de!erinar si #ay relacin linealen!re

dos $aria%les0 (ero no ser$ir4 (ara o!ro !i(o derelaciones+cuadr4!ica0 logar2!ica0.../yx

xy

SSSr =


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Es adiensional Slo !oa $alores en O,0,P Las $aria%les son incorreladas r65 Relacin lineal (er'ec!a en!re dos $aria%les r68, o r6O,

E9cluios los casos de (un!os alineados #ori". o $er!icalen!e. Cuan!o 4s cerca es!& r de 8, o O, e1or ser4 el grado de

relacin lineal. Sie(re ue no e9is!an o%ser$aciones analas.

3ro(iedades de r

O, 8,5

Relacinin$ersa(er'ec!a

Relacindirec!a

casi

(er'ec!a

Varia%les

incorreladas


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En!renando el o1o: correlaciones (osi!i$as


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En!renando el o1o: casi (er'ec!as y (osi!i$as


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En!renando el o1o: correlaciones nega!i$as


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3regun!as 'recuen!es %"i r&0 eso 'uiere decir 'ue no las (aria)les son

independientes*

En la (r4c!ica0 casi sie(re s20 (ero no !iene(or u& ser cier!o en !odos los casos. Lo con!rario si es cier!o: Inde(endencia

i(lica incorrelacin.

Me +a salido r&1- %la relacin es superlineal/sicP*

QSu(eru& Eso es un error de c4lculo. Sie(re de%e !oar un$alor en!re O, y 8,.

%A partir de 'u (alores se considera 'ue +a$ )uena relacinlineal/*

Es di'2cil dar un $alor concre!o +irad los gr4'icos an!eriores/.

3ara es!e curso digaos ue si rK50 #ay %uena relacin linealy ue si rK50 #ay cier!a relacin +(or decir algo... la cosa esun (oco 4s co(licada: o%ser$aciones analas0.../


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!ros coe'icien!es de correlacin

Cuando las $aria%les en $e" de ser nu&ricas sonordinales0 es (osi%le (regun!arse so%re si #ay alg?n!i(o de correlacin en!re ellas.

Dis(oneos (ara es!os casos de dos es!ad2s!icos0aunue no los usareos en clase:

+@ro/ de S(earan +@!au/ de endall

No !en&is ue es!udiar nada so%re ellos en es!ecurso. Recordad slo ue son es!ad2s!icos an4logos

a r y ue los encon!rareis en (u%licaciones donde las$aria%les no (uedan considerarse nu&ricas.

Maurice George endall

C#arles Ed>ard S(eara


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Regresin

El an4lisis de regresin sir$e (ara (redecir una

edida en 'uncin de o!ra edida +o $arias/. H 6 Varia%le de(endien!e

(redic#a e9(licada

6 Varia%le inde(endien!e (redic!ora e9(lica!i$a

QEs (osi%le descu%rir una relacin H 6 '+/ 8 error

' es una 'uncin de un !i(o de!erinado el error es alea!orio0 (eueWo0 y no de(ende de


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Regresin

El e1e(lo del es!udio de la al!ura en gru(os 'ailiares de

3earson es del !i(o ue desarrollareos en el res!o del!ea.

Al!ura del #i1o 6 -7c 8 0,5al!ura del (adre +H 6 -7 8 507 /

Si el (adre ide 55c Qcu4n!o ide el #i1o Se es(era +(redice/ -7 8 5079556,-7 c. Al!o0 (ero no !an!o coo el (adre. Regresa a la edia.

Si el (adre ide ,5c Qcu4n!o ide el #i1o Se es(era +(redice/ -7 8 5079,56,7 c.

Ja1o0 (ero no !an!o coo el (adre. Regresa a la edia.

Es decir0 nos in!eresareos (or odelos de regresinlineal si(le.


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Modelo de regresin lineal si(le En el odelo de regresin lineal si(le0 dado dos

$aria%les H +de(endien!e/ +inde(endien!e0 e9(lica!i$a/

%uscaos encon!rar una 'uncin de muy simple (lineal)

ue nos (eri!a a(ro9iar H edian!e X 6 %58 %,

%5+ordenada en el origen0 cons!an!e/ %,+(endien!e de la rec!a/

H e X rara $e" coincidir4n (or uy %ueno ue sea elodelo de regresin. A la can!idad e6HOXse le denoina residuoo error residual.


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En el e1e(lo de 3earson y las al!uras0 &l encon!r: X 6 %58 %,

%56-7c +No in!er(re!ar coo al!ura de un #i1o cuyo (adre ide

5 c YE9!ra(olacin sal$a1eZ %,6507+En edia el #i1o gana 507 c (or cada c del (adre./

%5

6-7 c

%,6507


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La relacin en!re las $aria%les no es e9ac!a. Es na!ural(regun!arse en!onces: Cu4l es la e1or rec!aue sir$e (ara (redecir los $alores de H

en 'uncin de los de [u& error coe!eoscon dic#a a(ro9iacin +residual/.

%5

6-7 c

%,6507


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El odelo lineal de regresin se cons!ruye u!ili"ando la !&cnica dees!iacin 2nio cuadr4!ica: Juscar %50 %,de !al anera ue se iniice la can!idad

\iei

Se co(rue%a ue (ara lograr dic#o resul!ado %as!a con elegir:

Se o%!iene ade4s unas $en!a1as )de regalo* El error residual edio es nulo La $arian"a del error residual es 2nia(ara dic#a es!iacin.

Traducido: En !&rino edio no nos eui$ocaos. Cualuier o!raes!iacin ue no coe!a error en !&rino edio0 si es de !i(o lineal0ser4 (eor (or (resen!ar ayor $aria%ilidad con res(ec!o al error edio+ue es cero/.

xbybS

Srb

X

Y101

==


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[ue el error edio de las(redicciones sea nulo nouieredecir ue las (redicciones sean%uenas.

;ay ue encon!rar un edio dee9(resar la %ondad del a1us!e+%ondad de la (rediccin/

Coe!i un errorde 20en su

?l!ia (rediccin

No i(or!a. Con los dos?l!ios clien!es e

eui$ou& en 310y 3-0.

En !&rino edio el errores cero.


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QCo edir la %ondad de una regresin

Iagineos un diagraa de dis(ersin0 y $aos

a !ra!ar de co(render en (rier lugar u& esel error residual0 su relacin con la $arian"a de H0y de a#20 co edir la %ondad de un a1us!e.


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In!er(re!acin de la $aria%ilidad en H

HEn (rier lugar ol$ideos ue e9is!e la$aria%le . Veaos cu4l es la $aria%ilidaden el e1e H.

La 'ran1a so%reada indica la "ona donde$ar2an los $alores de H.

3royeccin so%re el e1e H 6 ol$idar


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In!er(re!acin del residuo

H


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Resuiendo:

=La dis(ersin del error residual ser4 una 'raccinde la dis(ersin original de H

=Cuan!o enor sea la dis(ersin del error residuale1or ser4 el a1us!e de regresin.

Eso #ace ue de'inaos coo edida de%ondad de un a1us!e de regresin0o coe'icien!e de de!erinacin a:

Jondad de un a1us!e

2

2

2

1Y

e

S

S

R =

H

22 Ye SS

Estadística Nº 08 Regresion Lineal

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