1
Faculdade de Engenharia
Magnetostática
OpE - MIB 2007/2008
OpE 0708Magn 2
Faculdade de EngenhariaPrograma de Óptica e Electromagnetismo
Análise Vectorial (revisão) à 2 aulas
Electrostática e Magnetostática à 8 aulas
Campos e Ondas Electromagnéticas à 6 aulas
Óptica Geométrica à 3 aulas
Fibras Ópticas à 3 aulas
Lasers à 3 aulas
2
OpE 0708Magn 3
Faculdade de EngenhariaMagnetostática (3 aulas)
Força de Lorentz
Divergência e rotacional do campo de indução magnética
Leis de Biot-Savart e de Ampère
Magnetostática na matéria
Coeficiente de auto-indução
Energia magnética
Força magnética
Força em condutores percorridos por correntes
Efeito de Hall
Indução electromagnética
(1ª aula)
(2ª aula)
(3ª aula)
OpE 0708Magn 4
Faculdade de EngenhariaEnergia magnética
Um gerador de corrente é ligado ao anel, forçando a corrente a aumentar até I1.
∫= dtivWm 11
1C1i
Considere-se um circuito fechado C1 com coeficiente de auto-indução L1 no qual
a corrente i1 é inicialmente nula.
Uma força electromotriz é induzida no circuito que se opõe à variação de corrente.
É necessário realizar trabalho para contrariar esta força electromotriz.
∫=1
0111
I
diiL
dtdi
Lv 111 =
tensão aos terminais de uma bobina com coeficiente de auto-indução L1
1121
Φ= IWm
1
11 I
LΦ
=
2112
1ILWm = energia magnética armazenada
3
OpE 0708Magn 5
Faculdade de EngenhariaEnergia magnética – dois circuitos
Admitamos que esta variação das correntes é feita em duas etapas:
1C1i
Considerem-se agora dois circuitos fechados C1 e C2 percorridos pelas correntes
i1 i2 , as quais são inicialmente nulas e aumentam até aos valores I1 e I2.
1º2111 2
1ILW =
energia magnética armazenada
2C2i
02 =i
11 0: Ii →requer trabalho
2º212 WW +
11 Ii =
22 0: Ii →requer trabalho ∫= dtIvW 12121onde
2222 2
1ILW =
∫=2
02121
I
diIL
dtdi
Lv 22121 = tensão aos terminais
de C1 por causa de i2
2121 IIL=
2222121
211 2
121
ILIILILWm ++= ∑ ∑= =
=2
1
2
121
j kkjjkm IILW
kkk LL =
OpE 0708Magn 6
Faculdade de EngenhariaEnergia magnética – N circuitos
Generalizando a expressão anterior, a energia magnética armazenada por N percorridos pelas
correntes estacionárias I1, I2, …, IN é:
energia magnética armazenada ∑ ∑= =
=N
j
N
kkjjkm IILW
1 121
∑=
=ΦN
jjjkk IL
1
∑=
Φ=N
kkkm IW
121
fluxo magnético através do circuito Ck
4
OpE 0708Magn 7
Faculdade de EngenhariaEnergia magnética em função dos campos magnéticos
É possível mostra-se que a energia magnética armazenada é dada por:
energia magnética armazenada )J('
21
espaçootodo
∫ ⋅= dvBHWm
rr
(ver Cheng)
ß densidade de energia magnética)J/m(21 3BHwm
rr⋅=
µ2
2Bwm =
2
2Hwm
µ=
OpE 0708Magn 8
Faculdade de EngenhariaCálculo de L a partir de Wm – exemplo
A partir da energia magnética armazenada, determine o coeficiente de
auto-indução de um cabo coaxial de comprimento l constituído por um
condutor cilíndrico sólido de raio a e uma superfície cilíndrica condutora de
raio b (b << l). O espaço entre os dois condutores está preenchido por ar.
∫ ⋅=
espaçootodo
'21
dvBHWm
rr
a
bl
∫=
espaçootodo
2
0
'2
1dvB
µ
HBrr
0µ=
z
para determinar é necessário considerar que
o cabo coaxial transporta uma dada corrente.
Br
Admitamos que uma corrente I entra no cabo coaxial pelo condutor sólido (à sentido do eixo dos z), distribuindo-
se uniformente nesse condutor, e “regressando” pelo condutor exterior (à sentido contrário ao do eixo dos z).
aruaI
J z <<= 0para,ˆ2π
re bruII z =−= para,ˆ
r
5
OpE 0708Magn 9
Faculdade de EngenhariaCálculo de L a partir de Wm – exemplo
A partir da energia magnética armazenada, determine o coeficiente de auto-indução de um cabo
coaxial de comprimento l constituído por um condutor cilíndrico sólido de raio a e uma superfície
cilíndrica condutora de raio b (b << l). O espaço entre os dois condutores está preenchido por ar.
determinação de
int0IldBC
µ=⋅∫rr
a
bl
z
simetria
Br
int0 IldBC
µ=⋅∫rr
( ) φurBB ˆ=r
C : percurso circular de raio r perpendicular ao cabo e centrado no seu eixo
φφ udrld ˆ=r
∫∫ =⋅π
φ2
0
drBldBC
rr∫=π
φ2
0
drB Brπ2= φπµ
ur
IB ˆ
2int0=
r
OpE 0708Magn 10
Faculdade de Engenharia
∫ ⋅=rS
sdJIrr
int
Cálculo de L a partir de Wm – exemplo
A partir da energia magnética armazenada, determine o coeficiente de auto-indução de um cabo
coaxial de comprimento l constituído por um condutor cilíndrico sólido de raio a e uma superfície
cilíndrica condutora de raio b (b << l). O espaço entre os dois condutores está preenchido por ar.
determinação de
a
bl
z
intI
φπµ
ur
IB ˆ
2int0=
r
ar <<0
a
r
∫=rS
dsaI
I 2int π
zuaI
J ˆ2π
=r
∫ ⋅=rS
sdJIrr
int
2
=
ar
I arua
rIB <<= 0,ˆ
2 20
φπµr
b
br >)(int III −+= brB >= ,0
r
bra <<II =int∫ ⋅=
rS
sdJIrr
int braurI
B <<= ,ˆ2
0φπ
µr
0=
6
OpE 0708Magn 11
Faculdade de EngenhariaCálculo de L a partir de Wm – exemplo
A partir da energia magnética armazenada, determine o coeficiente de auto-indução de um cabo
coaxial de comprimento l constituído por um condutor cilíndrico sólido de raio a e uma superfície
cilíndrica condutora de raio b (b << l). O espaço entre os dois condutores está preenchido por ar.
cálculo de
a
bl
z
L
2
21
ILWm =
+=
abll
ln28
00
πµ
πµ
cálculo de mW
braurI
B <<= ,ˆ2
0φπ
µr
∫=
espaçootodo
2
0
'2
1dvBWm µ
+
= ∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫
l b
a
l a
dzddrrrI
dzddrraIr
0
2
0
20
0
2
0 0
2
20
0 2221 ππ
φπ
µφ
πµ
µ
+=
ablIlI
ln416
20
20
πµ
πµ
arua
rIB <<= 0,ˆ
2 20
φπµr
2
2IW
L m=
associada ao condutor interior
OpE 0708Magn 12
Faculdade de EngenhariaForças em condutores percorridos por correntes
Considere-se um condutor formando um percurso fechado C e percorrido por uma corrente estacionária I.
CI
seja S à área da secção transversal do fio condutor
ldrà elemento do percurso
Brà campo de indução magnética
vrà velocidade dos portadores de carga (na direcção de )ld
r
N à portadores de carga por unidade de volume
força em carga de valor àeq −= BveFm
rrr×−=
força no volume àdlSdv = BvdlSNeFm
rrr×−= BldvSNe
rr×−=
portadores de carga em dv
corrente I
BldIrr
×=
força no circuito C à
força no elemento dl
∫ ×=C
m BldIFrrr
7
OpE 0708Magn 13
Faculdade de EngenhariaForças em condutores – dois condutores
Considerem-se agora dois circuitos fechados, C1 e C2 , percorridos pelas correntes I1 e I2.
seja21B
rà campo criado por I2 na posição de C1
∫ ×=1
21121C
BldIFrrr
1C
2C
1I
2I21F
rà força exercida por C2 em C1
onde( )
∫ −
−×=
2
321
212021 4 C rr
rrldIB rr
rrrr
π
µ
nota:
1221 FFrr
−=
OpE 0708Magn 14
Faculdade de EngenhariaForças em condutores – atracção / repulsão
Considerem-se dois condutores paralelos e infinitos percorridos pelas correntes I1 e I2. ∫ ×=
1
21121C
BldIFrrr
atracção
1221 FFrr
−=
1I 2I
ו21B
r21F
r12Fr
repulsão
1I 2I
21Br
21Fr 12F
r
repulsão
1I 2I
•21B
r
21Fr
12Fr
atracção
1I 2I
21Br
21Fr
12Fr
×
correntes no mesmo sentido à condutores atraem-se
correntes com sentido contrário à condutores repelem-se
8
OpE 0708Magn 15
Faculdade de EngenhariaForças em condutores – exemplo
Um fio infinito e uma espira quadrada de lado a estão no mesmo plano e são
percorridos pelas correntes I1 e I2 , tal como mostra a figura. Determine as
forças exercidas em cada lado da espira.
∫ ×=2
12212C
BldIFrrr 1I 2I
12Br
c a
y
z
CA
B
D
×
xuBB ˆ1212 −=r
lado A
yudzc
IBld ˆ
210
12 πµ
−=×rr
xuy
I ˆ2
10
πµ
−=
zyx udzudyudxld ˆˆˆ ++=r
zudz ˆ=
xuc
IB ˆ
210
12 πµ
−=r
∫
−=
010
2 ˆ2a
yA udzc
IIF
πµr
[ ]0210 ˆ2 ay zu
cII
πµ
−= yuc
aII ˆ2
210
πµ
= (repulsiva)
OpE 0708Magn 16
Faculdade de EngenhariaForças em condutores – exemplo
Um fio infinito e uma espira quadrada de lado a estão no mesmo plano e são
percorridos pelas correntes I1 e I2 , tal como mostra a figura. Determine as forças
exercidas em cada lado da espira.
1I2I
12Br
c a
y
z
CA
B
D
×
lado B
zudyy
IBld ˆ
210
12 πµ
=×rr
zyx udzudyudxld ˆˆˆ ++=r
yudy ˆ=
xuy
IB ˆ
210
12 πµ
−=r
∫+
=
ac
czB udy
yI
IF ˆ2
102 π
µr∫+
=ac
cz y
dyu
II ˆ2
210
πµ
zuc
acII ˆln2
210
+
=π
µ
lado C
yudzac
IBld ˆ
)(210
12 +−=×
πµrr
zyx udzudyudxld ˆˆˆ ++=r
zudz ˆ=
xuac
IB ˆ
)(210
12 +−=
πµr
∫
+
−=a
yC udzac
IIF
0
102 ˆ
)(2πµr
yuacaII ˆ
)(2210
+−=
πµ
(atractiva)
9
OpE 0708Magn 17
Faculdade de EngenhariaForças em condutores – exemplo
Um fio infinito e uma espira quadrada de lado a estão no mesmo plano e são
percorridos pelas correntes I1 e I2 , tal como mostra a figura. Determine as forças
exercidas em cada lado da espira.
1I2I
12Br
c a
y
z
CA
B
D
×
lado D
zudyy
IBld ˆ
210
12 πµ
=×rr
zyx udzudyudxld ˆˆˆ ++=r
yudy ˆ=
xuy
IB ˆ
210
12 πµ
−=r
∫+
=
c
aczD udy
yI
IF ˆ2
102 π
µrzu
accII ˆln
2210
+=
πµ
zuac
cII ˆln2
210
+−=
πµ
BFr
−=
Nota:
DCBATOTAL FFFFFrrrrr
+++= yuacc
aII ˆ112
210
+−=
πµ
yuacc
aII ˆ)(2
2210
+=
πµ
OpE 0708Magn 18
Faculdade de EngenhariaEfeito de Hall
Considere-se um material condutor de secção transversal rectangular com dimensões d x b , percorrido por uma
corrente eléctrica de densidade e colocado numa região do espaço onde existe um campo de indução
magnética uniforme .
yuJJ ˆ0=r
zuBB ˆ0=r
zuBB ˆ0=r
yuJJ ˆ0=r b
d
x
zy
yuJJ ˆ0=r
vqNr
= yuvv ˆ0−=r
eq −=
( ) zym uBuveF ˆˆ 00 ×−−=r
xuBve ˆ00=
electrões deslocam-se para +x
se
campo eléctrico induzido Eh
movimento segundo x continua até que força electromagnética seja nula ( ) 0=×+ BvEq h
rrrBvEh
rrr×−=
xh uBvE ˆ00=r
10
OpE 0708Magn 19
Faculdade de EngenhariaEfeito de Hall
Br
Jr
b
d
x
zy
xh uBvE ˆ00=r
hEr
+
−
hV
aparecimento de hV
( ) ( )dxVxVVh =−== 0 ∫ ⋅−=0
dh ldE
rr∫−=0
00d
dxBv dBv 00=
notas
1. se cargas fossem positivas, viria negativo hV
2. efeito de Hall pode ser usado para medir o campo magnético ou para verificar o sinal dos portadores de carga
OpE 0708Magn 20
Faculdade de EngenhariaRelembrando
0=×∇ Er
electrostática à
vD ρ=⋅∇r
0=⋅∇ Br
magnetostáticaà
JHrr
=×∇
EDrr
ε=Meios LHI à
HBrr
µ=
postulado fundamental da indução electromagnética
tB
E∂∂
−=×∇r
r
11
OpE 0708Magn 21
Faculdade de EngenhariaLei de Faraday da indução electromagnética
tB
E∂∂
−=×∇r
r
( ) ∫∫ ⋅∂∂
−=⋅×∇SS
sdtB
sdEr
rrr
∫∫ ⋅−=⋅SC
sdBdtd
ldErrrr
teor. de Stokes
∫ ⋅=C
ldErr
V
força electromotriz induzida num circuito com contorno C
dtdΦ
−=V lei de Faraday da indução electromagnética
força electromotriz induzida opõe-se à variação de fluxo magnético
lei de Lenz
OpE 0708Magn 22
Faculdade de EngenhariaLei de Faraday – exemplo
Uma espira quadrada de lado a está colocada no mesmo plano de um fio
infinito que é percorrido por uma eléctrica estacionária I. Sabendo que a
espira, inicialmente a uma distância b do fio inifinito, se afasta deste com uma
velocidade v, determine:
a) ;
b) ;
c) o sentido de circulação da corrente induzida na espira.
I
Xv
x
z
( )tΦV
( ) btX == 0
a) ∫ ⋅=ΦS
sdBrr
onde φπµ
urI
B ˆ2
0=r
yuxI ˆ
20
πµ
= no plano da espira
S : superfície limitada pela espira az <<0 e aXxX +<< ( )vtbX +=
yudzdxsd ˆ=r
dzdxxI
sdBπ
µ2
0=⋅rr
dzdxxIa aX
X∫ ∫
+
=Φ0
0
2πµ
+
=X
aXaIln
20
πµ
++=
vtbaaI
1ln20
πµ
12
OpE 0708Magn 23
Faculdade de EngenhariaLei de Faraday – exemplo
dtdΦ
−=V
Uma espira quadrada de lado a está colocada no mesmo plano de um fio infinito que é percorrido por
uma eléctrica estacionária I. Sabendo que a espira, inicialmente a uma distância b do fio inifinito, se
afasta deste com uma velocidade v, determine:
a) ;
b) ;
c) o sentido de circulação da corrente induzida na espira.
( )tΦV
I
Xv
x
z ( ) btX == 0
b)
++−=
vtba
dtdaI
1ln20
πµ
( )( )vtbavtbvaI
+++−=
πµ20
c)
sentido horário
OpE 0708Magn 24
Faculdade de EngenhariaPróxima aula
4ª feira
Equações de Maxwell
Equação de onda em meios LHI sem perdas e sem fontes
Campos harmónicos
Top Related