1

Faculdade de Engenharia

Magnetostática

OpE - MIB 2007/2008

OpE 0708Magn 2

Faculdade de EngenhariaPrograma de Óptica e Electromagnetismo

Análise Vectorial (revisão) à 2 aulas

Electrostática e Magnetostática à 8 aulas

Campos e Ondas Electromagnéticas à 6 aulas

Óptica Geométrica à 3 aulas

Fibras Ópticas à 3 aulas

Lasers à 3 aulas

2

OpE 0708Magn 3

Faculdade de EngenhariaMagnetostática (3 aulas)

Força de Lorentz

Divergência e rotacional do campo de indução magnética

Leis de Biot-Savart e de Ampère

Magnetostática na matéria

Coeficiente de auto-indução

Energia magnética

Força magnética

Força em condutores percorridos por correntes

Efeito de Hall

Indução electromagnética

(1ª aula)

(2ª aula)

(3ª aula)

OpE 0708Magn 4

Faculdade de EngenhariaEnergia magnética

Um gerador de corrente é ligado ao anel, forçando a corrente a aumentar até I1.

∫= dtivWm 11

1C1i

Considere-se um circuito fechado C1 com coeficiente de auto-indução L1 no qual

a corrente i1 é inicialmente nula.

Uma força electromotriz é induzida no circuito que se opõe à variação de corrente.

É necessário realizar trabalho para contrariar esta força electromotriz.

∫=1

0111

I

diiL

dtdi

Lv 111 =

tensão aos terminais de uma bobina com coeficiente de auto-indução L1

1121

Φ= IWm

1

11 I

LΦ

=

2112

1ILWm = energia magnética armazenada

3

OpE 0708Magn 5

Faculdade de EngenhariaEnergia magnética – dois circuitos

Admitamos que esta variação das correntes é feita em duas etapas:

1C1i

Considerem-se agora dois circuitos fechados C1 e C2 percorridos pelas correntes

i1 i2 , as quais são inicialmente nulas e aumentam até aos valores I1 e I2.

1º2111 2

1ILW =

energia magnética armazenada

2C2i

02 =i

11 0: Ii →requer trabalho

2º212 WW +

11 Ii =

22 0: Ii →requer trabalho ∫= dtIvW 12121onde

2222 2

1ILW =

∫=2

02121

I

diIL

dtdi

Lv 22121 = tensão aos terminais

de C1 por causa de i2

2121 IIL=

2222121

211 2

121

ILIILILWm ++= ∑ ∑= =

=2

1

2

121

j kkjjkm IILW

kkk LL =

OpE 0708Magn 6

Faculdade de EngenhariaEnergia magnética – N circuitos

Generalizando a expressão anterior, a energia magnética armazenada por N percorridos pelas

correntes estacionárias I1, I2, …, IN é:

energia magnética armazenada ∑ ∑= =

=N

j

N

kkjjkm IILW

1 121

∑=

=ΦN

jjjkk IL

1

∑=

Φ=N

kkkm IW

121

fluxo magnético através do circuito Ck

4

OpE 0708Magn 7

Faculdade de EngenhariaEnergia magnética em função dos campos magnéticos

É possível mostra-se que a energia magnética armazenada é dada por:

energia magnética armazenada )J('

21

espaçootodo

∫ ⋅= dvBHWm

rr

(ver Cheng)

ß densidade de energia magnética)J/m(21 3BHwm

rr⋅=

µ2

2Bwm =

2

2Hwm

µ=

OpE 0708Magn 8

Faculdade de EngenhariaCálculo de L a partir de Wm – exemplo

A partir da energia magnética armazenada, determine o coeficiente de

auto-indução de um cabo coaxial de comprimento l constituído por um

condutor cilíndrico sólido de raio a e uma superfície cilíndrica condutora de

raio b (b << l). O espaço entre os dois condutores está preenchido por ar.

∫ ⋅=

espaçootodo

'21

dvBHWm

rr

a

bl

∫=

espaçootodo

2

0

'2

1dvB

µ

HBrr

0µ=

z

para determinar é necessário considerar que

o cabo coaxial transporta uma dada corrente.

Br

Admitamos que uma corrente I entra no cabo coaxial pelo condutor sólido (à sentido do eixo dos z), distribuindo-

se uniformente nesse condutor, e “regressando” pelo condutor exterior (à sentido contrário ao do eixo dos z).

aruaI

J z <<= 0para,ˆ2π

re bruII z =−= para,ˆ

r

5

OpE 0708Magn 9

Faculdade de EngenhariaCálculo de L a partir de Wm – exemplo

A partir da energia magnética armazenada, determine o coeficiente de auto-indução de um cabo

coaxial de comprimento l constituído por um condutor cilíndrico sólido de raio a e uma superfície

cilíndrica condutora de raio b (b << l). O espaço entre os dois condutores está preenchido por ar.

determinação de

int0IldBC

µ=⋅∫rr

a

bl

z

simetria

Br

int0 IldBC

µ=⋅∫rr

( ) φurBB ˆ=r

C : percurso circular de raio r perpendicular ao cabo e centrado no seu eixo

φφ udrld ˆ=r

∫∫ =⋅π

φ2

0

drBldBC

rr∫=π

φ2

0

drB Brπ2= φπµ

ur

IB ˆ

2int0=

r

OpE 0708Magn 10

Faculdade de Engenharia

∫ ⋅=rS

sdJIrr

int

Cálculo de L a partir de Wm – exemplo

A partir da energia magnética armazenada, determine o coeficiente de auto-indução de um cabo

coaxial de comprimento l constituído por um condutor cilíndrico sólido de raio a e uma superfície

cilíndrica condutora de raio b (b << l). O espaço entre os dois condutores está preenchido por ar.

determinação de

a

bl

z

intI

φπµ

ur

IB ˆ

2int0=

r

ar <<0

a

r

∫=rS

dsaI

I 2int π

zuaI

J ˆ2π

=r

∫ ⋅=rS

sdJIrr

int

2

=

ar

I arua

rIB <<= 0,ˆ

2 20

φπµr

b

br >)(int III −+= brB >= ,0

r

bra <<II =int∫ ⋅=

rS

sdJIrr

int braurI

B <<= ,ˆ2

0φπ

µr

0=

6

OpE 0708Magn 11

Faculdade de EngenhariaCálculo de L a partir de Wm – exemplo

A partir da energia magnética armazenada, determine o coeficiente de auto-indução de um cabo

coaxial de comprimento l constituído por um condutor cilíndrico sólido de raio a e uma superfície

cilíndrica condutora de raio b (b << l). O espaço entre os dois condutores está preenchido por ar.

cálculo de

a

bl

z

L

2

21

ILWm =

+=

abll

ln28

00

πµ

πµ

cálculo de mW

braurI

B <<= ,ˆ2

0φπ

µr

∫=

espaçootodo

2

0

'2

1dvBWm µ

+

= ∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫

l b

a

l a

dzddrrrI

dzddrraIr

0

2

0

20

0

2

0 0

2

20

0 2221 ππ

φπ

µφ

πµ

µ

+=

ablIlI

ln416

20

20

πµ

πµ

arua

rIB <<= 0,ˆ

2 20

φπµr

2

2IW

L m=

associada ao condutor interior

OpE 0708Magn 12

Faculdade de EngenhariaForças em condutores percorridos por correntes

Considere-se um condutor formando um percurso fechado C e percorrido por uma corrente estacionária I.

CI

seja S à área da secção transversal do fio condutor

ldrà elemento do percurso

Brà campo de indução magnética

vrà velocidade dos portadores de carga (na direcção de )ld

r

N à portadores de carga por unidade de volume

força em carga de valor àeq −= BveFm

rrr×−=

força no volume àdlSdv = BvdlSNeFm

rrr×−= BldvSNe

rr×−=

portadores de carga em dv

corrente I

BldIrr

×=

força no circuito C à

força no elemento dl

∫ ×=C

m BldIFrrr

7

OpE 0708Magn 13

Faculdade de EngenhariaForças em condutores – dois condutores

Considerem-se agora dois circuitos fechados, C1 e C2 , percorridos pelas correntes I1 e I2.

seja21B

rà campo criado por I2 na posição de C1

∫ ×=1

21121C

BldIFrrr

1C

2C

1I

2I21F

rà força exercida por C2 em C1

onde( )

∫ −

−×=

2

321

212021 4 C rr

rrldIB rr

rrrr

π

µ

nota:

1221 FFrr

−=

OpE 0708Magn 14

Faculdade de EngenhariaForças em condutores – atracção / repulsão

Considerem-se dois condutores paralelos e infinitos percorridos pelas correntes I1 e I2. ∫ ×=

1

21121C

BldIFrrr

atracção

1221 FFrr

−=

1I 2I

ו21B

r21F

r12Fr

repulsão

1I 2I

21Br

21Fr 12F

r

repulsão

1I 2I

•21B

r

21Fr

12Fr

atracção

1I 2I

21Br

21Fr

12Fr

×

correntes no mesmo sentido à condutores atraem-se

correntes com sentido contrário à condutores repelem-se

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OpE 0708Magn 15

Faculdade de EngenhariaForças em condutores – exemplo

Um fio infinito e uma espira quadrada de lado a estão no mesmo plano e são

percorridos pelas correntes I1 e I2 , tal como mostra a figura. Determine as

forças exercidas em cada lado da espira.

∫ ×=2

12212C

BldIFrrr 1I 2I

12Br

c a

y

z

CA

B

D

×

xuBB ˆ1212 −=r

lado A

yudzc

IBld ˆ

210

12 πµ

−=×rr

xuy

I ˆ2

10

πµ

−=

zyx udzudyudxld ˆˆˆ ++=r

zudz ˆ=

xuc

IB ˆ

210

12 πµ

−=r

∫

−=

010

2 ˆ2a

yA udzc

IIF

πµr

[ ]0210 ˆ2 ay zu

cII

πµ

−= yuc

aII ˆ2

210

πµ

= (repulsiva)

OpE 0708Magn 16

Faculdade de EngenhariaForças em condutores – exemplo

Um fio infinito e uma espira quadrada de lado a estão no mesmo plano e são

percorridos pelas correntes I1 e I2 , tal como mostra a figura. Determine as forças

exercidas em cada lado da espira.

1I2I

12Br

c a

y

z

CA

B

D

×

lado B

zudyy

IBld ˆ

210

12 πµ

=×rr

zyx udzudyudxld ˆˆˆ ++=r

yudy ˆ=

xuy

IB ˆ

210

12 πµ

−=r

∫+

=

ac

czB udy

yI

IF ˆ2

102 π

µr∫+

=ac

cz y

dyu

II ˆ2

210

πµ

zuc

acII ˆln2

210

+

=π

µ

lado C

yudzac

IBld ˆ

)(210

12 +−=×

πµrr

zyx udzudyudxld ˆˆˆ ++=r

zudz ˆ=

xuac

IB ˆ

)(210

12 +−=

πµr

∫

+

−=a

yC udzac

IIF

0

102 ˆ

)(2πµr

yuacaII ˆ

)(2210

+−=

πµ

(atractiva)

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OpE 0708Magn 17

Faculdade de EngenhariaForças em condutores – exemplo

Um fio infinito e uma espira quadrada de lado a estão no mesmo plano e são

percorridos pelas correntes I1 e I2 , tal como mostra a figura. Determine as forças

exercidas em cada lado da espira.

1I2I

12Br

c a

y

z

CA

B

D

×

lado D

zudyy

IBld ˆ

210

12 πµ

=×rr

zyx udzudyudxld ˆˆˆ ++=r

yudy ˆ=

xuy

IB ˆ

210

12 πµ

−=r

∫+

=

c

aczD udy

yI

IF ˆ2

102 π

µrzu

accII ˆln

2210

+=

πµ

zuac

cII ˆln2

210

+−=

πµ

BFr

−=

Nota:

DCBATOTAL FFFFFrrrrr

+++= yuacc

aII ˆ112

210

+−=

πµ

yuacc

aII ˆ)(2

2210

+=

πµ

OpE 0708Magn 18

Faculdade de EngenhariaEfeito de Hall

Considere-se um material condutor de secção transversal rectangular com dimensões d x b , percorrido por uma

corrente eléctrica de densidade e colocado numa região do espaço onde existe um campo de indução

magnética uniforme .

yuJJ ˆ0=r

zuBB ˆ0=r

zuBB ˆ0=r

yuJJ ˆ0=r b

d

x

zy

yuJJ ˆ0=r

vqNr

= yuvv ˆ0−=r

eq −=

( ) zym uBuveF ˆˆ 00 ×−−=r

xuBve ˆ00=

electrões deslocam-se para +x

se

campo eléctrico induzido Eh

movimento segundo x continua até que força electromagnética seja nula ( ) 0=×+ BvEq h

rrrBvEh

rrr×−=

xh uBvE ˆ00=r

10

OpE 0708Magn 19

Faculdade de EngenhariaEfeito de Hall

Br

Jr

b

d

x

zy

xh uBvE ˆ00=r

hEr

+

−

hV

aparecimento de hV

( ) ( )dxVxVVh =−== 0 ∫ ⋅−=0

dh ldE

rr∫−=0

00d

dxBv dBv 00=

notas

1. se cargas fossem positivas, viria negativo hV

2. efeito de Hall pode ser usado para medir o campo magnético ou para verificar o sinal dos portadores de carga

OpE 0708Magn 20

Faculdade de EngenhariaRelembrando

0=×∇ Er

electrostática à

vD ρ=⋅∇r

0=⋅∇ Br

magnetostáticaà

JHrr

=×∇

EDrr

ε=Meios LHI à

HBrr

µ=

postulado fundamental da indução electromagnética

tB

E∂∂

−=×∇r

r

11

OpE 0708Magn 21

Faculdade de EngenhariaLei de Faraday da indução electromagnética

tB

E∂∂

−=×∇r

r

( ) ∫∫ ⋅∂∂

−=⋅×∇SS

sdtB

sdEr

rrr

∫∫ ⋅−=⋅SC

sdBdtd

ldErrrr

teor. de Stokes

∫ ⋅=C

ldErr

V

força electromotriz induzida num circuito com contorno C

dtdΦ

−=V lei de Faraday da indução electromagnética

força electromotriz induzida opõe-se à variação de fluxo magnético

lei de Lenz

OpE 0708Magn 22

Faculdade de EngenhariaLei de Faraday – exemplo

Uma espira quadrada de lado a está colocada no mesmo plano de um fio

infinito que é percorrido por uma eléctrica estacionária I. Sabendo que a

espira, inicialmente a uma distância b do fio inifinito, se afasta deste com uma

velocidade v, determine:

a) ;

b) ;

c) o sentido de circulação da corrente induzida na espira.

I

Xv

x

z

( )tΦV

( ) btX == 0

a) ∫ ⋅=ΦS

sdBrr

onde φπµ

urI

B ˆ2

0=r

yuxI ˆ

20

πµ

= no plano da espira

S : superfície limitada pela espira az <<0 e aXxX +<< ( )vtbX +=

yudzdxsd ˆ=r

dzdxxI

sdBπ

µ2

0=⋅rr

dzdxxIa aX

X∫ ∫

+

=Φ0

0

2πµ

+

=X

aXaIln

20

πµ

++=

vtbaaI

1ln20

πµ

12

OpE 0708Magn 23

Faculdade de EngenhariaLei de Faraday – exemplo

dtdΦ

−=V

Uma espira quadrada de lado a está colocada no mesmo plano de um fio infinito que é percorrido por

uma eléctrica estacionária I. Sabendo que a espira, inicialmente a uma distância b do fio inifinito, se

afasta deste com uma velocidade v, determine:

a) ;

b) ;

c) o sentido de circulação da corrente induzida na espira.

( )tΦV

I

Xv

x

z ( ) btX == 0

b)

++−=

vtba

dtdaI

1ln20

πµ

( )( )vtbavtbvaI

+++−=

πµ20

c)

sentido horário

OpE 0708Magn 24

Faculdade de EngenhariaPróxima aula

4ª feira

Equações de Maxwell

Equação de onda em meios LHI sem perdas e sem fontes

Campos harmónicos