Fourierova transformace v 1D a 2DVclav Hlav
esk vysok uen technick v Prazeesk institut informatiky, robotiky a kybernetiky166 36 Praha 6, Jugoslvskch partyzn 1580/3
http://people.ciirc.cvut.cz/hlavac, [email protected]
tak z Centra strojovho vnmn, http://cmp.felk.cvut.cz
Osnova pednky: Fourierova tx v 1D, vpoetn sloitost, FFT.
Fourierova tx ve 2D, centrovn spektra.
Pklady ve 2D.
2/66Vchoz pedstava, filtrovn v prostoru frekvenc
prostorovfiltr
frekvennfiltr
vstupnobraz
pmtransformace
zptntransformace
vstupnobraz
Filtrace v prostorov oblasti. Pro 1D signly bychom ekli v asov oblasti.Linern kombinace vstupnho obrazu s koeficienty (asto loklnho) filtru.Zkladn operac je konvoluce.
Filtrace ve frekvenn oblasti. Pevod do frekvenn reprezentace, tam filtrace,pevod zpt.
Pro prvn pedstavu sta Fourierova transformace, ale jsou i dal linernintegrln transformace slouc k podobnmu elu, nap. kosnov nebo vlnkov(wavelet).
http://cmp.felk.cvut.cz3/661D Fourierova transformace, vod
Fourierova transformace je zkladnm nstrojempro (linern) zpracovn signl a v teorii zen.
Dovoluje vzjemn jednoznan pevod signlz/do asov reprezentace f(t) do/z frekvennreprezentace F ().
Umouje analyzovat frekvenn obsah (spektrum)signlu.
FT je vhodn pro periodick signly.
Kdy signl nen periodick, potom lze poutkrtkodobou FT nebo linern integrlntransformaci s bzovmi funkcemi lokalizovanmiv ase nebo 2D prostoru. Pkladem je vlnkovtransformace (wavelets), Gaborovy filtry.
Joseph Fourier1768-1830
http://cmp.felk.cvut.cz4/66
Sud, licha komplexn sdruen funkce
Sud f(t) = f(t)
f(t)
t
Lich f(t) = f(t)t
f(t)
Komplexnsdruen
f() = f() f( 5) = 2 + 3if(5) = 2 3i
f oznauje komplexn sdruenou funkci.
i je komplexn jednotka.
http://cmp.felk.cvut.cz5/66
Kadou funkci lze rozloitna sudou a lichou st
f(t) = fe(t) + fo(t)
fe(t) =f(t) + f(t)
2fo(t) =
f(t) f(t)2
f(t) f (t)e f (t)o
t t t= +
http://cmp.felk.cvut.cz6/66Fourierova Tx definice: spojit ppad
F{f(t)} = F (), kde [Hz=s1] je frekvence a 2 [s1] je hlov frekvence.
Fourierova Tx Inverzn Fourierova Tx
F () =
f(t) e2it dt f(t) =
F () e2it d
Jak je vznam inverzn FT? Vyjdeme pomoc Riemannova soutu:
f(t).=(. . .+ F (0) e
2i0t + F (1) e2i1t + . . .
) ,
kde = k+1 k pro k .
Kad 1D funkce se d vyjdit jako ven souet (integrl) mnohakomplexnch exponencil (dky Eulerov vztahu ei = cos + i sin tak jakosouet sinusovek a kosinusovek).
http://cmp.felk.cvut.cz7/66
Podmnky pro existenciFourierovy transformace
1.
| f(t) | dt
8/66Fourierova Tx, symetrie
Symetrie vzhledem ke komplexn sdruen sti, tj. F (i) = F (i).
|F (i)| je vdy sud.
Fze F (i) je vdy lich.
Re{F (i)} je vdy sud.
Im{F (i)} je vdy lich.
Sud st f(t) se transformuje na relnou st F (i).
Lich st f(t) se transformuje na imaginrn st F (i).
http://cmp.felk.cvut.cz9/66Konvoluce, definice, spojit ppad
Konvoluce (ve funkcionln analze) je operace na dvou funkcch f a h,kter vytvo tet funkci (f h), kter se pouv jako modifikace jedn zevstupnch funkc.
Konvoluce je integrl mchajc hodnoty dvou funkc, a to funkce h(t),kter je posouvna a pekrv se s funkc f(t) nebo obrcen.
Uvaujme nejdve spojit ppad s obecnmi nekonenmi mezemi
(f h)(t) = (h f)(t)
f()h(t ) d =
f(t )h() d .
Meze integrlu meme omezit na interval [0, t], protoe pedpokldmenulov hodnoty funkc pro zporn argument
(f h)(t) = (h f)(t) t0
f() h(t ) d = t0
f(t ) h() d .
http://cmp.felk.cvut.cz10/66Korelace a konvoluce
Konvoluce definovan pro 1D signly pouv peklopen jdro h
(f h)(t)
f()h(t ) d .
Vzjemn korelace ? definovan pro 1D signly pouv (nepeklopen) jdro h
(f ? h)
f()h(t+ ) d ,
kde f oznauje komplexn sdruenou funkci k f .
Vzjemn korelace je mrovu podobnosti dvou 1D funkc v zvislosti na posunu (nap. na asovm zpodn).
http://cmp.felk.cvut.cz11/66Konvoluce, diskrtn aproximace
(f h)(i) = (h f)(i) mO
h(im) f(m) =mO
h(i) f(im) ,
kde O je lokln okol souasn pozicea h je konvolun jdro (t konvolunmaska).
http://cmp.felk.cvut.cz12/66Fourierova Tx, vlastnosti (1)
Vlastnosti f(t) F ()
Linearita af1(t) + bf2(t) aF1() + b F2()
Dualita F (t) f()
Konvoluce (f g)(t) F ()G()
Souin f(t) g(t) (F G)()
asov posun f(t t0) e2it0 F ()
Frekvenn posun e2i0tf(t) F ( 0)
Derivace df(t)dt 2iF ()
Nsoben t t f(t) i2dF ()d
Zmna mtka asu f(a t) 1|a|F (/a)
http://cmp.felk.cvut.cz13/66Fourierova Tx, vlastnosti (2)
Hodnota F (0) =
f(t)dt Plocha pod funkc f(t)
Hodnota f(0) f(0) =
F ()d Plocha pod F ()
Parsevalova vta|f(t)|2dt =
|F ()|2d energie f = energie F
http://cmp.felk.cvut.cz14/66Zkladn dvojice Fourierovy Tx (1)
0 0
00
0
0
t
x
t t
x x
1
1
f(t)
Re F( )x
d(t)
d( )x
T-T-2T 2T
f(t)
F( )x
1T
12T
1-T
1-2T
Dirac konstanta posloupnost Dirac
http://cmp.felk.cvut.cz15/66Zkladn dvojice Fourierovy Tx (2)
0 00x x xx0 x0
-x0
-x0
-2x0 2x0-x0 x0
f(t)
F( )x
Re F( )x Re F( )xIm F( )x
t
f(t)= (2 t)cos px0
t t
f(t)= (2 t)sin px0 f(t)= (2 t) +cos px0 cos(4 t)px0
kosnus snus sms dvou kosn
http://cmp.felk.cvut.cz16/66Zkladn dvojice Fourierovy Tx (3)
0
00
0
f(t)
F( )x
Re F( )=(sin 2 T)/x px px Re F( )x
f(t)=(sin 2 t)/ tpx p0
t t
f(t) f(t)=exp(-t )2
Re F( )= exp(- )x p p x2 2
t
1
0
0
T-T
1
x x0 x x
obdlnk v t obdlnk v Gaussin
http://cmp.felk.cvut.cz17/66Princip nejistoty
Vechny dvojice (asov signl Fourierv obraz) jsou vzny principemnejistoty.
Signl o krtk dob trvn m irok frekvenn spektrum a obrcen.
(trvn signlu) (ka spektra) 1
Pozorovn: Gaussin et2 modulovan sinusovkou (Gaborova funkce) mnejmen souin mezi trvnm a kou spektra (optimum).
Tento princip je vzn s Hesenbergovm principem nejistoty z kvantovmechaniky (Werner Heisenberg, publikovno 1927, Nobelova cena 1932).Tento princip omezuje pesnost, s n lze urit polohu stice a jej hybnost.
W. Heisenberg 1927: m pesnji je urena poloha stice, tm mnpesn znme v danm okamiku hybnost a naopak.
http://cmp.felk.cvut.cz18/66Neperiodick signly
Fourierova transformace pedpokld periodick signl. A co kdy potebujemezpracovvat neperiodick signl? Dva obvykl pstupy.1. Zpracovat signl po malch stech (oknech) a pedpokldat, e vn je
signl periodick. Pstup zavedl Dennis Gabor v roce 1946 a nazv se krtkodob Fourierovatransformace (Short time Fourier transform).Dennis Gabor, 1900-1979, vynlezce holografie, Nobelova cena za fyziku 1971.,studoval v Budapeti, PhD v Berln 1927, odeel ped nacisty do Britnie v 1933.
Pouh rozsekn signlu na obdlnkov okna nen dobr, protoe na rozhran oken jsounespojitosti. Ty se ve spektru projev nedoucmi vysokmi frekvencemi.
Proto se signl obvykle konvoluje s tlumc vhovou funkc, obvykle Gaussin neboHammingova funkce, zajiujc nulovou hodnotu signlu na okraji a vn okna.
2. Pouit sloitjch bzovch funkc, nap. vlnek ve vlnkov (wavelets)transformaci.
http://cmp.felk.cvut.cz19/66Diskrtn Fourierova transformace
Uvaujme vstupn signl (posloupnost) f(n), n = 0, . . . , N 1.
Nech F (k) oznauje Fourierovo spektrum (vsledek diskrtn Fourierovytransformace) signlu f(n).
Diskrtn Fourierova transformace
F (k) N1n=0
f(n) e2iknN
Inverzn diskrtn Fourierova transformace
f(n) 1N
N1k=0
F (k) e2iknN
http://cmp.felk.cvut.cz20/66Vpoetn sloitost, pipomnka
Pi vahch o sloitosti se abstrahuje od uritho potae a uvauje sepouze asymptotick chovn pslunho algoritmu. Hledaj se meze, kter sepouij nap. vyjden asovch nebo pamovch nrok algoritmu.
Hled se asymptotick horn nebo doln mez analyzovan funkce g(n) (tj.meze rstu hodnoty funkce) na zklad jin funkce, pro ni je vyjden rstujednodu.
Znaen O(n), (n) popisuje limitn chovn funkce, kdy jej argument nroste k .
O(g(n)) oznauje mnoinu funkc f(n), kter asymptoticky omezuj g(n)zdola. Formln existuje kladn konstanta c a slo n0 takov, e0 f(n) c g(n) pro vechna n n0.
(g(n)) oznauje mnoinu funkc f(n), kter asymptoticky omezuj g(n)shora. Formln existuje kladn konstanta c a slo n0 takov, e0 c g(n) f(n) pro vechna n n0.
http://cmp.felk.cvut.cz21/66Vpoetn sloitost, znaen
Znaen Velk O; nap. O(n2) k, e poet krok algoritmu budev nejhorm ppad mrn kvadrtu potu vzork.
Aditivn leny a nsobic konstanty se ignoruj, protoe se hled pouzekvalitativn chovn algoritmu.
Kvadratick sloitost O(n2) je hor ne linern sloitost O(n) nebokonstatn O(1) (tj. nezvisl na dlce n), ale lep ne kubick O(n3).
Kdy je sloitost exponenciln, nap. O(2n), potom to vtinou znamen,e algoritmus je prakticky nepouiteln pro rozshlej lohy.
Podobn znaen ().
http://cmp.felk.cvut.cz22/66
Vpoetn sloitostdiskrtn Fourerovy transformace
Nech W je komplexn slo, W e2iN .
F (k) N1n=0
f(n) e2iknN =
N1n=0
Wnk f(n)
Vektor f(n) se nsob matic, jej prvek (n, k) je komplexn konstantou Wumocnnou na N k.
Vpoet sloitost O(N2).
http://cmp.felk.cvut.cz23/66Rychl Fourierova transformace
Rychl Fourierova transformace (FFT fast Fourier transform) je efektivnalgoritmus pro vpoet diskrtn Fourierovy transformace a jej inverze.
Tvrzen: FFT m vpoetn sloitost O(N log2N).
Pklad (podle Numerical recepies in C):
Uvaujme poslounost N = 106 a hypotetick pota s1 mikrosekundovm cyklem.
FFT by spotebovovala 30 sekund asu procesoru.
DFT by spotebovala dva tdny asu procesoru, tj. 1.209.600 sekund,co je asi 40.000 vce.
http://cmp.felk.cvut.cz24/66Rychl Fourierova transformace (2)
DFT posloupnosti dlky N lze vyjdit jako souet dvou DFT posloupnostdlky N/2, v jedn jsou lich a ve druh sud vzorky.(Danielson, Lanczos v 1942; pozdji rozvinuto Cooley, Tukey v 1965)
Existuj dva pstupy jak rozdlit signl zvan
Rozdlen v ase, angl. decimation in time (DIT);
Rozdlen ve frenkvenci, angl. decimation in frequency (DIF).
Poznmka 1: FFT existuje tak pro obecn dlky N .
Poznmka 2: Vstupn posloupnost se v obecnosti d rozdlit na vce ne dvsti, kter uvaujeme zde.
http://cmp.felk.cvut.cz25/66Rozdlen v ase (DIT)
Vstupn sekvence f(n), n = 1, . . . , N 1 se rozdl na sudou st fe(n) alichou st fo(n), n = 0, 1, . . . , N/2 1.
Fourierova transformace st F e, F o se vypote rekurzivnF (k) = F e(k) +WNk F o(k), kde k = 0, 1, . . . , N .
Signly F e and F o maj polovin dlku. Dky jejich periodicit platF e(k +N/2) = F e(k), F o(k +N/2) = F o(k) pro vechnak = 0, 1, . . . , N/2 1.
Podkovn: Pavel Karas.
http://cmp.felk.cvut.cz26/66Rozdlen ve frekvenci (DIF)
Vstupn sekvence f dlky N se rozdl na sekvence fr a fs jako fr(n) =f(n) + f(n N/2), fs = (f(n) f(n +N/2))WnN .
Jejich Fourierova transformace spluje: F r(k) = F (2k) and F s(k) =2k + 1 for any k = 0, 1, . . . , N/2 1.
Posloupnosti fr a fs se zpracuj rekurzivn podle inverznch rovnic f(n) =12
(fr(n) + fs(n)WN n
),
f(n + N2 ) =12
(fr(n) fs(n)WN n
).
Podkovn: Pavel Karas.
http://cmp.felk.cvut.cz27/66FFT, rozdlen v ase, mylenka dkazu
F (k) =N1n=0
e2iknN f(n)
=
(N/2)1n=0
e2ik(2n)
N f(2n) +
(N/2)1n=0
e2ik(2n+1)
N f(2n+ 1)
=
(N/2)1n=0
e2iknN/2 f(2n) +Wn
(N/2)1n=0
e2iknN/2 f(2n+ 1)
= F e(k) +Wn F o(k) , k = 1, . . . , N
Klov mylenka: rekurzivn vpoet a N je mocninou 2.
Sta log2N iterac.
http://cmp.felk.cvut.cz28/66FFT, mylenka dkazu (2)
Posloupnosti (spektra) F e(k) (sud) a F o(k) (lich) jsou peridick podle ka maj dlku N/2.
Co je vsledkem Fourierovy transformace posloupnosti dlky 1? Odpov:Identita.
Pro kadou poslounost log2N e-ek a o-ek existuje jednobodovtransformace, kter vyuij prv jednu hodnotu ze vstupn posloupnosti,
F eoeeoeo...oee(k) = f(n) pro nkter n .
Dalm trikem je znovuvyuit stench vsledk = motlkov schmavpotu.
http://cmp.felk.cvut.cz29/66FFT motlkov schma vpotu
f1
F1
f0
F0
f2
F2
f3
F3
f4
F4
f5
F5
f6
F6
f7
F7
Iteration
1
2
3
http://cmp.felk.cvut.cz30/662D Fourierova transformace
Mylenka. Obrazov funkce f(x, y) se rozlo na linern kombinaciharmonickch (snusovek, kosnusovek, obecnji ortonormlnch) funkc.
Definice pm transformace. u, v jsou prostorov frekvence.
F (u, v) =
f(x, y) e2i(xu+yv) dx dy
http://cmp.felk.cvut.cz31/66Inverzn Fourierova transformace
f(x, y) =
F (u, v) e2i(xu+yv) dudv
f(x, y) je linern kombinac jednoduchch harmonickch sloeke2i(xu+uv).
Dky Eulerovu vztahuobecn eiz = cos z + i sin z, zde cos(2ixu) + i sin(2ixu),jsou cos relnmi slokami a sin imaginrnmi slokami.
Funkce F (u, v) (komplexn spektrum) udv vhy harmonickch sloekv linern kombinaci.
http://cmp.felk.cvut.cz32/66Spektrum prostorovch frekvenc
Fourierovo spektrum je komplexn funkc F (u, v).
(Komplexn) spektrum F (u, v) = FRe(u, v) + i FIm(u, v)
Amplitudov spektrum |F (u, v)| = |F (u, v)| =F 2Re(u, v) + F
2Im(u, v)
Fzov spektrum (u, v) = tan1[FIm(u,v)FRe(u,v)
]Vkonov spektrum P (u, v) = |F (u, v)|2 = F 2Im(u, v) + F 2Im(u, v)
http://cmp.felk.cvut.cz33/662D sinusovka, ilustrace
2D sinusovku lze zobrazit jako rovinnou vlnu s amplitudou odpovdajcintenzit (stupni edi).
Analogie s vlnitm plechem je zejm pi topografickm zotrazen 2Dsinusovky (nebo kosinusovky).
http://cmp.felk.cvut.cz34/662D sinusovka, ilustrace (2)
=u2 + v2, u = cos , v = sin , = tan1
(vu
).
u
v(u,v)
Q
w
w Qcos
wQ
sin
http://cmp.felk.cvut.cz35/66Ilustrace, vektory bze
Analogie vlnit plech.
sin(3x+ 2y) cos(x+ 4y)
http://cmp.felk.cvut.cz36/66Linern kombinace vektor bze
Analogie plato na vajka.
sin(3x+ 2y)+ cos(x+ 4y) jen jin zobrazen
http://cmp.felk.cvut.cz37/66Plato na vajka
http://cmp.felk.cvut.cz38/662D diskrtn Fourierova transformace
Pm transformace
F (u, v) =1
MN
M1m=0
N1n=0
f(m,n) exp[2i
(muM
+nv
N
)],
u = 0, 1, . . . ,M 1 , v = 0, 1, . . . , N 1 ,
Inverzn transformace
f(m,n) =
M1u=0
N1v=0
F (u, v) exp[
2i(muM
+nv
N
)],
m = 0, 1, . . . ,M 1 , n = 0, 1, . . . , N 1 .
http://cmp.felk.cvut.cz39/66
2D Fourierova Tx jako dvojnsobn 1DFourierova Tx
Vztah pro pmou transformaci lze pepsat na
F (u, v) =1
M
M1m=0
[1
N
N1n=0
exp
(2invN
)f(m,n)
]exp
(2imuM
),
u = 0, 1, . . . ,M 1 , v = 0, 1, . . . , N 1 .
Vraz v hranatch zvorkch odpovd 1D Fourierov transformacim tho dku. Vraz se vypot obyejnou 1D rychlou Fourierovoutransformac (FFT).
Nyn je kad dek nahrazen Fourierovskm spektrem a me se vypotat1D diskrtn Fourierovou transformac kadho sloupce.
http://cmp.felk.cvut.cz40/66Zobrazovn spekter, pklad 2D Gaussinu
Gaussin je pro ilustraci vybrn, protoe m dky prinicipu nejistoty hladkspektrum.
Gaussian2DanimCinepak.aviMedia File (video/avi)http://cmp.felk.cvut.cz41/66Vstupn intenzitn obrzek, souadn soustava
100 200 300 400 500
50
100
150
200
250
300
350
400
450
5000
50
100
150
200
250
http://cmp.felk.cvut.cz42/66Reln sloka spektra jako obrzek a povrch
Problm pi souadn soustav vztaen k obrzku: zajmav sti spektra jsouv rozch a rozdleny na tvrtiny. Dky periodicit lze libovoln posunout.
Real part of the spectrum
Spatial frequency u
Spa
tial f
requ
ency
v
100 200 300 400 500
50
100
150
200
250
300
350
400
450
500
reln st, obrzek reln st, povrch
http://cmp.felk.cvut.cz43/66Imaginrn sloka spektra jako obrzek a povrch
Imaginary part of the spectrum
Spatial frequency u
Spa
tial f
requ
ency
v
100 200 300 400 500
50
100
150
200
250
300
350
400
450
500
imaginrn st, obrzek imaginrn st, povrch
http://cmp.felk.cvut.cz44/66Log vkonovho spektra jako obrzek a povrch
log power spectrum
Spatial frequency u
Spa
tial f
requ
ency
v
100 200 300 400 500
50
100
150
200
250
300
350
400
450
500
obrzek povrch
http://cmp.felk.cvut.cz45/66Periodick obrzek
http://cmp.felk.cvut.cz46/66Periodick spektrum
http://cmp.felk.cvut.cz47/66Centrovan spektra
Spektrum je nzorn zobrazovatcentrovan, tj. s potkem souadnic (0, 0)ve stedu spektra. Nadle tak budeme init.
Uvaujme vchoz spektrum rozdlen natyi kvadranty. Mal ediv tverekyodpovdaj umstn nzkch frekvenc vespektru.
Dky symetrim spektra lze kvadranty jenprohodit podle obou diagonl. Nzkfrekvence nyn jsou ve stedu obrzku.
V MATLABu je funkce fftshift, kterpevd necentrovan centrovanspektrum pehozenm kvadrant podle oboudiagonl.
A D
CB
Vchoz spektrumnzk frekvence jsou v rozch
AD
C B
centrovan spektrums potkem v (0, 0)
http://cmp.felk.cvut.cz48/66
Reln sloka centrovanho spektrajako obrzek a povrch
Real part of the spectrum, centered
Spatial frequency u
Spa
tial f
requ
ency
v
200 100 0 100 200
250
200
150
100
50
0
50
100
150
200
250
reln st, obrzek reln st, povrch
http://cmp.felk.cvut.cz49/66
Imaginrn sloka centrovanho spektrajako obrzek a povrch
Imaginary part of the spectrum, centered
Spatial frequency u
Spa
tial f
requ
ency
v
200 100 0 100 200
250
200
150
100
50
0
50
100
150
200
250
imaginrn st, obrzek imaginrn st, povrch
http://cmp.felk.cvut.cz50/66
Log centrovanho vkonovho spektrajako obrzek a povrch
log power spectrum, centered
Spatial frequency u
Spa
tial f
requ
ency
v
200 100 0 100 200
250
200
150
100
50
0
50
100
150
200
250
obrzek povrch
http://cmp.felk.cvut.cz51/66Pklad Hradany, vchoz obraz 265256
50 100 150 200 250
50
100
150
200
2500
50
100
150
200
http://cmp.felk.cvut.cz52/66
Reln sloka centrovanho spektrajako obrzek a povrch
Real part of the spectrum, centered
Spatial frequency u
Spa
tial f
requ
ency
v
100 50 0 50 100
100
50
0
50
100
reln st, obrzek reln st, povrch
http://cmp.felk.cvut.cz53/66
Imaginrn sloka centrovanho spektrajako obrzek a povrch
Imaginary part of the spectrum, centered
Spatial frequency u
Spa
tial f
requ
ency
v
100 50 0 50 100
100
50
0
50
100
imaginrn st, obrzek imaginrn st, povrch
http://cmp.felk.cvut.cz54/66
Log centrovanho vkonovho spektrajako obrzek a povrch
log power spectrum, centered
Spatial frequency u
Spa
tial f
requ
ency
v
100 50 0 50 100
100
50
0
50
100
obrzek povrch
http://cmp.felk.cvut.cz55/66Pklad re, vchoz obraz 265256
50 100 150 200 250
50
100
150
200
25040
60
80
100
120
140
160
180
200
http://cmp.felk.cvut.cz56/66
Reln sloka centrovanho spektrajako obrzek a povrch
Real part of the spectrum, centered
Spatial frequency u
Spa
tial f
requ
ency
v
100 50 0 50 100
100
50
0
50
100
reln st, obrzek reln st, povrch
http://cmp.felk.cvut.cz57/66
Imaginrn sloka centrovanho spektrajako obrzek a povrch
Imaginary part of the spectrum, centered
Spatial frequency u
Spa
tial f
requ
ency
v
100 50 0 50 100
100
50
0
50
100
imaginrn st, obrzek imaginrn st, povrch
http://cmp.felk.cvut.cz58/66
Log centrovanho vkonovho spektrajako obrzek a povrch
log power spectrum, centered
Spatial frequency u
Spa
tial f
requ
ency
v
100 50 0 50 100
100
50
0
50
100
obrzek povrch
http://cmp.felk.cvut.cz59/66Pklad vodorovn ra, vchoz obraz 265256
http://cmp.felk.cvut.cz60/66Pklad vodorovn ra, reln sloka spektra
http://cmp.felk.cvut.cz61/66Pklad vodorovn ra, imaginrn sloka spektra
http://cmp.felk.cvut.cz62/66Pklad vodorovn ra, vkonov spektrum
http://cmp.felk.cvut.cz63/66Pklad obdlnk, vchoz obraz 512512
100 200 300 400 500
50
100
150
200
250
300
350
400
450
5000
20
40
60
80
100
120
140
160
180
200
http://cmp.felk.cvut.cz64/66
Reln sloka centrovanho spektrajako obrzek a povrch
Real part of the spectrum, centered
Spatial frequency u
Spa
tial f
requ
ency
v
200 100 0 100 200
250
200
150
100
50
0
50
100
150
200
250
reln st, obrzek reln st, povrch
http://cmp.felk.cvut.cz65/66
Imaginrn sloka centrovanho spektrajako obrzek a povrch
Imaginary part of the spectrum, centered
Spatial frequency u
Spa
tial f
requ
ency
v
200 100 0 100 200
250
200
150
100
50
0
50
100
150
200
250
imaginrn st, obrzek imaginrn st, povrch
http://cmp.felk.cvut.cz66/66
Log centrovanho vkonovho spektrajako obrzek a povrch
log power spectrum, centered
Spatial frequency u
Spa
tial f
requ
ency
v
200 100 0 100 200
250
200
150
100
50
0
50
100
150
200
250
obrzek povrch
http://cmp.felk.cvut.czprostorovfiltr
frekvennfiltr
vstupnobraz
pmtransformace
zptntransformace
vstupnobraz
f(t)
t
t
f(t)
f(t) f (t)e f (t)o
t t t= +
0 0
00
0
0
t
x
t t
x x
1
1
f(t)
Re F( )x
d(t)
d( )x
T-T-2T 2T
f(t)
F( )x
1T
12T
1-T
1-2T
0 00x x xx0 x0
-x0
-x0
-2x0 2x0-x0 x0
f(t)
F( )x
Re F( )x Re F( )xIm F( )x
t
f(t)= (2 t)cos px0
t t
f(t)= (2 t)sin px0 f(t)= (2 t) +cos px0 cos(4 t)px0
0
00
0
f(t)
F( )x
Re F( )=(sin 2 T)/x px px Re F( )x
f(t)=(sin 2 t)/ tpx p0
t t
f(t) f(t)=exp(-t )2
Re F( )= exp(- )x p p x2 2
t
1
0
0
T-T
1
x x0 x x
f1
F1
f0
F0
f2
F2
f3
F3
f4
F4
f5
F5
f6
F6
f7
F7
Iteration
1
2
3
u
v(u,v)
Q
w
w Qcos
wQ
sin
100 200 300 400 500
50
100
150
200
250
300
350
400
450
5000
50
100
150
200
250
Real part of the spectrum
Spatial frequency u
Spa
tial f
requ
ency
v
100 200 300 400 500
50
100
150
200
250
300
350
400
450
500
Imaginary part of the spectrum
Spatial frequency u
Spa
tial f
requ
ency
v
100 200 300 400 500
50
100
150
200
250
300
350
400
450
500
log power spectrum
Spatial frequency u
Spa
tial f
requ
ency
v
100 200 300 400 500
50
100
150
200
250
300
350
400
450
500
A D
CB
AD
C B
Real part of the spectrum, centered
Spatial frequency u
Spa
tial f
requ
ency
v
200 100 0 100 200
250
200
150
100
50
0
50
100
150
200
250
Imaginary part of the spectrum, centered
Spatial frequency u
Spa
tial f
requ
ency
v
200 100 0 100 200
250
200
150
100
50
0
50
100
150
200
250
log power spectrum, centered
Spatial frequency u
Spa
tial f
requ
ency
v
200 100 0 100 200
250
200
150
100
50
0
50
100
150
200
250
50 100 150 200 250
50
100
150
200
2500
50
100
150
200
Real part of the spectrum, centered
Spatial frequency u
Spa
tial f
requ
ency
v
100 50 0 50 100
100
50
0
50
100
Imaginary part of the spectrum, centered
Spatial frequency u
Spa
tial f
requ
ency
v
100 50 0 50 100
100
50
0
50
100
log power spectrum, centered
Spatial frequency u
Spa
tial f
requ
ency
v
100 50 0 50 100
100
50
0
50
100
50 100 150 200 250
50
100
150
200
25040
60
80
100
120
140
160
180
200
Real part of the spectrum, centered
Spatial frequency u
Spa
tial f
requ
ency
v
100 50 0 50 100
100
50
0
50
100
Imaginary part of the spectrum, centered
Spatial frequency u
Spa
tial f
requ
ency
v
100 50 0 50 100
100
50
0
50
100
log power spectrum, centered
Spatial frequency u
Spa
tial f
requ
ency
v
100 50 0 50 100
100
50
0
50
100
100 200 300 400 500
50
100
150
200
250
300
350
400
450
5000
20
40
60
80
100
120
140
160
180
200
Real part of the spectrum, centered
Spatial frequency u
Spa
tial f
requ
ency
v
200 100 0 100 200
250
200
150
100
50
0
50
100
150
200
250
Imaginary part of the spectrum, centered
Spatial frequency u
Spa
tial f
requ
ency
v
200 100 0 100 200
250
200
150
100
50
0
50
100
150
200
250
log power spectrum, centered
Spatial frequency u
Spa
tial f
requ
ency
v
200 100 0 100 200
250
200
150
100
50
0
50
100
150
200
250
Top Related