Fourierovatransformacev1Da2D -...

Fourierova transformace v 1D a 2DVclav Hlav

esk vysok uen technick v Prazeesk institut informatiky, robotiky a kybernetiky166 36 Praha 6, Jugoslvskch partyzn 1580/3

http://people.ciirc.cvut.cz/hlavac, [email protected]

tak z Centra strojovho vnmn, http://cmp.felk.cvut.cz

Osnova pednky: Fourierova tx v 1D, vpoetn sloitost, FFT.

Fourierova tx ve 2D, centrovn spektra.

Pklady ve 2D.

2/66Vchoz pedstava, filtrovn v prostoru frekvenc

prostorovfiltr

frekvennfiltr

vstupnobraz

pmtransformace

zptntransformace

vstupnobraz

Filtrace v prostorov oblasti. Pro 1D signly bychom ekli v asov oblasti.Linern kombinace vstupnho obrazu s koeficienty (asto loklnho) filtru.Zkladn operac je konvoluce.

Filtrace ve frekvenn oblasti. Pevod do frekvenn reprezentace, tam filtrace,pevod zpt.

Pro prvn pedstavu sta Fourierova transformace, ale jsou i dal linernintegrln transformace slouc k podobnmu elu, nap. kosnov nebo vlnkov(wavelet).
http://cmp.felk.cvut.cz

3/661D Fourierova transformace, vod

Fourierova transformace je zkladnm nstrojempro (linern) zpracovn signl a v teorii zen.

Dovoluje vzjemn jednoznan pevod signlz/do asov reprezentace f(t) do/z frekvennreprezentace F ().

Umouje analyzovat frekvenn obsah (spektrum)signlu.

FT je vhodn pro periodick signly.

Kdy signl nen periodick, potom lze poutkrtkodobou FT nebo linern integrlntransformaci s bzovmi funkcemi lokalizovanmiv ase nebo 2D prostoru. Pkladem je vlnkovtransformace (wavelets), Gaborovy filtry.

Joseph Fourier1768-1830

4/66

Sud, licha komplexn sdruen funkce

Sud f(t) = f(t)

f(t)

t

Lich f(t) = f(t)t

f(t)

Komplexnsdruen

f() = f() f( 5) = 2 + 3if(5) = 2 3i

f oznauje komplexn sdruenou funkci.

i je komplexn jednotka.

5/66

Kadou funkci lze rozloitna sudou a lichou st

f(t) = fe(t) + fo(t)

fe(t) =f(t) + f(t)

2fo(t) =

f(t) f(t)2

f(t) f (t)e f (t)o

t t t= +

6/66Fourierova Tx definice: spojit ppad

F{f(t)} = F (), kde [Hz=s1] je frekvence a 2 [s1] je hlov frekvence.

Fourierova Tx Inverzn Fourierova Tx

F () =

f(t) e2it dt f(t) =

F () e2it d

Jak je vznam inverzn FT? Vyjdeme pomoc Riemannova soutu:

f(t).=(. . .+ F (0) e

2i0t + F (1) e2i1t + . . .

) ,

kde = k+1 k pro k .

Kad 1D funkce se d vyjdit jako ven souet (integrl) mnohakomplexnch exponencil (dky Eulerov vztahu ei = cos + i sin tak jakosouet sinusovek a kosinusovek).

7/66

Podmnky pro existenciFourierovy transformace

1.

| f(t) | dt

8/66Fourierova Tx, symetrie

Symetrie vzhledem ke komplexn sdruen sti, tj. F (i) = F (i).

|F (i)| je vdy sud.

Fze F (i) je vdy lich.

Re{F (i)} je vdy sud.

Im{F (i)} je vdy lich.

Sud st f(t) se transformuje na relnou st F (i).

Lich st f(t) se transformuje na imaginrn st F (i).

9/66Konvoluce, definice, spojit ppad

Konvoluce (ve funkcionln analze) je operace na dvou funkcch f a h,kter vytvo tet funkci (f h), kter se pouv jako modifikace jedn zevstupnch funkc.

Konvoluce je integrl mchajc hodnoty dvou funkc, a to funkce h(t),kter je posouvna a pekrv se s funkc f(t) nebo obrcen.

Uvaujme nejdve spojit ppad s obecnmi nekonenmi mezemi

(f h)(t) = (h f)(t)

f()h(t ) d =

f(t )h() d .

Meze integrlu meme omezit na interval [0, t], protoe pedpokldmenulov hodnoty funkc pro zporn argument

(f h)(t) = (h f)(t) t0

f() h(t ) d = t0

f(t ) h() d .

10/66Korelace a konvoluce

Konvoluce definovan pro 1D signly pouv peklopen jdro h

(f h)(t)

f()h(t ) d .

Vzjemn korelace ? definovan pro 1D signly pouv (nepeklopen) jdro h

(f ? h)

f()h(t+ ) d ,

kde f oznauje komplexn sdruenou funkci k f .

Vzjemn korelace je mrovu podobnosti dvou 1D funkc v zvislosti na posunu (nap. na asovm zpodn).

11/66Konvoluce, diskrtn aproximace

(f h)(i) = (h f)(i) mO

h(im) f(m) =mO

h(i) f(im) ,

kde O je lokln okol souasn pozicea h je konvolun jdro (t konvolunmaska).

12/66Fourierova Tx, vlastnosti (1)

Vlastnosti f(t) F ()

Linearita af1(t) + bf2(t) aF1() + b F2()

Dualita F (t) f()

Konvoluce (f g)(t) F ()G()

Souin f(t) g(t) (F G)()

asov posun f(t t0) e2it0 F ()

Frekvenn posun e2i0tf(t) F ( 0)

Derivace df(t)dt 2iF ()

Nsoben t t f(t) i2dF ()d

Zmna mtka asu f(a t) 1|a|F (/a)

13/66Fourierova Tx, vlastnosti (2)

Hodnota F (0) =

f(t)dt Plocha pod funkc f(t)

Hodnota f(0) f(0) =

F ()d Plocha pod F ()

Parsevalova vta|f(t)|2dt =

|F ()|2d energie f = energie F

14/66Zkladn dvojice Fourierovy Tx (1)

0 0

00

0

0

t

x

t t

x x

1

1

f(t)

Re F( )x

d(t)

d( )x

T-T-2T 2T

f(t)

F( )x

1T

12T

1-T

1-2T

Dirac konstanta posloupnost Dirac


0 00x x xx0 x0

-x0

-x0

-2x0 2x0-x0 x0

f(t)

F( )x

Re F( )x Re F( )xIm F( )x

t

f(t)= (2 t)cos px0

t t

f(t)= (2 t)sin px0 f(t)= (2 t) +cos px0 cos(4 t)px0

kosnus snus sms dvou kosn


0

00

0

f(t)

F( )x

Re F( )=(sin 2 T)/x px px Re F( )x

f(t)=(sin 2 t)/ tpx p0

t t

f(t) f(t)=exp(-t )2

Re F( )= exp(- )x p p x2 2

t

1

0

0

T-T

1

x x0 x x

obdlnk v t obdlnk v Gaussin

17/66Princip nejistoty

Vechny dvojice (asov signl Fourierv obraz) jsou vzny principemnejistoty.

Signl o krtk dob trvn m irok frekvenn spektrum a obrcen.

(trvn signlu) (ka spektra) 1

Pozorovn: Gaussin et2 modulovan sinusovkou (Gaborova funkce) mnejmen souin mezi trvnm a kou spektra (optimum).

Tento princip je vzn s Hesenbergovm principem nejistoty z kvantovmechaniky (Werner Heisenberg, publikovno 1927, Nobelova cena 1932).Tento princip omezuje pesnost, s n lze urit polohu stice a jej hybnost.

W. Heisenberg 1927: m pesnji je urena poloha stice, tm mnpesn znme v danm okamiku hybnost a naopak.

18/66Neperiodick signly

Fourierova transformace pedpokld periodick signl. A co kdy potebujemezpracovvat neperiodick signl? Dva obvykl pstupy.1. Zpracovat signl po malch stech (oknech) a pedpokldat, e vn je

signl periodick. Pstup zavedl Dennis Gabor v roce 1946 a nazv se krtkodob Fourierovatransformace (Short time Fourier transform).Dennis Gabor, 1900-1979, vynlezce holografie, Nobelova cena za fyziku 1971.,studoval v Budapeti, PhD v Berln 1927, odeel ped nacisty do Britnie v 1933.

Pouh rozsekn signlu na obdlnkov okna nen dobr, protoe na rozhran oken jsounespojitosti. Ty se ve spektru projev nedoucmi vysokmi frekvencemi.

Proto se signl obvykle konvoluje s tlumc vhovou funkc, obvykle Gaussin neboHammingova funkce, zajiujc nulovou hodnotu signlu na okraji a vn okna.

2. Pouit sloitjch bzovch funkc, nap. vlnek ve vlnkov (wavelets)transformaci.

19/66Diskrtn Fourierova transformace

Uvaujme vstupn signl (posloupnost) f(n), n = 0, . . . , N 1.

Nech F (k) oznauje Fourierovo spektrum (vsledek diskrtn Fourierovytransformace) signlu f(n).

Diskrtn Fourierova transformace

F (k) N1n=0

f(n) e2iknN

Inverzn diskrtn Fourierova transformace

f(n) 1N

N1k=0

F (k) e2iknN

20/66Vpoetn sloitost, pipomnka

Pi vahch o sloitosti se abstrahuje od uritho potae a uvauje sepouze asymptotick chovn pslunho algoritmu. Hledaj se meze, kter sepouij nap. vyjden asovch nebo pamovch nrok algoritmu.

Hled se asymptotick horn nebo doln mez analyzovan funkce g(n) (tj.meze rstu hodnoty funkce) na zklad jin funkce, pro ni je vyjden rstujednodu.

Znaen O(n), (n) popisuje limitn chovn funkce, kdy jej argument nroste k .

O(g(n)) oznauje mnoinu funkc f(n), kter asymptoticky omezuj g(n)zdola. Formln existuje kladn konstanta c a slo n0 takov, e0 f(n) c g(n) pro vechna n n0.

(g(n)) oznauje mnoinu funkc f(n), kter asymptoticky omezuj g(n)shora. Formln existuje kladn konstanta c a slo n0 takov, e0 c g(n) f(n) pro vechna n n0.

21/66Vpoetn sloitost, znaen

Znaen Velk O; nap. O(n2) k, e poet krok algoritmu budev nejhorm ppad mrn kvadrtu potu vzork.

Aditivn leny a nsobic konstanty se ignoruj, protoe se hled pouzekvalitativn chovn algoritmu.

Kvadratick sloitost O(n2) je hor ne linern sloitost O(n) nebokonstatn O(1) (tj. nezvisl na dlce n), ale lep ne kubick O(n3).

Kdy je sloitost exponenciln, nap. O(2n), potom to vtinou znamen,e algoritmus je prakticky nepouiteln pro rozshlej lohy.

Podobn znaen ().

22/66

Vpoetn sloitostdiskrtn Fourerovy transformace

Nech W je komplexn slo, W e2iN .

F (k) N1n=0

f(n) e2iknN =

N1n=0

Wnk f(n)

Vektor f(n) se nsob matic, jej prvek (n, k) je komplexn konstantou Wumocnnou na N k.

Vpoet sloitost O(N2).

23/66Rychl Fourierova transformace

Rychl Fourierova transformace (FFT fast Fourier transform) je efektivnalgoritmus pro vpoet diskrtn Fourierovy transformace a jej inverze.

Tvrzen: FFT m vpoetn sloitost O(N log2N).

Pklad (podle Numerical recepies in C):

Uvaujme poslounost N = 106 a hypotetick pota s1 mikrosekundovm cyklem.

FFT by spotebovovala 30 sekund asu procesoru.

DFT by spotebovala dva tdny asu procesoru, tj. 1.209.600 sekund,co je asi 40.000 vce.

24/66Rychl Fourierova transformace (2)

DFT posloupnosti dlky N lze vyjdit jako souet dvou DFT posloupnostdlky N/2, v jedn jsou lich a ve druh sud vzorky.(Danielson, Lanczos v 1942; pozdji rozvinuto Cooley, Tukey v 1965)

Existuj dva pstupy jak rozdlit signl zvan

Rozdlen v ase, angl. decimation in time (DIT);

Rozdlen ve frenkvenci, angl. decimation in frequency (DIF).

Poznmka 1: FFT existuje tak pro obecn dlky N .

Poznmka 2: Vstupn posloupnost se v obecnosti d rozdlit na vce ne dvsti, kter uvaujeme zde.

25/66Rozdlen v ase (DIT)

Vstupn sekvence f(n), n = 1, . . . , N 1 se rozdl na sudou st fe(n) alichou st fo(n), n = 0, 1, . . . , N/2 1.

Fourierova transformace st F e, F o se vypote rekurzivnF (k) = F e(k) +WNk F o(k), kde k = 0, 1, . . . , N .

Signly F e and F o maj polovin dlku. Dky jejich periodicit platF e(k +N/2) = F e(k), F o(k +N/2) = F o(k) pro vechnak = 0, 1, . . . , N/2 1.

Podkovn: Pavel Karas.

26/66Rozdlen ve frekvenci (DIF)

Vstupn sekvence f dlky N se rozdl na sekvence fr a fs jako fr(n) =f(n) + f(n N/2), fs = (f(n) f(n +N/2))WnN .

Jejich Fourierova transformace spluje: F r(k) = F (2k) and F s(k) =2k + 1 for any k = 0, 1, . . . , N/2 1.

Posloupnosti fr a fs se zpracuj rekurzivn podle inverznch rovnic f(n) =12

(fr(n) + fs(n)WN n

),

f(n + N2 ) =12

(fr(n) fs(n)WN n

).

Podkovn: Pavel Karas.

27/66FFT, rozdlen v ase, mylenka dkazu

F (k) =N1n=0

e2iknN f(n)

=

(N/2)1n=0

e2ik(2n)

N f(2n) +

(N/2)1n=0

e2ik(2n+1)

N f(2n+ 1)

=

(N/2)1n=0

e2iknN/2 f(2n) +Wn

(N/2)1n=0

e2iknN/2 f(2n+ 1)

= F e(k) +Wn F o(k) , k = 1, . . . , N

Klov mylenka: rekurzivn vpoet a N je mocninou 2.

Sta log2N iterac.

28/66FFT, mylenka dkazu (2)

Posloupnosti (spektra) F e(k) (sud) a F o(k) (lich) jsou peridick podle ka maj dlku N/2.

Co je vsledkem Fourierovy transformace posloupnosti dlky 1? Odpov:Identita.

Pro kadou poslounost log2N e-ek a o-ek existuje jednobodovtransformace, kter vyuij prv jednu hodnotu ze vstupn posloupnosti,

F eoeeoeo...oee(k) = f(n) pro nkter n .

Dalm trikem je znovuvyuit stench vsledk = motlkov schmavpotu.

29/66FFT motlkov schma vpotu

f1

F1

f0

F0

f2

F2

f3

F3

f4

F4

f5

F5

f6

F6

f7

F7

Iteration

1

2

3

30/662D Fourierova transformace

Mylenka. Obrazov funkce f(x, y) se rozlo na linern kombinaciharmonickch (snusovek, kosnusovek, obecnji ortonormlnch) funkc.

Definice pm transformace. u, v jsou prostorov frekvence.

F (u, v) =

f(x, y) e2i(xu+yv) dx dy

31/66Inverzn Fourierova transformace

f(x, y) =

F (u, v) e2i(xu+yv) dudv

f(x, y) je linern kombinac jednoduchch harmonickch sloeke2i(xu+uv).

Dky Eulerovu vztahuobecn eiz = cos z + i sin z, zde cos(2ixu) + i sin(2ixu),jsou cos relnmi slokami a sin imaginrnmi slokami.

Funkce F (u, v) (komplexn spektrum) udv vhy harmonickch sloekv linern kombinaci.

32/66Spektrum prostorovch frekvenc

Fourierovo spektrum je komplexn funkc F (u, v).

(Komplexn) spektrum F (u, v) = FRe(u, v) + i FIm(u, v)

Amplitudov spektrum |F (u, v)| = |F (u, v)| =F 2Re(u, v) + F

2Im(u, v)

Fzov spektrum (u, v) = tan1[FIm(u,v)FRe(u,v)

]Vkonov spektrum P (u, v) = |F (u, v)|2 = F 2Im(u, v) + F 2Im(u, v)

33/662D sinusovka, ilustrace

2D sinusovku lze zobrazit jako rovinnou vlnu s amplitudou odpovdajcintenzit (stupni edi).

Analogie s vlnitm plechem je zejm pi topografickm zotrazen 2Dsinusovky (nebo kosinusovky).

34/662D sinusovka, ilustrace (2)

=u2 + v2, u = cos , v = sin , = tan1

(vu

).

u

v(u,v)

Q

w

w Qcos

wQ

sin

35/66Ilustrace, vektory bze

Analogie vlnit plech.

sin(3x+ 2y) cos(x+ 4y)

36/66Linern kombinace vektor bze

Analogie plato na vajka.

sin(3x+ 2y)+ cos(x+ 4y) jen jin zobrazen

37/66Plato na vajka

38/662D diskrtn Fourierova transformace

Pm transformace

F (u, v) =1

MN

M1m=0

N1n=0

f(m,n) exp[2i

(muM

+nv

N

)],

u = 0, 1, . . . ,M 1 , v = 0, 1, . . . , N 1 ,

Inverzn transformace

f(m,n) =

M1u=0

N1v=0

F (u, v) exp[

2i(muM

+nv

N

)],

m = 0, 1, . . . ,M 1 , n = 0, 1, . . . , N 1 .

39/66

2D Fourierova Tx jako dvojnsobn 1DFourierova Tx

Vztah pro pmou transformaci lze pepsat na

F (u, v) =1

M

M1m=0

[1

N

N1n=0

exp

(2invN

)f(m,n)

]exp

(2imuM

),

u = 0, 1, . . . ,M 1 , v = 0, 1, . . . , N 1 .

Vraz v hranatch zvorkch odpovd 1D Fourierov transformacim tho dku. Vraz se vypot obyejnou 1D rychlou Fourierovoutransformac (FFT).

Nyn je kad dek nahrazen Fourierovskm spektrem a me se vypotat1D diskrtn Fourierovou transformac kadho sloupce.

40/66Zobrazovn spekter, pklad 2D Gaussinu

Gaussin je pro ilustraci vybrn, protoe m dky prinicipu nejistoty hladkspektrum.
Gaussian2DanimCinepak.aviMedia File (video/avi)http://cmp.felk.cvut.cz

41/66Vstupn intenzitn obrzek, souadn soustava

100 200 300 400 500

50

100

150

200

250

300

350

400

450

5000

50

100

150

200

250

42/66Reln sloka spektra jako obrzek a povrch

Problm pi souadn soustav vztaen k obrzku: zajmav sti spektra jsouv rozch a rozdleny na tvrtiny. Dky periodicit lze libovoln posunout.

Real part of the spectrum

Spatial frequency u

Spa

tial f

requ

ency

v

100 200 300 400 500

50

100

150

200

250

300

350

400

450

500

reln st, obrzek reln st, povrch

43/66Imaginrn sloka spektra jako obrzek a povrch

Imaginary part of the spectrum

Spatial frequency u

Spa

tial f

requ

ency

v

100 200 300 400 500

50

100

150

200

250

300

350

400

450

500

imaginrn st, obrzek imaginrn st, povrch

44/66Log vkonovho spektra jako obrzek a povrch

log power spectrum

Spatial frequency u

Spa

tial f

requ

ency

v

100 200 300 400 500

50

100

150

200

250

300

350

400

450

500

obrzek povrch

45/66Periodick obrzek

46/66Periodick spektrum

47/66Centrovan spektra

Spektrum je nzorn zobrazovatcentrovan, tj. s potkem souadnic (0, 0)ve stedu spektra. Nadle tak budeme init.

Uvaujme vchoz spektrum rozdlen natyi kvadranty. Mal ediv tverekyodpovdaj umstn nzkch frekvenc vespektru.

Dky symetrim spektra lze kvadranty jenprohodit podle obou diagonl. Nzkfrekvence nyn jsou ve stedu obrzku.

V MATLABu je funkce fftshift, kterpevd necentrovan centrovanspektrum pehozenm kvadrant podle oboudiagonl.

A D

CB

Vchoz spektrumnzk frekvence jsou v rozch

AD

C B

centrovan spektrums potkem v (0, 0)

48/66

Reln sloka centrovanho spektrajako obrzek a povrch

Real part of the spectrum, centered

Spatial frequency u

Spa

tial f

requ

ency

v

200 100 0 100 200

250

200

150

100

50

0

50

100

150

200

250


49/66

Imaginrn sloka centrovanho spektrajako obrzek a povrch

Imaginary part of the spectrum, centered

Spatial frequency u

Spa

tial f

requ

ency

v

200 100 0 100 200

250

200

150

100

50

0

50

100

150

200

250


50/66

Log centrovanho vkonovho spektrajako obrzek a povrch

log power spectrum, centered

Spatial frequency u

Spa

tial f

requ

ency

v

200 100 0 100 200

250

200

150

100

50

0

50

100

150

200

250

obrzek povrch

51/66Pklad Hradany, vchoz obraz 265256

50 100 150 200 250

50

100

150

200

2500

50

100

150

200

52/66



Spatial frequency u

Spa

tial f

requ

ency

v

100 50 0 50 100

100

50

0

50

100


53/66



Spatial frequency u

Spa

tial f

requ

ency

v

100 50 0 50 100

100

50

0

50

100


54/66



Spatial frequency u

Spa

tial f

requ

ency

v

100 50 0 50 100

100

50

0

50

100

obrzek povrch

55/66Pklad re, vchoz obraz 265256

50 100 150 200 250

50

100

150

200

25040

60

80

100

120

140

160

180

200

56/66



Spatial frequency u

Spa

tial f

requ

ency

v

100 50 0 50 100

100

50

0

50

100


57/66



Spatial frequency u

Spa

tial f

requ

ency

v

100 50 0 50 100

100

50

0

50

100


58/66



Spatial frequency u

Spa

tial f

requ

ency

v

100 50 0 50 100

100

50

0

50

100

obrzek povrch

59/66Pklad vodorovn ra, vchoz obraz 265256

60/66Pklad vodorovn ra, reln sloka spektra

61/66Pklad vodorovn ra, imaginrn sloka spektra

62/66Pklad vodorovn ra, vkonov spektrum

63/66Pklad obdlnk, vchoz obraz 512512

100 200 300 400 500

50

100

150

200

250

300

350

400

450

5000

20

40

60

80

100

120

140

160

180

200

64/66



Spatial frequency u

Spa

tial f

requ

ency

v

200 100 0 100 200

250

200

150

100

50

0

50

100

150

200

250


65/66



Spatial frequency u

Spa

tial f

requ

ency

v

200 100 0 100 200

250

200

150

100

50

0

50

100

150

200

250


66/66



Spatial frequency u

Spa

tial f

requ

ency

v

200 100 0 100 200

250

200

150

100

50

0

50

100

150

200

250

obrzek povrch

prostorovfiltr

frekvennfiltr

vstupnobraz

pmtransformace

zptntransformace

vstupnobraz

f(t)

t

t

f(t)

f(t) f (t)e f (t)o

t t t= +

0 0

00

0

0

t

x

t t

x x

1

1

f(t)

Re F( )x

d(t)

d( )x

T-T-2T 2T

f(t)

F( )x

1T

12T

1-T

1-2T

0 00x x xx0 x0

-x0

-x0

-2x0 2x0-x0 x0

f(t)

F( )x

Re F( )x Re F( )xIm F( )x

t

f(t)= (2 t)cos px0

t t

f(t)= (2 t)sin px0 f(t)= (2 t) +cos px0 cos(4 t)px0

0

00

0

f(t)

F( )x

Re F( )=(sin 2 T)/x px px Re F( )x

f(t)=(sin 2 t)/ tpx p0

t t

f(t) f(t)=exp(-t )2

Re F( )= exp(- )x p p x2 2

t

1

0

0

T-T

1

x x0 x x

f1

F1

f0

F0

f2

F2

f3

F3

f4

F4

f5

F5

f6

F6

f7

F7

Iteration

1

2

3

u

v(u,v)

Q

w

w Qcos

wQ

sin

100 200 300 400 500

50

100

150

200

250

300

350

400

450

5000

50

100

150

200

250

Real part of the spectrum

Spatial frequency u

Spa

tial f

requ

ency

v

100 200 300 400 500

50

100

150

200

250

300

350

400

450

500

Imaginary part of the spectrum

Spatial frequency u

Spa

tial f

requ

ency

v

100 200 300 400 500

50

100

150

200

250

300

350

400

450

500

log power spectrum

Spatial frequency u

Spa

tial f

requ

ency

v

100 200 300 400 500

50

100

150

200

250

300

350

400

450

500

A D

CB

AD

C B


Spatial frequency u

Spa

tial f

requ

ency

v

200 100 0 100 200

250

200

150

100

50

0

50

100

150

200

250

50 100 150 200 250

50

100

150

200

2500

50

100

150

200


Spatial frequency u

Spa

tial f

requ

ency

v

100 50 0 50 100

100

50

0

50

100

50 100 150 200 250

50

100

150

200

25040

60

80

100

120

140

160

180

200


Spatial frequency u

Spa

tial f

requ

ency

v

100 50 0 50 100

100

50

0

50

100

100 200 300 400 500

50

100

150

200

250

300

350

400

450

5000

20

40

60

80

100

120

140

160

180

200


Spatial frequency u

Spa

tial f

requ

ency

v

200 100 0 100 200

250

200

150

100

50

0

50

100

150

200

250

First pageccmp Vchoz pedstava, filtrovn v prostoru frekvencccmp 1D Fourierova transformace, vodccmp Sud, lich \a komplexn sdruen funkceccmp Kadou funkci lze rozloit \na sudou a lichou stccmp Fourierova Tx definice: spojit ppadccmp Podmnky pro existenci \Fourierovy transformaceccmp Fourierova Tx, symetrieccmp Konvoluce, definice, spojit ppadccmp Korelace a konvoluceccmp Konvoluce, diskrtn aproximaceccmp Fourierova Tx, vlastnosti (1)ccmp Fourierova Tx, vlastnosti (2)ccmp Zkladn dvojice Fourierovy Tx (1)ccmp Zkladn dvojice Fourierovy Tx (2)ccmp Zkladn dvojice Fourierovy Tx (3)ccmp Princip nejistotyccmp Neperiodick signlyccmp Diskrtn Fourierova transformaceccmp Vpoetn sloitost, pipomnkaccmp Vpoetn sloitost, znaenccmp Vpoetn sloitost \diskrtn Fourerovy transformaceccmp Rychl Fourierova transformaceccmp Rychl Fourierova transformace (2)ccmp Rozdlen v ase (DIT)ccmp Rozdlen ve frekvenci (DIF)ccmp FFT, rozdlen v ase, mylenka dkazuccmp FFT, mylenka dkazu (2)ccmp FFT motlkov schma vpotuccmp 2D Fourierova transformaceccmp Inverzn Fourierova transformaceccmp Spektrum prostorovch frekvencccmp 2D sinusovka, ilustraceccmp 2D sinusovka, ilustrace (2)ccmp Ilustrace, vektory bzeccmp Linern kombinace vektor bzeccmp Plato na vajkaccmp 2D diskrtn Fourierova transformaceccmp 2D Fourierova Tx jako dvojnsobn 1D Fourierova Txccmp Zobrazovn spekter, pklad 2D Gaussinuccmp Vstupn intenzitn obrzek, souadn soustavaccmp Reln sloka spektra jako obrzek a povrchccmp Imaginrn sloka spektra jako obrzek a povrchccmp Log vkonovho spektra jako obrzek a povrchccmp Periodick obrzekccmp Periodick spektrumccmp Centrovan spektraccmp Reln sloka centrovanho spektra\ jako obrzek a povrchccmp Imaginrn sloka centrovanho spektra\ jako obrzek a povrchccmp Log centrovanho vkonovho spektra\ jako obrzek a povrchccmp Pklad Hradany, vchoz obraz 265$imes $256ccmp Reln sloka centrovanho spektra\ jako obrzek a povrchccmp Imaginrn sloka centrovanho spektra\ jako obrzek a povrchccmp Log centrovanho vkonovho spektra\ jako obrzek a povrchccmp Pklad re, vchoz obraz 265$imes $256ccmp Reln sloka centrovanho spektra\ jako obrzek a povrchccmp Imaginrn sloka centrovanho spektra\ jako obrzek a povrchccmp Log centrovanho vkonovho spektra\ jako obrzek a povrchccmp Pklad vodorovn ra, vchoz obraz 265$imes $256ccmp Pklad vodorovn ra, reln sloka spektraccmp Pklad vodorovn ra, imaginrn sloka spektraccmp Pklad vodorovn ra, vkonov spektrumccmp Pklad obdlnk, vchoz obraz 512$imes $512ccmp Reln sloka centrovanho spektra\ jako obrzek a povrchccmp Imaginrn sloka centrovanho spektra\ jako obrzek a povrchccmp Log centrovanho vkonovho spektra\ jako obrzek a povrchLast page

Fourierovatransformacev1Da2D -...

Documents

Transcript of Fourierovatransformacev1Da2D -...