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Exercices résolus de mathématiques.
ANA 27
EXANA270 – EXANA279
http://www.matheux.c.la
Jacques Collot
Benoit Baudelet – Steve Tumson
Août 2010
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EXANA270 – FACSA - ULG - Liège, juillet 2010.
0 1 2 1 2On appelle "coefficients de Fourier" d'une fonction , les réels , , ,...et , ...définis par
1cos 0,1,2,....
1sin 1,2,....
(lorsque ces intégrales existent).
i. Calcul
k
k
f a a a b b
a f x kx dx k
b f x kx dx k
2
0 1 1
2
0
ez les coefficients de Fourier de , , et de
ii. Généraliser les résultats précédents en calculant et de k k
a a b f x x
a b k f x x
Nous reprenons la solution proposée par l’université (Prof Eric JM Delhez et Dr Francine Monjoie). http://www.facsa.ulg.ac.be/cms/index.php?page=questions-des-sessions-
precedentes
33 3 22
0
2
1
2
2 2
1
. Vu que cos 0 1,
1 1 1 2
3 3 3 3
Le calcul de
1cos
s'effectue par parties en posant
' 2d'où
sin' cos
Ainsi,
1 1cos sin 2 s
i
xa x dx
a x x dx
u xu x
v xv x
a x x dx x x x
1
2in sin
en tenant compte de sin 0.
Une seconde intégration par parties, en posant :
' 1d'où
' sin cos
conduit a
2 2sin cos cos
2cos cos sin
x dx x x dx
u x u
v x v x
a x x dx x x x dx
2
1
4
1Le calcul de sin
x
b x x dx
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2
0 0
2
2
2
1. En général, pour , le calcul de cos s'effectue aussi par parties.
' 2
On pose : d'où sin' cos
de là :
sin 2 sin1 1cos
k
ii k a x kx dx
u xu x
kxv kx v
k
x kx x kxa x kx dx
k k
2sin
en tenant compte de sin 0.
Une seconde intégration par parties, en posant
' 1
d'où cos' sin
2 cos cos2 2conduit à : sin
k
x kx dxk
kx
uu x
kxv kx v
k
x kx kxa s kx dx dx
k k k k
2 2
2
sin 4 12cos cos
puisque cos 1
1Chaque coefficient sin résulte de l'intégration d'une fonction impaire
sur un intervalle symétrique par rapport à l'or
k
k
k
kxk k
k k k
k
b x kx dx
2 0
1 1
igine et est donc nul.
4 1En conclusion, et 0,
Remarquonq que, en particulier pour 1, on retrouve les résulats précédents :
4 et 0
k
k ka b k
k
k
a b
Aout 09
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EXANA271 – Polytech - Umons - Mons - Questions type 2009.
Un designer conçoit une nouvelle carafe. Il s'agit d'un volume de révolution engendré par
1rotation de la courbe 4 sin autour de son axe vertical.
2
Représentez la courbe génératrice de cette caraf
y y y
e et calculez le volume ainsi défini pour 0,2 .y
Solution proposée par Steve Tumson
1 1 3 5 3 7En calculant quelques points pour 0; ; ; ;1; ; ; ;2 on sait esquisser le graphe
4 2 4 4 2 4
présenté ci-dessous.
Le volume engendré par la rotation d'un arc de courbe d'équation ( ), , autour
de l'axe
y
y f x x a b
2 horizontale est donné par : ( ) .
Par analogie, on peut écrire que le volume engendré par la rotation d'un arc de courbe d'équation
( ), , autour de l'axe vertical est donné par
b
a
Ox V f x dx
x f y y a b Oy
2
22 2 2 22 2
0 0 0 0
(1) (2) (3)
22 32 2
0 0
: ( ) .
Il suffit donc d'effectuer le calcul suivant :
1 14 sin . 4 sin 4 sin
2 4
56(1) 4 4 16
3 3
(2)
b
a
V f y dy
VV y y dy y dy y dy y y dy
yy dy y y
22
2
00
2 2 2
0 0 0
PAR PARTIE
2
2
0
1 sin(2 ) 1sin
4 8 16 4
(3) 4 sin 4sin sin
4 1 2cos cos sin
On trouve finalement :
56 1 2 732 61,42
3 4 4
y yy dy
y y dy y dy y y dy
yy y y
VV
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Mai 10
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EXANA272 – Polytech - Umons - Mons - Questions type 2009.
On décide de mettre en place un système de collecte des eaux de pluie sur la façade d'une
maison. Sur cette façade, de forme rectangulaire, deux tuyaux obliques doivent récupérer
les eaux de pluie pour les déverser dans un tuyau vertical aboutissant à un réservoir.
On donne ci-dessous le plan de cette façade ( est la médiatrice de ). mesure 10m
et a une longueur de 6m. Il s'agit de trouver,
MH BC AB
BC sur cette façade, la position du point
qui minimise la longueur des tuyaux.
M
Solution proposée par Steve Tumson
22
2
La fonction à minimiser est la longueur totale de tuyaux, soit, si on note la hauteur de M :
5 6( ) 2 avec
( ) 2 25 6
M
M
M
M
M M M
y
AM yf y AM BM MH AM MH
MH y
f y y y
2
2
Le minimum se trouve en annulant la dérivée première :
2 61 0 2 6 25 6
25 6
Puisqu'il faut nécessairement 6, les deux membres de la dernière équation
irrationnelle sont positifs, no
M
M M
MM
M
ydfy y
dy y
y
2 2
us pouvons donc les élever au carré :
54 6 25 6 6
3
La solution avec le signe positif est à rejeter, car il faut 6
La hauteur de M minimisant la longueur totale de tuyaux est donc :
56
3
M M M
M
M
y y y
y
y
3,1 m
Mai 10. Modifié le 3 août 2010. (Yassin Oualhadj )
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EXANA273 – Polytech - Umons - Mons - Questions type 2009.
2
4
Calculez
ln xI dx
x
Solution proposée par Steve Tumson
2
2
3 4
4 3
4 3 4 3
4 3
Par partie :
2 lnln
ln 2 ln
1 3 3
3
L'intégrale du deuxième terme se résout aussi par partie :
lnln ln 1 ln 1
1 3 3 3
3
xu x du dx
x xxI dx
dx x xdv v
x x
dxu x du
x x xxdx dx
dx x x x xdv v
x x
3
22
3 3 3 3
9
Finalement, on a :
ln 2 ln 1 19ln 6ln 2
3 3 3 9 27
x
x xI C I x x C
x x x x
Aout 09
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EXANA274 – Polytech - Umons - Mons - Questions type 2009.
2
Déterminez et pour que :
( ) avec 0
ait un maximum local égale à 2 et un minimum local égal à 6.
a b
x ax bf x b
x
Solution proposée par Steve Tumson
2 2
2( ) Extrema en
En esquissant rapidement un petit tableau de variation, on observe que le maximum
se trouve en et que le minimum est en .
Il faut maintenant satisfaire l
x ax b df x bf x x b
x dx x
x b x b
2
2
2
es conditions en ces points :
( ) 2 2
( ) 6 6
On additionne les deux équations afin de trouver immédiatement la valeur de :
2 8 4
On trouve ensuite facilement
4 2
b ab bf b
b
b ab bf b
b
a
a a
b
b b b
(1 ) 0 1 (puisque 0)b b b b b
Mai 09
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EXANA275 – Polytech - Umons - Mons - Questions type 2009.
2
Etudier complètement la fonction
( ) ln 2
Et donnez en une représentation graphique soignée.
f x x x
Solution proposée par Steve Tumson
2
1. Domaine : 0
2. Zéros : 0 et
3. Asymptotes :
Au vu du domaine, il n'y a aucune asymptote verticale. Le critère de Cauchy nous
indique s'il existe une asymptote horizontale ou oblique d'équatio
x
x x e
2
2
1/ 2 3/ 2
n :
( )lim lim ln 2 Pas d'asymptote.
4. Dérivées première et seconde
2ln 3 et 2 ln 1
5. Tableau récapitulatif
0
'( ) 0 0
''( ) 0
( )
0
Tangente
x x
y kx t
f xk x x
x
df d fx x x
dx dx
e e
f x
f x
f x PI MIN
1/ 2'
1/ 2 1/ 2 1/ 23 3au point d'inflexion , 2
2 2
6. Graphique : Voir figure ci-dessous.
f e
e ee t y e x e
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Mai 09
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EXANA276 – Polytech - Umons - Mons - Questions type 2009.
2
1 2 2
Calculer l'aire comprise entre les courbes d'équations
1et
2 1
pour 2.
xy y
x
x
Pour les calculs d'aire entre courbes, il est primordial de bien esquisser les fonctions.
La première est la forme la plus basique d'une parabole.
La seconde s'esquisse rapidement en faisant les observ
2
2
2
2
ations suivantes :
- Puisque 1 est divisé par 1 0, aura son maximum en (0,1).
- Pour les même raisons, sera borné entre 0 et 1.
- La fonction est paire et donc symétrique par rappor
x y
y
y
2
t à l'axe des ordonées.
- Une limite infinie montre immédiatement qu'il existe une asymptote horizontale 0.
Une fois le graphe esquissé, il faut trouver les intersections entre les courbes :
1
2 1
y
x
4 2
22 0
Cette équation bicarée résolue, on trouve que les intersections des courbes sont en 1.
En resant attentif au graphique esquissé et au fait que les fonctions sont paires, l'aire est :
12
x xx
x
A
1 22 2
2 2
0 1
1 23 3
0 1
12
1 2 1 2
2 tan( ) 2 tan( )6 6
2 2 tan(2) 2,9
x xdx dx
x x
x xArc x Arc x
A Arc
Mai 09
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EXANA277 – EPL - UCL - Louvain - Juillet 2010, série 1.
3 20
441
20
1) Calculer la limite
sin coslim
222) On sait que la fraction fournit une bonne approximation rationnelle du nombre .
7
(a) Démontrer l'égalité
1 22
1 7
. La division
x
x x
x x
x xdx
x
Indication
44 6 5 4 2 2
du numérateur par le numérateur conduit à l'égalité
1 4 5 4 4 1
22 22(b) A l'aide de cette égalité, décider si ou
7 7
(Il est possible de répondre à cette question sans avoir démontr
x x x x x x x r x
0
é l'égalité au point (a))
3) Soit une fonction continue définie sur telle que
lim 0
(a) Démontrer que 0 0
. Utiliser l'identité .
(b) En déduire que est dérivable en 0 et donner '
x
f
f x
x
f
f xConseil f x x
x
f f
0
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3 2 30 0
Hospital
20 0 0
4 4 6 5
sin cos sin cos1) lim lim
cos cos sin 1 sin 1 sin 1lim lim . lim
3 3 3 3
2) ( ) Trouvons d'abord la valeur de qui est a priori de la forme
1 4 5
x x
x x x
x x x x x
x x x
x x x x x x
x x x
a r x ax b
x x x x
4 2 2
441 1 1
6 5 4 2
2 20 0 0
17 6 5 3
1
0
0
44
4 4 1
si 1 0 4 04
si 0 0 4 4
Nous avons alors :
14 5 4 4 4
1 1
4 4 4 4 4 arctan7 6 5 3
1 2 4 221 4 4
7 3 3 4 7
1
1
x x x ax b
x a b ar x
x b b
x x dxdx x x x x dx
x x
x x x xx x
x xb
441
2 20
0
Hospital
0 0 0
0
1 est toujours positif sur 0,1 . Par conséquent : 0
1
22Nous en déduisons que .
7 4
'3) Nous savons que lim 0 lim . 0 lim 0
1
0
0' 0 lim
0
x x x
x
x xdx
x x
f x f x x f x f xx
x x
f x
f x ff
x
0
lim 0.
est donc dérivable en 0 et ' 0
x
f x
x
f x x f x
21 septembre 2010
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EXANA278 – EPL - UCL - Louvain - Juillet 2010, série 1.
On considère la fonction définie sur par ( ) 3 2sin . On note la courbe représentative
de dans un repère orthonormé.
1. (a) Calculer la dérivée ' de . Etudier les variations de sur l'int
f f x x x
f
f f f
C
1
2
ervalle [0; ] et construire
l'arc de courbe correspondant (sachez que 3 vaut approximativement 5.4).
(b) Etudier la parité de . En déduire comment la courbe représentative de sur l'intervalle
[
f f
C
C
1
2
; ] se déduit de .
(c) Pour tout nombre réel , exprimer ( 2 ) en fonction de ( ). En déduire que le
graphe complet se déduit de par des translations successives, que l'on précisera.
2. (a)
x f x f x
C
C C
Démontrer que l'equation ( ) 0 admet une et une seule solution appartenant à
l'intervalle , .6
(b) Démontrer que cette solution appartient en fait à l'intervalle , .6 3
3. Soit la foncti
f x
g
( )
on définie sur , par ( )3 '
(a) Démontrer que ( ) pour tout élément de l'intervalle , .3
(b) Prouver que est l'unique solution de l'équation ( ) appartenant à , .3
f xg x x
f x
g x x x
g x x
0 1
(c) Dresser le tableau des variations (sans dérivée seconde) de sur , et montrer3
que si , alors .3 3
(d) .
On définit la suite par = et pour tout 0. Déduire des3
p
n n n
g
x g x
Bonus
x x x g x n
oints (a), (b) et (c) le comportement de la suite lorsque tend vers l'infini.n
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1. La dérivée de est ' 3 2cos .
Cette dérivée est nulle sur l'intervalle 0; si 3 2cos 06
06
Tableau de variations : ' 0
0 min 5.4
a f x f x x
x x
f x
f x
2 1
3 2sin 3 2sin
La fonction est donc une fonction paire. C se contruit donc à partir de
par symétrie centrale de centre .
b f x x x x x f x
f x C
O
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2 2 3 2cos 2 3 2cos 2 3 2 3
La fonction sur l'intervalle ,3 s'obtient donc par une translation verticale
vers le haut de 2 3 de la fonction construite sur l'intervalle ; .
Et ains
c f x x x x x f x
f x
f x
i de suite pour les intervalles de 2 suivants.
2. Le thérème de Bolzano (cas particulier du thérorème des valeurs intermédiaires)
dit que si et ne sont pas de même signe, il existe au moins un réel compris
et tel que .
6Or ici,
a
f a f b c
a b f c
f
3 5.42 2 0
6 6 Donc il existe une solution ;6
3 0
tel que 0.
Comme de plus la fonction est strictement croissante sur ; , cette solution6
est unique.
f
f
f x
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Appliquons une deuxième fois le théorème de Bolzano :
06
Donc ;6 33 2 3
03 3 2
b
f
f
3.'
Or en vertu du résultat obtenu au point 2. , 0 si ; .3
De plus, au point 1. , nous avons vu que ' 0 si ; ; 3 6 3
Autrement dit, 0 si ; et par c' 3
f xa g x x
f x
b f x x
a f x x
f xx
f x
onséquent sur ce même intervalle.
est bien une solution de puisque :
0 0 ce qui est vrai puisque' '
est une solution de . (voir point 1)
Soit donc une autre solution
g x x
b g x x
f fg f
f f
f x
de . Nous avons alors
0 0' '
Ce qui implique que puisque est l'unique solution de
g x
f fg f
f f
f x
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2
2
2
3 2cos 3 2sin 2sin3 2sin' ' 1
3 2cos 3 2cos
3 2cos
x x x xx xc g x x
x x
x
2
3 2cos x
2
2 2
2sin 3 2sin
3 2cos
3 2sin2sin 2sin
'3 2cos
Or nous savons que 0 sur , , de même pour sin . Donc ' 03
et est croissante sur , .3
Puisque est croissante, alors
x x x
x
f xx xx x
f xx
f x x g x
g x
c g x x
3 3
Or et En vertu des points 3 et 3 .3 3
Conclusion : 3 3 3
g g x g
g g b a
g x g g x
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0
1
1
1
.
3Nous avons donc la série :
'
Chaque nouvelle valeur est inférieure à la précédente en vertu des points 3 .
Dés lors, nous pouvons écrire :
... ...
n
n n n
n
n
n n
d Bonus
x
f xx g x x
f x
x a b c
x x x
1 0 3
En d'autres termes, la série converge vers qui est la racine de la fonction .
Nous sommes ici dans le cadre de la méthode de Newton Raphson qui est un algorithme efficace
pour trouver des app
x
f x
roximations d'un zéro ou racine d'une fonction d'une variable réelle
à valeurs réelles.
L'algorithme consiste à linéariser une fonction en un point et à prendre le point d'annulation
de cette linéari
f
sation comme approximation du zéro recherché.
On réitère cette procédure en l'approximation obtenue. Dans les cas favorables,
les approximations successives obtenues convergent avec une vitesse quadrat
1
ique.
De manière informelle, le nombre de décimales correctes double à chaque étape.
Utilisons la méthode :
'
0 / 3 0.08174856 0.73205081 0.935526946
1 0.935526946 0.010556449 0.54526084 0.9161666
n n n n nn x f x f x x g x
247
2 0.9161666247 0.000300254 0.51431973 0.9155828362
3 0.9155828362 0.000000270 0.51339373 0.9155823097
Nous vérifions que dans ce cas-ci, l'algoritme converge rapidement vers la racine.
Méthode de Newton Raphson : voir http://fr.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9thode_de_Newton
22 septembre 2010
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EXANA279 – EPL - UCL - Louvain - Juillet 2010, série 1.
2
Le verre à moitié vide.
La zone grisée représentée dans la figure ci-dessous correspond à la surface situé entre l'
et le graphe de la fonction
4
sur l'intervalle 0,4 . Cette figure ressemble à la
Ox
f x x x
partie supérieure d'un verres (à deux dimensions),
sans son pied.
Si on imagine un verre initialement rempli d'eau à ras bord, de quel angle faut-il pencher le verre
pour qu'il n'en reste que la moitié?
. Pour ce problème, on se place dans un univers (fictif) à deNote ux dimensions, pour lequel on
suppose que les quantités d'eau mentionnées sont proportionnelles aux correspondantes.
Plutôt que de représenter un verre penché d'un certain angle (ci-dessous, à
surfaces
gauche), on raisonne
sur la situation complètement équivalent où le verre reste droit et c'est le niveau de l'eau qui est
penché du même angle (ci-dessous, à droite).
www.matheux.c.la - ANA 27 - 21 -
Soit l'angle cherché, défini sur la figure de droite, et tan le coefficient angulaire
correspondant.
1. Donner, en fonction de , l'équation de la droite représentant le niveau de l'eau sur
la figur
m
m
e de droite, et en déduire les coordonnées de ses deux intersections avec le verre.
2. Calculer en fonction de la surface de la partie du verre remplie d'eau.
3. Déterminer la valeur du coefficient ang
m
ulaire conduisant à un verre à moitié rempli.m
Solution proposée par Nicole Berckmans
42
0
2 34
2 2
La droite 4 coupe la parabole aux points 4,0 et , 4 .
32La surface totale du verre : 4 ...
3
La surface comprise entre la parabole et la droite vaut :
44 4 2
2 3m
y m x m m x
x x dx
m x xm x x x dx x
4
2 32
33 2
3
33
64 40 32 2
3 2 3
12 48 64 4....
6 6
Cette dernière surface vaut la moitié de l'aire totale, si et seulement si
4 324 32 4 2 4
6 6
m
m m mm
m m m m
mm m
23 septembre 2010. Modifié le 18 juin 2012 (Nicole Berckmans)
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