EXALG020 – Mons, questions-types, 2000-2001 · 2020-02-14 · - ANA 39 - 2 - EXANA390 – EPL,...
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Exercices résolus de mathématiques.
ANA 39
EXANA390 – EXANA399
http://www.matheux.c.la
Jacques Collot
Benoit Baudelet – Steve Tumson
Nicole Berckmans – Jan Frans Broeck
Fabienne Zoetard
Octobre 2014
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EXANA390 – EPL, UCL, LLN, juillet 2014 série 2.
2
1 Soit : , une fonction continue telle que et . Démontrer
qu'il existe un nombre réel , tel que
2 Calculer la primitive suivante :
ln 1
3 Etudier la limite à l'origine de la foncti
f a b a f a f b b
c a b f c c
x dx
2 2
2
3 4
on
sin sin
pour un paramètre fixe tel que cos 0.
4 La région du premier quadrant délimitée par le graphique de l'équation 2
et l'axe des , en tournant autour de l'axe des , engendre
x a af x
x
a a
x y y
y x
un solide de révolution.
Etablir l'intégrale du volume de ce solide (Il n'est pas demandé de calculer cette
intégrale).
Solution proposée par Nicole Berckmans
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1 Soit : , :
0 est continue car l'est. De plus
0
En vertu du théorème des valeurs intermédiaires pour une fonction continue, on peut dire
qu'il existe , tel que g
g a b x g x f x x
g a f a ag f
g b f b b
c a b c
2
2
2
2 22 2
2 2 2
2
2 2
20
0 c'est-à-dire
' 1
2 ln 1 On choisit : 2ln 1 '
1
1 1.ln 1 2 .ln 1 2 2
1 1 1
.ln 1 2 2arctan
sin sin 03 lim
0x
Hospital
f c c
f x f x x
I x dx xg x x g x
x
x xI x x dx x x dx dx
x x x
x x x x k
x a a
x
0 0
00
00
2sin cos sin 2 2 sin 2lim lim
2 2 0
sin 2 2lim
2Si sin 2 0 alors n'existe pas car
sin 2 2lim
2
Si sin 2 0 alors n'existe pas, vu un raisonnement analog
x x
xx
xx
x a x a x a aL
x x
x a
xa L
x a
x
a L
2 2 2
2 22
20 0 0
ue.
Si sin 2 2sin cos 0 alors sin 0 car dans l'énoncé on précise que cos 0
Donc , sin sin et sin 0
sin 0 sin sinDès lors : lim lim lim 1
4 Cette question est HOR
x x x
a a a a a
a k x k x a
x x x
x x x
S MATIERE et a finalement été annulée.
Compléments par Jacques Collot
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La question 4 est hors matière. Pour ceux que cela pourrait intéresser, voici une méthode
qui permet de répondre à la question. Cette méthode ne fait PAS partie de la matière à
connaître pour l'examen.
3 4
Méthode des tubes
Soit la courbe 2 . Cette courbe coupe l'axe des en 0 et 2.
est représentée à la Fig 3. Considérons la surface sombre d'épaisseur infiniment
petite , située à une dist
x y y y y y
dy
C
C
ance de l'axe des et de côtés parallèles à l'axe des .
Comme est infiniment petit, on peut assimiler cette surface à un rectangle de hauteur
et de longueur . Si on fait tourner ce rectangle au
y x x
dy dy
x tour de l'axe des , il va engendrer un
volume semblable à un tube. Le volume de ce tube peut être approximé par un parallélépipède
rectangle de hauteur , de longueur 2 (longueur de la circonférence
x
x y
3 4 3 4
23 4
0
) et d'épaisseur .(Fig 4)
2 . .
Or 2 2 2
Le volume engendré par la courbe peut être considéré comme une somme infinie de tubes :
642 2
15
dy
dV y x dy
x y y dV y y y dy
V y y y dy
C
25 octobre 2014
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EXANA391 – EPL, UCL, LLN, juillet 2014 série 2.
2
2
On considère la fonction définie par
2
1
1 Etudier les variations de et tracer sa courbe représentative . On précisera
le domaine de définition de , les éventuelles asymptotes, les domain
x
x
f
f
ef x x
e
f
f
C
es de
croissance et de décroissance et les extréma éventuels (on n'étudiera pas la
concavité ni les points d'inflexion).
2 En déduire que l'équation 0 admet un racine unique 3 / 2,2 .
3 Démontrer que le
f x
point 0,1 est un centre de symétrie pour la courbe .
4 Calculer l'aire du domaine délimité par , la droite d'équation 2,
l'axe et la droite d'équation 1.
f
f
I
y x
y x
C
A C
Solution proposée par Nicole Berckmans
2 2
2 2
2
1 Dom . est continue sur son domaine, il n'y a donc pas d'asymptote verticale.
lim 2
2 2car lim lim . 2
11 1
En + , on a une asymptote oblique d'équation 2
x
x x
x xx x
x
f f
f x
e e
e e
e
y
2
2
2
2
22
22
car
2lim 2 lim 2 0
1
En - , on a une asymptote oblique d'équation car
2lim lim 0
1
01
2 ' 0 et s'annule pour 0 ' 01
1
Tangente horizontale en 0
x
xx x
x
xx x
x
x
x
ef x x
e
y x
ef x x
e
ef x x f
ef
3 33 3
3 3
4
,1
3 2 3 30 car 2 8 3
2 1 2 2 1
22 0.
1
3En vertu du théorème des valeurs intermédiaires pour une fonction continue sur , 2
2
3on peut affirmer qu'il existe α ,2 tel que
2
e ef e
e e
fe
0. Cette racine est unique car
sur cet intervalle est strictement décroissante ' 0 .
f
f f
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2
2 2
2
2
3 0,1 est centre de symétrie pour la courbe.
1: La fonction 1 est un fonction impaire
2 21 1
1 1En effet :
21 1
1
On montre assez f
x
x x
x
x
I
Démonstration g x f x g x g x
eg x x x
e e
eg x f x x
e
2
2
2
2
acilement que .
2 : Soient : , et ' ,
Si est centre de symétrie alors : ' 2
2,
1' 0,2 2
2' ,
1
2car
x
x
x
x
g x g x
Démonstration M x f x M x f x
I M M I
eM x x
eM M I
eM x x
e
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2
2 2
2 2
2 1 12
1 1 1 . 1
1 12 2
1 1
x x x x x x
x x x x
x x
x x
e e e e e ex x
e e e e
e e
e e
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2 211 1
202 20 0
22 2 2
2
2 24 2 2 2 ln 1
1 1
22 ln 1 0 ln 2 ln ln 1 ln 2 ln
1
x xx
x x
e eA x x dx dx x e
e e
ee e e
e
25 octobre 2014
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EXANA392 – EPL, UCL, LLN, juillet 2014 série 2.
Les ingénieurs de Louvain-la-Neuve ont mis au point une nouvelle centrale à la kryptonite.
Ils ont établi un modèle décrivant la puissance (en GWatts) que peut fournir la centrale
en fonction de la
W
1
200
température (en °C) et de la pression (en bars) utilisées :
où = est un paramètre constant.
Pour fonctionner correctement, la centrale doit cependant satisfaire à des contraintes de
te
aT
T P
eW
P
a
mpérature et pression minimales :
La température doit être supérieure à 0°C : 0
La pression doit atteindre une valeur minimale dépendant de la température
1204 pour 0 200
4
1pour 200
2
L
T
P T T
P T
'objectif de ce problème est de déterminer les valeurs de température et pression fournissant
la plus grande puissance, dans les limites fixées par les contraintes de fonctionnement de
la centrale.
1 Démontrez que, pour une température fixée 0, la puissance est une
fonction strictement décroissante de la pression. En déduire la valeur de pression
à choisir, en fonction de la température, pour maxim
T W
iser la puissance.
2 Réécrire le modèle décrivant la puissance en fonction seulement de la
température , sous l'hypothèse du choix de pression obtenu au point 1 .
Aide : Séparer la fonction en 2 partie
W
T
s selon que 0 200 ou 200.
3 Déterminez les valeurs de et qui maximisent la puissance sous les
contraintes de fonctionnement.
T T
T P W
Solution proposée par Nicole Berckmans
2
1 Si alors 0
Donc il faut chosir minimum pour que soit maximum.
1Si 0 200 alors 204
4
1Si 200 alors
2
1Rem : si 200 alors
2
aT aTe dW eW
P dP P
P W
T P T
T P
T P
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3
2
200
3 3
2 2
1 42 Si 0 200 alors 204
4 204
4 1 2204 2 204 1
204 2 204 204
2 2 1042 2 .204 1 .
100204 204
0 104 200
0
Si 200 2 et 2
aT
aT aT
T
aT
aT aT
eT P T W
T
dW e ea T a T
dT T T T
e e TaT a
T T
T
dW
dT
W
dWT W T e ae
dT
. est une fonction décroissante.W
0 104 2003
2 0.4 20 0.28, 104 0.24, 200 0.74
51
Donc est maximum pour 200 et 1 / 2 bars
T
W T Min Max
W W Wee
W T P
25 octobre 2014
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EXANA393 – EPL, UCL, LLN, septembre 2014.
31
41
2
1
1 Soit 2 fonctions et à valeurs dans l'intervalle 0,1 , telles que lim 1.
Démontrer que lim lim 1
2 Calculer les deux intégrales suivantes :
a1
1b
1
3 Soit une fon
x
x x
x
f g f x g x
f x g x
xdx
x
dxe
f
ction continue sur dont le tableau de variation est donné par le tableau
suivant :
1 2
3
0 1
Déterminer le nombre de solutions des équations suivantes :
0, 1, 2.
Justifier.
x
f
f x f x f x
Solution proposée par Louis François
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1 Le produit de 2 réels positifs, inférieurs à 1 est plus petit que chacun de ses facteurs.
Donc pour tout : . 1 et . 1.
Or lim . 1 et lim 1 1.
Donc en vertu du théorème du sandwic
x x
x f x g x f x f x g x g x
f x g x
3 31
4 41
34
4
2
12
1
lim 1h :
lim 1
2 a 0 car est impaire sur 1,11 1
1Rem : ln 1
1 4
ln
1b . Soit
12
1
L'intégrale devient :
1 1
1
x
x
x
x
f x
g x
x xdx
x x
xdx x k
x
x t
dtdx
tdx e te
x t e
x t e
dt
t t t
2 2 2
11 1
2
2
ln ln 11
1 12 ln 1 1 ln 1 2 ln
1
e e e
ee e
dx t tt
ee
e e
25 octobre 2014
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EXANA394 – EPL, UCL, LLN, septembre 2014.
2
On considère la fonction définie par
1
2 ln
1 Etudier les variation de et tracer sa courbe représentative . On précisera le
domaine de définition de , les éventuelles asymptotes, les domaines
f
f
f xx x
f
f
C
de corissance
et de décroissance et les extrema éventuels (on n'étudiera pas la concavité ni les
points d'inflexion).
2 Calculer l'aire du domaine plan limité par la courbe , l'axe des abscisses
et le
fA C
2s droites d'équation et , avec
3 En déduire lime
e
e
e
x e x e e
A
Solution proposée par Louis François
2
2
2 2
2
2 2
2
2
2
2 22
2
ln 01 Dom :
2 ln 0 2 ln 2
est continue sur ,
1lim
0
1lim
0
1 1 1' . 2 ln . . 2 ln .
2 2 ln2 ln
ln ln 2...
x e
x e
x xf e x e
x x
f e e
f AV x e
f AV x e
f x x x xxxx x
x x
3
2 2 2
2
2
2 2
2 2
2 ln
ln 1ln ln 2 0 a pour racines
ln 2
Le signe de ' est le signe de ln ln 2 0 sur le domaine mais est
hors domaine car 2 2.
1' 0 avec min : ,
min
x x
x x ex x
x x e
f x x e
x e e e
f ee
f
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2
ln
2
lnln ln
2 21 11
1
2 On pose : ln12 ln
ln
1
ln2 arcsin arcsin42 22
12
3 lim arcsin14 2 4 4
e
x e
dxdt
xx dx x tx e tx
x t
dtdt t
t t
A
A
A
25 octobre 2014
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EXANA395 – EPL, UCL, LLN, septembre 2014.
Roger va rejoindre sa petite amie Mirka qui habite dans la vallée voisine. Le trajet jusqu'au
point de rendez-vous est constitué de 10 km de montée régulière à 10% suivis de 10 km de
descente régulière
3
à 10%. Roger démarre à 11h40 et voudrait arriver précisément à midi,
l'heure de rendez-vous. La consommation de sa voiture peut être calculée par la formule
suivante :
1 , l / 100 km100
pour une
pC v
1
2
vitesse km/h supposée constante sur une pente (exprimée en pourcents)
supposée constante. Roger roule à vitess constante sur le premier tronçon du trajet, et
une vitesse sur le second. L'obje
v p
v
v
ctif de cette question est de déterminer le choix
optimal de ces vitesses pour minimiser la consommation tout en arrivant exactement à
l'heure.
1 Exprimez la consommation totale en fonction des vitesses v
1 2
1 2
2 1
et .
2 Exprimez le lien entre et nécessaire pour assurer l'heure d'arrivée exacte.
3 Substituez en fonction de dans l'expression de la consommation pour
obtenir uen expression dépendant de
v
v v
v v
v
1
1 2
seulement.
4 Déterminez les valeurs optimales de et minimisant la consommation.v v
Solution proposée par Louis François
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3 3
1 2 1 2
1 2
1 2
3 31 1 12 1 1
2 1 1 1 1
1
112
1
3 1 11
1 11 1
1 , 1.1 0.9
10 10 12 . ; 20' Unités : km, heure
3
10 1 10 30 30 303 1.1 0.9
3 3 30 30
0
4 30300
30
30 30 301 1 305 1.1
2 302
C v v v v
e v t t tv v
v v vv C v v
v v v v v
v
vvv
v
v vdC v
dv vv v
3
2
43 3 3 311
2 4
11 11 1
3
3
11
1
1 1 1
1 2
1
0.930
30 .301 30 900 11.1 0.9 1.1 0.9
302 230 30 30
1 301.1 0.9
302
11 30 30 121 3 600 30
9 30 30 81 2 3
30 5050 km/h 7.5 km/h
20
vv
vv vv v
vv
dCv
dv v v
v v
v
1
30 50
/ 0
min
dC dv
C
25 octobre 2014
www.matheux.c.la - ANA 39 - 16 -
EXANA396 – POLYTECH, Umons, Mons, juillet 2014.
2 2
Rechercher l'ensemble des fonctions , définies et dérivables sur 0; , vérifiant
les deux conditions suivantes :
1. pour tout réel strictement positif,
. ' ,
2. pour tout nombre réel stricte
x
f x
x
x f x f x x e
ment positif,
g ,
si est une fonction définie sur le même intervalle.
f xx
x
g x
2 2
2 2 2
2
2
2
On a donc à partir de la deuxième condition :
. . '
On remplace dans la première condition :
. ' .
. '
'
1avec
2
1. 0;
2
On vérifie fac
x
x
x
x
x
x g x f x g x x g x f x
x g x x g x x g x x e
x g x x e
g x e
g x e C C
f x C x xe x
2 2 2 2
ilement que :
1 1. . ' .
2 2
x x xx C x xe C x xe x e
12 novembre 2014
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EXANA397- EPL, UCL, LLN, juillet 2014 série 1.
1 2 0
1log
Soient ln et avec \ 1log
1. Représenter graphiquement ces deux fonctions.
2. Que doit valoir le paramètre afin que la surface déterminée par le contour
résultant de l'int
x
a
a
axf x ax f ae
a
1 2ersection des courbes et soit égale à 1?f x f x
Solution proposée par Fabienne Zoetard
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2
2 1
1 2
Transformons d'abord
1 lnlog
log ln. lnlnlog log
ln
et sont donc symétriques par rapport à l'axe des . Elles se coupent sur l'axe des .
Calculons les racine
x
aa
a a
f
axx axax af x x x ax f x
ee e
a
f f x x
1
1/
0
2 2 2
2
0 A rejeter car hors domaine.
s de : ln 0 1ln 0 1
La surface cherchée sera donc égale à 2 ln .
Calculons d'abord ln .
1ln '
1ln . ln
2 2 2'
2
a
x
f x axax ax x
a
S S x ax dx
I x ax dx
u ax ux x xx
I ax dx axx
v x v
2
1/ 1/2 2 2
2 20 00
0
4
Pour calculer , notons d'abord que ln n'est pas défini en 0.
1 1Calculons donc 2 lim ln 2 ln1 lim ln
2 4 2 2 4
La limite v
a a
b bb
xx C
S ax x
x x bS ax ab
a a
2
Hospital 2
0 0 0 0
2 3
2 2
1.
lnaut lim ln lim lim lim 0
2 42
1 1 2Par conséquent : . Nous devons avoir 1 1
2 2 2
b b b b
ab ab abab b
b b
S S aa a
13 novembre 2014
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EXANA398 – FACSA, ULG, Liège, juillet 2014.
La fonction , appelée tangente hyperbolique, est définie par
Déterminer le domaine de définition de la fonction , ses éventuelles asymptotes ainsi
que les éventuels extrema et point
x x
x x
th
e eth x
e e
th
s d'inflexion de son graphe. Sur base des résultats
obtenus, esquisser le graphe de .th x
Nous reprenons la solution proposée par l’université : Prof. Eric J.M. DELHEZ et Prof.
Vincent DENOEL. http://www.facsa.ulg.ac.be/upload/docs/attachment/pdf/2014-
08/admissionanalyse_ju14.pdf
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EXANA399 – FACSA, ULG, Liège, juillet 2014.
1
20
0 1 2 3
2
On considère les intégrales
,1
a Calculer , , et .
b Montrer que
, 2
où est une fonction de à déterminer.
n
n
n n
xI dx n
x
I I I I
I f n I n
f n n
Nous reprenons la solution proposée par l’université : Prof. Eric J.M. DELHEZ et Prof.
Vincent DENOEL. http://www.facsa.ulg.ac.be/upload/docs/attachment/pdf/2014-
08/admissionanalyse_ju14.pdf