Željka Ujević
Andrijić
format
compact
close all clear all clc fminsear
chfuncti
ony =
load kam
en.mat
theta(i+1,M+1) = (2*dx*K3*Tz + 4*theta(i,M)options
= optimset;
linspace
plot (
CILJEVI PREZENTACIJECILJEVI PREZENTACIJE
1.
KAKO FORMULIRATI MATEMATIFORMULIRATI MATEMATIČČKI MODEL KI MODEL ZA DANI PROCES?
2.
KAKO RIJERIJEŠŠITI PARCIJALNE DIFERENCIJALNE JEDNADITI PARCIJALNE DIFERENCIJALNE JEDNADŽŽBE BE (PDJ)
MODELA?‐
postavljanje početnih i rubnih uvjeta
‐
rješavanje metodom konačnih razlika
3.
KAKO PROCJENITI NEPOZNATE PARAMETRE PROCJENITI NEPOZNATE PARAMETRE U MODELU Nelder Mead metodom?
format
compact
close all clear all clc fminsear
chfuncti
ony =
load kam
en.mat
theta(i+1,M+1) = (2*dx*K3*Tz + 4*theta(i,M)options
= optimset;
linspace
plot (
Opis procesaOpis procesa
Analizira se prijenos topline na laboratorijskoj aparaturi za istraživanje prijenosa topline kroz različite materijale. Ploča je sa jedne strane naslonjena na grijač.
Druga strana ploče je u kontaktu sa zrakom iz okoline na sobnoj temperaturi.
Temperaturu je moguće mjeriti na tri mjesta s obzirom na debljinu ploče (na točki granice grijač‐ploča, polovici debljine ploče te na vanjskoj strani ploče).
ZadatakZadatak
Potrebno je razviti matematički model procesa prijenosa topline i izraditi računalni program koji će računati profile temperatura po položaju u zadanom
vremenu i profile temperatura za određeni položaj tijekom vremena i pritom procijeniti potrebne parametre.
format
compact
close all clear all clc fminsear
chfuncti
ony =
load kam
en.mat
theta(i+1,M+1) = (2*dx*K3*Tz + 4*theta(i,M)options
= optimset;
linspace
plot (
2 2 2
2 22a u u u u ud e gu fx x y y x
cy
b
gdje su a, b, c, d, e, f i g konstante ili funkcije od x
i y, a x
i y
su nezavisne varijable.
Tri skupine PDJ:
paraboliparaboliččkeke: ako je b2
+ 4a∙c = 0 hiperbolihiperboliččkeke: ako je b2
+ 4a∙c > 0 eliptieliptiččkeke: ako je b2
+ 4a∙c < 0
1. Numeri1. Numeriččko rjeko rješšavanje parcijalnih diferencijalnih jednadavanje parcijalnih diferencijalnih jednadžžbibi
Opći oblik PDJ drugog redaPDJ drugog reda:
(1)
format
compact
close all clear all clc fminsear
chfuncti
ony =
load kam
en.mat
theta(i+1,M+1) = (2*dx*K3*Tz + 4*theta(i,M)options
= optimset;
linspace
plot (
RjeRješšavanje PDJ metodom konaavanje PDJ metodom konaččnih razlikanih razlika(engl.
FFinite DDifference MMethod ‐
FDM)
• Parcijalne derivacije u jednadžbama aproksimiraju se algebarskim jednadžbama.
•
Vrijednosti funkcija (zavisnih varijabli) računaju se u diskretnim točkama, odnosno za pojedine vrijednosti nezavisnih varijabli
Neposredna metodaNeposredna metoda
‐
Rekurzivno izračunavanje vrijednosti zavisnih varijabli u svakoj sljedećoj točki računa se vrijednost funkcije na osnovi prethodnih.
NajNajččeeššćće korie korišštene metode rjetene metode rješšavanja PDJavanja PDJ:
o
Metode konačnih razlikao
Metode konačnih elemenata
o
Kolokacijske metode
a)
Neposredna (eksplicitna) metoda
b)
Implicitna metoda
c)
Metoda linija
format
compact
close all clear all clc fminsear
chfuncti
ony =
load kam
en.mat
theta(i+1,M+1) = (2*dx*K3*Tz + 4*theta(i,M)options
= optimset;
linspace
plot (
JednadJednadžžbe konabe konaččnih razlikanih razlika
APROKSIMACIJA DERIVACIJA PRVOGPRVOG
REDA
POVRATNEPOVRATNE
(unatražne) KONAČNE RAZLIKE:
UNAPREDNE UNAPREDNE KONAČNE RAZLIKE:
CENTRALNECENTRALNE
KONAČNE RAZLIKE:
APROKSIMACIJA DERIVACIJA DRUGOGDRUGOG
REDA
1
i i ij j
j
T TTt t
21 1
2 2
2
i i i ij j j
j
T T TTx x
1
i i ij j
j
T TTt t
1 1
2
i i ij j
j
T TTt t
CENTRALNECENTRALNE
KONAČNE RAZLIKE:
format
compact
close all clear all clc fminsear
chfuncti
ony =
load kam
en.mat
theta(i+1,M+1) = (2*dx*K3*Tz + 4*theta(i,M)options
= optimset;
linspace
plot (
MreMrežža konaa konaččnih razlikanih razlika
2
2DT Tt x
Razvijanjem u Taylor-ov red1
1 -1, i i i ij j jT T T u točkama čvorova mreže (j, i) imamo:
2 32 3 4
1 2 3
1 1 ( )2 6
i iii ij j
j j j
T T TT T x x x O xx x x
format
compact
close all clear all clc fminsear
chfuncti
ony =
load kam
en.mat
theta(i+1,M+1) = (2*dx*K3*Tz + 4*theta(i,M)options
= optimset;
linspace
plot (
2 32 3 4
1 2 3
1 1 ( )2 6
i iii ij j
j j j
T T TT T x x x O xx x x
1 2( )
ii ij j
j
TT T t O tt
21 1
2 2
2i i i ij j j
j
T T TTx x
aproksimacija prostorneprostorne
derivacije drugog
reda (aproksimacija centralnom razlikom)
1
i i ij j
j
T TTt t
11 1
2
2D
i i i i ij j j j jT C T T T
t x
11 -12D ( - 2 )
i i i i ij j j j j
tT T T T Tx
neposredna formula konačnih razlika
aproksimacija vremenskevremenske
derivacije ‐
aproksimacija unaprijednom razlikom
Zbrajanjem prve dvije
Sređivanjem zadnje
format
compact
close all clear all clc fminsear
chfuncti
ony =
load kam
en.mat
theta(i+1,M+1) = (2*dx*K3*Tz + 4*theta(i,M)options
= optimset;
linspace
plot (
Kao kriterij slaganja
ID metoda koristi korijen srednjeg kvadratnog odstupanja korijen srednjeg kvadratnog odstupanja funkcija ciljafunkcija cilja::
•
Procjena parametara u modelima često se svodi na korištenje metoda optimiranja
nelinearnih funkcija s linearnim ili nelinearnim ograničenjima.
•
Svrha optimiranja je pronaći najbolje moguće rješenje za dani problem, odnosno
pronalaženje min ili max funkcije cilja uz određena ograničenja i zadanu točnost.
Numeričko rješavanje ODJ, PDJ i algebarskih jednadžbi uz istovremeni postupak procjene
parametara modela.
Izbjegava se numeričko deriviranje (može biti izvor pogreške) ili izbor odgovarajuće
aproksimacije krivulje.
Procjena parametara izmijenjenom diferencijalnom metodomProcjena parametara izmijenjenom diferencijalnom metodom
2. PROCJENA PARAMETARA2. PROCJENA PARAMETARA
format
compact
close all clear all clc fminsear
chfuncti
ony =
load kam
en.mat
theta(i+1,M+1) = (2*dx*K3*Tz + 4*theta(i,M)options
= optimset;
linspace
plot (
NelderNelder‐‐Meadova metodaMeadova metoda
‐ Bezgradijentna metoda, izvedenica
Simpleks impleks metode.
‐ Za dvodimenzijski slučaj simpleks je početni trokut s kutnim točkama
W,
G,
B.
B
G
W
E
R
MC1C2
S
• Zamjena najlošije točke W točkom EEf(e) < f(g) Prihvaća se E i završava iteracija(proširenje)
• Zamjena najlošije točke W točkom RRf(e) f(g) , f(r) < f(g) Prihvaća se E i završava iteracija (preslikavanje)
• Zamjena najlošije točke W točkom CCakoako
f(e) < f(w) prihvaća se C1 ((sažimanje))
•• Istodobna zamjena dvije toIstodobna zamjena dvije toččke trokutake trokuta((sasažžimanje prema toimanje prema toččkiki
BB))
U svakom koraku iteracije algoritam otklanja trenutno najgoru točku i prihvaća slijedeću u simpleks.
format
compact
close all clear all clc fminsear
chfuncti
ony =
load kam
en.mat
theta(i+1,M+1) = (2*dx*K3*Tz + 4*theta(i,M)options
= optimset;
linspace
plot (
format
compact
close all clear all clc fminsear
chfuncti
ony =
load kam
en.mat
theta(i+1,M+1) = (2*dx*K3*Tz + 4*theta(i,M)options
= optimset;
linspace
plot (
Za
formulaciju
prijelaznog
stanja
potrebno
je
poći
od
osnovne
bilance
topline
za nestacionarni period,
2
2pT Tct x
2
2p
T Tt c x
pc
Nakon prislanjanja hladne ploče na grijač, potrebno je razmotriti prijelazno stanje i odrediti profile temperature kroz ploču za različita vremena.
2
2
T Tt x
3. RAZVOJ MODELA3. RAZVOJ MODELA
Osnovni model je PDJ paraboličkog tipa
format
compact
close all clear all clc fminsear
chfuncti
ony =
load kam
en.mat
theta(i+1,M+1) = (2*dx*K3*Tz + 4*theta(i,M)options
= optimset;
linspace
plot (
GrijaGrijačč
strana 1strana 1
strana 2strana 2
z( ,L) T ( ,L)
T t h T tx
0(0, ) T z T1( ,0) T t T
0z Lz 2
2
T Tt x
Rubni uvjet 1Rubni uvjet 1
Rubni Rubni uvjet 2uvjet 2
PoPoččetni uvjetetni uvjet
format
compact
close all clear all clc fminsear
chfuncti
ony =
load kam
en.mat
theta(i+1,M+1) = (2*dx*K3*Tz + 4*theta(i,M)options
= optimset;
linspace
plot (
Temp. grijača
Rubni uvjet na strani 2
toplina koja se odvede prirodnom konvekcijom zrakom jednaka je toplini koja se dovede do strane 2 ploče vođenjem.
POPOČČETNI I RUBNI UVJETIETNI I RUBNI UVJETI
Dirchletzadano
Robinov
zadano
RjeRješšenje neposrednom metodomenje neposrednom metodom
Aproksimacija prve derivacije:
Aproksimacija druge derivacije:
Korak iteracije po vremenu i duljiniKorak iteracije po vremenu i duljini
• Prvo se zadaje korak iteracije po duljini, .
Broj iteracija po duljini:
•
Korak iteracije po vremenu određuje se iz uvjeta stabilnosti. Za parabolički tip PDJ drugog
reda ‐
Fourierov broj:
x
L /M x
2KF 1/ 2t
x
2
2Kt
x Broj iteracija po vremenu: Kt /N t
Kt -
vrijeme pokusa
2, 1 , , 1
22
2i j i j i jT T TTx x
1, ,i j i jT TTt t
format
compact
close all clear all clc fminsear
chfuncti
ony =
load kam
en.mat
theta(i+1,M+1) = (2*dx*K3*Tz + 4*theta(i,M)options
= optimset;
linspace
plot (
vrijedi za temperature u unutrašnjim točkama ploče, jj
= 1 : = 1 : MM
dok se za točke na početku, j
= 0 i na kraju, j
= M+1 mora prilagoditi prema rubnim uvjetima.
Rubni uvjet 1:
Rubni uvjet 2:
neposredna aproksimacija rubnog uvjeta s boljom točnošću unatragunatrag,
3LK h
,0 1iT T
( ,L) L ( ,L)z
T t h T T tx
3 , , 1
1, 13
2 x K 42 K x 3
z i M i Mi M
T T TT
format
compact
close all clear all fminsear
chfuncti
ony =
load kam
en.mat
theta(i+1,M+1) = (2*dx*K3*Tz + 4*theta(i,M)options
= optimset;
linspace
plot (
1, , , 1 , 12 2
2K t K1x x
i j i j i j i jtT T T T
Procjena parametara u programskom paketu Procjena parametara u programskom paketu MatlabMatlab
Potrebno je procijeniti koeficijent prijenosa toplinekoeficijent prijenosa topline
s ploče u okolni zrak kao i
toplinsku vodljivosttoplinsku vodljivost
korištenog materijala.
Funkcija
fminsearch u Matlabu koristi Nelder-Mead metodu za minimizaciju
definirane funkcije po jednom ili više parametara.
Sintaksa: x = fminsearch(fun,x0,options)
x ... matrica ugodivih parametara; fun ... funkcija čiji se minimum traži.
Funkcija čiji minimum tražimo je korijen srednjeg kvadratnog odstupanja
simuliranih i mjerenih vrijednosti temperatura
na sredini i na strani 2 ploče.
Alternativa fminsearch u Matlabu –
fminbnd; fminunc; fzero; ga; linprog;lsqnonneg;lsqnonlin;quadprog;…
format
compact
close all clear all clc fminsear
chfuncti
ony =
load kam
en.mat
theta(i+1,M+1) = (2*dx*K3*Tz + 4*theta(i,M)options
= optimset;
linspace
plot (v
Dijagram 1 Prikaz glavnog algoritmaglavnog algoritma
za procjenu parametara
Program za rješavanje PDJ
format
compact
close all clear all clc fminsear
chfuncti
ony =
load kam
en.mat
theta(i+1,M+1) = (2*dx*K3*Tz + 4*theta(i,M)options
= optimset;
linspace
plot (v
Dijagram 3 Prikaz algoritma za numeričko rješavanje PDJ metodom konačnih razlika
format
compact
close all clear all clc fminsear
chfuncti
ony =
load kam
en.mat
theta(i+1,M+1) = (2*dx*K3*Tz + 4*theta(i,M)
optimset;
linspace
plot (v
Alternativa rješavanju PDJ u Matlabu –
pdepe funkcija; pdetool GUI
solution = pdepe(m, pdefun, icfun, bcfun, xmesh, tspan)
Značajka iznos jedinice
Debljina ploče 1,8 cm
Gustoća 0,0025 kgcm‐3
Inic. toplinska vodljivost 0,1 Jmin‐1cm ‐1K‐1
Toplinski kapacitet 850 Jkg‐1K‐1
Inic. koeficijent
prijenosa topline
1 Jmin‐1cm‐2K‐1
Temperatura zraka 23,5 oC
Temperatura ploče prije
početka grijanja 23,5 oC
REZULTATIREZULTATI
Eksperiment je izveden tako da se ploča na početku prislonila na hladan grijač, a zatim
temperatura grijača podesila na oko 90°C. Nakon što se postigla zadana temperatura,
grijač
je isključen, a podaci su se snimali još
neko vrijeme kako bi se snimilo prijelazno
stanje. Strana 2 ploče hladi se prirodnom konvekcijom.
format
compac
tclose all clear all clc fminsear
chfuncti
ony =
load kam
en.mat
theta(i+1,M+1) = (2*dx*K3*Tz + 4*theta(i,M)options
= optimset;
linspace
plot (v
0 10 20 30 40 50 60 700
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
0.14
0.16
0.18
Iteration
Func
tion
valu
e
Current Function Value: 0.0173405
Ovisnost funkcije cilja o broju iteracija
format
compact
close all clear all clc fminsear
ch
load kam
en.mat
theta(i+1,M+1) = (2*dx*K3*Tz + 4*theta(i,M)options
= optimset;REZULTATIREZULTATI
linspace
plot (v
Profili temperature po vremenu na zadanim debljinama ploProfili temperature po vremenu na zadanim debljinama pločče.e.
0 10 20 30 40 50 60 70 8020
30
40
50
60
70
80
90
100
Vrijeme, min
T, °
C
Tstrana1TsrexpTstrana2expTsrmodTstrana2mod
REZULTATIREZULTATIform
atcom
pactclose all clear all clc fmin
search
load kam
en.mat
theta(i+1,M+1) = (2*dx*K3*Tz + 4*theta(i,M)options
= optimset;
linspace
plot (v
0
5
100 10 20 30 40 50 60 70 80
20
30
40
50
60
70
80
90
100
Vrijeme, minsegmenti
T, °
C
3D PRIKAZ3D PRIKAZ
OVISNOSTI TEMPERATURE PO POLOŽAJU I VREMENU
REZULTATIREZULTATIform
atcom
pactclose all clear all clc fmin
search
load kam
en.mat
theta(i+1,M+1) = (2*dx*K3*Tz + 4*theta(i,M)options
= optimset;
linspace
plot (v
OPTIMIRANJE PARAMETARA GENETIOPTIMIRANJE PARAMETARA GENETIČČKIM ALGORITMOMKIM ALGORITMOM
Ovisnost funkcije cilja o broju generacija GA
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 500.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
0.08
Generation
Fitn
ess
valu
eBest: 0.017341 Mean: 0.033946
Best fitnessMean fitness
REZULTATIREZULTATIform
atcom
pactclose all clear all clc fmin
search
load kam
en.mat
theta(i+1,M+1) = (2*dx*K3*Tz + 4*theta(i,M)options
= optimset;
linspace
plot (v
ZAKLJUZAKLJUČČAKAK
Analiziran je proces prijenosa topline kroz ploču eksperimentalno i simulacijom na osnovu razvijenog matematičkog modela.
Izrađen je računalni program u programskom paketu Matlab
koji računa i prikazuje profile temperatura ploče po vremenu i pritom procjenjuje potrebne parametre.
Kao alat za numeričko rješavanje PDJ korištena je neposredna metoda konačnih razlika.
Nepoznati parametri su se procjenjivali Nelder
–
Mead
metodom optimiranja (fminsearch funkcija).
Računalni program se lako moze
prilagoditi za slične sustave.
format
compact
close all clear all clc fminsear
chfuncti
ony =
load kam
en.mat
theta(i+1,M+1) = (2*dx*K3*Tz + 4*theta(i,M)options
= optimset;
linspace
plot (v
Top Related