Željka Ujević Andrijić · Simpleks metode. ‐Za dvodimenzijski slučaj simpleks je početni...

Željka Ujević

Andrijić

format

compact

close all clear all clc fminsear

chfuncti

ony =

load kam

en.mat

theta(i+1,M+1) = (2*dx*K3*Tz + 4*theta(i,M)options

= optimset;

linspace

plot (

CILJEVI PREZENTACIJECILJEVI PREZENTACIJE

1.

KAKO FORMULIRATI MATEMATIFORMULIRATI MATEMATIČČKI MODEL KI MODEL ZA DANI PROCES?

2.

KAKO RIJERIJEŠŠITI PARCIJALNE DIFERENCIJALNE JEDNADITI PARCIJALNE DIFERENCIJALNE JEDNADŽŽBE BE (PDJ)

MODELA?‐

postavljanje početnih i rubnih uvjeta

‐

rješavanje metodom konačnih razlika

3.

KAKO PROCJENITI NEPOZNATE PARAMETRE PROCJENITI NEPOZNATE PARAMETRE U MODELU Nelder Mead metodom?

format

compact


chfuncti

ony =

load kam

en.mat


= optimset;

linspace

plot (

Opis procesaOpis procesa

Analizira se prijenos topline na laboratorijskoj aparaturi za istraživanje prijenosa topline kroz različite materijale. Ploča je sa jedne strane naslonjena na grijač.

Druga strana ploče je u kontaktu sa zrakom iz okoline na sobnoj temperaturi.

Temperaturu je moguće mjeriti na tri mjesta s obzirom na debljinu ploče (na točki granice grijač‐ploča, polovici debljine ploče te na vanjskoj strani ploče).

ZadatakZadatak

Potrebno je razviti matematički model procesa prijenosa topline i izraditi računalni program koji će računati profile temperatura po položaju u zadanom

vremenu i profile temperatura za određeni položaj tijekom vremena i pritom procijeniti potrebne parametre.

format

compact


chfuncti

ony =

load kam

en.mat


= optimset;

linspace

plot (

2 2 2

2 22a u u u u ud e gu fx x y y x

cy

b

gdje su a, b, c, d, e, f i g konstante ili funkcije od x

i y, a x

i y

su nezavisne varijable.

Tri skupine PDJ:

paraboliparaboliččkeke: ako je b2

+ 4a∙c = 0 hiperbolihiperboliččkeke: ako je b2

+ 4a∙c > 0 eliptieliptiččkeke: ako je b2

+ 4a∙c < 0

1. Numeri1. Numeriččko rjeko rješšavanje parcijalnih diferencijalnih jednadavanje parcijalnih diferencijalnih jednadžžbibi

Opći oblik PDJ drugog redaPDJ drugog reda:

(1)

format

compact


chfuncti

ony =

load kam

en.mat


= optimset;

linspace

plot (

RjeRješšavanje PDJ metodom konaavanje PDJ metodom konaččnih razlikanih razlika(engl.

FFinite DDifference MMethod ‐

FDM)

• Parcijalne derivacije u jednadžbama aproksimiraju se algebarskim jednadžbama.

•

Vrijednosti funkcija (zavisnih varijabli) računaju se u diskretnim točkama, odnosno za pojedine vrijednosti nezavisnih varijabli

Neposredna metodaNeposredna metoda

‐

Rekurzivno izračunavanje vrijednosti zavisnih varijabli u svakoj sljedećoj točki računa se vrijednost funkcije na osnovi prethodnih.

NajNajččeeššćće korie korišštene metode rjetene metode rješšavanja PDJavanja PDJ:

o

Metode konačnih razlikao

Metode konačnih elemenata

o

Kolokacijske metode

a)

Neposredna (eksplicitna) metoda

b)

Implicitna metoda

c)

Metoda linija

format

compact


chfuncti

ony =

load kam

en.mat


= optimset;

linspace

plot (

JednadJednadžžbe konabe konaččnih razlikanih razlika

APROKSIMACIJA DERIVACIJA PRVOGPRVOG

REDA

POVRATNEPOVRATNE

(unatražne) KONAČNE RAZLIKE:

UNAPREDNE UNAPREDNE KONAČNE RAZLIKE:

CENTRALNECENTRALNE

KONAČNE RAZLIKE:

APROKSIMACIJA DERIVACIJA DRUGOGDRUGOG

REDA

1

i i ij j

j

T TTt t

21 1

2 2

2

i i i ij j j

j

T T TTx x

1

i i ij j

j

T TTt t

1 1

2

i i ij j

j

T TTt t

CENTRALNECENTRALNE

KONAČNE RAZLIKE:

format

compact


chfuncti

ony =

load kam

en.mat


= optimset;

linspace

plot (

MreMrežža konaa konaččnih razlikanih razlika

2

2DT Tt x

Razvijanjem u Taylor-ov red1

1 -1, i i i ij j jT T T u točkama čvorova mreže (j, i) imamo:

2 32 3 4

1 2 3

1 1 ( )2 6

i iii ij j

j j j

T T TT T x x x O xx x x

format

compact


chfuncti

ony =

load kam

en.mat


= optimset;

linspace

plot (

2 32 3 4

1 2 3

1 1 ( )2 6

i iii ij j

j j j

T T TT T x x x O xx x x

1 2( )

ii ij j

j

TT T t O tt

21 1

2 2

2i i i ij j j

j

T T TTx x

aproksimacija prostorneprostorne

derivacije drugog

reda (aproksimacija centralnom razlikom)

1

i i ij j

j

T TTt t

11 1

2

2D

i i i i ij j j j jT C T T T

t x

11 -12D ( - 2 )

i i i i ij j j j j

tT T T T Tx

neposredna formula konačnih razlika

aproksimacija vremenskevremenske

derivacije ‐

aproksimacija unaprijednom razlikom

Zbrajanjem prve dvije

Sređivanjem zadnje

format

compact


chfuncti

ony =

load kam

en.mat


= optimset;

linspace

plot (

Kao kriterij slaganja

ID metoda koristi korijen srednjeg kvadratnog odstupanja korijen srednjeg kvadratnog odstupanja funkcija ciljafunkcija cilja::

•

Procjena parametara u modelima često se svodi na korištenje metoda optimiranja

nelinearnih funkcija s linearnim ili nelinearnim ograničenjima.

•

Svrha optimiranja je pronaći najbolje moguće rješenje za dani problem, odnosno

pronalaženje min ili max funkcije cilja uz određena ograničenja i zadanu točnost.

Numeričko rješavanje ODJ, PDJ i algebarskih jednadžbi uz istovremeni postupak procjene

parametara modela.

Izbjegava se numeričko deriviranje (može biti izvor pogreške) ili izbor odgovarajuće

aproksimacije krivulje.

Procjena parametara izmijenjenom diferencijalnom metodomProcjena parametara izmijenjenom diferencijalnom metodom

2. PROCJENA PARAMETARA2. PROCJENA PARAMETARA

format

compact


chfuncti

ony =

load kam

en.mat


= optimset;

linspace

plot (

NelderNelder‐‐Meadova metodaMeadova metoda

‐ Bezgradijentna metoda, izvedenica

Simpleks impleks metode.

‐ Za dvodimenzijski slučaj simpleks je početni trokut s kutnim točkama

W,

G,

B.

B

G

W

E

R

MC1C2

S

• Zamjena najlošije točke W točkom EEf(e) < f(g) Prihvaća se E i završava iteracija(proširenje)

• Zamjena najlošije točke W točkom RRf(e) f(g) , f(r) < f(g) Prihvaća se E i završava iteracija (preslikavanje)

• Zamjena najlošije točke W točkom CCakoako

f(e) < f(w) prihvaća se C1 ((sažimanje))

•• Istodobna zamjena dvije toIstodobna zamjena dvije toččke trokutake trokuta((sasažžimanje prema toimanje prema toččkiki

BB))

U svakom koraku iteracije algoritam otklanja trenutno najgoru točku i prihvaća slijedeću u simpleks.

format

compact


chfuncti

ony =

load kam

en.mat


= optimset;

linspace

plot (

format

compact


chfuncti

ony =

load kam

en.mat


= optimset;

linspace

plot (

Za

formulaciju

prijelaznog

stanja

potrebno

je

poći

od

osnovne

bilance

topline

za nestacionarni period,

2

2pT Tct x

2

2p

T Tt c x

pc

Nakon prislanjanja hladne ploče na grijač, potrebno je razmotriti prijelazno stanje i odrediti profile temperature kroz ploču za različita vremena.

2

2

T Tt x

3. RAZVOJ MODELA3. RAZVOJ MODELA

Osnovni model je PDJ paraboličkog tipa

format

compact


chfuncti

ony =

load kam

en.mat


= optimset;

linspace

plot (

GrijaGrijačč

strana 1strana 1

strana 2strana 2

z( ,L) T ( ,L)

T t h T tx

0(0, ) T z T1( ,0) T t T

0z Lz 2

2

T Tt x

Rubni uvjet 1Rubni uvjet 1

Rubni Rubni uvjet 2uvjet 2

PoPoččetni uvjetetni uvjet

format

compact


chfuncti

ony =

load kam

en.mat


= optimset;

linspace

plot (

Temp. grijača

Rubni uvjet na strani 2

toplina koja se odvede prirodnom konvekcijom zrakom jednaka je toplini koja se dovede do strane 2 ploče vođenjem.

POPOČČETNI I RUBNI UVJETIETNI I RUBNI UVJETI

Dirchletzadano

Robinov

zadano

RjeRješšenje neposrednom metodomenje neposrednom metodom

Aproksimacija prve derivacije:

Aproksimacija druge derivacije:

Korak iteracije po vremenu i duljiniKorak iteracije po vremenu i duljini

• Prvo se zadaje korak iteracije po duljini, .

Broj iteracija po duljini:

•

Korak iteracije po vremenu određuje se iz uvjeta stabilnosti. Za parabolički tip PDJ drugog

reda ‐

Fourierov broj:

x

L /M x

2KF 1/ 2t

x

2

2Kt

x Broj iteracija po vremenu: Kt /N t

Kt -

vrijeme pokusa

2, 1 , , 1

22

2i j i j i jT T TTx x

1, ,i j i jT TTt t

format

compact


chfuncti

ony =

load kam

en.mat


= optimset;

linspace

plot (

vrijedi za temperature u unutrašnjim točkama ploče, jj

= 1 : = 1 : MM

dok se za točke na početku, j

= 0 i na kraju, j

= M+1 mora prilagoditi prema rubnim uvjetima.

Rubni uvjet 1:

Rubni uvjet 2:

neposredna aproksimacija rubnog uvjeta s boljom točnošću unatragunatrag,

3LK h

,0 1iT T

( ,L) L ( ,L)z

T t h T T tx

3 , , 1

1, 13

2 x K 42 K x 3

z i M i Mi M

T T TT

format

compact

close all clear all fminsear

chfuncti

ony =

load kam

en.mat


= optimset;

linspace

plot (

1, , , 1 , 12 2

2K t K1x x

i j i j i j i jtT T T T

Procjena parametara u programskom paketu Procjena parametara u programskom paketu MatlabMatlab

Potrebno je procijeniti koeficijent prijenosa toplinekoeficijent prijenosa topline

s ploče u okolni zrak kao i

toplinsku vodljivosttoplinsku vodljivost

korištenog materijala.

Funkcija

fminsearch u Matlabu koristi Nelder-Mead metodu za minimizaciju

definirane funkcije po jednom ili više parametara.

Sintaksa: x = fminsearch(fun,x0,options)

x ... matrica ugodivih parametara; fun ... funkcija čiji se minimum traži.

Funkcija čiji minimum tražimo je korijen srednjeg kvadratnog odstupanja

simuliranih i mjerenih vrijednosti temperatura

na sredini i na strani 2 ploče.

Alternativa fminsearch u Matlabu –

fminbnd; fminunc; fzero; ga; linprog;lsqnonneg;lsqnonlin;quadprog;…

format

compact


chfuncti

ony =

load kam

en.mat


= optimset;

linspace

plot (v

Dijagram 1 Prikaz glavnog algoritmaglavnog algoritma

za procjenu parametara

Program za rješavanje PDJ

format

compact


chfuncti

ony =

load kam

en.mat


= optimset;

linspace

plot (v

Dijagram 3 Prikaz algoritma za numeričko rješavanje PDJ metodom konačnih razlika

format

compact


chfuncti

ony =

load kam

en.mat

theta(i+1,M+1) = (2*dx*K3*Tz + 4*theta(i,M)

optimset;

linspace

plot (v

Alternativa rješavanju PDJ u Matlabu –

pdepe funkcija; pdetool GUI

solution = pdepe(m, pdefun, icfun, bcfun, xmesh, tspan)

Značajka iznos jedinice

Debljina ploče 1,8 cm

Gustoća 0,0025 kgcm‐3

Inic. toplinska vodljivost 0,1 Jmin‐1cm ‐1K‐1

Toplinski kapacitet 850 Jkg‐1K‐1

Inic. koeficijent

prijenosa topline

1 Jmin‐1cm‐2K‐1

Temperatura zraka 23,5 oC

Temperatura ploče prije

početka grijanja 23,5 oC

REZULTATIREZULTATI

Eksperiment je izveden tako da se ploča na početku prislonila na hladan grijač, a zatim

temperatura grijača podesila na oko 90°C. Nakon što se postigla zadana temperatura,

grijač

je isključen, a podaci su se snimali još

neko vrijeme kako bi se snimilo prijelazno

stanje. Strana 2 ploče hladi se prirodnom konvekcijom.

format

compac

tclose all clear all clc fminsear

chfuncti

ony =

load kam

en.mat


= optimset;

linspace

plot (v

0 10 20 30 40 50 60 700

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

0.16

0.18

Iteration

Func

tion

valu

e

Current Function Value: 0.0173405

Ovisnost funkcije cilja o broju iteracija

format

compact


ch

load kam

en.mat


= optimset;REZULTATIREZULTATI

linspace

plot (v

Profili temperature po vremenu na zadanim debljinama ploProfili temperature po vremenu na zadanim debljinama pločče.e.

0 10 20 30 40 50 60 70 8020

30

40

50

60

70

80

90

100

Vrijeme, min

T, °

C

Tstrana1TsrexpTstrana2expTsrmodTstrana2mod

REZULTATIREZULTATIform

atcom

pactclose all clear all clc fmin

search

load kam

en.mat


= optimset;

linspace

plot (v

0

5

100 10 20 30 40 50 60 70 80

20

30

40

50

60

70

80

90

100

Vrijeme, minsegmenti

T, °

C

3D PRIKAZ3D PRIKAZ

OVISNOSTI TEMPERATURE PO POLOŽAJU I VREMENU


atcom


search

load kam

en.mat


= optimset;

linspace

plot (v

OPTIMIRANJE PARAMETARA GENETIOPTIMIRANJE PARAMETARA GENETIČČKIM ALGORITMOMKIM ALGORITMOM

Ovisnost funkcije cilja o broju generacija GA

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 500.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

Generation

Fitn

ess

valu

eBest: 0.017341 Mean: 0.033946

Best fitnessMean fitness


atcom


search

load kam

en.mat


= optimset;

linspace

plot (v

ZAKLJUZAKLJUČČAKAK

Analiziran je proces prijenosa topline kroz ploču eksperimentalno i simulacijom na osnovu razvijenog matematičkog modela.

Izrađen je računalni program u programskom paketu Matlab

koji računa i prikazuje profile temperatura ploče po vremenu i pritom procjenjuje potrebne parametre.

Kao alat za numeričko rješavanje PDJ korištena je neposredna metoda konačnih razlika.

Nepoznati parametri su se procjenjivali Nelder

–

Mead

metodom optimiranja (fminsearch funkcija).

Računalni program se lako moze

prilagoditi za slične sustave.

format

compact


chfuncti

ony =

load kam

en.mat


= optimset;

linspace

plot (v

Željka Ujević Andrijić · Simpleks metode. ‐Za dvodimenzijski slučaj simpleks je početni...

Documents

Transcript of Željka Ujević Andrijić · Simpleks metode. ‐Za dvodimenzijski slučaj simpleks je početni...