Y^>>**»^ - IPEN · 2015. 3. 30. · CAPITULO IV - MATERIAIS E MÉTODOS 29 IV.1. Procedimento...
112
ATTENTION MICROFICHE USER, The original document fram which this microfiche was mule was found to contain some imperfections that reduce full comprehension or some of the text despite the good technical quality of the microfiche itself. The failures may be: - missing or illegible pages/figures; - wrong pagination; - poor overall printing quality, etc... We normally refuse to microfiche such a document and request a replacement document (or page) trm the national IMS Centra concerned. However, our experience shows that many months pass before such documents are replaced. Sometimes the Centre is not able to supply a better copy or, in some cases, the pages that were supposed to be n»i««fa»g correspond to a wrong pagination only. We feel that it is better to proceed with distributing the microfiche made of these documents than to withhold them till the imperfections are removed. If the removals are subsequently made then replacement microfiche can be issued. In Une with this approach then, our specific practice for adcrofiching such documents is as follows: 1. A microfiche of an imperfect document wUl be marked with a special symbol (black circle) on the left of the title. Tins symbol will appear on all masters and copies of the document (1st fiche and trailer fiches) even if the imperfection is on one fiche of the report only. 2. If the incorrectnesses are not too general the reason will be specified on s sheet such as this, in the space below. 3. The microfiche wul be considered as temporary, but sold at the normal price. Replacements, if they can be issued, will be available for purchase at the regular price. 4. A new document will be requested from the supplying Centre. 5. If the Centre can supply the necessary pages/document a new master fiche will be made to permit production of any replacement microfiche that may be required. The original document from which tins microfiche has been prepared has these imperfections: S missing pagns/iigmaaHBmmftmjml: wrong pagination Q£| poor overall printing quality j | combinations of the above | _ | other INIS Clearinghouse P.O. Box 100 A-1400, VIENNA AUSTRIA •^Y^>>**»^
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ATTENTION MICROFICHE USER,
The original document fram which this microfiche was mule was found to contain some imperfections that reduce full comprehension or some of the text despite the good technical quality of the microfiche itself. The failures may be:
- missing or illegible pages/figures; - wrong pagination; - poor overall printing quality, etc...
We normally refuse to microfiche such a document and request a replacement document (or page) trm the national IMS Centra concerned. However, our experience shows that many months pass before such documents are replaced. Sometimes the Centre is not able to supply a better copy or, in some cases, the pages that were supposed to be n»i««fa»g correspond to a wrong pagination only. We feel that it is better to proceed with distributing the microfiche made of these documents than to withhold them till the imperfections are removed. If the removals are subsequently made then replacement microfiche can be issued. In Une with this approach then, our specific practice for adcrofiching such documents is as follows:
1. A microfiche of an imperfect document wUl be marked with a special symbol (black circle) on the left of the title. Tins symbol will appear on all masters and copies of the document (1st fiche and trailer fiches) even if the imperfection is on one fiche of the report only.
2. If the incorrectnesses are not too general the reason will be specified on s sheet such as this, in the space below.
3. The microfiche wul be considered as temporary, but sold at the normal price. Replacements, if they can be issued, will be available for purchase at the regular price.
4. A new document will be requested from the supplying Centre.
5. If the Centre can supply the necessary pages/document a new master fiche will be made to permit production of any replacement microfiche that may be required.
The original document from which tins microfiche has been prepared has these imperfections:
Smissing pagns/iigmaaHBmmftmjml: wrong pagination
Q£| poor overall printing quality j | combinations of the above | _ | other
INIS Clearinghouse
P.O. Box 100 A-1400, VIENNA AUSTRIA
•^Y^>>**»^
J&.^MRITHO nERATjVO EM T0M0GRAF1A COMPUTADORIZADA
APLICADA EM TESTES NAO DESTRUTIVOS
Cesar Antonio Caggiano Santos
TESE SUHETIDA AO CORPO DOCENTE DA COORDENAÇÃO DOS PROGRAMAS DE
POS-GRADUAÇAO DE ENGENHARIA DA UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JA
NEIRO COMO PARTE DOS REQUISITOS NECESSÁRIOS PARA A OBTENÇÃO DO
GRAU DE MÍSTRE EM CIÊNCIAS (M.Sc.).
Aprovado por:
Douglas Rogers Presidente
Wilma dos Santos Bastos
Roberto Longo Freitas
RIO DE JANEIRO, RJ - BRASIL
OUTUBRO DE 1982
4.<
SANTOS, CESAR A.C.
Um Algoritmo I terat ivo em To mo grafia Computadorizada A-
plicada em Testes Não Destrutivos (Rio de Janeiro) 1982.
V I I I , 104 p. , 29,7cm (COPPE/UFRJ, M.Sc, Engenharia Nu
clear, 1982).
Tese - Universidade Federal do Rio de Janeiro. Faculda
de de Engenharia.
1 . FTsica Nuclear Aplicada I . COPPE/UFRJ I I . Título (Série).
LU
A weus P» i s
Avany
Antonio
<v
. AG R A SC C I HE S T O S
Ao Professor uohn Doti9?a& Rogers pela orientação,
sugestões e pelo interesse ccn qu€ sewere acompanhou o desenvo2
vimento deste trabalho.
A Ricardo Tadeu Lopest como colaborador » nas su
gestões e no desenvolvimento f ina l deste trabaUô.
Aos colegas Arthur Thompson Notta e Vera Solange
Faria, pelo apoio na redação deste trabalho.
Ao Sr. Álvaro de Souza 'raga e aos seus companhej
ros de trabalho da oficina mecânica.
A Mareia Alves e Evanise Barbosa da Si lva, pelo
serviço de dati lograf ia.
Aos colegas e fur.ti/r.ãrios do programa que di re
tamente ou indiretamente parti c^i? ram na realização deste traba
lho.
V
R E S U M O
Neste trabalho, foi desenvolvido ua «odeio aate-
aãti:o ea torto gratia computadorizada aplicada ea testes nío des
tru-ivos, d< reconstrução de iaagens ea duas diaensões. 0 node
Io utilizado i a Técnica de Reconstrução Algêbrica (ART) coa cor
rtçào aditiva.
Este ao dei o trata de ua s is teaa descontínuo for
mado por ua arranjo KxN de células ( p i x e l ) . A atenuação no ot>
jeto de ua fe ixe colimado de radiação gaaa foi determinada para
várias posições e ângulos de incidência (projeções) em termos da
interação do feixe com os pixels interceptados. A contribuição
de cada pixel na atenuação do feixe foi determinada pela função
peso H . r
Foram realizados testes simulados em objetos pa
drão com coeficiente de atenuação u na faixa de 0,2 a 0,7cm~ ,
usando arranjos 4e pixel de até 2 5 x 2 5 . Testes experimentais
foram fe i tos usando uma fvnte de radiação gama (2%1Am)( uma me
sa com movimentos de transi ação e de rotação e um sistema e le
trônico de deteção de radiação gama.
Os resultados indicam que a convergência obtida
nos cálculos i terat ivos ê função da distribuição de ynos pixels,
do número de projeções angulares e do número de iterações.
V4
A B S T R A C T mmmmmaamawmmmBmmmBmamm^Mi . M M P
In the present work, a Mathematical model has been
developed for two dimensional image reconstruction in computerized
tomography applied to non-destructive test ing. The method used
is the Algebraic Reconstruction Technique (ART) with additive
corrections.
This model consists of a discontinues system formed
by an N xN array of cells (p ixels) . The attenuation in the object
of a co l l i mated beam of gamma rays has been determined for vario ns
positions and angles of incidence (projections) in terms of the
interaction of the bean with the intercepted pixels. The contribution
of each pixel to beam attenuation was determined using the weight
function W...
Simulated tests using standard objects carried out
with attenuation coefficients in the range 0,2 to 0,7cm"1, were made
using cell arrays of up to 25x25. Experiments were made using
a gamma radiation source ( 2 % , A») , a table with transiational and
rotational movements and a gamma radiation detection system.
Results indicate that convergence obtained in the
i terat ive calculations is a function of the distribution of
attenuation coefficient in the pixels, of the number of angular
projections and of the number of i terat ions.
V4.Í
I H D 1 C E
CAPITULO I - INTRODUÇÃO 02
1.1. Generalidades 02
1.2. Objetivo 03
CAPITULO II - REVISÃO BIBLIOGRÁFICA 06
CAPITULO III - TEORIA 11
111.1. Interação da Radiação y com à Matéria , 11
111.1.1. Mecanismos de Interação 11
111.1.2. Atem ~ '* Rato y 14
111.2. Topografia ReconstrutiVa .' 16
111.3. Técnica de Reconstrução Algebrica - ART 18
111.3.1. Bases Matemáticas 18
111.3.2. Modelo Matemático de Reconstrução 22
111.3.3. Convergência 26_
CAPITULO IV - MATERIAIS E MÉTODOS 29
IV.1. Procedimento Experimental 29
IV.1.1. Mesa de Tomo grafia 29
IV.1.2. Fonte de Radiação 30
IV.1.3. Colimadores 32
IV.1.4, Sistema Eletrônico de Contagem 33
IV.2. Desenvolvimento Computacional 34
vii-i
CAPITULO V - RESULTADOS 40
V.l. Funçio Peso 40
¥.2. Testes Siaulados 40
V.3. Experimentais 47
CAPITULO VI - DISCUSSÕES E CONCLUSÕES 80
APÊNDICE I - DETERMINAÇÃO DA FUNÇAO PESO 84
APÊNDICE II - TEOREMA DE CONVERGÊNCIA POR ANÁLISE
VETORIAL 87
APÊNDICE III - PROGRAMA ART-ADITIVO 94
REFERENCIAS. BIBLIOGRÁFICAS 102
C A P I T U L O I
,t.
1. INTRODUCE!)
1.1. GENERALIDADES
0 problema de reconstrução de imagens por proje
ções te» sido estudado em pesquisas nas «ais diversas íreas ci
entíficas, tais COMO: radiologia, radioastronomia, aicroscopia
eletrônica e holografia. Nas foi na irea de radiologia, que te
ve uaia aceitação rápida e ampla, devido ao desenvolvimento da
técnica de tomografia computadorizada (CT).
A roentgenology a há muito já dispunha de siste
mas tomográficos. Contudo, a radiografia tomogrãfica convencio
nal não diferencia adequadamente certas seções dos corpos, ela
se limita a focalizar planos de interesse selecionados. Conse
quentemente ê ímpossivel obter-se informações Importantes para
a medicina.
A tomografia computadorizada supera esta defici
ência, por dirigir um feixe de radiação altamente colimado atra_
vês de uma seção axial transversal do corpo. 0 feixe transmiti,
do i detetado no lado oposto por um detetor de cintilação. A
contagem é feita para cada ângulo e posição do feixe. Com es
sas contagens e de posse de técnicas computacionais, cabe ao
computador reconstruir a imagem tomográfica no plano do objeto
que é dividida em n xn células ou "pixels" para a reconstrução.
0 princípio de reconstrução de imagens tomogrãfi,
cas, a partir de multiplicidade de leituras transmitidas, foi
. 3 .
descrito, por Oldendorf em 1961. Aplicando o mesmo principio ge
r a l , Hounsfield desenvolveu o primeiro sistema para uso medico,
fabricado pela firm* CHI LTOA.
Hoje j ã existem centrais de aparelhos de C.T. em
operação e mais de dez companhias que est io produzindo ou desen.
volvendo os referidos aparelhos.
Nais recentemente, estão sendo desenvolvidas t í c
nicas e aparelhos de tomografia computadorizada para o uso em
testes não destrutivos de materiais industr ia isK como por exem
plo, para aplicações nas indústrias de construção c i v i l e mate
r ia is bélicos.
As diferenças principais entre as aplicações in
dustriais e no uso medico desta técnica são na maior variação
da densidade encontrada nos materiais de objetos industriais com
parado com os tecidos do corpo humano e na preocupação em medi
cina com a dose de radiação recebida pelo paciente em um exame.
1 . 2 . OBJETIVO
Este trabalho teve como objetivo principal o es
tudo da reconstrução de imagens bi-dimensionaís, aplicada em
testes não destrutivos de objetos industriais.
0 algoritmo matemático utilizado neste trabalho
foi a Técnica de Reconstrução Algébrica-aditivo (ART - aditivo).
.4.
Para a sua* implementação no computador B.6700 do NCE/UFRJ, foi
desenvolvida uma função peso para determinação da fração de ca
da célula interceptada pelo feixe colimado de radiação inciden
te.
Foram realizados testes de simulação de objetos
padrão, aplicando o algoritmo ART-aditivo e medidas experimen
tais usando uma mesa de tomografia com movimentos de rotação e
translação manuais montada em nosso laboratório. Com esses ú*
dos obtidos experimentalmente, foi testado o algoritmo ART-adi
tivo que foi então implantado no Burroughs B.6700.
Duas funções foram desenvolvidas para definir os
critérios de convergência que foram aplicados nos testes simula
dos e nos resultados experimentais.
Um estudo comparativo entre os testes simulados
e os resultados experimentais foi realizado, considerando a con
vergência em função do número de ângulos utilizados (projeções)
e do número de elementos (pixels) na imagem de reconstrução.
C A P I T U L O II
.6.
II. REVISÃO BIBLIOGRÁFICA
A pesquisa em tomografia foi iniciada em 1921,
com o trabalho de Bocage , qut estudou a transmissão de raío-
X através de corpos» método este denominado de Convencional ou
de plano-focal.
As técnicas de reconstrução de imagem tiveram seu
inicio com o trabalho de Bracewell , publicado em 1956» com a
plicação em radioastronomia, para identificação de regiões do
do sol que emitem microondas.
0 início da tomografia convencional,, pode-se di-3
zer que se encontra nos trabalhos de Takahashi , (1957)» que
melhorou o sistema de Bocage, colocando a fonte de raio-X e o
filme detetor no mesmo plano.
Mais tarde,surgiram trabalhos com fontes de raio
gama, tanto para a aplicação nos métodos de transmissão como
para os de emissão * através de radionuclídeos.
Os métodos matemáticos de reconstrução de imagens
foram desenvolvidos para as mais diversas aplicações» em vários
7 R Q 1(1
campos de pesquisa * ' ' , tais como biologia, geologia e outros.
A Técnica de Reconstrução Algebrica (ART)^ foi
introduzida por Gordon, Bender e Hermann em 1970, para solu
cionar o problema de reconstrução tridimensional de projeções
obtidas em microscopía eletrônica e radiologia, mostrando as vari
.7.
tagens sobre o método analítico de Reconstrução de Fourier.
Gilbert12 introduziu um mitodo iterativo alterna
tivo para a reconstrução de imagem, chamado S1RT (Técnica de Re
Construção Iterativa Simultânea).-; Uma-de *tfas grandes aplicações é a de
terminação de estruturas tridimensionais de objetos obtidos em
micrografia eletrônica.
Uma técnica de relaxação Iterativa é apresentada 13 por Goitein , para expor uma distribuição tridimensional a pa£
tir de uma série de projeções bidimensionais. Análises de simu
lações computadas e medidas atuais foram apresentadas. Este t±
po de análise tem aplicação em radiografia, microscopia eletrô
nica, radioterapia e medicina nuclear. -
14 Herman et ai 1973 apresentaram um trabalho
mais.completo onde mostraram: o problema de reconstrução de ima
gem, uma nova técnica (ART 2), variação de uma função peso com
a espessura de raio, um estudo de ruído dentro do modelo propôs^
to, e estimaram um número ótimo de iterações (convergência).
Em outro trabalho Herman e Rowland apresenta
ram um estudo comparativo de reconstrução de Imagem por três mé
todos: 1) ART 2; 11) Convolução; 111) SIRT.
Um novo critério foi proposto para avaliar vi
sualmente e quantitativamente reconstrução tridimensional execy
tado por algoritmos não lineares para as projeções de estruturas
nío conhecidas. Utilizando Informações contidas neste critério,
.8.
a estrutura de um algoritmo existente (ART) foi modificado (MART).
Outras inovações na técnica iterativa foram os
métodos "exato" e "quase exato" , nos quais o processo de cor
reção envolvem não so as células atingidas mas também as células
vizinhas, dando uma aproximação melhor dos resultados e diminu
indo o número de iterações necessário. Estes métodos foram a-
plicados nos algoritmos ART e SIRT, nos tipos de correção ad±
tivo e multiplicative
Uma visão geral sobre os aspectos físicos e mate
mãticos dos métodos de reconstrução de imagens^ foram apresentji
de£ por Cho , usando a aplicação da técnica de emissão em cama
ras de positrons.
,-> Num estudo detalhado do algoritmo ARI feito por
19 - -
Gordon , sao discutidos também: analise da representação espa_
ciai e do algoritmo original, variações dos métodos, critério de
convergência, e eficiência de computação.
A técnica iterativa de mínimos quadrados(ILST) *
foi enfatizada em medicina nuclear porque ela acomoda dados ex
perimentais com ruídos. 0 algoritmo pode ser modificado para
tratar erros de atenuação esperados em estudos de emissão.
Brooks e Chiro y publicaram um trabalho conten
do um histórico no desenvolvimento de tomografia e uma compara
ção entre os métodos iterati vos e as técnicas analíticas mais rã
pidas.
.9.
Herman et ai 1978 apresentaram um estudo mate-
Mítico baseado no método de relaxação tanto para inequaçoes co
mo para equações lineares.
Ú -0 livro de HerraanJU e uma revisão recente de «U
goritnos e métodos em Tomografía Computadorizada.
A Tomografía Computadorizada está sendo desenvoj
vida para medidas em objetos com maior variação de densidade que
os na medicina;, e por ser um teste não destrutivo, hã uma gran-
• de aplicação na área industrial.
Trabalhos neste sentido foram desenvolvidos para
25 a analise de componentes de reator e qualidade de concre-
t 024, 26,27, 28
C A P T T U L 0 I I I
. I .
I I I . E0R1A
in."1. INTERAÇÃO DA RADIAÇÃO y COM A MATERIA
H* (in grande número de possíveis mecanismos de in
teração da radiação gama coma Materia. Três tipos são de grande
importância quando se trata de Medidas de radiação.
Ü ) absorção fo toe l i t r ica (Efeito fotoelétricoj;
b) espalhamento Compton;
c) produção de pares
Todos estes processos levam a uma transformação parcial ou to
tal da energia do fõton de raio gama em energia para o elétron.
III.1.1 .MECANISMOS DE INTERAÇÃO
a) Absorção fotoelétrica
Neste mecanismo os fõtons de raio gama ao intera
girem com o átomo absorvedor, desaparecem completamente, surgin^
do o que chamamos de um fotoelêtron, cuja energia é dada por
E * hv - Eb
onde hv é a energia do raio y e E b é a energia de ligação do e-
létron ao átomo. Assim neste processo considera-se o átomo co
mo um todo e portanto não se pode considerar o.elétron como sejj
do livre. A maior probabilidade deste efeito ocorrer é no ele-
.12.
tron Mis firmemente ligado ao a to mo (o da caMda K).
0 processo fotoelétrico í o Mecanismo predominan
te de interação para raios y de energia relativamente baixa. A
probabilidade de ocorrer a absorção é aumentada pa*a material ab
sorvedor de alto número atômico (Z). Essa probabilidade em fun
ção de Z e da energia do raio y, ê dada pela expressão:
ç s a .
V
onde a é uma constante e n varia entre 4 e 5, dependendo da re
gião da energia do raio y de interesse.
b) Espalhamento Compton
No processo de espalhamento Compton o raio y não
desaparece, pois uma parte de sua energia é transferida ao elé
tron espalhado do material absorvedor. A outra parte correspo^
de a enargia do raio y espalhado ( E i ) , menor ou igual que a do
raio y incidente (E ) . A energia do raio espalhado e a ener
gia transferida ao elétron ê função do ângulo formado pelo raio
y espalhado (6), como i mostrado abaixo:
foton jfrtnon mafcrffc
F i £ . l l l . l - Espalhamento Compton
.13.
Levando eu consideração a conservação de energia
e momento nesta Interação obtém-se a energia do foton espalhado
dada por:
hv' = hv
1 + hv
m,Cs (1 -cos6)
onde «,C2 é a energia de repouso do elétron.
A probabilidade de espalhamento Conpton (T ) por
átomo de uma absorção, depende do numero de slêtrons, pois nes
se modelo consideramos o elétron livre. Assim a probabilidade
aumenta linearmente com Z. A variação desta probabilidade com
a energia é ilustrada na Figura III. 2, para o caso do material
detetor (Iodeto de sódio com tâlio-Nal (Tft)). Geralmente a
probabilidade de espalhamento Compton diminui gradualmente com
29 o aumento da energia
A distribuição angular do raio y espalhado ê pre
dita pela fórmula de Klein-Níshina para uma seção de choque de
espalhamento diferencial di/dft:
Él dn
1 1 +a(l - cose)
1 + cos26
1 + a2(l - cose)'
(1 + cos2e) 1 + o(l - cose)
.14.
onde a > * m8 e r§ i o ralo clássico. Esta distribuição é »os
tròúè graficamente na Figura II1.3, e ilustra uma forte tendên
cia do espalhanento para frente, para valores «aiores da energia
do raio y.
c) Produção de Pares
Se a energia do raio Y exceder duas vezes a mas
sa de repouso do elétron (2mlC2 = 1.02 MeV), o processo de prodjj
ção de par se torna viável energeticamente. Este processo pos
sui probabilidade predominante na*região de alt' energia do raj^
o y. Nessa interação, o raio y desaparece, dando lugar ã pro
dução de um par elétron - positron. Se a energia for acima de
1.02MeV, esta diferença será transformada em energia cinitica do
par elétron - positron. 0 positron por sua vez diminui rapida
mente a sua velocidade no meio absorvedor sendo aniquilado, pro
duzindo assim um par de fotons de 0.511MeV de energia cada.
Não existe nenhuma expressão simples para a probabi
lidade de produção de par por núcleo (k), mas sabe-se que ela va_
ria com Z. A Figura III.2 mostra a variação da probabilidade
(k) em função da energia dos fotons.
x III.1.2. ATENUAÇÃO DO RAIO Y
Na análise de uma experiência de transmissão, on
de raios Y monoenergéticos são colimados em um estreito feixe
que passará por um absorvedor de espessura variável (x) e atijn
gira um detetor. Os resultados obtidos no detetor em relação ã
.15.
'00! V
PP
10
£ 0.1
— t o n & z ^
001
01
Q
V 1
Mev 10
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100
Fig.III.2- Coeficiente de atenuação de massa em função da energia dos fôtonsr =
180-T
my now
soow. , * " * " • • • * * •
k Fig.III.3- Diagrama polar do número de fôtons
espalhados pelo efeito Compton em
.16.
Intensidade (I) dos fõtons nos dío U M função exponencial. Ca
da um dos processos de interação, renoves da direçío do detetor
os fõtons. de raio y do feixe colimado por absorção ou espalhamen
to. A função exponencial nos nostra a forma de atenuação do fe±
xe e de una probabilidade do raio y ser absorvido por unidade de
comprimento no absorvedor. Esta probabilidade ê a soma das pro
babilidades de cada mecanismo de iteração, dador por:
u = ç(fotoeletrico) +x(Conpton)4k(par)
e é chamada de coeficiente de atenuação linear. 0 número de fõ
tons trans»!ti do (I) é dado em termos do número de fõtons trans
mi tido sem absorvedor (Io).
-L = e" y x III.1 Io
Os fõtons de raio y podem também ser caracteriza^
do pelo livre caminho médio X, definido como a distância média
percorrida por um fõton até sua primeira interação.
{„ x . e'vx dx 1
I. e"PX dx y
III.2. TOMOGRAFIA RECONSTRUTIVA
A habilidade para ver uma seção de um corpo, sem
interferência de outras camadas, tem sido um objetivo da mediei
.17.
na radiolõgâca. Este objetivo te» sido alcançado pela técnica
Reco strutiva ou Topografia Axial Computadorizada (CAT).
Esta técnica usa raios - X ou raios -y pois estes
não interferem em outras seções, «as atravessam somente a seçio
a ser examinada, como mostra a Fig. III.4. Se um numero sufi
ciente de projeções (C)
B
Fig .III .H- A-Toroografia por transmissão; B-Tomografia por emissão; C- Várias projeções.
sio fe i tas, a distribuição do coeficiente de atenuação (transmit
são) ou densidade radioisotõpica (emissão) podem ser determina-• /
das dentro da camada./ A determinação da distribuição do coeficiente de atenuação vai ser dada pelo logarTtmo neperiano da e-quação ( I I I . 1 ) :
I in —- * yx .". yx
I y dx
A reconstrução de uma imagem através de suas projeções é couple
xa, necessitando aproximações.
.18.
'Muitas aproximações matemáticas tem sido usadas
para a reconstrução de imagens, mas existem dois métodos que são
usados em testes não destrutivos e em medicina, classificados co
mo seguem:
a) Reconstrução iterativa: métodos iterativos po
dem ser definidos simplesmente como uma "força bruta" para re
solver o problema, pois é feito um número muito grande de corre,
ções na distribuição do coeficiente de atenuação a partir de u-
ma distribuição aproximada inicial. Existem dois tipos de cor
reção,: um em que cada ponto da seção a ser examinada é corrigi
da simultaneamente por todos os raios que passam por este ponto
12 (Técnica de Reconstrução Iterativa Simultânea - SIRT) e outro
é feito raio a raio (Técnica de Reconstrução Algébrica - ART) .
Esta última técnica foi estudada neste trabalho.
b) Reconstrução analítica: métodos analíticos são
baseados em soluções matemáticas exatas, portanto são mais rãpji
das em tempo de processamento no computador. Dois métodos na re
construção analítica são de grande importância: um é a Reconstrju
ção de Fourier a duas dimensões e o outro é a Retroprojeção Fil_
trada
III.3. TÉCNICA DE RECONSTRUÇÃO ALGÉBRICA - ART
II 1.3.1. BASES MATEMÁTICAS
Um sistema de coordenadas (x,y) e usado para de
finir os pontos de uma determinada camada do objeto, como é
.19.
mostrado na figura III.5. A contribuição de cada ponto do obje
to em relação ao sinal detetado foi denotada pela função f(*,y),
que representa o coeficiente de atenuação linear (u). variando
de ponto a ponto na camada.
Fig.III.5 - Sistema Fonté-detetor-objeto
Os comprimentos dos raios ou feixes são descritos
por um outro sistema de coordenadas (r,s) e pelo angulo 6, que
corresponde aos ângulos de incidSncia dos raios em uma projeção
como mostra a fig. III.5. Cada raio é especificado pelas coor
denadas (r,$')t onde 4» é o ângulo do feixe com o eixo y (movi
mento de rotação) e r e a distância do raio ã origem do sistema
de coordenadas (movimento de translação). A variação na coorde_
nada S representa o -comprimento ao longo do feixe.
A Integral de f(x,y) ao longo do raio (r,$) é
chamado de ralo-soma ou raio-projeção p:
p(r,*) - í f(x,y) ds III.2 r ' * 7 ,
.20.
COM f(x,y.) ê o coeficiente de atenuação linear (y) , a integral is
da equação II 1.1 ao longo do feixe, dará:
u ds r,$
= e
,r s
ib
Ç' €\ III.3
logo
I p(r,*) = £n -*• III.4
Para utilizar o método de reconstrução iterativo,
e preciso passar do sistema continuo descrito acima onde se ana
lisa ponto a ponto, para um sistema descontínuo formado por um
arranjo de células (nxn), em que cada célula possui forma qua
drada de dimensões 2A, como mostra a Fig. II1.6.
** ' - - - - - -
F1g.III.6-Arranjo de células (nxn) onde a espessura do feixe e
Igual ã espessura da célula.
A fração da área que um determinado feixe (k) in
.21.
tercepta na célula (i.j) é denominada função peso W(i,j).
Para este sistema, as equações III.I e III.2 são
discretizadas, como segue:
a) P(ri*) = P(k.9) l onde 6 = -j- - 4, se refere
a rotação no sentido horário em relação ao eixo x e onde k é a
posição do raio no movimento de translação.
b) W(i,j) = ^- ; onde S - 4A2 ... área de uma
célula ; Si ... área que corresponde a fração W(l,j). A dis
tância média X que o feixe percorre dentro da célula (i,j) será
X = ii .-. Sj = X • 2A 2A
W(i,j) = -*-2A
X * W(i,j) • 2A III.5
logo
P(k,e) = n n l l W(i,j) .f(ij)
i=l j=l 2A (lII.6J
onde f(1.j) é o y(i,j) discretizado nas células.
A equação III. 6 representa o problema de recons
trução sem restrições (URP), formando um conjunto de equações
lineares.
.22.
Um Importante fato ignorado no URP, é que a fun-
ção f(i,j) pode ser limitada quanto ã variação do seu valor co
mo segue :
a) Se f(i,j) > 0, foi chamado de um problema de
reconstrução parcialmente limitado (P.R.P);
b) Se F < f(i,j) < 0, onde F S um valor conheci
do, foi chamado de um problema de reconstrução totalmente limi
tado (F.R.P).
III.3.2.MODELO MATEMÁTICO DE RECONSTRUÇÃO
0 ART - Al go ritmo de Gordon et ai - foi uma teni
tativa de solucionar o PRP no caso especial quando a função pe
so W(i,j) assume os valores um ou zero, podendo ser válido tam
bém para o caso onde W(i,j) é real.
0 método estudado é chamado por Gordon et ai de
método aditivo direto. Ele define uma função correção que acha
novos valores de u(i,j} para as células interceptadas, por um de
terminado feixe p(k,9). A diferença entre a soma destes novos v£
lores para uma correção q+1 e o valor real (determinado expert
mentalmente - p(k,e)) é comparada com a mesma diferença calcula
da na correção anterior q, e deve ser mais próxima, da forma:
|p(k,e) - p(k,e)| < |p(k,e) - p(k,e)|
Esta é a condição para que ocorra a convergência, onde pq(k,6) é ô&
.23.
da por:
Pq(k,e) n n
I I M(1.J)-fqO.J) 2A III.7
onde fq(i,j) i o valor do coeficiente de atenuação linear obti
do na correção q.
Assim pode-se escrever para o método aditivo:
fq+\i,j) =fq(i,J)+W(i.J) (p(k,6) - pq(k,6))/N
III.8
N N onde N = l l W(i,j)2. 0 denominador é um fator de normali-
i=l j=l
zação para assegurar que uma mudança total no raio-soma, se to
das as células fossem corrigidas, seja:
Ap(k,e) = p(k,e) - pq(k,e) III.9
0 ART e uma correção feixe a feixe, pois para c_a
da feixe, as células interceptadas são corrigidas.
\
No ART ha um outro método de correção, o multi
plicative que e definido pela equação:
<*•*> (i.J) p(k.e)
q+l q f!, .» - fS III.10
Comparando-se as equações III.8 e III.10 dos mé-
.24.
todos aditivo e mui ti pi i cativo respectivamente, pode ser notado que
o aditivo i o mais simples e leva em consideração a função peso,
dando uma correção proporcional ã fração em que o feixe atinge
uma determinada célula (i,j). A determinação da função peso se
encontra no Apêndice I.
Com a introdução de uma estimativa intermediária
(f<l("i»j)) no ART, surgiu o que foi definido de ART 2 como se
gue:
íi+i , ?q = fq + «(i.j) (P(k,e)-pq(k,e))/N
(i,j) (i.J) in.n
na versão P.R.P. temos: \v
f = max (i.J)
f ~q+l 1 °' í III.12
e na F.R.P.
fq+1 - min (i.J)
F, max 0, ?q+1
<1.J) III.13
onde pq(k,e) é calculado em função de f e não fq
(új) (1.J)
A diferença entre o ART e o ART 2 é que fq
é usado em vez de fq na formula para fq . Esta diferen-(1.J) (*>J) .
ça se faz presente trabalhando nos limites da versão P.R.P. (Eq
III.12) e na F.R.P (Eq.III.13).
.25.
0 ART 3 1 9 trata o algoritmo ART dentro de ima cer
ta tolerância de erro que pode variar de um elemento de proje
ção para outro:
p(k,e)-e(k.e) < l M(I.J) f(i,j) < i»J=l
< p(k.e) • £(k,e) III.14
0 algoritmo ê:
rq+l
(i.j) = 1* +Y q H(I,j) /N
(i.j) (i.j) III.15
onde
(i.j)
P(k.e) -pq(k,e) (III.15.a)
se |p(k.e) - pq(k,8)| > 2e(k,6)
2(p(k,e) -pq(k,e) - e(k,e)) (m.is.b)
se e(k,8) < p(k,8) -pq(k,6) < 2e(k,6)
2(p(k,6) -p°.(k,6) +e(k,6)) (III.15.c)
se -e(k,6) > p(k,6) •pq(k,6) > -2e(k,6)
0 (III.15.d)
se |p(k,6) - pq(k.8)| < e(k,6)
Na condição das equações: III.15a - o ART 3 i o próprio ART;
III.15.b o Ap(k,6) se aproxima da tolerância de erro, sendo as*
sim corrigido desta; III.15.c - i a mesma da III.15.b sõ que da
faixa negativa; III.15.d - o Ap(k,e) está dentro da faixa de to
.26 .
lerincia, sendo assim y ( i . j ) * 0
11123. CONVERGÊNCIA
ART converge para um vetor t ( i , j ) se:
ia Í f ( i 3 ) " T(1 » )
I I I . 1 6
o Teoreaia de Herman* 'define que, dado W(i,j) e p(k,e), se P.R. P
tem uma solução, então o ART parcialmente COM restrições convejr
gírã para uma solução (demonstração no Apindice II)
Mostrado que o método converge, necessita-se de
um critério para determinar quando se deve parar com o proces^
so iterativo.
Gordon et ai definiram a função "variância1
(V*') e Gilbert12 definiu a função "distância" (6q) como
v q = I - f i.jlíi.j) (i.j)J
III.17
h f - f l<i.J) d.J)J
/ l US r - f III.18
onde f, . . . e o valor real do coeficiente de atenuação e ? / 4 ,»
.27.
i o valor da'primeira estimativa do método i t e r a t i v e
,q Na eq. III.18, foi observado que quando f « *\
tende para f.. ,. , o valor de r tende para um valor mínimo.
Herman et al'5 empiricaroente acharam que o valor mínimo de 6
coincide, dentro de uma iteração, com o seguinte critirio:
V q + 1 - vq| < Vq / 100 II 1.19
C A P I T U L O IV
.29.
•IV. MATERIAIS E MÉTODOS
IV.1. PROCEDIMENTO EXPERIMENTAL
IV.1.1.MESA DE TOMOGRAFIA
Foi construída uma mesa simples para obtenção de
dados experimentais de tomografia, com movimentos manuais.
(Fig. IV.1 e IV.2)
u3 m t 3 -- 8\ iJ
*C
Fig. IV.1 - Corte Vertical da Mesa
241
1 . Fonte - £H,Am
2. Detetor de Cintílação N a l ( U )
3. Colimação com blocos de chumbo
4. Parafuso sem fim para o movimento de translação
5. Parafuso sem fim para o movimento de rotação
6. PaquTmetro
7. Suporte que sofre o movimento de translação
8. Prato do movimento de rotação
9. Base da mesa
.30.
Fig.IV.2 - Fotografia da Mesa
Conforme foi visto na seção III.3.I., o processo
de tomografia exige dois movimentos: translação e rotação. 0
movimento de translação é realizado através de um parafuso sem
fim, onde o deslocamento é controlado por um paquTmetro, com pre
cisão de ± 0,01mm. 0 movimento de rotação é feito através de
um outro parafuso sem fim acoplado a um prato que gira livremejn
te em cima de um suporte que sofre a translação, e o ângulo de
rotação é controlado por uma escala com precisão de ±0,25(graus).
IV.1.2. FONTE DE RADIAÇÃO
Um dos requisitos básicos do método da atenuação
é a escolha de uma fonte de intensidade e energia apropriadas.- 0
radioisotope 21°Am, emissor de raio y, de energias principals 26KeV
e 60 KeV, foi selecionado, levando-se em conta, além da dispon£
bilidade, os fatores a seguir relacionados.
.31.
- a radiação destas energias ê capai de através»
sar vírios centímetros de aiaterial liquido e
sólido, constituintes de nossa amostra padrío.
241
• o "'Am possui uma meia vida longa» o que eli
mina a necessidade de correções na taxa de con
tagem devido ao decaimento e permite a utiliza^
çio desta fonte durante um longo período.
- é aconselhável que se tenha monocromati cidade,
de modo a evitar que a radiação espalhada que
porventura atinja o detetor, possa ser conside
rada nas contagens lidas. Utilizou-se, portari
to, um analisador monocanal para selecionar so
mente os fõtons de 60KeV, os mais abundantes
do 241A«.
- a fonte deve possuir uma atividade razoavelmen
te grande, para diminuir o tempo necessário pji
ra a obtenção da taxa de contagem. A ativida
de de 100 mCi mostrou-se satisfatória.
A importância da escolha da energia de 60 KeV po
29 de ser verificada quantitativamente segundo Gardner e Ely e
obtém-se uma boa/acurácií>>a-medida de uma certa espessura x,
quando o produto do coeficiente de atenuação pela espessura es
tiver entre 1 e 2 (estes valores são obtidos quando se minimiza
o erro da medida em x).
.32.
TABELA 1
Características da Fonte de Am
AmerTcio 241
Atividade = 100m Ci
Cápsula tipo: x.11
Código: AMC.6.
Fabricante: Amersham
Meia-vida: 458 anos
Principais Radiações y:
Energia (MeV)
0.026
0.033
0.043
0.060
0.099
Abundância {%)
2.5
0.2
0.22
36
0.024
IV.1.3. C0LIMAD0RES
0 uso de colimadores tem como finalidade orientar
o feixe de radiação numa determinada direção. Ao mesmo tempo,
diminui a divergência do feixe e evita que a radiação espalhada
pelo objeto atenuador alcance o detetor.
0 sistema de colimação usado neste trabalho foi
feito de dois blocos de chumbo de espessura 50mm cada, coloca
dos um em frente i fonte e o outro em frente ao detetor, cuja
.33.
distância i fan te era de 500mm. As dimensões do feixe obtido fo
ram de 2,5mm de largura por 10mm de al tura.
IV.1.4. SISTEMA ELETRÔNICO DE CONTAGEM
Um diagrama em blocos do sistema eletrônico é £
presentado na Figura IV.3.
7
2
3
7
8
4 5 6
Fig.IV.3 - Diagrama de Bloco do Sistema Eletrônico
1. detetor de cintilaçao Nal(TJl)
cristais de Nal(fi) são largamente usados na
deteção de radiação -y» devido ã sua grande e-
ficiincia na conversão da energia da radiação
absorvida em fótons de luz. 0 ponto de opera
çâo foi de 1250V, tirado da curva do "patamar"
do detetor como mostra a figura IV.4.
Z. fonte de alimentação de alta voltagem - ORTEC
mod. 451
3. amplificador - ORTEC mod. 485
4. analisador mono-canal-ORTEC mod. 406A
.34.
• S. scaler (contador de pulsos) - ORTEC mod. 464
6. timer (cronômetro)
7. anal is a dor multi-canal -HP mod 5401B
B. osciloscõpio
0 osciloscõpio ê usado para revelar a forma dos
pulsos na saída do amplificador e o multicanal é usado para ana
l i sa r o espectro de energia da radiação incidente.
2QD0O
E 0
fttJDO o
1.2 CS VOLT x 11 í2
Fig.IV.4 - Patamar do Detetor Nal(Ti)
IV.2. DESENVOLVIMENTO COMPUTACIONAL
0 programa computacional do ART-aditivo, foi di
vidido em tris fases. Os dados de entrada, através dos raios-
soma p(k,e), são os resultados experimentais.
1* Fase:
£ o cálculo da função peso W(1 , j ) , que se encojj
.35 .
tra. desenvolvida no Apêndice I para um determinado ângulo de or 1
entação do ob je to em relação ao f e i x e . Nos cá lcu los de d i fe re r i
tes ângulos entre 0° -180° , estes são organizados em quatro reg2
Ões, pois ha simetria desta função de 45° em 45° graus, formando as
sim 4 oc tan tes , como mostra a F i g . I V . 5 . Devido a estas s ime tH
as so f o i necessário calcular a função peso para o octante I(D° - 4 5 ° ) .
F ig . IV .5 - Orientação do objeto em relação ao f e i x e , mostrando
os 4 (quatro) octantes entre 0o e 180°.
0 cá lcu lo da função peso para o octante I I (45 o -
90°) em relação a s ime t r i a ao octante I e dado por dois parãme
t r o s :
a) S imetr ia em relação ao ângulo:
6(1) = 90° - 6(11) IV.1
onde e (11) I o ângulo no octante II correspoji
dente ao ângulo do octante I, 6(1).
b) Mudança nos elementos da matriz função peso:
Wl(i.j) - W(N+l-j , N+l-1) IV.2
.36.
onde Hl(i,j) é a matriz do octante II corres
pondente â matriz do octante I, W(i»j) e N é a
dimensão da matriz.
Para o octante 111(90'- 135*) as equações para os
dois parâmetros (IV.1 e IV.2), transformarrse-ão, respectivameri
te em:
8(1) = 8(111) - 90° IV.3
e
Wl(i.j) = W(N+l-j, i> IV.4
onde 8(111) é o ângulo e Wl(i.j) S a matriz do octante III.
Para t> octante IV (135o- 180°)> as equações (IV.1
e IV.2) transformar-se-ao novamente em:
8(1) = 180° - 8(IV) IV.5
e
Wl(i,j) = W(N+l-i, j) IV.6
onde e(IV) i o ângulo e W(i,j) é a matriz do octante IV.
2- Fase:
A 2a. fase contém o processo iterative aplican
do as equações abaixo
U2(iJ) = P(1,1)*P(10,1)/N IV.7
.38.
3? Fate:
Esta fase consiste no teste de convergência dado
pela equação
|Y(L1 + 1 ) - V ( L 1 ) | < V ( l l ) /100 IV.11
ou
T4 = |V (L1*1) -V(1 -1 ) | IV.12
V(L1)
onde LI corresponde ao número de iterações, e cada iteração cor
responde a uma aplicação do processo de correção a todas as pro
jeções (todos os ângulos). A expressão T4 representa o cr i té
rio de convergência, conforme eq. IV.12, quando está abaixo de
0.01. 0 cr i té r io de convergência para o número de iterações
no programa é dada pela expressão: T4 < 0.01
As três fases estão mostrados com detalhes no progra
ma incluído no Apêndice I I I .
Quando foi tratado dos testes simulados, foi in
troduzido duas mudanças básicas no programa anterior:
a) Na entrada de dados, em vez de P(NT,k), foram
usados os valores do coeficiente de atenuação
l inear rea l , dados pela matriz B ( 1 , j ) .
b) Foram calculados os valores do ralo-soma P(NT,k),
na 29 fase do programa segundo a eq. I I I . 6 .
C A P I T U L O V
.40.
V. RESULTADOS
v.i. ruNçao PESO
A função peso w(i,j), para cada ângulo (NT) e p£
siçío (k), identifica as células interceptadas pelo feixe.
Foi feito UM arranjo de 7 x 7 células, para analj
sar o comportamento de w(i,j) em relação ao angulo, ã posição e
ãs simetrias angulares obtidas pelas equações IV.1, IV.3eIV.5.
Para isto, foi escolhido um determinado ângulo (6=30°) e uma úe
terminada posição (k=c, feixe central). Com o cálculo de w(i,j)
para 6 -30' e k = c, por simetria angular, foram obtidos os w(i,j)
para 6 = 60°, 120° e 150° na posição k=c, como mostra a figura
V.l.
V.2. TESTES SIMULADOS
Para os resultados simulados são conhecidos os
valores na distribuição do coeficiente de atenuação linear y (i ,j),
usados para obtenção do raio-soma (P(NT,K)) através da equação
III.6.
Os resultados simulados foram obtidos, variando:
a) as dimensões do objeto ou as dimensões da ma
triz (NxN) do coeficiente de atenuação linear
u(1,j) (valores de N de 7,15 e 25);
. 4 1 .
1 O O O O O O
80 23 O O O O O
35 88 6 5 7 0 0 0
0
0
0
0
4 21 9 2 2 1 ) 4 0 0 0 7 65 88 35 0 0 0 O 23 80 0 0 0 0 0 1
(a)
1
0
0
0
0
0
0
80
23
0
0
0
0
0
35
88
65
7
0
0
0
0
4
21
92
21
4
0
0
0
0
7
65
88
tf
0
0
0
0
0
23
'#
0
0
0
0
0
0
1 3í ?0
(b)
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
23
80
0
0
0
7
65
88
35
0
4
21
92
21
4
0
35
88
65
7
0
0
0
80
23
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 23 80 0 0 0 7 65 88 35 0 4 21 92 21 4 0
35 88 65 7 0 0 0 80 23 O 0 0 0 0
1 0 0 0 0 0 0
(c) (d)
F i g . V . l - Função U ( í , j ) x 100: (a) 309 ; (b) 609; (c) 1209 (d) 1509 ( g r a u s ) .
.42.
b) o coeficiente de atenuação linear v(i,j) (en
tre 0,2 a 0,7cm"1);
c) o número de projeções NP (6, 9, 12 e 18).
Para a matriz (7x7), foram feitas as primeiras
simulações, com os coeficientes de atenuação iguais a 0.2, 0.3,
0.4 e 0.7cm-1. Os valores de 0.2 e 0.3cm'1 se referem ã atenu
ação em água e grafite respectivamente, para a energia de 60KeV
do raio gama da fonte de Am. Os outros valores foram utili
zados para observar o. comportamento de convergência com o aumeji
to dos valores de p. Os objetos simulados eram formados de um,
dois ou três blocos (p t 0.2cm"1) dentro da água, como mostra a
fig. V.2.
Os resultados foram obtidos de cálculos efetua^
dos para 6 e 12 projeções, como mostra a fig. V.3 e V.4 respe£
tivamente, para a posição "a" mostrada na fig. V.2.
Os resultados obtidos para os testes simulados
são comparados com os valores reais de u(i.j) através da função
distância õ(eq.111.18). Esta função define a convergência co
mo mostra a fig. V.5.
Aplicando-se o critério de convergência (T4) d£
do pela eq. IV.11 (na fig.V.6) e comparando-se com a função di£
tãncla 6, pode-se verificar que o critério é valido, pois quan
do T4 esta abaixo de 0,010 função 6 já convergiu.
.43.
20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20
20 jo!*3Ô3o"VoÍ20 20
20 20; 30 30 30;20 20
20 20[30 30 30'20 20
20 20 20 2 020 20 20
20 20 20 20 20 20 20
(a)
20 20 20 20 20 20 20
20 20 20 20 20 20 20
20 20,40 40 40Í20 20
20 20]40 40 40'20 20
20 20|40 40 40«20 20
20 20 Yo~20_ 20 20 20
20 20 20 20 20 20 2 0
(b)
20 20 20 20 20 20 20
20 20 20 20 20 20 20
20 2o"7Ó~7"o ~70"20 20
20 2000 70 70'20 20 ' i
20 20170 70 70 '20 20 « _ .J
20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20
(C)
|3Õ~3Õj 20 20 20140*40*» '.30 30J 20 20 20; 40 40» 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20$40~4Õ"> 20 20 20 20 20L4_0_40J
(e)
J30 30| 20 20 20 20 20
130 30j 20 20 20 20 20
20 20 20 20 20 20 20
20 20 20 20 20 20 20
20 20 20 20 20 20 20
20 20 20 20 20 [4Õ ~40*i 1 1
20 20 20 20 20 'L4_0_40J
(<2)
Fig .V .2 -Obje tos s inulados de c o e f i c i e n t e c5.e atenuação r e a l
(V i : J x 100) - n a t r i z 7X7.
.44.
20,9 19 ,5 21,0 18 ,5 20 ,3 19 ,3 20,4 19.4 2 0 , 3 19 ,5 20,9_20L2_19,8 19,9 20 .5 2 0 , e [ 2 9 , 3 29 ,8 29 ,2j20 ,0 20,4
19,2 20 ,5*29 ,9 30,8 2 9 , 8 j 2 1 , l 18,5
21 ,2 19 ,9J28 ,8 30,1 2 9 , 0 i l 9 , 5 21,2
18 ,5 20 ,8 2~0~,5 "2Õ,~2~ 20~,5 20 ,5 18,8
20,8 18,6 20,9 19 ,1 20,3 19,5 20,7
Fig.V.3-Reconstrução da inagem referente â F i g . V . 2 . a para 6 projeções» Convergiu na 49 i t e r a ç ã o * n a t r i z 7X7. (y.-xlOO)
19,8 19,9 20,0 19 ,9 20,0 20,3 20,9 20,0 19 ,8 19,6 2 0 , 1 20,3 19,5 20,6
19.8 20,4J"3~0_,Í ~30",í "30~,í~;i9,6 19,8
19.9 1 9 , 8 | 3 0 , 0 30 ,1 29,7J20,3 19,9 20,4 20 ,2J30 ,0 30,0 30,1 [19,7 19,4 19 ,9 19 ,7 ~2Õ', 3 20 ,"6" 20 ,"o" 20,0 20,1 20,2 2 0 , 3 20 ,0 19 ,9 19,6 20,2 19,7
Fig .v .4- ! teconstrução da imager, referente ã F i g . V . 2 . a
para 12 p r o j e ç õ e s . Convergiu na 49 i t e r a ç ã o r
n a t r i z 7X7. (y^xlOO)
.45.
•
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.47.
Para a matriz (15x15) foram simulados 3 testes
con a distribuição de u conforme as figs. V7a - V7c.
As figs. V.8 e V.9 mostram as reconstruções de j_
magens do objeto representado na fig.V.7a, em 6 e 12 projeções
respectivamente, e as figs. V.10 ã V.15 referem-se ã função dijs
tância e ao critério de convergência, para 6 e 12 projeções, em
relação aos tris testes.
No caso da matriz (25x25), as figuras V.16a -
V.16c foram simuladas. Os valores de y foram divididos em fai
xas (1 a ...) para obter-se uma melhor visualização, como mos
tra a fig.V.16a.
As fig. V.17 a V.19 mostram â reconstrução de 2
ma gem do objeto na fig. V.16a, em 6, 9 e 18 projeções respec
tivamente. As figs. V.20 ã V.27 referem-se a função distância e
ao critério de convergência para 6, 9 e 18, em relação aos ob
jetos simulados de dimensão (25x25).
V.3. EXPERIMENTAIS
Para os resultados experimentais, o raio soma
P(NT,k) é dado pela equação:
P(NT,k) - An !( N Tf k? V.l. Io
onde I (NT,k) i a intensidade do feixe detetada em função do ân-
.48.
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Fig.V.7.a-Objeto simulado de
(pi-x 100)-natriz
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Fig.V.7.b-Objeto simulado de coeficiente de atenuação real
(JJ.X 100)-matriz 15X15.
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30 30
30 30 30 30'20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 l
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20 20 20 20 20 20 20 20 |70 70 70 70 70
FÍÇ.V.7.C- Objeto simulado de coeficiente de atenuação real
(yi,x 100)- matriz 15X15.
• av.
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19 19 20 18 21 21 23 22 23 21 18 19 19 18 19
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27 30 30 32 30 29(20 19 20 21 21 29 30 30 31 29 28.22 21 19 20 20
30 31 30 30 29 30J23 21 19 20 20
29 30 30 31 29 28>22 21 19 20 20
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20 21 20 19 21 20 19 19 19 22 19 20 21 21 20
20 20 19 19 22 20 19 20 20 22 19 20 20 20 20
FigV.8- Reconstrução da inagen referente ã ?ig.V.7.a.
para 6 nrojeçõesT49 iteração- natriz 15X15 -
'ij2 (y.^XlOO)
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21 20 21 19 21 19 21 20 19
riçj.v.9- Reconstrução da inagei?
para 12 projeções - 5C
(pi;)xl00)
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Fig.V.16.a- Objeto simulado de coeficiente de atenuação
real -matriz 25X25.
Faixas correspondentes aos coeficientes de atenuação:
1 . . . 0,10 - 0,175 cm"1 6 . . . 0 , 3 7 6 - 0,425 cm"1
2 . . . 0 , 1 7 6 - 0,225 cm"1 7 . . . 0 , 4 2 6 - 0,525 cm"1
3 . . . 0 , 2 2 6 - 0,275 cm"1 8 . . . 0 , 5 2 6 - 0,675 cm"1
4 . . . 0 , 2 7 6 - 0,325 cm"1 9 . . . 0 , 6 7 6 - 0,750 cm"1
5 . . . 0 , 3 2 6 - 0,375 cm"1
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Fig.V.16.b - Objeto simulado de coeficiente de atenuação
real . - matriz 25X25.
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Fig.V.16.c- Objeto simulado de coeficiente de atenuação rea l -matriz 25X25.
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Fig.V.17- Reconstrução da imagem referente â Fig.V.16.a para 6 projeções. Convergiu na 19 i teração -matriz 25X25.
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Fig.V.18- Reconstrução da imagem referente a Fig.V.16.a
para 9 projeções. Convergiu na 59 iteração -
matriz 25X25.
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Fig.V.19- Reconstrução da imagem referente à Fig.V.16.a
para 18 projeções. Convergiu na 69 iteração -
matriz 25X2 5.
.04.
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F i g . V.25
.09.
guio (NT) e posição (k).
O tempo de contagem escolhido para cada ângulo e
posição foi de 20s, para obter em erro estatístico, da menor
contagem, menor que 1.51.
O objeto padrão utilizado foi uma caixa de acrí
lico de dimensões 57,5 x57,5 x50mm, contendo água atê a superf?
cie. As paredes possuem espessura de 5mm e coeficiente de ate
nuação linear (u = 0,22cm'1) proximo ao da água para a energia
de 60KeV do raio-gana. Foi introduzido um bloco de grafite 'de
dimensões 10xl0x50mm no centro da base da caixa ( u (grafite)»
0.3cm"1).
A matriz usada na reconstrução do objeto foi de
33 x 33.
Os resultados obtidos para a reconstrução de ima
gem com 6,9 e 18 projeções, são mostradas nas figs. V.28 ã V.30
respectivamente. A primeira estimativa dos coeficientes de ate
nuação foi obtida usando a eq.IV.7. 0 critério de convergência
dado pela eq. IV.12, em relação ao número de iterações (Li) i
mostrado nas figs. V.31 ã V.33 para as respectivas projeções.
Esta dimensão (33) da matriz multiplicada pela
largura do feixe (2,5mm) refere-se a diagonal do objeto. Isto
foi feito para que em qualquer projeção, todas as células do objeto
sejam interceptadas pelo menos por um feixe. Para este tipo de re
construção o objeto foi circunscrito pelo círculo de diâmetro igual ã diag£
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
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13 17 18 16 17 17 19 18 17 17 16 18 17 16 17 17 19 18 18 18 21 22 21 0 ü 0 0 0 0
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15 18 18 17 18 18 17 17 19 22 22 23 22 21 21 19 18 16 18 19 19 19 19 0 0 0 0 0 0
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0 0 0 0
17 21 21 19 17 17 19 20 23 28 30 30 29 23 20 19 18 18 19 19 21 23 21 0 0 0 0 0 0
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0 0 0 0
14 22 21 19 19 19 19 20 20 20 20 20 19 18 17 18 20 21 20 19 20 21 21 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 14 23 21 19 18 19 19 18 19 20 19 18 18 16 18 19 20 21 22 20 21 22 22 0 0 0 0 0
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15 24 22 19 18 19 19 18 19 21 19 19 18 18. 19 20 20 20 21 21 22 24 23 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0
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0 0 0 0
13 25 21 18 19 19 19 20 20 21 21 20 20 21 23 22 20 19 19 20 22 23 24 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0
13 25 23 19 19 21 21 22 22 22 22 22 21 21 23 24 23 21 20 20 21 24 24 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0
13 26 25 22 22 21 22 23 24 23 22 24 24 22 23 25 24 24 23 21 22 24 23 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0
13 28 25 25 24 23 •24 22 82 24 23 25 25 23 24 24 24 24 24 22 25 24 25 0 0' 0 0 0 0
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0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0'
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0' 0 0 0 0 0
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0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
o
Fig.V.28, Reconstrução do objeto experimental- matriz 33X33- 6 projeções-(y.•xl00)
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0
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0 0 0 0 4
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2r 22 22 24 0 0 0 0 0 0
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23 21 20 20 20 19 21 20 2o 18 19 19 17 18 19 19 17 20 20 22 25 22 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0
11 23 21 18 18 19 19 17 18 19 18 17 19 17 18 19 19 19 20 19 20 23 21 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0
13 19 19 17 19 18 18 19 16 19 18 ^7 18 19 19 20 19 19 19 18 19 21 21 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0
12 20 19 18 19 18 20 20 18 18 18 19 18 19 21 19 19 20 18 18 20 22 21 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0
13 19 19 19 18 19 20 19 20 18 19 21 18 20 20 20 20 19 20 19 20 21 20 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0
12 17 18 16 18 18 19 19 22 ,26 '24 ,27 26 22 20 20 20 18 18 17 20 20 21 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0
14 20 19 17 19 20 20 20 23 29 33 31 28 22 20 19 19 21 18 IB 21 21 20 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0
16 21 20 18 19 20: 19 19 22 29 32 32 26 21 20 19 19 16 21 20 21 22 22 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0
16 18 19 18 18 >20 18 17 19 27 31 32 30, 22 20 18 17 18 17 18 19 23 21 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0
15 19 19 19 21 21 20 18 18 23 24 26 23 19 16 19 18 20 20 21 21 23 22 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0
16 21 20 20 20 19 18 17 18 17 19 20 19 20 16 17 20 20 21 21 21 21 22 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0
14 19 18 18 20 18 19 19 19 19 19 20 18 18 20 18 19 19 20 19 21 21 21 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0
'14 21 20 19 20 19 20 19 19 20 20 19 18 19 21 20 18 17 20 20 22 23 22 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0
14 IB 20 19 20 20 19 19 18 20 19 21 20 20 20 18 18 18 20 21 22 22 19 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0
15 15 19 17 17 19 16 18 16 19 19 21 20 19 19 18 17 20 16 18 19 20 22 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0
13 20 20 20 18 18 17 18 18 19 18 18 18 17 17 18 18 20 18 16 19 22 22 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 9
22 24 23 22 20 22 21 22 22 19 18 20 19 19 21 22 24 25 22 22 25 24 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0
19 22 27 24 24 25 25 23 25 27 28 29 30 29 28 27 26 24
0 0 0 0 '2 32 21 21 20 20 22 19 19 19 18 19 17 18 19 19 19 18
25*20 26 25 26 28 0 0 0 0 0 0
21 22 19 23 0 0
. 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 '0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
Fig.V.29- Reconstrução do objeto experimental- matriz 33X33- 9 projeções-(u••xl00)
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 36 1 0 0 0 .0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 '0 0 0 0 0 0 0
0 0
0 0 2 1 6 Í8" 1
16 16 14 15 16 17 14 16 16 19 18 15 15 16 34 10 6 2 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 1 3
19 • l i » 14 17 17 17 19 19 15 15 11 14 17 17 16 18 20 20 20 19 12 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 3
13 15 17: 17 18 18 16 17 18 19 19 19 20 21 20 16 16 19 19 17 19 19 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 2
19 19 17 17 16 16 21 19 20 20 19 15 19 21 21 20 22 22 20 20 19 17 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 4
21 18 18 19 21 21 19 20 19 17 19 17 17 18 19 19 18 21 22 21 21 23 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 8
21 19 18 20 18 20 17 18 17 18 20 21-19 19 19 20 17 20 18 17 21 24 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0
10 18 19 18 17 16 18 20 20 19 18 18 '17 19 20 20 22 19 17 18 18 21 22 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 9
18 18 18 17 18 19 20 18 17 18 19 17 18 20 20 19 18 19 21 20 21 22 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 9
18 19 18 22 19 18 18 20 19 24 19 15 21 23 19 19 19 19 22 22 22 23 0 0 C 0 0 0
0 0 0 0 9
17 17 20 19 17 18 19 28 25 ,'33 27 27 23 20 18 18 19 18 18 20 18 20 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0
12 19 19 17 18 19 21 18 22 31 33 32 32 20 18 18 19 19 18 18 21 19 21 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0
13 20 19 19 18 19 20 18 20 31 33 31 29 18 19 20 20 22 21 19 20 23 20 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0
13 17 19 19 18 19 18 17 17 31 22 31 30 21 20 20 18 17 19 18 19 24 21 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0
11 18 20 20 17 22 19 19 18 22 17 26 25 19 17 21 20 18 20 22 22 25 22 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0
12 19 20 20 19 18 19 19 18 15 20 20 21 20 15 18 ?2 22 20 19 21 22 21 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0
12 18 20 20 21 17 18 18 19 19 20 22 21 19 19 17 18 20 20 17 21 23 22 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0
13 19 22 18 21 19 19 16 17 21 20 20 19 20 20 19 15 19 21 20 24 24 22 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0
14 16 22 19 19 19 19 19 20 21 20 18 18 21 21 19 20 18 21 21 24 23 22 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0
15 16 24 19 20 19 15 18 20 19 19 21 20 20 21 19 19 20 16 18 21 21 21 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0
12 23 23 17 21 20 18 19 19 20 19 21 19 20 19 20 19 21 20 18 22 26 25 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 6 24 24 20 17 21 24 24 24 23 22 22 23 22 22 23 26 26 26 23 25 27 25 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0
14 23 25 29 20 25 26 24 26 27 27 30 31 28 29 28 28 24 25 25 25 26 26 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 1 28 14 17 23 13 "13 9 7 8 8 8 6 7 7 7
10 8
10 13 15 12 16 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
Fig. V.30- Reconstrução do objeto experimental: matriz 33X33- 18 projeções- (y..xl00)
. I J.
CRIT. COüVr^.GSüCIA X ÜO.DE ITEPAÇSZS
2 C- .C.,EiCE*.»-32X23
Fig.V.31
. / « .
CRI?. CONVERGENT! A X íiD.DE I7EF.AÇ3ES
c 3 Dr»rvEcc:s~3-íx3i
Fi£ . V.32
.75.
CRIT. CONVERGÊNCIA X NO.DE ITERATES
C I Í IPRPJECCES-SSXS?
— . O
o a-
IT»
n
Ó
T 1 1 1 1 1 1 1 1 !.^C i-CC 7.4C 0-2C! 11.CO
Fig .V.33
.76.
rial do objeto.
A f i g . V.34 mostra a reconstrução deste mesmo ob_
jeto aplicado ã 18 projeções, cuja primeira estimativa e dada p^
Ia eq. IV.7 e cuja dimensão da matriz é 23 x23. Esta dimensão
(23) multiplicada pela largura do feixe se refere a largura do
objeto, e assim os feixes em qualquer projeção estão dentro da
área inscrita do objeto. Neste caso o objetivo é a reconstru
ção do bloco dentro do objeto dando menos importância I região
de contorno. A f i g . V.35 refere-se ao c r i t é r io de convergência
em relação ao número de iterações desta última reconstrução.
O O 3 1 6 7 12 13 18 21 24 22 24 23 24 25 23 24 24 18 21 15 O 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
u
15 29 22 25 28 28 23 20 22 21 21 22 21 21 21 20 22 24 24 28 23 13
s. v
25 27 23 20 17 21 19 21 23 21 19 20 21 20 21 24 21 21 23 25 22 "6
r. 3»J
29 26 22 24 21 19 21 20 19 19 21 18 17 19 19 17 19 20 21 24 20 10
32 37 26 22 20 20 19 19 24 19 19 21 16 19 19 20 21 20 20 19 21 20 20 19 18 20 21, 20 21 *Í0 20 20 21 19 20 20 20 20 22 21 24 22 7- 9
32 22 21 21 20 19 20 18 20 20 19 17 18 20 20 18 20 19 20 21 22 9
33 21 18 22 19 19 20 20 19 18 21 20 19 21 22 21 19 21 21 19 21 10
\" Reconstrução < :u..xioo).
28 20 20 20 19 19 20 28 32 28
26 20 19 22 19 19 22 31 37 32
.30^25. 22 19 20 20 20 19 19 20 20 18 11
do
24 20 19 18 19 18 19 19 21 19 15
24 19 19 21 19 20 20 28 36 32 -25^ 23 21' 23 22 22 21 21 20 19 18 12
23 20 20 19 18 20 22 25i 33, 34 391 26 18 21 20 19 19 18 18 18 21 15
22 21 22 19 20 20 25 17 19 25 27 26 16 18 20 19 18 19 22 17 18 13
23 23 22 18 19 20 20 16 17 19 21 25 24 18 20 22 20 18 20 16 18 16
20 21 20 20 20 21 20 20 20 23 '20 22 23 19 17 21 18 18 18 19 16 19
21 21 19 20 20 20 20 21 20 18 19 22 21 20 20 19 19 22 19 19 14 20
objeto experimental: •
20 23 19 19 17 22 21. 18 19 18 18 22 21 20 22 19 19 22 18 20 12 26
18 23 18 20 19 20 i 20 16 18 22 21 20 20 20 20 21 18 21 17 19 10 29
16 26 19 18 22' 19 19 18 18 19 20 20 19 20 .21 18 22 20* 18 20 10 «31 J
17 23 20 20 20 20 20 20 19 20 21 20 19 21 21 20 20 21 18 18 19 31
matriz''2 3X2 c
•' * . : • ,v_>
19 21 21 23 23 20 18 22 21, 22 23 24 22 24 21 20' 22 23 20 15 24, 30'
15 19 24 22 27 28 23 23 23 20 22 23 23 23 20, 21 20 20 17 .12 27 33
0 0 0 0 0 0 1 2 6 2 6 4 7 4 4 3 8 0 0 0
15 20
)- 18 projeções
; ' * _
.78.
CRIT: COIIVERGÊÜCIA X ÜO.DE ITERAÇÕES
2 ISPRCJECCES-22X23
I.C'C C C C 2.CC
F i g . V . 3 5
C A P I T U L O VI
.ou.
V I . DISCUSSÕES E CONCLUSÕES:
Para a dimensão 7 x7 da matriz de reconstrução
( F i g . V.5 e V . 6 ) , os valores da função distância 6 para 6 e 12
projeções convergiram para 0,205 e 0,065 respectivamente, quan
do o c r i t é r i o de convergência (T ) a t ing iu valores abaixo de
0 , 0 1 . Isto ocorreu na 4? i teração para as duas projeções. 0
valor de 6 para 12 projeções apresentou um resultado próximo de
zero, o que indica que a reconstrução da imagem (representada p£
Ia matriz dos coef ic ientes de atenuação ( F i g . V.4) aproximou-se
do valor real dos coef ic ientes de atenuação ( F i g . V . 2 ) . .
No caso da matriz de reconstrução 15 x l 5 ( F i g .
V.10 a V.15) os valores da função 6 para 12 projeções convergi
ram para 0 ,205, 0,251 e 0 ,203 , e 0 , 3 1 1 , 0,404 e 0,364 para 6
projeções, correspondendo as três simulações mostradas nas F ig .
V.7a a V.7c, respectivamente. A reconstrução para 12 projeções
(F ig . V.9) obteve valores mais precisos da d is t r ibu ição dos coe_
f ic ien tes de atenuação do que para a de 6 projeções ( F i g . V . 8 ) .
Com relação ,t matriz de reconstrução 2 5 x 2 5 (Fig.
V.20 a V.25) os valores da função 6 convergiram para 0 ,218 , 0,127
e 0,158 em 18 projeções, para 0 ,373 , 0,192 e 0,295 e em 9 proje_
ções e para 0 ,539 , 0,262 e 0,439 em 6 projeções, correspondendo
ãs três simulações mostradas nas Figs. V.16a a V.16c respect i
vamente. A reconstrução obtida para 6 , 9 e 18 projeções (F igs .
V.17 a V.19) em relação a simulação da F ig . V.16a, indicou que
quanto maior o número de projeções, ^uahto 'mais os valores da
distr ibuição dos coef ic ientes de atenuação se aproximam dos va-
. 8 1 .
lores r e a i s .
De acordo com os resultados simulados obt idos, ob_
servoj-se que quando o c r i t é r i o de convergência f o i at ingido
(T < 0 , 0 1 ) , a função distancia 6 j l convergiu. Em r^ljaçãjo ao
valor do ponto de convergência da função jiistância, observa-se que
o valor aumenta com a dimensão da matriz e diminui coro o número
de projeções.
Para a obtenção dos resultados experimentais, fo
ram montados dois modelos para a reconstrução: o c i rcunscr i to e
o i n s c r i t o , como foram definidos na seção V . 3 . No caso do mod£
Io c i rcunscr i to , pode-se observar uma grande variação do c o e f i
c iente de atenuação nas bordas do objeto ( F i g . V.28 a V.30) pa
ra 6 , 9 e 18 projeções.
Este e f e i t o das bordas ocorreu devido ã presença
de faixas de coef ic ientes de atenuação iguais a zero em vol ta
do objeto e dentro da área de reconstrução, sofrendo assim o co£
f i c i e n t e de atenuação uma descontinuidade muito brusca.
0 modelo inscr i to fo i montado para e l iminar esta
descontinuidade do coef ic iente de atenuação, como mostra a F ig .
V.34.
Para os resultados experimentais, os valores do
c r i t é r i o de convergência (T ) chegaram em torno de 0,025 (F igs .
V.31 a V.33) após 18 projeções (F ig . V . 3 3 ) . Neste últ imo caso
obteve-se o valor de 0,0082 na 2? i t e ração . Mesmo assim a ma-
triz de reconstrjc-'o ar»res-,,toi! c efeito nií bor-!"1? (Fir .'.'.30}.
A Fig. V.35 rcstror os valr.-?* d? T4- at? V) it-j — qões IM--. O nc
cielo inscrito, indicando valores naiores que os &o rodeio cir -
cunscrito.
Os resultados «í^tidcs e/nerinertsl^ente diver -
geri dos obtidos através de sirulações. Isto se ÍÍ»"Ç ?O fate de
cjue para a obtenção dos resultados sinulacc? n~o fora;" incluido
os erros estatísticos de coníacen. Os outros fatores inoortante
são os erros introduzidos celas incertezas d«j IT;Ícionanentos /
mecânicos nos novinentos de translação o rot?çãc da nesa esoerJ_
rental.
Para una r.elhor obtenção das reconstruções do j.
naccis nos resultados exnerirentais , Drooõe-se a rontaoen* de li
ra nesa cor' novinentos de rotação e trar.slacão -ut-inatizôda, e
controlada Dor un microecr-utador. Istc traria, através da xaior
precisão nes novirsntns da'nesa en an^as as dirprõos, ur.s me
lhora na reconstrução da irace-i.
Conclsi-se oue o rodeio it2rati»'n A?T-adi ti vo../
recorstroi irag-sr.s er duas df-iensces dende '.:"$ 2n:-oxin57Eo d?
forma do objeto. Para se obter melhores resultados na reconstru
f~t\ Si i-r.'/Ki"? OP. nr-- ft'-i'IiCri ,-„Msi i "• ? ti va »*'-r ins^rf?.-* "• nije ', • - -" - • • ., » • i -• - . J " " • • • »• • i .
A P Ê N D I C E I
.84.
1. DETERMINAÇÃO DA FUNÇÃO PESO
Na determinação da função peso, foi usado o sis
tema de coordenadas cartesianas (x,y) de origem no centro de c§
lula central do arranjo celular (NxN), como mostra a figura IA,
onde N e um número impar.
Fig.IA - Arranjo celular com os feixes (k=l, — N) em um dete£
minado ângulo 8.
Em relação aos eixos x e y, existem N+l retas pa 7. —
r
ralelas ã cada coordenada, que são as retas i e j respectivamer»
te. Cada célula (i,j-l) i formada pelas retas i,i+l, j-1 e j
(í=1, ..., N ; j=2, ... N+l), que é mostrada na figura IA como
sendo a célula central.
Os feixes (k=l, , N) com uma determinada in
clinação em relação ao eixo x, são formadas pelas retas k e
k+1, como exemplo a Fig. IA mostra o feixe central.
.85.
A função peso w(i,j), i função da inclinação (6) »
e da posição (k) do feixe. Ela foi determinada pela interseção
das retas k e k+1, que definem o feixe k, com as retas i=l,... , N
e j=2, .... N+l. Onde:
x(i,k) é a intersecção da reta k com i;
y(j,k) ê a intersecção da reta k com j.
Com a localização do ponto y(j,k) pode-se deter
minar a posição i na malha, pela expressão:
T(j,k) = C + 1/2 - y(j,k)/2xA I.A
M(j.k) = T(j,k) I.B
i = M(j,k) I.C
onde C = (N+l)/2, correspondendo ao feixe ou célula central, e
M(j,k) refere-se ao valor inteiro de T(j,k).
9
A P Ê N D I C E I I
r
.87.
A P E K D I C E II
TEOREMA DA CONVERGÊNCIA POR ANALISE VETORIAL
Por Definição:
(U,v) = Z U,- v,
||U|| = /(U, U) II.A
onde U e v são vetores e U, e v^ são as componentes dos vetores,
e a norma do vetor e dada pela eq. II.A.
Para 1 < i < p temos:
p = NP x N
(«i» x) < bi
i = k mod p + 1
onde p í o n° de projeções vezes o número de feixes, i_ i um su
per vetor (matriz linha) de uma matriz (N x N}, o vetor a^ re
presenta a função peso, xé a matriz do coeficiente de atenuação
bi é o raio-soma real, k é o n° de correções do algoritmo, e a
expressão k mod p é o resto da divisão k por p que representa qual
é a posição do feixe em uma determinada projeção.
Foi definido que:
Ai = {x/(ai, x) < bi}
e
k = 0 representa a 1- estimativa
.88.
No algoritmo ART aditivo temos:
ck+1 = xk + c ( k > . a i
0, se x e A,
bi - ( a ^ xk) k
, se x £ A, a, 1
(ai, x k + 1 ) = (a,, x k) + c<k> ||a||2
, k+1, , k, (k\ í a i ' x ) ' í a i » x ) k+1
c(k) = 3 / (a., x k + 1) = b. 1 1 . 1 1 2 • •
x(k+l) = xk + bi " (ai» x *
lia a. i
II. B
Teorema 1
(k) "Se R e nao vazio, uma seqüência {x* '} do algo-
ritmo 1 converge para um elemento de R.
Prova:
£i = íx | (aj, x) = bj)
Para i = (k mod p) * 1, o vetor (xík+1) - x ^ ) ! ^ ,
se Y e ^ •*• então (x< k + 1) - x < k ) , x < k + 1 ) - Y) = 0
( a 1 f x k + 1 ) * bA k + 1
( a j , Y ) = b i x k l e Y e M
logo
.89,
Aplicando a eq. TIB
!|a||2
bi - ( a ^ x ^ k+1
0 = = (aa X - y)
l l a l l 2
a(a.,xk+1) - a(aity) = 0
(xk+1-xk, xk+1 -y) = 0
A geometria de uma iteração ê mostrada na figura
B.l. £ fácil de mostrar que para qualquer k, e qualquer 2 e R
temos:
| | x k + 1 - 2 | | 2 + | | x k + 1 - X k | | 2 > | | x k - 2 | | *
Aplicando a eq.IIB podemos demonstrar que:
| | x k + a a i - z | | 2 + | | x k + o a i - x k | | 2 > | | x k - z | | 2
/ p ( a . , z) < b. i s to confirma pois ZcR = ft A.
| | x k + 1 - z | | 2 + | | x k + 1 - x k | | 2 > | | x k - z | | *
logo
. 9 0 .
Fig. B.l
Portanto, a seqüência ] | | x - z | | a | esta nunca au_ —•• k 2
mentando e que ele e limitado por baixo lim | |x - z\\ existe
Para este tipo de desenvolvimento aconselha-se de
senvolver a eq . I I .B , para alguns valores de k, e obterá que £.
t, cor k+1 k
tendera a região R, consequentemente para K-»• • ||x -x | |-*0,
e que a seguencia e limitada.
Desde que j*x > é l imitada, ha um mínimo numa sub_
seqüência in f in i t a que converge para algum vetor y. Nós mostra
remos que y e R e que y i independente da subsequência que foi
usada. Isto completará a prova.
Considerar uma subsequência in f in i ta de ix} H que
convirja para um vetor y. Deve naver um i , l < i < p , tal que há
uma subsequência in f in i ta x' * v ' ' e A, , de uma subsequência em
. 91 .
que cada k 5 da forma lp + i - 1 : (i = k rood p + 1; £ = número de i -
terações). Entio x' ' v " e A-, para todo v, e portanto y £ A..
Assumir que i < p. Desde que | | x i k ( v + 1 ) - xí k ^ v ^ 1|2-0,
i k f v ) + l } nos dizemos que uma seqüência xv l ' ' também converge para y. fkfvl+1)
Mas xv v ' ' e A . + 1 , para todo v, e portanto y c A i + 1 - Similarmente nôs podemos mostrar que, para 1 < i < p, y e A.. Portari to y e R.
Supor que ex i s te uma outra subsequencia que con
verge para y ' . Como acima, nós podemos mostrar que y1 £ R. Ve_
jamos:
a = lim [|| ,CO . k-^oo
X ' - - y i i 2 - l l x 1 * ' - y ' 1 1 2 ) ,< *>
obtemos:
Usando uma subsequencia que converge para y(x c y ) ,
l | x ( k ) - y | | 2 - | | x í k ) - y ' | | 2 = ( x k - y , x k - y ) -
- ( x k - y ' , x k - y ' )
l | x k | | 2 - 2 ( x k , y ) + | | y | l 2 - | | x k | | 2+ 2 ( x k , y ' )
1 l a r * 1 1 • I 12
| y | | 2 - 2 ( x \ y ) + 2 ( x \ y ' ) - | | y ' | | k „ . r i I I 2
11» f l | x k - y | | 2 - | | x k - y ' | ! 2 ] - - I l y - y ' l l :
.92.
usando outra subsequincia x e y ' , obtemos
a - | | y ' - y | | 2
Portanto, a = 0 e y = y ' , completando nossa prova.
f t
gli Í 1 C E I I I
. 9 4 .
- ~ - . J C - h * ' * [ J = LTnr.C I l F K ' T T V r » A K T - * D J T I V O F l»A Fu^C* 1 ) P fSO 3J .f toli.i X ( 3 a , 3 « i ) , V ( 3 a , 3 « ) , i ( ? a , 3 4 ) , * . ( i a , 3 « « ) . . ( 3 a , 3 « ) , * U S
• «5, 5 - } . . t ( f « i , ? U ) , i i l ( £ < . ( X ! i ) , j r ? { X a , ? J ) , P 2 ( 3 i » ) , ; (C«>) , ^ 1 ( 5 » , ? * . ) , • 1 3 ( 3 a f .><«)» '(<>--^y
I M C S t R C . . . ? ( 3 « , i < i ) C :s=DI«£ iSAG DA :4T«»IZ
. = 3 3 , \ i I M T , J ) = I :T:r-5U»»í>F úc 7&1-TACA9 G*'A JF-DIT'l M"i I-ETETO*
3 V - F - ^ í - i l [ 1 ^ T ! » , / , l * I 5 . / , T b ) ^ L 6 1 = I :7 i . ;Si : iAr.C L,F «fAfllAct:,» SE-l 05JFTO
i 1 = i 7 * i « . . r. f/T= KF^S-ISE' iTi •? âUSUU* i/T 1MCIÍ>E? 'CIA I'O F ^ I X ?
i;0 2 .T = l , t f > V v - K= » D S I C M * Í O FEIXE.
jt) 2 \ = l r » k l = I l / I 3 C - 'T,K)
C p f . T r r . ) s S M I D S O S *
2 P ( * T , < ) = * | - O Ç ( X I ) 0
P I = i . l 4 Í Ò t (. C A= MCTAC'r D* IA<?P'SURA ÜE !J.=* C5LULA E DO FEI;<E
C t I = V ' i F . ^ - i ; r I T F . R A O t S
t ' - - *~ETxS CL iT» í .L
'- J Í I , J ) = »AT'<IZ TJ3 C n t F l C I * V T F . i)E ATFM»AC/n
i',0 7 U = «j#?7
J ( I t J } = 3 i S T ( ? ( l , I ) * » ' i l f * i J ) ) / ( ? 1 » 2 » A 3 r- U ? t I , J ) = ' - - í l .L I - 'A ESTI"ATT»'« OF u ( T , J )
•-•o i T s l 50 T.-> j?
?-j I * ( T -105 6 3 , * ? , S 3
3 DC I ' l l =-J.?*»
•• I J ( l , . f ) = J i ( I , J ) -,? 4 T = ' ; T - l
.95.
IP( T . ^ T . l i ) no Ti 39"? IFC T . ' . T . I O ) fcO n ano
I f ( - T . S T . b } SO T l M • TF . i ;= l • T - 2 ) * f l T / l - ' <"
SO TJ Sr1". J T . <T1=I - Í Í T
•fr«(» 471= i * - l • . í >*?{. TCTA= ; T í * P I / j á * V
12 Z=2*û5! , ( T E T A / ? ) / C n í , ( T E T * / ? ) DO b N = ! , C * 1 DO •» J=b» 43 DO 7 I = b , 3 0
7 X ( I . K ) = C i 2 * C - 3 * K » l ) / C 0 S ( T E T * ) - ( 2 * C « ' 2 * T + l ) ) * ^ * C U S ( T E T A ) / S I N C , • TF.TA}
Y ( j 7 ^ ) = - 3 I . í ( T E T A ) / C 0 G ( T F T A ) * ( 2 * j - 3 « C - l ) * & + ( 2 * C - 2 * K * l ) * A / C 0 S • C T E T Ã )
T ( J r ' . ) = C * l / 2 . - Y ( J , K ) / ( 2 * & ) * ( J , : ) = U J , K )
r> coni-. j r % = • »
?? ?:=;•! i r i K . 6 T . C ) BO TO 72
' 1 = 1 6 0 15 7 4
7-5 DO '-- I = i # :• f»0 **iJ = l »0
•: B3 rf(XtJ)sO 50 !*T=->
C CALCULO - i * rjfiCAO PESO DO 13J=^r2e
N I F C A S . S i r ( J r K ) ) . G T . l U - S ) * A ) GO To 2 C '
X F ( T ( J , r : ) - ! ( J , K ) ) 5 r 5 , 3 0 30 COiTX:#jE
.96.
b IF(T(j,<)-5)«?'V3,20!>.s.4 *i IF£* i>:XCI»K)-t2*J-?»C-3)*a)-2)60,?0.7.
SO iTrsn .tT+..(I, J-l)««2 &C» T3 2-0 SO*AT=3ri *AT*W(I. J-l)**2
»» i»(i , j- i )=i .-A',5t({a«j-a»c-i)**-x{i ,K))*((e»n-?»i*i)*A-vij fK *)))/(-*A**2) IF£T.E9.i) S3 TO ?01 *(J-l..i-!)=Aes(ÍY(J-i,fí)-(2*C-2*I + í )**)•(<( I,*)-(2* J-2*C-S) **A))/(8*A**2) SO-tT=S0 :AT*5<(I-lf J-l)**2 53 TO ao.*?
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W(I.J-l) = l.-(A3S(((2*J-2*C-n*A-X(I,K))*((f>C-2*]*l)*A-Y(J, »>v)))*<i:>SC(Y(J-l,L)-(2*C-2*I-l)»A)*(X(IM,L)-(2*J-2*C-3)*A)) »)/(«*A**2) 5nM4T=.iC"AT+.ai,J-l)**2 IF(J.E ;.5) GO TO 2«*0 V/(:-l.J-i)sA.>S((Y(J-l,K)-(2*C-2*I*l)*ft)*(/CIfK)'C2*J-2*C-3) **A))/(a***»2) 30 iT=S0MAT+W(I-l.J-l)**2 GO TO 200
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"*0 IF(T(J,L)-5)300,300,93 101 IF(AeSi(2*J-2»C-l)*A-x(I,U))-Z)l02,lC2f103 1C»J WfI»J-:)=A8S((2«C-2*I*1)«A*2-YIJ-1,L)-Y(J,L))/(«**)
Sn^T=30-AT + .i(I,J«l)*#2 GO T.'J 3')?
1*3 |fU,J-n=A;iSC(C2»J-2*C-n*A-X(I,i))*((2«C-c*I*l)»A-Y(J,L)))
/
. 5 7 .
30 í*T=3r> í A T * . i ( l # J - l ) » * è :-r T :• 3= o
i"c H Í I , J - I ) = i r , S l ( ( 8 « J - 2 * C - l ) * * - > C I . L ) ) * ( ( ? - C - 2 » I * i ) « A - Y ( J . L ) ) ) * / ( 3 * A * * ? }
50 i*T=50 5*T*.íClr J - l ) * * 2 i r ( I . E Q . 5 ) GD TO 300 W ( J - l . J - i ) = l . - A 3 S ( l Y ( j - i , U - ( 2 » C - 2 * I * l ) » A ) * ( X C I . l ) - ( 2 * J - 2 « C
• - 3 ) * A ) ) / C ? » A » * 2 ) 5 ' r tA'»=3 , .»MAT*»#( I - l ,J-J)**? 5C T j j - io
•»? I? (T .EQ.*>) GD TO 3»'» » I Í I - Í . O - : ) = ( 2 * 4 * * B O ( ? » c - e * i - i ) * A - r ( j - i , L ) ) ) / ( < « * « ) &31UTSS0 : A T * * ( I - 1 , J - 1 ) * * 2
100 CO«TI*;jE 13 CO«TlNjE
I F ( K l . E i . Í ) 50 Ta 7a Z 51 -ET»IA DL . . ( X , J ) E* »EL»CAO » POSIÇÃO DE K
DO Tb 1 = 5 , 2 9 DO T j J = 3 , 2 ?
Tá i l ( I , J ) = i í # + l - X , M + l - j ) ííQ o 1 = 5 , 2 0 DO * J='^,29
t W Í I » J ) = w l ( I , J ) "»-» 2 M W F . 6 T . J i ) I;Ü TO 11
I F C N T - G T . l v ) Gü TH 14 i r ( M T . G T . S ) 50 TO Io ÍO TJ JS
i- >I fcT1-. I " -'o ;CTA,TF I I E i kPLACAO AO OCTA\>T£ I l è or? ?! !=:>,«?<»
DO ?1J=5,?V 2 i tflCIt J ) ? « ( V » W » N + I - I 1
OH 201 = =»,29 uD 2->. t=S,2*
23 V / ( I , J ) = Í V i { I , J ) VJO TO 15»
C ' í l .FT* I6 00 ?CTí:iTE IV E t PFLACAO AO OCTA :T£ I I I D3 ft3l=S,2-;
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.98.
DO *óJ=b,2<» - a I U U » J ) = w r * * l - I , J l
27 HCX.J3SW1CI.J) •SO Ti l ã
C :>! ET^I* PO O.TATTE I I I t'-« «?FL*C*0 âO OC^AMTt I ' P -••:• 17 1 = 5 , 2 9
y=J 17 J = 5 , 2 » 17 W I C l r J ) = W ( U * 1 - J > I )
DO 9 I = b , 2 9 >n 9 J = S , 2 9
9 W ( I . J } = W 1 ( I , J ) i b cr'=;ii;-:.»c
L t r = T i M i ?0 CALCULO t»t FIüCAO PESO — -r- l i ic i ' t rn r e c e s s o RE CORPECÍO- ««ETOSPDO *PT-AÜITIVO W 511 = 1 , 1 i - l ) / 2
51 I F C K . E j . 2 » I ) BO TO 5 2 i r f S l ^ i T . f c ' S . O . ) 5 0 TO 10 P1=0 C3 « 1 = 5 , 2 9 DO Í I J S S , ? }
2 P l = r l * . ( I , J ) « U ( I , J ) * ? * À DO 31=!; , 2 *
• J I ( I , J J S J ( I , J J * . I I , J ) « ( P ( N T » K ) - P I J / S 3 " ; 1 X F ( i , l U v J ) . b T . O ) r,0 TO 3 U H I f J J = '
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DC t l J = 5,2^» «1 J ! C ! » J ) * J I X » J )
I F « - 0 2 2 , 2 3 , 2 3 23 I F ( . 1 . E . ; . « f ) GO TD in
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52 ^'"-4TIf<»i£ PlsO I F ( S ? M Â T , E 3 . 9 . ) 5 0 TO f ?
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54 CCiTIiuE «•2 DO 431="if 29
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DO 28J=S,27 P2£J)rJ en ? r 1 = 5 , 2 9
2s*. P2tJ)=~2CJj*UlU.J)*?<»A &ÍI « 7 j = 5 , 2 7 DO *»*I=5,29 J ( I # J ) = v i S ( I , J ) * ( P ( i T f J ) - P 2 ( J ) ) / f - « - B ) I F l U i I , J ) . 3 T . O ) 50 Tu *7 U(I»J)=0
S'» T.» 2o
LJSL1M f»0 3 * 1 = 5 , 2 9 P2CI5=-DO 3BJ=5727
3:; »"2( IJ=^?ÍI )*J l í I rJ )*2*A 30 3 5 1 = 3 , 2 9 DO 3SJ=5,27 „ J ( I r - ) = - s K I » J ) * C P ( » T , I ) - ? 2 ( I ) )/(•.«-&) M i l t , i ) = I ( I . J ) * ! A O G I F ( i ; i I , J } . Q E . 9 ) SO TO 35 U(I , -')='-» 1*1 ( I , J>=0
35 CO.'.TJ'. iE
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.100.
•! T^.,n r I'lKICa i;F CO'iVE^GtU'CIA ATRAVÉS Oi- VAR1<VÍ;C1A V U 1 )
•b v u n ^ u n + cudfJJ-J2(I ,J) )*»2
i'.O rOH"AH"3"f I 3 , 3 X , F 1 0 . 5 ) >, A, W » I T F . ( S , 3 ' > ) f ( N l ( I , J ) , J ^ i , 3 3 ) , I = l , 3 / 3 )
36 f0rr>AT(33 (33ClX .J3 ) , / ) ) y
XPCL1.&..11) SO TO P7
I f l L J . E a . ! ) GO TO *b T t t = A - 5 U U i ) - V ( L l - l ) ) / < / a i - l ) W*lTEC6,->t>) (T<0
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P7 ccmi *ue STOP E'JD
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